El argumento: , con k  (0,1). Entonces, en su forma exponencial, las dos raíces obtenidas son: Para k = 0, tenemos: . Para k = 1, tenemos: . La representación gráfica correspondiente es la siguiente: 41 2 i i e    42 2s   24 2 k     8 i 4 0 e · 2z   8 9 i 4 1 e · 2z   Representación gráfica de las dos raíces. b) Se trata ahora de resolver la ecuación: z3 = (1, 1) Se tiene: Por estar en el primer cuadrante del círculo, seleccionamos el caso:  = 45º, con lo que: º225 º45 1 arctg , 211r 22  ; kº·120º15º120·k 3 º45 n 2 ·k n ; 22rs 63n      17 siendo s(cos  + i sin ) la raíz n-ésima de r(cos  + i sin ), o sea: ]; dando ahora valores k(0,1,2), se tiene que: La representación gráfica correspondiente es la siguiente: Representación gráfica de las tres raíces. )sin·i(coss)i·sin (cosrn  En forma binómica o algebraica, dichas raíces son las siguientes: z0 1’084215 + 0’2905145i z1 -0’7937004 + 0’7937004i z2 -0’2905145 - 1’084215i       2905145'0º15·sin2·sinsb 084215'1º15·cos2·cossa 6 6       7937004'0º135·sin2·sinsb 7937004'0º135·cos2·cossa 6 6       084215'1º255·sin2·sinsb 2905145'0º255·cos2·cossa 6 6 12. LOGARITMO DE UN NÚMERO COMPLEJO Al igual que sucede para los números reales, vamos a definir el logaritmo de un número complejo como la operación inversa de la exponencial, esto es: z = ln w  ez = w Supóngase que es un número complejo de módulo r y argumento , entonces se tiene que: . Ejemplo Sea 1 = 1·ei(0). Por tanto: ln(1) = ln(1) + i(2k) = 2ki = 0. 13. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO CON COEFICIENTES COMPLEJOS Sea: x2 + x +  = 0, / , ,   C,    0 ; Primero se calcula el “discriminante” complejo:  = 2 – 4 ,  después sus dos raíces cuadradas (que serán complejas opuestas) -  Las dos raíces buscadas de la ecuación son: Si  = 0   = 0  x1 = x2 (raíz doble) = . La descomposición factorial es la siguiente: iw re  ( 2 ) ln ( 2 )z i ke r e w z r i k        ; 2 x ; 2 x 21          2 Si un polinomio es: P(x) = nxn + n-1xn-1 + … + 0,  i  C ; que admite las raíces complejas: i,  i  1, …, n , se puede descomponer así: P(x) = n(x – 1)·(x – 2)…(x – n) 14. SUCESIONES DE NÚMEROS COMPLEJOS La sucesión de complejos (Zn), con Zn = un + i·vn converge al número complejo a + bi si las sucesiones de reales (un) y (vn) convergen a los coeficientes a y b, respectivamente. O sea: 15. DERIVACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS 15.1. Introducción La existencia de la derivada de una función compleja de variable compleja, tiene consecuencias muy importantes en lo que se refiere a las propiedades estructurales de la función. Precisamente, la investigación de esas consecuencias constituye el tema central o nuclear de la teoría de funciones de variable compleja. 15.2. Propiedad “Si w = f(z) es derivable en z0 , entonces f(z) es continua en z0” Demostración: Sea: f(z) derivable en z0 . Entonces se cumple que: Luego: , es decir, . Luego f es continua en , c.s.q.d. bia)v·iu( límZlím nn n n n   z z )z(f)zz(f 00 00       0zlim)z('f)z(f)zz(flim 0z 000 0z   )z(f)zz(flim 00 0z   Hay que tener en cuenta, al respecto, que el recíproco de esta propiedad no es cierto, en general. Así: es continua en C y sin embargo, solo es derivable en: z = 0. 15.3. Operaciones con funciones analíticas  Si f(z) y g(z) son funciones derivables en z0, lo son también las siguientes funciones: y sus derivadas vienen dadas por las mismas reglas de derivación que las funciones reales de variable real.  Análogamente si f(z) y g(z) son analíticas en un dominio D lo son f + g, , f·g en D y también f/g, si g(z) ≠ 0, .  Si w = f(z) es analítica en un dominio D y g(w) lo es un dominio que contiene la imagen de D por f, entonces la función compuesta es analítica en D y , .  Si w = f(z) es analítica en un dominio D y f establece una biyección entre D y otro dominio D’ en el plano w, existe entonces la función inversa y es analítica en D’. Además su derivada es: .  Las demostraciones de los apartados anteriores son formalmente idénticas al caso de funciones reales de variable real, dado que la definición formal de límite y de derivada resultan idénticas en ambos casos. 15.4. Condiciones de Cauchy-Riemann Sea w = f(z) definida en un cierto dominio D. Se supondrá escrita en la forma f(z) = u(x,y) + iv(x,y). Se trata de saber las condiciones que deben cumplir u(x,y), v(x,y) para que f sea derivable en un punto . 2 z)z(f            0)z(gsi )z(g )z(f )z(g)z(f )z(fλ )z(g)z(f 0 f·λ Dz  )z(fg)z(h    )z('f.)z(f'g)z('h  Dz )z('f 1 Dz0  a) Condiciones necesarias de derivabilidad - Teorema 1: Condición necesaria para que sea derivable en el punto: es que existan las cuatro derivadas parciales ux, uy, vx, vy en (x,y) y cumplan en dicho punto las condiciones de Cauchy-Riemann . Si es derivable, se verifica, además, que