II) Demostrar que las siguientes funciones son continuas, con derivadas parciales finitas en el origen, pero no diferenciables. 1) y.xz = Analizamos la continuidad de la función. a) f (0;0) = 0 b) ( ) ( ) 0 00 =y.xlimL = ;x;y → Vemos que la función es continua en el origen, por lo tanto no podemos saber si es diferenciable. Vamos a ver si existen las derivadas parciales, para lo cual las calculamos. En P0 = (0;0): ( ) ( ) ( ) 000 0 00000 00 = x lim= x ;f x;f lim=;z x x ' x − − →→ ( ) ( ) ( ) 000 0 00000 00 = ylim= y ;f ;yf lim=;z y y ' y − − →→ Vemos que f es derivable en P0. Analizamos si es diferenciable aplicando la definición. ( ) ( ) ( ) ( ) y . + x.y.xy.x.y.x y . f x . f ;fy;xf ' y ' x ΔΔ=ΔΔ=Δ−Δ−−ΔΔ= =Δ−Δ−− 21000 0;00;000 εε Si hacemos Δx = Δy, ( ) x +xx.x Δ=Δ=ΔΔ 21 εε , 121 =εε + . Esto solo se verifica si 121 =εε + , pero para que la función sea diferenciable ε1 y ε2 deben ser infinitésimos para Δx→ 0 y Δy → 0. Al no cumplirse esta condición podemos asegurar que la función no es diferenc