Está claro que hay algo en esta lista de números que los hace inusualmente apropiados para la estructura de las plantas. Pero ¿por qué estos números son tan habituales y otros son tan raros? La respuesta empieza con conejos. En 1202, el matemático italiano Leonardo de Pisa escribió un libro de texto de aritmética. Uno de los ejercicios que proponía a sus lectores era un problema sobre la progenie de una pareja de conejos. Analizaré este problema y su respuesta con más detalle en el capítulo 16, cuando echemos un vistazo a las matemáticas del crecimiento de población. Aquí, necesitamos centrarnos solo en la sucesión de números del resultado, la cual enumera cuántas parejas de conejos hay en épocas de cría sucesivas: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 y así sucesivamente. La regla para formar estos números tras los dos primeros 1, los cuales tomamos como punto de partida, es que cada número se obtiene sumando los dos anteriores: 2 = 1 + 1, 3 = 1 + 2, 5 = 2 + 3, 8 = 3 + 5, 13 = 5 + 8, y así sucesivamente. Posteriormente, Leonardo recibió el apodo de Fibonacci y desde entonces, 1877, cuando el matemático y divulgador francés Édouard Lucas escribió sobre esta sucesión, sus elementos se conocen como los números de Fibonacci. Parafraseando a J.B.S. Haldane, el reino vegetal parece tener una afición extraordinaria por los números de Fibonacci. La asociación de Leonardo de esta sucesión con la progenie de los conejos, aunque a primera vista biológica, es completamente irrelevante al número de pétalos y la filotaxis. De hecho sus suposiciones eran tan artificiales que ni siquiera son tampoco muy relevantes para los conejos. Pero una característica matemática de la respuesta es claramente relevante: las fracciones formadas por números consecutivos de Fibonacci. Si escribimos estas fracciones como decimales, nos encontramos con lo siguiente: A medida que estos números crecen, las fracciones se van acercando más y más a un valor concreto, el cual, si lo escribimos con seis cifras decimales, es 1,618034. De hecho, es exactamente igual a (1 + √5)/2 y, normalmente, se denota con el símbolo φ (la letra griega phi). Este número es irracional; lo que quiere decir que no puede escribirse como la razón de dos enteros, ninguna fracción es exactamente igual a él. De hecho, fue uno de los primeros números irracionales que se descubrieron, después de la raíz cuadrada de dos, y fue descubierto en la Grecia clásica en el contexto de la geometría de pentágonos. Las fracciones que aparecen en la filotaxis son también razones de los números de Fibonacci, pero en lugar de usar elementos consecutivos de la sucesión, el numerador (la parte de arriba) y el denominador (la parte de abajo) distan dos posiciones. Además, el número más grande es el denominador, no el numerador. Un caso típico es 5/13, construido a partir de la parte de la sucesión de Fibonacci: 5, 8, 13. Unas cuantas de las primeras fracciones de este tipo son: De nuevo vemos un patrón: las fracciones se aproximan más y más a un número concreto, esta vez 0,381966. Este número está estrechamente relacionado con φ. De hecho, con un poco de álgebra sencilla vemos que el valor exacto es 2 – φ. Las propiedades especiales del número áureo φ nos proporcionan una interpretación alternativa. Supongamos que dividimos una circunferencia (360º) en dos arcos que están en proporción áurea. Es decir, el ángulo que forma el arco mayor es φ veces el ángulo determinado por el arco pequeño. Entonces, el arco pequeño es 1/(1 + φ) veces la circunferencia. Numéricamente, esta expresión es 0,381966, el número que obtuvimos antes. Un poco más de álgebra nos confirma que esta relación es exacta. Numéricamente, este ángulo es casi 137,5º, y se conoce como el ángulo áureo. Lo que resulta de todo esto es que podemos interpretar las fracciones observadas en la filotaxis como aproximaciones al ángulo áureo. Todo esto está muy bien, pero hasta aquí tan solo hemos reemplazado un acertijo matemático por otros dos. La aparición de los números de Fibonacci en flores ahora parece depender de un ángulo especial y una sucesión de aproximaciones relacionadas en forma de fracciones. ¿Por qué este ángulo y por qué estas fracciones? Las fracciones son la parte más fácil, pueden interpretarse como la caracterización matemática de la mejor aproximación fraccionaria al ángulo áureo para un denominador dado. No solo en el sentido de que, por ejemplo, 3/8 es una aproximación mejor que 2/8 o 4/8, sino que si observas las fracciones con denominadores mayores, la primera vez que obtienes una aproximación mejor al ángulo áureo es cuando llegas a 5/13. Después de eso, la siguiente mejor llega con 8/21, y así sucesivamente. El concepto de las matemáticas clásicas conocido como «fracciones continuas» establece esta relación entre el ángulo áureo y las fracciones de la filotaxis. De modo que la clave del misterio está en entender por qué aparece el ángulo áureo. Si podemos hacer eso, el papel de las fracciones le seguiría. El siguiente paso para solucionar el enigma de la filotaxis fue biológico, en concreto, echándole un vistazo a cómo los brotes de una planta que está creciendo