Ejercicio 7 Dada la función f : A → IR, definida por la expresión f(x) = −2 + log3(???? + 9), determinar el conjunto A = Dom(f) y las intersecciones ...

Solución

El dominio de una función logarítmica es el conjunto de todos los números reales positivos. Por lo tanto, el dominio de la función f es el conjunto de todos los números reales positivos, es decir:

A = Dom(f) = IR^+ = {x ∈ IR | x > 0}

Para determinar las intersecciones de la gráfica de la función con los ejes coordenados, debemos considerar los siguientes casos:

• Intersección con el eje x:

La función f es continua en todo su dominio, por lo que la gráfica de la función intercepta al eje x en todos los puntos de la forma (a, f(a)), donde a es un número real positivo.

Para encontrar estos puntos, debemos resolver la ecuación f(x) = 0.

−2 + log3(x² + 9) = 0
log3(x² + 9) = 2
x² + 9 = 3²
x² = 9
x = ±3

Por lo tanto, la gráfica de la función intercepta al eje x en los puntos (3, 0) y (-3, 0).

• Intersección con el eje y:

La función f(x) = −2 + log3(x² + 9) tiene una pendiente de 1/log3, que es positiva. Por lo tanto, la gráfica de la función se dirige hacia arriba a medida que x se acerca al infinito.

Como la función f(x) = −2 + log3(x² + 9) es continua en todo su dominio, la gráfica de la función debe interceptar al eje y en algún punto de la forma (0, b), donde b es un número real.

Para encontrar este punto, debemos resolver la ecuación f(0) = b.

−2 + log3(0² + 9) = b
b = −2

Por lo tanto, la gráfica de la función intercepta al eje y en el punto (0, −2).

En conclusión, el conjunto A = Dom(f) es el conjunto de todos los números reales positivos, es decir:

A = Dom(f) = IR^+ = {x ∈ IR | x > 0}

Las intersecciones de la gráfica de la función con los ejes coordenados son los puntos:

(3, 0)
(-3, 0)
(0, −2)

Gráfica de la función

Como se puede observar en la gráfica, la función intercepta al eje x en los puntos (3, 0) y (-3, 0). También intercepta al eje y en el punto (0, −2).