Lección 19 CÁLCULO DE VARIACIONES (III) ÍNDICE Diapositiva 1. Ampliación del cálculo variacional y control óptimo………….…………………… 3 2. Generalizaciones del problema con fronteras fijas...………….…………………… 4 3. Condiciones suficientes de extremo..…………………………….…………………… 7 3.1. Consideraciones previas………………………………………….…………...………… 7 3.2. Campo de extremales……………………………………………………………………. 7 3.3. Condición de Jacobi……………………………………………………………………… 8 3.4. La función de Weierstrass………………………………………………………………. 11 3.5. Condición de Legendre……………………………………………………………………12 4. Métodos directos en los problemas de Cálculo de Variaciones.…………………..14 5. Ejercicios de aplicación.…………………………………………………………………..15 1. AMPLIACIÓN DEL CÁLCULO VARIACIONAL Y CONTROL ÓPTIMO La economía dinámica permite los cambios en las variables económicas en el tiempo, incluyendo los sistemas dinámicos. El problema de encontrar soluciones óptimas para estos cambios se estudia en el cálculo variacional y en la teoría del control interno. Con anterioridad a la segunda guerra mundial (1939-1945), Frank P. Ramsey y Harold Hotelling ya usaron el cálculo de variaciones para ese fin. Siguiendo el trabajo de Richard Bellman acerca de la programación dinámica y la traducción al inglés del 1962 del trabajo anterior de L. Pontryagin et alt, la teoría del control óptimo fue usada más extensamente en la economía para resolver los problemas dinámicos, especialmente en aquellos relacionados con el equilibrio del crecimiento económico y la estabilidad de los sistemas económicos del cual, un ejemplo de los libros de texto, es el consumo óptimo y el ahorro: una diferencia crucial entre los modelos deterministas y estocásticos. Otras aplicaciones a la teoría del control óptimo incluyen las presentadas en las finanzas, los inventarios y la producción. En nuestro anterior libro titulado “Aplicación a la Economía de las ecuaciones infinitesimales y recurrentes”, citado en la bibliografía, se trataba la aplicación del cálculo de variaciones a las funciones económicas de una sola variable. Ello constituye, sin duda, una simplificación de la problemática real, habida cuenta de que suelen ser varias –a menudo numerosas- las variables explicativas que aparecen en la casuística económica, tanto micro como macroeconómica. Por ello hemos creído conveniente realizar una breve exposición teórica dando idea de la determinación de funciones extremales de varias variables independientes, que hacen estacionarios los valores de integrales múltiples, problema éste de aplicación frecuente en la técnica matemática del equilibrio elástico, tanto en la Economía como también en la Ingeniería. Si  es una región limitada en el plano xOy por una curva cerrada C, y u (x, y) es una función real definida sobre  que toma valores prefijados sobre el contorno C, siendo por lo demás arbitraria (excepto las hipótesis conocidas de derivabilidad), podemos pensar que tal función define una superficie variable en el espacio con su contorno fijo. 2. GENERALIZACIONES DEL PROBLEMA CON FRONTERAS FIJAS Analizaremos, ahora, el caso de varias variables explicativas de un fenómeno económico, concretamente de dos, por su mayor simplicidad en la notación. El caso n-dimensional no es más que una extensión o generalización directa del mismo. Consideremos un funcional de la forma: , y nos planteamos el problema de hallar una función u estacionaria que asigne un valor estacionario a esta integral doble, con u:   , siendo   2. Supondremos, de nuevo, que la función u es un mínimo de A, con u  C1 () tal que u(x,y) = uD(x,y) en . Definiendo, para , por lo que  es un dominio finito del plano. Entonces: , obtenemos: , de modo que en t = 0 se tiene: .     dy·dx u,u,u,y,xLuA yx        dxdy tvu,tvu,tvu,y,xLtvuAtF yyxx        xyyxxuyyxxu ' v tvu,tvu,tvu,y,xLv tvu,tvu,tvu,y,xLtF x   dxdy v tvu,tvu,tvu,y,xL yyyxxuy           xyxuyxu ' u vu,u,u,y,xLv u,u,u,y,xL0FvJδ0 x   dxdy v u,u,y,xL yyxux  Usando el teorema de la divergencia deducimos que: , para toda . Finalmente, una extensión a dos dimensiones nos permite obtener la ecuación de Euler-Lagrange-Poisson correspondiente para una extremal, a saber: , que es una EDP de segundo orden a la que tiene que satisfacer la función u, y que resulta análoga a la de Euler-Lagrange-Poisson en el caso de la integral simple y de una sola variable independiente. Desarrollándola, resulta: , que es una ecuación lineal en las derivadas segundas r, s, y t pero, en general, no en las primeras. Se trata de una ecuación del tipo Monge, llamada, también, “quasi-lineal”. Puede integrarse esta ecuación buscando una “integral primera o intermedia” de ella, es decir, una ecuación de primer orden como la que sigue: (x,y,z,ux,uy) = 0. Para la integral doble: , las condiciones naturales sobre el contorno son: , siendo s la longitud del referido contorno. El problema, en fin, puede generalizarse al espacio afín tridimensional euclídeo, con u(x,y,z):   , siendo   3. Entonces, con tres variables, se tiene la integral triple: , o bien extendida al espacio n-dimensional; con   n, u(x1, x2, …, xn) y: .                   0vdxdy u,u,y,xL y u,u,u,y,xL x u,u,u,y,xL yxuyxuyxu yx   1 0Cv       0u,u,y,xL y u,u,u,y,xL x u,u,u,y,xL yxuyxuyxu yx        0LLLuLuLtLsL2rL uyuxuyuuxuuuuuu yxyx 2 yyx 2 x       dy·dx u,u,u,y,xLuA yx 0 ds dx 'L ds dy 'L yx 'u'u       dzdydxu,u,u,u,z,y,xLuA zyx         i n 1i xxxn21 dxu,...,u,u,u,x,...,x,xL.....uA n21 n