117. Calcula el vértice D del paralelogramo ABCD, clasifícalo y determina su área: a) A(5,2,7), B(7,4,6), C(3,6,2) b) A(6,1,2), B(4,3,1), C(2,6,5)

Solución a)

Dado que los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos, podemos trazar dos rectas paralelas a los lados dados por los puntos A, B y C. La intersección de estas rectas será el vértice D.

A(5,2,7)
B(7,4,6)
C(3,6,2)

En este caso, las rectas paralelas son:

y = 2 + 2(x - 5)
y = 6 - 4(x - 7)

Solving for x, obtenemos:

x = 8

Substituyendo x en cualquiera de las ecuaciones, obtenemos:

y = 8

Por lo tanto, el vértice D es (8,8,2).

El paralelogramo ABCD es un rectángulo, ya que sus lados opuestos son perpendiculares.

El área del rectángulo es:

A = b \times h
A = 6 \times 8
A = 48

Solución b)

Siguiendo el mismo procedimiento que en el caso anterior, obtenemos las siguientes rectas paralelas:

y = 1 + 2(x - 6)
y = 5 - 3(x - 4)

Solving for x, obtenemos:

x = 5

Substituyendo x en cualquiera de las ecuaciones, obtenemos:

y = 9

Por lo tanto, el vértice D es (5,9,5).

El paralelogramo ABCD es un rombo, ya que sus diagonales tienen la misma longitud.

El área del rombo es:

A = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2
A = \frac{1}{2} \times 10 \times 13
A = 65

Respuestas:

a) El vértice D es (8,8,2). El paralelogramo ABCD es un rectángulo. El área es 48. b) El vértice D es (5,9,5). El paralelogramo ABCD es un rombo. El área es 65.