Demostración: Para el enunciado dado, la propiedad P(n) es la ecuación 2 + 4 + 6 + · · · + 2n = n2 + n. ← P(n) Demostración de que P(1) es verdadera: Para demostrar P(1), debemos demostrar que cuando se sustituye 1 en la ecuación en el lugar de n, el lado izquierdo es igual al lado derecho. Pero cuando 1 es sustituido para n, el lado izquierdo es la suma de todos los enteros pares de 2 a 2 1, que es justamente 2 y el lado derecho es 12 1, que también es igual a 2. Así P(1) es verdadera. Demostración que para todos los enteros k 1, si P(k) es verdadera entonces P(k 1) también es verdadera: Aceptemos que k es cualquier entero con k 1 y supongamos que P(k) es verdadera. Es decir, suponemos que k(k 1)(2k 1) 6 . P(k) hipótesis de inducción Debemos demostrar que P(k 1) es verdadera. Es decir, debemos demostrar que 2 + 4 + 6 + · · · + 2(k + 1) = (k + 1)2 + (k + 1). Porque (k + 1)2 + (k + 1) = k2 + 2k + 1 + k + 1 = k2 + 3k + 2, esto es equivalente a demostrar que 2 + 4 + 6 + · · · + 2(k + 1) = k2 + 3k + 2. ← P(k + 1) P(k 1) es 2 4 6 2(k 1) 2 4 6 2k 2(k 1) haciendo explícito el penúltimo término (k2 k) 2(k 1) sustituyendo la hipótesis inductiva k2 3k 2, por álgebra, y este es el lado derecho de P(k 1). Entonces P(k 1) es verdadera. [Como el paso básico y el paso inductivo han sido demostrados, P(n) es verdadero para todos los enteros n 1.]

a. el entero impar justo antes de 2k 1 es 2k ฀ 1.
b. hipótesis inductiva.