Consideremos ahora el sistema hiperbólico: , con 0  x  1, t  0 , (1) que también puede escribirse así: . Los autovalores (o “raíces características”) del sistema son: 1 = a + b, 2 = a – b. En efecto: ; entonces, desarrollando la ecuación característica o secular, se tiene: ·I2 – A= 0  ( - a)2 – b2 = 0; 2 – 2a + a2 – b2 = 0; de donde: . Al tratarse de una matriz simétrica, con 1  2, su forma diagonal será: , (a, b)  {}. Consideremos sólo el caso donde a y b son positivos. Si 0 < b < a, entonces los autovalores son ambos positivos y las dos familias de características se propagan de izquierda a derecha. Esto significa que la solución (vector) = (u1,u2)T se debe prefijar en x = 0 y ningún dato se debe especificar en x = 1. Nótese que la pendiente de las características es (a-1), luego las características más lentas serán aquellas con mayor pendiente. El caso más interesante se da cuando 0 < a < b. Los autovalores son de signo contrario y las familias de características se propagan en direcciones opuestas. Escribimos el sistema en la forma de ecuación matricial: , cuyo desarrollo ofrece: , donde las ecuaciones se tienen que verificar para 0  x  1 y t  0. Ciertamente, una forma de determinar una única solución consiste en prescribir (u1 + u2) en x = 0 y prescribir (u1 – u2) en x = 1. Sin embargo, existen otras posibilidades. Por ejemplo, cualquier condición de la forma: u1 + u2 = 0(u1 – u2) + 0(t) , en x = 0 (2) u1 – u2 = 1(u1 + u2) + 1(t) , en x = 1 determinará (únicamente) la solución del problema. Los coeficientes 0, 1 pueden ser funciones de t o constantes. Las condiciones de contorno que determinan una única solución se dicen bien puestas y el problema se dice bien planteado. Las condiciones (2) están bien puestas para el sistema (1). Además son las únicas condiciones bien puestas posibles para el sistema (1). Las condiciones de contorno (2) expresan el valor de las variables características en la característica entrante en términos de la variable característica saliente. Por tanto, si especificamos u1 o u2 en x = 0 el problema está bien planteado y las condiciones bien puestas. Especificar u1 o u2 en x = 1 también genera un problema bien planteado con condiciones bien puestas. Sin embargo, especificar (u1 – u2) en x = 0 o especificar (u1 + u2) en x = 1 origina un problema mal planteado pues las condiciones están mal puestas. Para que un problema hiperbólico de valores iniciales y de contorno esté bien puesto, en definitiva, el número de condiciones de contorno debe ser igual al número de características entrantes en el dominio (Schiavi y Muñoz, 2006-07). Ejercicio 2 Considérese el sistema hiperbólico (1) en el intervalo [0, 1], con los valores: a = 0 y b = , y las condiciones de contorno u1(0, t) = 0 (en la frontera lateral izquierda) y u1(1, t) = 1 (en la frontera lateral derecha). Determinar: a) su solución siendo u1(x, 0) = x y u2(x, 0) = 1 los datos iniciales del problema, y b) si en este sistema, u1(u) y u2(v) representan los resultados brutos de sendas empresas expresados en millones de €, t es el tiempo en siglos y x el volumen de ventas en millones de €, se pide hallar los resultados netos de ambas empresas, considerando una fiscalidad aplicable del 25%, al decimoquinto año del inicio de su actividad económica, cuando el volumen de ventas de la primera empresa es de 950.000 €. (adaptado de Schiavi y Muñoz, 2006-07, p. 68) Solución: a) Las condiciones de contorno están bien puestas pues son del tipo (2) para los valores paramétricos 0 = -1, 1 = -1 y se tiene las funciones: 0(t)  0, 1(t)  2. A su vez, se tiene que: b = . Los autovalores (o velocidades características) del sistema son: 1 = a + b = 1, 2 = a – b = -1. Escribimos el sistema en la forma: , donde las ecuaciones se tienen que verificar para: 0  x  1 y t  0. Introduciendo, como antes, las componentes w1 = ½(u1 + u2) y también: w2 = ½(u1 – u2) se tiene