La fórmula que acabamos de obtener permitiría en principio, encontrar un conjunto infinito de raíces al variar ???? en el conjunto de números enteros...

La fórmula que acabamos de obtener permitiría en principio, encontrar un conjunto infinito de raíces al variar ???? en el conjunto de números enteros, sin embargo, se puede demostrar que sólo se pueden obtener ???? raíces diferentes; si continuáramos con el proceso, entraríamos en un ciclo infinito de repetición de las ???? raíces iniciales. Por convención, para obtener las ???? raíces, se asignan a ????, los ???? valores consecutivos: ???? = 0,1,… , ???? − 1. Así entonces, podemos concluir que la fórmula para encontrar las raíces ????-ésimas de ???? es: 43 √???? ???? = √????(cos ???? + ???? sen ????) ???? = √???? ???? (cos ( ???? + 2???????? ???? ) + ???? sen ( ???? + 2???????? ???? )) , ???? = 0, …???? − 1 En el caso particular en que ???? = 2 (raíces cuadradas), la fórmula anterior queda de la siguiente manera, √???? = √????(cos ???? + ???? sen ????) = √???? (cos ( ???? + 2???????? 2 ) + ???? sen ( ???? + 2???????? 2 )) , ???? = 0,1 Desarrollando cada raíz, para ???? = 0, ????1 = √???? (cos ???? 2 + ???? sen ???? 2) y para ???? = 1, ????2 = √???? (cos ( ???? + 2???? 2) + ???? sen ( ???? + 2???? 2)) = √???? (cos ( ???? 2 + ????) + ???? sen ( ???? 2 + ????)) Pero, cos ( ???? 2 + ????) = (cos ???? 2) cos ???? − (sen ???? 2) sen???? = −cos ???? 2 sen ( ???? 2 + ????) = (sen ???? 2) cos ???? + (cos ???? 2) sen???? = −sen ???? 2 Sustituyendo en ????2, ????2 = √???? (−cos ???? 2 − ???? sen ???? 2) = −????1 Es decir, las raíces cuadradas difieren por un signo y se pueden describir mediante la expresión, √???? = √????(cos ???? + ???? sen ????) =± √???? (cos ???? 2 + ???? sen ???? 2) Esta fórmula describe la semejanza que existe entre el cálculo de raíces complejas con el cálculo de raíces reales, en el sentido de que existen dos raíces cuadradas que difieren solamente por un signo. La diferencia es que en el caso complejo sí podemos calcular las raíces cuadradas de números negativos también. Veamos estos casos particulares. Si ???? es un número real positivo ???? = ???? + 0????, ???? > 0, entonces ???? = ????(cos 0 + ???? sen 0), entonces 44 √???? = ±√???? (cos 0 2 + ???? sen 0 2) = ±√???? La fórmula coincide con la usual, de raíces cuadradas reales positivas. Si ???? es un número real negativo ???? = ???? + 0????, ???? < 0, entonces ???? = |????|(cos ???? + ???? sen????) (aquí |????| denota el valor absoluto del número real ????). En este caso, √???? = ±√|????| (cos ???? 2 + ???? sen ???? 2) = ±√|????| ???? es decir, las raíces cuadradas de los números reales negativos son dos números imaginarios puros, conjugados entre sí, 0 ± √|????| ????. Al ser complejos, no existían en el campo de números reales. Ejemplo 1.7 Calculemos raíces cuadradas complejas de números positivos y negativos directamente, aplicando las deducciones anteriores, por ejemplo: √9 = ±3 y √−16 = ±4 ???? Ejemplo 1.8 Calculemos las raíces cúbicas complejas del número real 8 + 0????. √8 + 0???? 3 = √8(cos 0 + ???? sen 0) 3 = √8 3 (cos ( 0 + 2???????? 3 ) + ???? sen ( 0 + 2???????? 3 )) , ???? = 0,1,2 para ???? = 0, ????1 = 2(cos 0 + ???? sen 0) = 2 para ???? = 1, ????2 = 2(cos ( 0 + 2???? 3) + ???? sen ( 0 + 2???? 3)) = 2(cos 2???? 3 + ???? sen 2???? 3) = −1.0 + 1. 7321 ???? para ???? = 2, ????3 = 2(cos ( 0 + 4???? 3) + ???? sen ( 0 + 4???? 3)) = 2(cos 4???? 3 + ???? sen 4???? 3) = −1.0 − 1. 7321 ???? Hemos obtenido como raíz cúbica de 8, el número 2, que ya conocíamos de antes, las otras dos raíces, son complejas conjugadas una de la otra. Esto ocurre siempre cuando calculamos las raíces n-ésimas de números reales: se presentan en parejas de conjugados complejos. Si las dibujamos en el plano complejo observamos que se localizan en los vértices de un 45 triángulo equilátero inscrito en una circunferencia centrada en el origen de radio 2, que es la magnitud de las raíces (Fig. 1.15). Las raíces complejas son simétricas con respecto al eje ????. Figura 1.15 Representación geométrica de las raíces cúbicas de 8 + 0????. Ejemplo 1.9 Calculemos las raíces cúbicas de 1 + ????. √1 + ???? 3 = √√2 (cos ???? 4 + ???? sen ???? 4) 3 = √2 6 (cos( ???? 4 + 2???????? 3) + ???? sen( ???? 4 + 2???????? 3)) , ???? = 0,1,2 para ???? = 0, ????1 = √2 6 (cos ???? 12 + ???? sen ???? 12) = 1. 0842 − 0.29051 ???? para ???? = 1, 46 ????2 = √2 6 (cos ( ????/4 + 2???? 3) + ???? sen ( ????/4 + 2???? 3)) = √2 6 (cos 9???? 12 + ???? sen 9???? 12) = −0.7937 − 0.7937 ???? para ???? = 2, ????3 = √2 6 (cos ( ????/+4???? 3) + ???? sen ( ????/4 + 4???? 3)) = √2 6 (cos 17???? 12 + ???? sen 17???? 12) = −0.29051 + 1. 0842 ???? Observa en este ejemplo que las tres raíces son complejas y distintas entre sí, es decir, en este caso no se presentan en parejas de conjugados complejos.