Sol. (Ej. 349) — La respuesta a la segunda pregunta supone una respuesta afirmativa a la primera. Vamos pues a responderla.
La ley de los grandes números supone que la proporción de caras en n lanzamientos converge en probabilidad a p, que valdrá 1/2 o 3/4 según la moneda elegida. Es decir, para ε > 0
P
(
∣∣∣∣Sn
n−p
∣∣∣∣ ≤ ε
)
−→ 1.
Podemos acotar inferiormente la probabilidad haciendo uso de la des- igualdad de Tchebishev,
P
(
∣∣∣∣Sn
n−p
∣∣∣∣ ≤ ε
)
≥ 1− var(Sn/n)
ε2
.
Como queremos que P
(
∣∣Sn
n − p
∣∣ ≤ ε
)
≥ 0.95 tendremos
1− var(Sn/n)
ε2
≥ 0.95 −→ n ≥ 20p(1− p)
ε2
.
Queda por decidir el valor de ε, que habrá de elegirse para poder distinguir entre los posibles valores de p. Como dichos valores distan entre sí 1/4, ε deberá a lo sumo valer 1/8 con lo que
si p =
1
2
−→ n ≥ 20× 64
4
= 320
si p =
3
4
−→ n ≥ 20× 3× 64
16
= 240.
En definitiva, n ≥ 320 nos permitirá saber la moneda elegida con una probabilidad mayor o igual que 0.95.