(2???? + 1)! ∞ ????=0 =∑ (????)2????(????)2???? (2????)! ∞ ????=0 +∑ (????)2????????(????)2????+1 (2???? + 1)! ∞ ????=0 pero como: ????⁰ = 1, ????² = −1, ????⁴ = 1, ????⁶ = −1,… , (????)2...

(2???? + 1)! ∞ ????=0 =∑ (????)2????(????)2???? (2????)! ∞ ????=0 +∑ (????)2????????(????)2????+1 (2???? + 1)! ∞ ????=0 pero como: ????⁰ = 1, ????² = −1, ????⁴ = 1, ????⁶ = −1,… , (????)2???? = (−1)???? entonces ???????????? =∑ (−1)????(????)2???? (2????)! ∞ ????=0 + ????∑ (−1)????(????)2????+1 (2???? + 1)! ∞ ????=0 = cos ???? + ???? sen ???? Entonces, si ???? = ???? + ???????? y queremos que se cumpla la propiedad (iii), ???????? = ????????+???????? = ???????????????????? = ????????(cos ???? + ???? sen ????) 88 Esta función satisface incluso la propiedad (ii) como se puede ver en el ejemplo 2.22. Por tanto, definimos la función exponencial compleja como la función que asigna a cada ???? = ???? + ???????? ∈ ℂ el número complejo ???????? = ????????(cos ???? + ???? sen ????) A veces, se designa con la expresión exp(????). La función exponencial satisface además las siguientes propiedades: Propiedades de la función exponencial Sean ????, ???? ∈ ℤ, ???? ≠ 0, entonces Ex1: ???????????? = cos ???? + ???? sen ???? Ex2: ???????? = ???????????????????? Ex3: ????−???? = 1 ???????? Ex4: ???? ?̅? = ????????̅̅ ̅ Ex5: |????????|=????Re ???? Ex6: (????????)????=???????????? Ex7: (????????) 1 ????=???? 1 ???? (????+????2????????) Ex8: (????????) ???? ????=???? ???? ???? (????+????2????????) Ex9: ????????1+????2=????????1????????2 Ex10: ???? ???????? (????????) = ???????? Ex11: ???????? es periódica. Cualquier periodo de ???????? tiene la forma 2????????????, ???? ∈ ℤ. s ???? + 2???????? ???? + ???? sen ???? + 2???????? ???? ) , ???? = 0,1,… , ???? − 1 = ???? ???? ???? +???? ????+2???????? ???? = ???? ????+????????+2???????? ???? = ???? 1 ???? (????+2????????????) , ???? = 0,1, … , ???? − 1 90 Demostración de Ex8: Ya que (????????) ???? ???? = ((????????) 1 ????) ???? , aplicando la propiedad anterior, (????????) ???? ???? = ((????????) 1 ????) ???? = (???? 1 ???? (????+2????????????) ) ???? = ???? ???? ???? (????+2????????????) , ???? = 0,1, … , ???? − 1 Demostración de Ex9: Sean ????1 = ????1 + ????????1 y ????2 = ????2 + ????????2 entonces: ????????1????????2 = ????????1+????????1????????2+????????2 = ????????1 (cos ????1 + ???? sen ????1)???? ????2 (cos ????2 + ???? sen????2) = ???? ????1???? ????2 cos(????1 + ????2) + ???? sen(????1 + ????2)) = ???? (????1+????2)+????(????1+????2) = ????(????1+????2) Demostración de Ex10: Este cálculo se realizó en el ejemplo 2.22. Demostración de Ex11: Recordemos que una función es periódica si existe un número ???? ∈ ℂ tal que ????(???? + ????) = ????(????), para todo ???? ∈ ℂ. Supongamos que ????????+???? = ????????, para todo ???? ∈ ℂ en particular si ???? = 0: ???????? = 1 y si ???? = ???? + ????????, |????????| = 1 ⇒ ???????? = 1 ⇒ ???? = 0 ⇒ ???? = ???????? Así, ???????????? = 1 ⇒ cos ???? + ???? sen ???? = 1 ⇒ cos ???? = 1 y sen ???? = 0 ⇒ ???? = 2????????, para algún ???? ∈ ℤ. En conclusión, ???? = ???? + ???????? = 0 + 2????????????. Observa que si ???? se expresa en forma polar como ???? = ????(cos ???? + ???? sin ????), para ???? > 0, podemos escribir 91 ???? = ???????????????? y, ????̅ = ????????−???????? También, si ????1 = ????1???? ????????1 , ????2 = ????2???? ????????2, ????1????2 = ????1????2???? ????????1????????????2 = ????1????2???? ????(????1+????2) y si ????₂ ≠ 0, ????1 ????2 = ????1 ????2 ????????(????1−????2) A continuación, analicemos como es la transformación de ℂ en ℂ de la función exponencial. A cada punto ???? = ???? + ????????, le asigna el punto ???????? = ????????(cos ???? + ???? sen ????) que en realidad es la forma trigonométrica de un número complejo con módulo ???????? y argumento ????. Entonces, podemos visualizar la transformación de ℂ en ℂ que asignando a cada número complejo dado en forma de par ordenado ???? = (????, ????), el número de módulo ???????? y argumento ???? (ver Fig. 3.1) si ???? = Arg ???? entonces, el punto (????, ????) se encuentra en la franja horizontal que va de (−????, ????]. Así, cada franja en el dominio de la función se proyecta en los mismos puntos Figura 3.1 Transformación del plano complejo mediante la función exponencial. 92 Preguntas 1. ¿Cómo se define la función exponencial? 2. ¿Cuál es su derivada? 3. ¿Cuál es la interpretación geométrica de la transformación exponencial en el plano complejo? 4. ¿Cuáles son las propiedades de la función exponencial? Ejercicios 1. Demuestra que exp ???? = exp ????̅. Expresa las siguientes funciones en la forma ????(????) = ????(????, ????) + ????????(????, ????), donde ???? y ???? son funciones reales. 2.