Las soluciones (6.8) que hemos obtenido son impares, X(−x) = −X(x), por la condición de contorno X(0) = 0, que elimina las soluciones de tipo cose...

Las soluciones (6.8) que hemos obtenido son impares, X(−x) = −X(x), por la condición de contorno X(0) = 0, que elimina las soluciones de tipo coseno. Otro tipo de condiciones de contorno, como las condiciones periódicas X(x0) = X(x0 + ℓ), tienen en cuenta ambas soluciones: seno y coseno. Es más, la condición sen(kx) = sen(k(x + ℓ)) o cos(kx) = cos(k(x+ ℓ)), se cumple ahora para kn = 2πℓn, n = 0, 1, 2, . . . [Nótese el factor 2 de diferencia respecto a (6.7)]. Una solución arbitraria X(x) se podrá escribir como combinación lineal de soluciones de tipo seno y coseno como X(x) = A0 2 + ∞∑n=1 An cos(knx) +Bn sen(knx), (6.9) donde los coeficientes An y Bn se denominan representación de X en el dominio de momentos kn. Dada una función X(x), los coeficientes (“espectrales”) An y Bn pueden determinarse teniendo en cuenta las propiedades de ortogonalidad de cos(knx) y sen(knx) que describimos seguidamente. 6.3.1. Propiedades de ortogonalidad de los senoides Usando las identidades trigonométricas sen a cos b = 1 2 (sen(a+ b) + sen(a− b)), cos a cos b = 1 2 (cos(a + b) + cos(a− b)), sen a sen b = 1 2 (cos(a− b)− cos(a+ b)), ociendo estas propiedades de ortogonalidad para funciones trigonométricas, multiplicando a izquierda y derecha de la igualdad (6.9) por cos(2πmℓx) (respectivamente por sen(2πnℓx)) e integrando término a término la serie (suponiendo que X cumple las condiciones de Dirichlet que se dan en la siguiente sección 6.3.3) obtenemos fácilmente la expresión An = 2ℓ ∫ x0+ℓx0 X(x) cos(knx)dx, Bn = 2ℓ ∫ x0+ℓx0 X(x) sen(knx)dx, n = 1, 2, . . . (6.10) para los coeficientes espectrales An (resp. Bn). Hágase como ejercicio. 1 La elección de x0 no afecta (por ser X periódica) y normalmente se toma x0 = 0. El término: A0 2 = 1 ℓ ∫ x0+ℓx0 X(x)dx no es ni más ni menos que la media de X en un periodo ℓ. Nótese que, mientras que la función coseno es par, cos(−kx) = cos(kx), la función seno es impar, sen(−kx) = − sen(kx). Podemos ahorrarnos pues cálculos innecesarios en la determinación de los coeficientes espectrales (6.10) observando previamente la paridad de la función X , de manera que: 1. Si X(−x) = X(x) (X es par) entonces Bn = 0, n = 1, 2, 3 . . . 2. Si X(−x) = −X(x) (X es impar) entonces An = 0, n = 0, 1, 2, 3 . . . 1Nótese el paralelismo que existe entre las funciones trigonométricas y las bases ortonormales, donde ahora nuestro producto escalar es la integral 〈f, g〉 = ∫ x0+ℓx0 f(x)g(x)dx. 118 Caṕıtulo 6. Método de separación de variables Veamos unos ejemplos. Ejemplo 6.3.1. (Tren de pulsos) Calcula los coeficientes de Fourier (6.10) para el tren de pulsos de la figura 6.1. Solución: Como el periodo es ℓ = 2, tenemos que kn = nπ. Eligiendo por ejemplo x0 = 0 en (6.10) y dado que X(x) = 1 en el intervalo [0, 1[ y X(x) = 0 en el intervalo [1, 2[, tenemos que los coeficientes espectrales son: An = ∫ 10 cos(πnx)dx = [sen(πnx) πn ]t=1 t=0 = sen(πn) πn = 0, n 6= 0, Bn = ∫ 10 sen(πnx)dx = 1− (−1)n πn = { 0, si n = 2m (par) 2 πn , si n = 2m+ 1 (impar) . La primera expresión no está determinada para n = 0, de manera que el coeficiente A0 (la media de X en un periodo) lo calculamos aparte: A0 = 2 ℓ ∫ ℓ0 X(x)dx = ∫ 10 dx = 1. Aśı, la expresión (6.9) para el tren de pulsos queda finalmente como: X(x) = 1 2 + ∞∑m=1 2 π(2m+ 1) sen((2m+ 1)πx). Nótese que los coeficientes Bn decrecen con n de la forma Bn ∼ 1 n , de manera que las funciones propias con n grande contribuyen cada vez menos a la serie de Fourier. Este tipo de comportamiento 1 n es t́ıpico de los desarrollos de Fourier funciones continuas a trozos, como es el tren de pulsos. En la práctica, algunas veces no es necesario considerar los infinitos términos de la serie (6.9), ya que los primeros términos (primeros armónicos) retienen ya una información considerable sobre la función X , como puede comprobarse en la figura 6.2, donde se compara el tren de pulsos con su desarrollo de Fourier hasta orden N = 1, 3, 5 y 7. -2-1 1 2 1 -2-1 1 2 1 -2-1 1 2 1 -2-1 1 2 1 Figura 6.2: Aproximaciones de Fourier de ordenes N = 1, 3, 5 y 7 al tren de pulsos Ejemplo 6.3.2. (Diente de sierra) Calcula la serie de Fourier de la función “diente de sierra” (véase figura 6.3), que surge como extensión periódica de periodo ℓ = 1 del trozo de recta X(x) = x en el intervalo [0, 1[. 6.3. Series de Fourier 119 ✻ ✲ ........... ........... 1 1 t f(t) ✲extensión periódica ✻ ✲ ........... ........... ........... fp(t) t1-1 2-2 00 Figura 6.3: Diente de sierra Solución: Como el periodo es ℓ = 1, tenemos que kn = 2πn. Eligiendo por ejemplo x0 = 0 en (6.10) e integrando por partes, tenemos que los coeficientes espectrales son: An = 2 ∫ 10 t cos(2πnx)dx = 0, n 6= 0 Bn = 2 ∫ 10 t sen(2πnx)dx = − 1 πn , La primera expresión no está determinada para n = 0, de manera que el coeficiente A0 (la media de X en un periodo) lo calculamos aparte: A0 = 2 ℓ ∫ ℓ0 X(x)dx = ∫ 10 xdx = 1 2 . Aśı, la expresión (6.9) para el diente de sierra queda finalmente como: X(x) = 1 2 − ∞∑n=1 1 πn sen(2πnx). Véase la figura 6.4, donde se compara el diente de sierra con su desarrollo de Fourier X(x) = 1 2 − N∑n=1 1 πn sen(2πnx) (6.11) hasta orden N = 1, 3 y 5. Figura 6.4: Aproximaciones de Fourier de ordenes N = 1, 3 y 5 al diente de sierra Nótese otra vez que los coeficientes Bn decrecen con n de la forma Bn ∼ 1 n , comportamiento t́ıpico, como hemos dicho antes, de los desarrollos de funciones continuas a trozos. Daremos un teorema que especifica el tipo de comportamiento de los coeficientes de Fourier para distintos tipos de funciones: Teorema 6.3.3. Dada una función f(x) que verifica las condiciones de Dirichlet (véase después) en un intervalo [x0, x0 + ℓ], los coeficientes de Fourier (6.10) tienen un compor- tamiento asintótico de la forma: 1. Si f(x) es continua a trozos, entonces: An, Bn