Los matemáticos se han basado en las ideas de Turing. Su modelo específico y la teoría biológica de la formación de patrones que motivó resultan se...

Los matemáticos se han basado en las ideas de Turing. Su modelo específico y la teoría biológica de la formación de patrones que motivó resultan ser demasiado simples para explicar muchos detalles de las manchas de los animales, pero recoge muchas características importantes en un contexto simple e indica el camino hacia modelos que son realistas biológicamente (véase la figura 53).

FIGURA 53. A la izquierda: pez cofre. A la derecha: patrón de Turing calculado.

Todo empezó a principios de los cincuenta en el siglo XX, cuando a Turing comenzaba a intrigarle la geometría de la forma de las manchas de los animales: las rayas en tigres y cebras, los lunares en leopardos, las manchas en las vacas frisonas. Aunque estos diseños no muestran la regularidad exacta que la gente con frecuencia espera de las matemáticas, tienen una «sensación» matemática clara. Ahora sabemos que las matemáticas de la formación de patrones pueden generar patrones irregulares del mismo modo que generan patrones regulares, de modo que las irregularidades no son una prueba de que los modelos matemáticos para los patrones de los animales están mal.

Turing presentó su teoría de formación de patrones en un célebre artículo titulado «The chemical basis of morphogenesis» («Las bases químicas de la morfogénesis») publicado en 1952.1 Turing modelizó la formación de las manchas en los animales como un proceso que se fijaba en un «pre-patrón» en el desarrollo embrionario. A medida que el embrión crece, este pre-patrón pasa a expresarse como un patrón de pigmentos y proteínas. De modo que se concentró en hacer el modelo para ese pre-patrón. Su modelo tiene dos ingredientes principales: reacción y difusión. Turing imaginó algunos sistemas de sustancias químicas, que llamó morfógenos, «generadores de forma». En cualquier punto dado de la parte del embrión que finalmente se convierte en piel, de hecho, en la superficie del embrión, estos morfógenos reaccionan juntos para crear otras moléculas químicas. Las sustancias químicas y los resultados de la reacción también pueden difundirse, moviéndose por toda la piel en cualquier dirección.

Las reacciones químicas requieren ecuaciones no lineales, unas en las que, por ejemplo, el doble del dato de entrada no dé el doble del dato de salida. La difusión puede modelizarse bastante bien con ecuaciones lineales más simples:

el doble de algo de cualquier molécula difundiéndose desde un punto dado da el doble de eso en todas partes. El resultado más importante que surgió a partir de las ecuaciones de «reacción-difusión» de Turing es que no-linealidad local más difusión global crea asombrosos y, con frecuencia, complejos patrones (véase la figura 54). Muchas ecuaciones parecidas pueden producir patrones, no solo las específicas que propuso Turing. Lo que las distingue es qué patrones se dan bajo ciertas circunstancias.

FIGURA 54. Arriba: patrones de Turing regulares. Debajo: patrones de Turing menos regulares.

Hans Meinhardt, en el Instituto de Biología del Desarrollo Max Planck en Tubinga, ha hecho amplios estudios de muchas variantes de las ecuaciones de Turing. En su bello libro The Algorithmic Beauty of Seashells (La belleza algorítmica de las conchas marinas), examina muchos tipos de mecanismos químicos, mostrando que determinados tipos de reacciones conducen a determinados tipos de patrones. Por ejemplo, algunas de las sustancias químicas inhiben la producción de otras, y otras activan la producción. Combinaciones de patrones de este tipo pueden surgir a partir de ecuaciones como las de Turing. Estos patrones son fractales, un tipo de estructura geométrica compleja popularizada por el matemático franco-americano Benoît Mandelbrot cuando trabajaba en Yale en la década de los sesenta del siglo XX. Los fractales están muy asociados con el caos, un comportamiento irregular en un sistema matemático determinista. De manera que la concha de cono combina características matemáticas de orden y caos en un patrón.

FIGURA 55. Patrón de una concha con forma de cono.

El matemático escocés James Murray de las Universidades de Washington y Oxford ha aplicado las ideas de Turing, modificándolas adecuadamente y extendiéndolas para las manchas de grandes felinos, jirafas, cebras y animales relacionados.2 Aquí los dos patrones clásicos son rayas (tigre, cebra) y lunares (guepardo, leopardo). Ambos patrones se crean mediante una estructura con el aspecto de una onda en la química. Ondas largas y paralelas producen rayas. Un segundo sistema de ondas, en ángulo con el primero, puede provocar que las rayas se rompan en una serie de lunares. Matemáticamente, las rayas se convierten en lunares cuando el patrón de ondas paralelas se hace inestable. Proseguir con este tema llevó a Murray a un interesante teorema: un animal moteado puede tener una cola rayada, pero un animal rayado no puede tener una cola moteada. El pequeño diámetro de la cola deja menos espacio a las rayas para hacerse inestables, mientras que esta inestabilidad es más probable en cuerpos de diámetros mayores.

En 1995, el científico japonés Shigeru Kondo, del Centro para la Biología Molecular y la Genética de la Universidad de Kioto, y Rihito Asai, del Laboratorio Biológico Marino de Seto de la Universidad de Kioto, usaron las ecuaciones de Turing para hacer un asombroso descubrimiento sobre el colorido pez ángel emperador tropical, Pomacanthus imperator. A lo largo de dos tercios de su cuerpo corren rayas paralelas amarillas y moradas. Las rayas son un patrón arquetípico de Turing, pero hay una dificultad técnica aparente. En este caso en particular, las matemáticas de los patrones de Turing hacen una predicción sorprendente: las rayas del pez ángel tienen que moverse. Patrones fijos estables no son consistentes con el formalismo matemático.

¿Rayas móviles? Parece extraño. Sin embargo, Kondo y Asai decidieron mantener su mente abierta. Quizá las rayas del pez ángel se moviesen. Para averiguarlo, fotografiaron especímenes del pez ángel en períodos de varios meses. Descubrieron que las rayas, de hecho, sí migran por su superficie (véase