Sean A y B matrices cuadradas del mismo orden tales que =A A.B y =B B.A
Probar que A y B son idempotentes.

Seja A uma matriz quadrada de ordem n tal que A^2 = A.A. Então, para provar que A é idempotente, basta mostrar que A^2 = A. Ou seja, basta mostrar que A.A = A.
Da igualdade A.A.B = A, temos que A.A.B.A = A.A. Multiplicando ambos os lados por B, temos A.A.B.A.B = A.A.B. Como A.A.B = A, temos A.B = A.A.B. Analogamente, da igualdade B.A.A.B = B, temos B.A = B.A.A.B. Multiplicando ambos os lados por A, temos B.A.A.B.A = B.A. Como B.A.A = B, temos B.A = B.A.B. Portanto, A.B = A.A.B = A e B.A = B.A.B = B. Logo, A e B são idempotentes.