Demostración: Para el enunciado dado, la propiedad P(n) es la ecuación n−1 ∑ i=1 i(i + 1) = n(n − 1)(n + 1) 3. ← P(n) Demostración de que P(2) es verdadero: El lado izquierdo de P(2) es ∑1 i=1 i(i+1) =1·(1+1)=2 y también el lado derecho es 2(2−1)(2+1) 3 = 6 3 = 2. Así P(2) es verdadero. Demostración de que para todos los enteros k 2, si P(k) es verdadero entonces P(k 1) también es verdadero: Sea k un entero arbitrario con k 2 y suponga que P(k) es verdadera. Es decir, acepte que k฀1 i 1 i(i 1) k(k ฀ 1)(k 1) 3 P(k) hipótesis de inducción Debemos demostrar que P(k 1) es verdadera. Es decir, debemos demostrar que (k+1)−1 ∑ i=1 i(i + 1) = (k + 1)((k + 1) − 1)((k + 1) + 1) 3 , o, equivalentemente, k ∑ i=1 i(i + 1) = (k + 1)k(k + 2) 3. ← P(k + 1) Pero el lado izquierdo de P(k 1) es k i 1 i(i 1) k฀1 i 1 i(i 1) k(k 1) escribiendo por separado el último término k(k ฀ 1)(k 1) 3 k(k 1) sustituyendo la hipótesis de inducción k(k ฀ 1)(k 1) 3 3k(k 1) 3 ya que 3 3 1 k(k ฀ 1)(k 1) 3k(k 1) 3 por suma de fracciones k(k 1)[(k ฀ 1) 3] 3 factorizando k(k 1) k(k 1)(k 2) 3 , por álgebra, y esto es el lado derecho de P(k 1). Entonces P(k 1) es verdadero. [Como los pasos básico e inductivo han sido demostrados, entonces P(n) es verdadero para todos los enteros n 0.]