Demostración: Para el enunciado dado, la propiedad P(n) es la ecuación 1 + 2 + 22 + · · · + 2n = 2n+1 − 1. ← P(n) Demostración de que P(0) es verda...

Demostración: Para el enunciado dado, la propiedad P(n) es la ecuación 1 + 2 + 22 + · · · + 2n = 2n+1 − 1. ← P(n) Demostración de que P(0) es verdadera: El lado izquierdo de P(0) es 1 y el lado derecho es 20 1 ฀ 1 2 ฀ 1 1. Así P(0) es verdadera. Demostración de que para todos los enteros k 0, si P(k) es verdadera entonces P(k 1) es verdadera: Aceptemos que k sea cualquier entero con k 0 y supongamos que P(k) es verdadera. Es decir, suponemos que: 1 2 22 2k 2k 1 ฀ 1. P(k) hipótesis inductiva Debemos demostrar que P(k 1) es verdadera. Es decir, debemos demostrar que 1 + 2 + 22 + · · · + 2k+1 = 2(k+1)+1 − 1, o equivalentemente 1 + 2 + 22 + · · · + 2k+1 = 2k+2 − 1. ← P(k + 1) Pero el lado izquierdo de P(k 1) es 1 2 22 2k 1 1 2 22 2k 2k 1 haciendo explícito el penúltimo término (2k 1 ฀ 1) 2k 1 sustituyendo la hipótesis inductiva 2 2k 1 ฀ 1 combinando términos semejantes 2k 2 ฀ 1, por las leyes de los exponentes, y esto es el lado derecho de P(k 1). Así que la propiedad es verdadera para n k 1. [Como el paso básico y el paso inductivo se han demostrado, entonces P(n) es verdadero para todos los enteros n 0.]

a. 12 + 22 + 32 + · · · + n2
b. n(n + 1)(2n + 1)
c. 6