Resumen I3

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemáticas
Departamento de Matemática
Cálculo II (mat1620)
Apuntes para Interrogación 3
Por Sebastián Soto R. (spsoto@uc.cl)
Índice
1. Aplicaciones de la integral 4
1.1. Áreas entre curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Volúmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1. Volúmenes de rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Momentos y centros de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1. Sistema de part́ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2. Caso lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.3. Caso de una placa de densidad constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.4. Para volúmenes de revolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Coordenadas parámetricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5.1. Área en polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.2. Volúmenes de revolución en polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6. Longitud de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6.1. Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6.2. Coordenadas paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6.3. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7. Integrales de ĺınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7.1. Coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7.2. Coordenadas paramétricas y polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.8. Superficies de revolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.8.1. En torno al eje x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.8.2. En torno al eje y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8.3. Caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1
2. Integrales impropias 17
2.1. Integrales impropias de tipo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2. Integrales impropias de tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3. Estrategias para determinar la convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3. Series 21
3.1. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3. Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3.1. Test de divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3.2. Comparación con sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3.3. Convergencia absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3.4. Convergencia condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3.5. Series alternantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3.6. Criterio de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.7. Criterio del cuociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3.8. Criterio de la ráız . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.9. Criterios de Abel y Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.10. Test-M de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.11. Estrategias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4.1. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4.2. Derivación de series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4.3. Integración de series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4.4. Convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4.5. Productos de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4.6. Composición de series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4.7. Inverso multiplicativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4.8. Teorema de Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2
3.4.9. Serie binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4.10. Fórmulas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5. Series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5.1. Serie y polinomio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5.2. Resto de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4. Vectores y geometŕıa en R3 42
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2. Operaciones lineales en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3. Producto escalar y norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4. Rectas en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.5. Planos en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.6. Producto cruz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.6.1. Producto mixto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.7. Combinaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.8. Conjuntos equidistantes en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.9. Intersección de planos y rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.10. Distancias a puntos y rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5. Curvas en Rn 56
5.1. Diferenciación e integración en vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2. Longitud de curva y arcoparámetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3. Propiedades geométricas de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3
1. Aplicaciones de la integral
1.1. Áreas entre curvas
Sean f(x) y g(x) funciones reales e integrables y consideremos que A es el aŕea comprendida entre
ambas curvas en el intervalo [a, b]. Supongamos a priori que f(x) ≥ g(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b].
Por lo tanto, se puede considerar la partición P = {I1, . . . , In} para una función h(x) de modo que:
ˆ b
a
h(x)dx = A
Intuitivamente, la suma de Riemann correspondeŕıa a:
n∑
i=1
[f(ci)− g(ci)] ∆xi ci ∈ In
Por lo tanto, se tiene que:
ˆ b
a
h(x)dx = ĺım
n→∞
n∑
i=1
[f(ci)− g(ci)] ∆xi
El término de la derecha se identifica con otra integral ya conocida, concluyendo que para este caso:
ˆ b
a
h(x)dx =
ˆ b
a
[f(x)− g(x)] dx
Pero en el intervalo [a, b]:
f(x) y g(x) no necesariamente tienen que ser positivas. Sin embargo, esto no altera el razona-
miento de sustracción para considerar el área entre curvas.
f(x)−g(x) � 0. Sin embargo, el área entre curvas tiene que ser necesariamente positiva, por lo
tanto, a modo general, śı se puede considerar la suma de Riemann:
A = ĺım
n→∞
n∑
i=1
|f(ci)− g(ci)|∆xi
El problema se reduce a evaluar el módulo según corresponda.
Sean f(x) y g(x) funciones integrables, se asume el área entre curvas para el intervalo [a, b] como:
ˆ b
a
|f(x)− g(x)| dx
Por lo tanto, se debe dividir el problema para obtener A1, . . . , Ak aŕeas positivas como sea necesario.
4
Observación: Para funciones definidas en términos de y, también se puede hacer la integración
respectiva siguiendo las convenciones del plano cartesiano (a más a la derecha, más positivo). Se sigue
que:
A =
ˆ b
a
|f(y)− g(y)| dy
Considerando que x1 = f(y) y x2 = g(y).
1.2. Volúmenes
Se puede ubicar un sólido en R3 por medio del sistema cartesiano, pero aún aśı darle especial impor-
tancia a los ejes x e y. Un sólido S se puede dividir al “cortarlo” con planos transversales {P1, . . . , Pn}
paralelos al plano Y Z.
Este conjunto de planos determinan una partición P para el eje x. Sea A(ci) el área contenida en el
plano Pi, entonces se puede considerar la suma de Riemann
n∑
i=1
A(ci)∆xi
Al refinar la partición, el valor se aproxima cada vez más al volumen. Es decir,
V = ĺım
n→∞
n∑
i=1
A(ci)∆xi
Tenemos una suma de Riemann, asociada a una integral.
Sea S el sólido contenido en [a, b]. Si la funcion continua A(x) es el área seccional de S en el plano Pi
perpendicular al eje x, entonces el volumen de S corresponde a:
V =
ˆ b
a
A(x)dx
1.2.1. Volúmenes de rotación
En torno al eje x: Una función f(x) puede ser rotada en torno al eje x para formar un volumen. De
la definición anterior, se tiene que el área de sección transversal correspondeŕıa a un ćırculo de radio
f(x). Por lo tanto,
A(x) = πf2(x)
De donde se sigue el volumen del sólido de revolución generado por rotar f(x) en torno al eje x y en
el intervalo [a, b] corresponde a:
5
V =
ˆ b
a
πf2(x)dx
También se puede generalizar el concepto para el volumen entre dos funciones f(x) y g(x). En dicho
caso,
V =
ˆ b
a
π
(
f2(x)− g2(x)
)
dx
En torno al eje y: Para rotar una función monótona creciente en torno al eje y, se pueden considerar
las secciones transversales paralelas al eje x. Es decir,
A(y) = πx2 (considerando que y = f(x))
Además, y = f(x) =⇒ dy = f ′(x)dx. Como el volumen a buscar es:
ˆ f(b)
f(a)
A(y)dy =
ˆ b
a
πx2f ′(x)dx
Por casquetes ciĺındricos: Se puede calcular el volumen de rotación de lo que está bajo la curva f(x)
en torno al eje y por medio de este método.
El sólido generado por la revolución puede ser dividido en casquetes ciĺındricos con altura paralela al
eje y. El área del casquete para un punto x en el intervalo de integración seŕıa:
A(x) = 2πxf(x)
Luego, el volumen del sólido corresponde a la suma de estos casquetes. Es decir,
V =
ˆ b
a
2πxf(x)dx
Para obtener un método de integración análogo al de la rotación en torno al eje y, y que śı es útil para
funciones no inyectivas, se puede tomar:
V1 =
ˆ b
a
2πxf(x)dx
V2 = πb
2 ·máx {f(x) : x ∈ [a, b]} − πa2f(a)
De esta forma, el volumen buscado resulta ser:
V = V2 − V1
6
1.3. Momentos y centros de masa
Definiciones:
Se entiende por centro de masa (o centroide) como aquel punto geométrico de un sistema en el
que se considera como si estuvieran aplicadas en él todas las fuerzas resultantes.
Se entiende por momento como la suma de los productos de cada punto con masa del sistema
por su respectivo vector posición.
1.3.1. Sistema de part́ıculas
Para un sistema de masa con n part́ıculas, se tiene que:
Momento del sistema con respecto al oŕıgen:
M =
n∑
i=1
xi ·mi
Masa total :
m =
n∑
i=1
mi
Centro de masa:
x̄ =
M
m
1.3.2. Caso lineal
Para una ĺınea a lo largo del eje x con densidad lineal de masa ρ(x) se tiene que.
Momento de masa:
M =
ˆ b
a
xρ(x)dx
Masa total :
m =
ˆ b
a
ρ(x)dx
Centro de masa: x̄ =
M
m
.
7
1.3.3. Caso de una placa de densidad constante
Sea una placa determinada por el área bajo la curva f(x) en el intervalo [a, b] y de densidad constante
ρ(x). Entonces,
Momento:
My =
ˆ b
a
ρxf(x)dx ; Mx =
ˆ b
a
ρ
f2(x)
2
dx
Masa total :
m =
ˆ b
a
ρf(x)dx
Centros de masa:
x̄ =
My
m
=
ˆ b
a
ρxf(x)dx
ˆ b
a
ρf(x)dx
=
ˆ b
a
xf(x)dx
ˆ b
a
f(x)dx2
ȳ =
Mx
m
=
ˆ b
a
ρ
f2(x)
2
dx
ˆ b
a
ρf(x)dx
=
ˆ b
a
f2(x)
2
dx
ˆ b
a
f(x)dx
Con esto queda de manifiesto que para el caso de densidad constante el centro de masa no depende
de esta variable.
En general, a densidad de masa constante, el centro de masa del área entre dos curvas f(x) y g(x) se
ubica en:
x̄ =
ˆ b
a
x|f(x)− g(x)|dx
ˆ b
a
|f(x)− g(x)|dx
; ȳ =
ˆ b
a
(
f(x) + g(x)
2
)
|f(x)− g(x)|dx
ˆ b
a
|f(x)− g(x)|dx
1.3.4. Para volúmenes de revolución
En torno al eje x, se tiene que ȳ = z̄ = 0 por la simetŕıa de la figura generada. Para una densidad
variable segun el eje x determinada por la función ρ(x), se tiene que el centro de masa queda
determinado por:
x̄ =
ˆ b
a
πxf2(x)ρ(x)dx
ˆ b
a
πf2(x)ρ(x)dx
8
En torno al eje y se puede hacer el cálculo por medio del método de casquetes ciĺındricos. Por
la simetŕıa del problema, tenemos que x̄ = z̄ = 0. Para el eje y:
ȳ =
ˆ b
a
2πxf(x)ρ · f(x)
2
dx
ˆ b
a
2πxf(x)ρdx
Teorema del centroide de Pappus: (para volúmenes de rotación) Sea P una región del plano que
se encuentra completamente a un lado de una recta l en el plano. Si P es rotado al rededor de l,
entonces el volumen del sólido resultante es:
V = A · d
Donde d es la distancia recorrida por el centroide.
La distancia recorrida suele ser 2πr, donde r es la distancia del punto a la recta. Recordar que para
la recta ax+ by + c = 0, la distancia queda determinada por:
r =
√
(ax̄+ bȳ + c)2
a2 + b2
1.4. Coordenadas parámetricas
Para las curvas que no se pueden expresar fácilmente de la forma y = f(x). Otra forma de representar
a estas curvas es escribiéndolas como la trayectoria de una part́ıcula en el tiempo. Es decir, una
particula queda determinada por las coordenadas (x(t), y(t)).
Si x(t) es monótona, entonces sabemos que el área bajo la curva en los instantes t0 y tf se puede
expresar como:
A =
ˆ x(tf )
x(t0)
ydx

y = y(t)
x = x(t) −→ dx = ẋ(t)dt
Haciendo el cambio de variable:
A =
ˆ tf
t0
y(t)ẋ(t)dt
1.5. Coordenadas polares
Un punto p en el plano puede ser también determinado por el sistema de coordenadas polares, ex-
presándose p = (r, θ). Donde r es la distencia del punto al origen y θ el ángulo del semieje x positivo.
Relacionando coordenadas polares con coordenadas cartesianas:
x = r cos θ r2 = x2 + y2
y = r sin θ tan θ =
y
x
Estas mismas ecuaciones permiten la conversión de un sistema a otro.
9
1.5.1. Área en polares
r en función de θ:
Se puede considerar la región limitada como:
D =
{
(x, y)
x = r cos θ
y = r sin θ
θ1 ≤ θ ≤ θ2
0 ≤ r ≤ r(θ)
}
D = {r, θ : θ1 ≤ θ ≤ θ2 ∧ 0 ≤ r ≤ r(θ)}
Particionando el area en sectores circulares en una partición P, cuando ‖P‖ → 0, se tiene que apro-
ximadamente el sector se asemeja a un triángulo, donde h ≈ r(θi) y la base se asemeja al arco que
comprende, es decir, b ≈ r(θi)∆θi. Por lo tanto, el área aproximada corresponde a:
An =
n∑
i=1
r2(θi)
2
∆θi
Tomando ‖P‖ → 0⇐⇒ n→∞, se tiene que el área exacta corresponde a:
A =
ˆ θ2
θ1
r2(θ)
2
dθ
Bajo el mismo razonamiento, para calcular el área entre dos sectores basta considerar la fórmula:
A =
ˆ θ2
θ1
∣∣f2(θ)− g2(θ)∣∣
2
dθ
θ en función de r:
Considerando el dominio en polares:
D =
{
(r, θ) :
0 ≤ r ≤ R
0 ≤ θ ≤ α(r)
}
La región puede ser particionada en anillos de acuerdo a una partición P. Cuando ‖P‖ → 0, el área
aproximada de un anillo corresponde a:
Aanillo = α(ri)
r2i
2
− α(ri)
r2i−1
2
=
α(ri)
2
·
(r2i − r2i−1)
∆ri
∆ri
=
α(ri)
2
· (ri − ri−1)(ri + ri−1)
∆ri
∆ri︸ ︷︷ ︸
ri+ri−1→2ri ri−ri−1→0
= α(ri)ri∆ri
10
El área aproximada del sector queda dada por:
An =
n∑
i=1
α(ri)ri∆ri
Cuando n→∞se obtiene el área exacta:
A =
ˆ R
0
α(r)rdr
1.5.2. Volúmenes de revolución en polares
Consideramos el trozo del sólido de revolución comprendido entre los ángulos θ y θ + ∆θ. Se puede
considerar que para ∆θ → 0 entonces ρ(θ + ∆θ) ≈ ρ(θ). Al rotarlo en torno al eje x se obtiene la
diferencia de dos volúmenes de conos esféricos con ángulos θ y θ + ∆θ respectivamente.
Un cono esférico rotado en torno al eje x se representa por la curva de ecuación:
f(x) =

x tanα 0 ≤ x ≤ r cosα
√
r2 − x2 r cosα ≤ x ≤ r
Por lo tanto, aplicando el método de los casquetes ciĺındricos:
Vcono esférico = π
ˆ r cosα
0
x2 tan2 αdx+ π
ˆ r
r cosα
r2 − x2dx
Donde tan2 α y r2 se consideran como onstantes en la integración. Calculando el valor y con el adecuado
trabajo algebraico tenemos que:
Vcono esférico =
2πr3
3
(1− cosα)
De esta forma encontramos una expresión para el volumen que solo depende del radio y el ángulo,
componentes clave del sistema de coordenadas. Luego calculando el ∆V con θ y θ + ∆θ:
11
∆V =
2πρ3
3
(1− cos(θ + ∆θ)− (1− cos θ))
=
2πρ3
3
2 sin
(
θ +
θ
2
)
sin
(
∆θ
2
)
=
4πρ3
3
sin
(
θ +
θ
2
)sin(∆θ
2
)
∆θ
2
∆θ
2
=
2πρ3
3
sin
(
θ +
θ
2
)sin(∆θ
2
)
∆θ
2
∆θ
Se sigue que:
∆V
∆θ
=
2πρ3
3
sin
(
θ +
θ
2
)sin(∆θ
2
)
∆θ
2
tomando ∆θ → 0
dV
dθ
=
2πρ3
3
sin θ =⇒ dV = 2πρ
3
3
sin θdθ
Como es una función continua, podemos integrar:
V = 2π
ˆ θ2
θ1
ρ3
3
sin θdθ
1.6. Longitud de curvas
1.6.1. Coordenadas cartesianas
Sea una curva determinada por Γ = {(x, y) : x ∈ [x, x̄] y = f(x)}. La curva puede ser dividida en
segmentos, cuyos puntos están determinados por una partición ‖P‖. Cada segmento tiene una longitud:
`i =
√
∆x2i + ∆y
2
i
=
√
∆x2i +
∆y2i
∆x2i
∆x2i
`i = ∆xi
√
1 +
∆y2i
∆x2i
12
La longitud aproximada de la curva queda determinada por:
Ln =
n∑
i=1
`i =
n∑
i=1
∆xi
√
1 +
∆y2i
∆x2i
Cuando n→∞, ∆yi
∆xi
→ f ′(xi). Por lo tanto, el alrgo exacto queda determinado por:
L =
ˆ x̄
x
√
1 + f ′(x)2dx
1.6.2. Coordenadas paramétricas
Análogamente, consideramos la curva Γ = {x(t), y(t) : t ∈ [ti, tf ]}. Haciendo una partición del tiempo
T , se tiene que la longitud aproximada del segmento es:
`i =
√
(y(ti)− y(ti−1))2 + (x(ti)− x(ti−1))2 = ∆ti
√
y′(ti)2 + x′(ti)2︸ ︷︷ ︸
cuando ‖T‖→0
El largo aproximado de la ĺınea queda determinado por:
Ln =
n∑
i=1
∆ti
√
y′(ti)2 + x′(ti)2
Y siguiendo la misma lógica, al disminuir la norma de la partición, se obtiene el largo exacto deter-
minado por la integral:
L =
ˆ tf
ti
√
ẏ(t)2 + ẋ(t)2dt
1.6.3. Coordenadas polares
Considerando la curva Γ =
{
(x, y) :
x = r cos θ
y = r sin θ
θ ≤ θ ≤ θ̄
r = r(θ)
}
se divide el ángulo en subintervalos
de acuerdo a una partición P. La figura aproxima la situación:
13
Cuando la norma de la partición se hace cada vez más pequeña, se tiene que s ≈ l, y que el segmento
de curva se aproxima a la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por l y d. Como l ≈ ∆θir(θi)
y d ≈ r(θi)− r(θi−1), entonces el largo aproximado del segmento queda determinado por:
`i =
√
(∆θir(θi))
2︸ ︷︷ ︸
l
+ (r(θi)− r(θi−1))2︸ ︷︷ ︸
d
=
√
r(θi)2 + r′(θi)2∆θi
El largo aproximado queda determinado por:
Ln =
n∑
i=1
√
r(θi)2 + r′(θi)2∆θi
Concluimos que el largo exacto está dado por:
L =
ˆ b
a
√
r(θ)2 + r′(θ)2dθ
1.7. Integrales de ĺınea
1.7.1. Coordenadas cartesianas
Supongamos que en la curva Γ = {(x, f(x)) : x ∈ [xi, xf ]} se tiene una densidad de masa ρ(x) y
queremos calcular la masa total de esta curva. Repitiendo el proceso anterior, tenemos que el largo es
aproximadamente:
14
mi = `i · ρ(xi)
La masa total, por lo tanto, es aproximadamente:
Maprox =
∑
ρ(xi)
√
1 + f ′(xi)2∆xi
Por lo tanto, la masa exacta, obtenida al tomar el ĺımite, corresponde a:
M =
ˆ xf
xi
ρ(x)
√
1 + f ′(x)2dx
1.7.2. Coordenadas paramétricas y polares
Siguiendo un procedimiento análogo y la misma idea, se concluye que en paramétricas y en polares,
las fórmulas son respectivamente:
M =
ˆ tf
ti
ρ(t)
√
x′(t)2 + y′(t)2dt
M =
ˆ θf
θi
ρ(θ)
√
r(θ)2 + r′(θ)2dθ
Tener especial cuidado con las funciones de densidad, pues en estos casos varian del parámetro y del
ángulo respectivamente.
1.8. Superficies de revolución
1.8.1. En torno al eje x
Se busca obtener el área generada al revolucionar la curva determinada por f(x) en el intervalo
[xi, xf ]. Para ello, se puede particionar el intervalo como se ha hecho en casos anteriores, de forma que
se generan anillos de un área aproximada:
ai = 2πf(xi)`i
Cuando la norma de la partición se hace muy pequeña, se tiene que `i ≈
√
1 + f ′(xi)2∆xi (de forma
análoga al procedimiento de largo de curvas). Por lo tanto, el área aproximada del manto es:
Aaprox =
n∑
i=1
2πf(xi)
√
1 + f ′(xi)2∆xi
Tomando el ĺımite, se tiene que el área exacta es:
A =
ˆ xf
xi
2πf(x)
√
1 + f ′(x)2dx
15
1.8.2. En torno al eje y
Utilizando un método análogo al de casquetes ciĺındricos, se puede particionar el manto en anillos. El
área de cada anillo queda determinada por:
ai = 2πxi`i = 2πxi
√
1 + f ′(xi)2∆xi
El área exacta, por lo tanto, corresponde a:
A =
ˆ xf
xi
2πx
√
1 + f ′(x)2dx
1.8.3. Caso general
Teorema del centroide de Pappus: (para superficies) Sea L la curva que limita a la región R y
que se encuentra a un solo lado de la recta oblicua `, entonces la superficie de revolución generada al
rotar la región R entorno a la recta ` está determinada por:
A = L · d
Donde L es el largo de la curva L y d es la distancia recorrida por el centroide de la región. En este
caso, viene a ser 2πr, donde r es la distancia del centroide a la recta.
16
2. Integrales impropias
2.1. Integrales impropias de tipo I
Definición:
Sea f(x) continua (o con un número finito de discontinuidades) en [a,∞), se dice que
ˆ ∞
a
f(x)dx
es una integral impropia de tipo I.
Sea F (x) =
ˆ x
a
f(t)dt. Si ĺım
x→+∞
F (x) = L existe, se dice que la integral
ˆ ∞
a
f(x)dx es conver-
gente y toma el valor L. Es decir,
ˆ ∞
a
f(t)dt = ĺım
x→+∞
ˆ x
a
f(x)dx
En caso contrario, se dice que dicha integral es divergente.
Propiedades: Si
ˆ ∞
a
f(x)dx y
ˆ ∞
a
g(x)dx son convergentes, entonces:
1.
ˆ ∞
a
(f + g)(x)dx es convergente y además
ˆ ∞
a
(f + g)(x)dx =
ˆ ∞
a
f(x)dx+
ˆ ∞
a
g(x)dx
.
2. Para c ∈ R, se tiene que
ˆ ∞
a
c · f(x)dx converge y
ˆ ∞
a
c · f(x)dx = c ·
ˆ ∞
a
f(x)dx
.
3. Si s > a, entonces: ˆ ∞
a
f(x)dx =
ˆ s
a
f(x)dx+
ˆ ∞
s
f(x)dx
4. Como ˆ ∞
a
f(x)dx = ĺım
s→∞
ˆ s
a
f(x)dx
yˆ ∞
a
f(x)dx =
ˆ s
a
f(x)dx+
ˆ ∞
s
f(x)dx
Entonces se tiene que:
ˆ ∞
a
f(x)dx−
ˆ s
a
f(x)dx =
ˆ ∞
s
f(x)dx tomando s→∞
ĺım
s→∞
ˆ ∞
s
f(x)dx = 0
17
Teorema de comparación: Sean f , g y h funciones continuas en R tales que g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)
para todo x ∈ [a,∞).
1. Si
ˆ ∞
a
h(x)dx y
ˆ ∞
a
g(x)dx son convergentes, entonces
ˆ ∞
a
f(x)dx es convergente.
2. La expresión contrarećıproca1 también se verifica: Si
ˆ ∞
a
f(x)dx es divergente, entonces
ˆ ∞
a
h(x)dx
ó
ˆ ∞
a
g(x)dx es divergente.
Demostración: Se demostrará la primera expresión, pues con ella queda demostrada la segunda.
Caso 1 : Si 0 ≤ u(x) ≤ v(x) y
ˆ ∞
0
v(x)dx converge. Se tiene que:
U(t) =
ˆ t
a
u(x)dx
V (t) =
ˆ t
a
u(x)dx
Como u(x), v(x) ≥ 0, entonces U(t) y V (t) son monótonas crecientes. Como V (t) es convergente por
hipótesis, entonces (∃c ∈ R) (∀t ∈ [a,∞)) V (t) ≤ c. Además, u(x) ≤ v(x) =⇒ U(t) ≤ V (t) ≤ c por
transitividad.
Se tiene que U(t) es monótona y acotada. Por lo tanto, por teorema de Bolzano-Weirstrass, es con-
vergente.
Caso 2 : Si h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) consideramos:
u(x) = f(x)− h(x)
v(x) = g(x)− h(x)
Por el caso 1, tenemos que
ˆ ∞
a
u(x)dx = ĺım
t→∞
ˆ t
a
f(x)− g(x)dx converge.
Como
ˆ t
a
f(x)dx =
ˆ t
a
f(x)− h(x)dx+
ˆ t
a
h(x)dx. Entonces,
ˆ ∞
a
f(x)dx existe. �
Corolario: Claramente, si 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ R y
ˆ ∞
a
f(x)dx diverge, entonces
ˆ ∞
a
g(x)dx
diverge.
Observación: Las integrales de la forma
ˆ a
−∞
f(x)dx y
ˆ ∞
−∞
f(x)dxtambién entran dentro de esta
categorización y satisfacen las mismas condiciones.
ˆ a
−∞
f(x)dx = ĺım
s→−∞
ˆ a
s
f(x)dx
1p =⇒ q ⇐⇒ q̄ =⇒ p̄
18
Para
ˆ ∞
−∞
f(x)dx basta considerar que:
ˆ ∞
−∞
f(x)dx converge⇐⇒ (∀a ∈ R)
ˆ ∞
a
f(x)dx y
ˆ a
−∞
f(x)dx convergen
2.2. Integrales impropias de tipo II
Definición:
Sea f(x) una función continua en (a, b] y no necesariamente acotada en a. Se dice que la integralˆ b
a
f(x)dx es una integral impropia de tipo II.
Para t > a se define F (t) =
ˆ b
t
f(x)dx. Se dice que
ˆ b
a
f(x)dx converge si y solo si ĺım
t→a+
F (t)
existe.
En caso contrario, la integral se dice divergente.
Propiedades: Si
ˆ b
a
f(x)dx y
ˆ b
a
g(x)dx son convergentes, entonces las siguientes integrales también
son convergentes y satisfacen:
1.
ˆ b
a
(f + g)(x)dx =
ˆ b
a
f(x)dx+
ˆ b
a
g(x)dx.
2.
ˆ b
a
c · f(x)dx = c ·
ˆ b
a
f(x)dx.
3. Si a < s ≤ b, entonces ˆ b
a
f(x)dx =
ˆ s
a
f(x)dx+
ˆ b
s
g(x)dx
4. ĺım
s→a+
ˆ s
a
f(x)dx = 0.
Teorema de comparación: Si h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) para todo x ≥ a, entonces:
1. Si
ˆ b
a
h(x)dx y
´ b
a g(x)dx son convergentes, entonces
´ b
a f(x)dx converge.
2. La expresión contrarrećıproca: Si
ˆ b
a
f(x)dx es divergente, entonces
ˆ b
a
h(x)dx ó
ˆ b
a
g(x)dx
diverge.
Observación 1: El argumento se puede extender dividiendo en integrales adecuadas, y si todas las
integrales que obtenemos de esta forma son convergentes, entonces la integral original es convergente
y tenemos teoremas de comparación análogos.
Observación 2: En este caso, para α > 0 tenemos que:
19
ˆ b
a
1
(x− a)α
dx = ĺım
x→a+
1
(1− α)(x− a)α−1
∣∣∣∣b
a
= ĺım
x→a+
(x− a)1−α
1− α
∣∣∣∣b
a
Este ĺımite existe si y solo si 1− α > 0. Es decir, esta integral converge si y solo si α ∈ (0, 1).
2.3. Estrategias para determinar la convergencia
1. Anular los términos que “molestan” en la expresión de la integral. Esto se hace pensando en la
pregunta: ¿qué termino es predominante en el extremo donde la función esta no acotada?
2. Intentar acotar la función de acuerdo a la axiomática en R.
a) Para garantizar convergencia basta encontrar una función g(x) > f(x) de modo queˆ
I
g(x)dx sea convergente.
b) Para garantizar divergencia basta encontrar una función g(x) < f(x) de modo que
ˆ
I
g(x)dx
sea divergente.
3. En caso de no poder hacerlo fácilmente, se puede hacer uso del siguiente teorema:
Teorema: Este teorema es consecuencia de los teoremas de comparación anteriores. Sean f y g
funciones de [n,∞)→ R positivas. Si
ĺım
x→∞
f(x)
g(x)
= L > 0 =⇒
[ˆ ∞
n
f(x)dx converge⇐⇒
ˆ ∞
n
g(x) converge
]
Este mismo criterio puede ser utilizado para integrales de segunda especie, siempre que se compare
con una función no acotada en el punto en el que se evalúa en el ĺımite.
Muchas veces se suele comparar con la función
1
xα
. Estas comparaciones se pueden resumir como
sigue:
1.
ˆ ∞
a
f(x)dx converge si y solo si ĺım
x→∞
xαf(x) > 0 con α > 1.
2.
ˆ a
−∞
f(x)dx converge si y solo si ĺım
x→∞
xαf(−x) > 0 con α > 1.
3.
ˆ b
a
f(x)dx converge (no acotada en b) si y solo si ĺım
x→∞
(b− x)αf(x) > 0 con α ∈ (0, 1).
4.
ˆ b
a
f(x)dx converge (no acotada en a) si y solo si ĺım
x→∞
(x− a)αf(x) > 0 con α ∈ (0, 1).
20
3. Series
3.1. Conceptos básicos
Definición: Sea {an}ni=1 ⊆ R una sucesión, consideramos las sumas parciales de términos. Se define
una serie como la sucesión {Sn}∞i=1 con una suma determinada por:
Sn =
n∑
i=1
ai ∈ R en particular,
∞∑
i=1
ai ó
∑
ai
Si s = ĺım
n→∞
Snexiste, entonces decimos que la serie es convergente y s es la suma de la serie.
En caso contrario, la serie se dice divergente.
Observación: i = 1 no es una condición necesaria. La convergencia se evalúa cuando n→∞.
Ejemplo: La serie geométrica, determinada por
∞∑
i=0
ri (r ∈ R\ {0}). Sea Sn =
n∑
i=0
ri, entonces rSn =
n∑
i=0
ri+1. Por lo tanto,
(1− r)Sn =
n∑
i=0
ri − ri+1 = 1− rn+1︸ ︷︷ ︸
propiedad telescópica
Sn =
1− rn+1
1− r
De aqúı observamos que:
Para |r| < 1 la serie converge y
∞∑
i=0
ri =
1
1− r
.
Para |r| ≥ 1 la serie diverge.
3.2. Propiedades
Teorema: Si
∞∑
i=1
an converge, entonces:
1. ĺım
i→∞
ai = 0.
2. ĺım
m→∞
∞∑
i=m
ai = 0.
21
Demostración:
(1) Sn =
n∑
i=1
ai =⇒ Sn+1 =
n+1∑
i=1
ai. Como Sn converge, entonces Sn+1 también converge, y además
convergen al mismo número s. Se tiene por lo tanto que:
Sn − Sn+1 = an+1 tomando n→∞
0 = ĺım
n→∞
an+1 = ĺım
i→∞
ai �
(2) Sea m ∈ N, entonces
∞∑
i=1
ai es convergente si y solo si
∞∑
i=m
ai es convergente. Tenemos que:
∞∑
i=1
ai =
m−1∑
i=1
ai +
∞∑
i=m
ai tomando m→∞
∞∑
i=1
ai =
∞∑
i=1
ai + ĺım
m→∞
∞∑
i=m
ai
Concluimos:
ĺım
m→∞
∞∑
i=m
ai = 0 �
Observación: Notar que la expresión rećıproca de (1) no se verifica. Basta ver el caso de ai =
1
i
.
Teorema: Si
∞∑
k=0
ak es convergente y σ : N → N es un reordenamiento de los ı́ndices (σ biyección),
entonces
∞∑
k=0
aσ(k) es convergente.
Demostración: Sea m tal que
∞∑
k=m
ak <
�
2
. Como σ es una biyección, entonces existe σ−1. Sea
n = máx
{
m,σ−1(1), . . . , σ−1(m)
}
Entonces:
∣∣∣∣∣
n∑
k=1
aσ(k) −
n∑
k=1
ak
∣∣∣∣∣ ≤
n∑
k=1
∣∣aσ(k)∣∣+ n∑
k=m+1
|ak| ≤ 2
n∑
k=m+1
|ak| ≤
2�
2
Observamos que para m→∞ por propiedad se tiene que
∞∑
k=m
ak → 0. Entonces, necesariamente �→ 0
y n→∞. Por criterio del sándwich concluimos que necesariamente:
22
ĺım
m→∞
∣∣∣∣∣
n∑
k=1
aσ(k) −
n∑
k=1
ak
∣∣∣∣∣ = 0 =⇒
∞∑
k=1
aσ(k) =
∞∑
k=1
ak
Proposiciones: Si
∑
ai y
∑
bi son convergentes y c ∈ R, entonces se verifica que:
1.
∑
(ai + bi) converge y
∑
(ai + bi) =
∑
ai +
∑
bi.
2.
∑
cai converge y
∑
cai = c
∑
ai.
3.
∑
(ai − bi) =
∑
ai +
∑
bi.
3.3. Criterios de convergencia
3.3.1. Test de divergencia
Esta es la expresión contrarrećıproca del teorema anteriormente visto y el criterio básico para evaluar
la convergencia de una serie.
Test de divergencia: Si ĺım
n→∞
ai no existe o ĺım
n→∞
ai 6= 0, entonces la serie
∞∑
i=1
ai diverge.
3.3.2. Comparación con sucesiones
Proposiciones:
1. Si
∞∑
i=1
ai es convergente y existe un n tal que ai = bi para todo i ≥ n, entonces
∞∑
i=1
bi es
convergente. Es directo de observar que la convergencia se evalúa en n→∞.
2. Si 0 ≤ ai ≤ bi para todo i ≥ n y
∑
bn es convergente, entonces
∑
ai es convergente. De forma
contrarrećıproca, si
∑
ai diverge, entonces
∑
bi diverge.
3. Si
∑
ai y
∑
ci convergen y ai ≤ bi ≤ ci para todo i ≥ n, entonces
∑
bi converge. La expresión
contrarrećıproca también se verifica: si
∑
bi diverge, entonces
∑
ai ó
∑
ci divergen.
4. Si ai, bi ≥ 0 para todo n ∈ N y ĺım
i→∞
ai
bi
= c > 0, entonces
∞∑
i=1
ai converge⇐⇒
∞∑
i=1
bi converge.
5. Si ai, bi ≥ 0 para todo n ∈ N y ĺım
i→∞
ai
bi
= 0, entonces:
∑
bi converge =⇒
∑
ai converge∑
ai diverge =⇒
∑
bi diverge
23
Nicolas Corthorn
Resaltado
Demostraciones:
(2) Sea Sn =
n∑
i=1
ai y Tn =
n∑
i=1
bi. Como ai y bi son mayores que cero, entonces Sn y Tn son crecientes.
Se tiene que además que ĺım
n→∞
Tn = T existe y que Sn ≤ Tn ≤ T . Por lo tanto, Sn es monótona
creciente y acotada. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass concluimos que Sn converge. �
(3) Dado ai ≤ bi ≤ ci, entonces se verifica por axiomática real que:
0 ≤ bi − ai ≤ ci − ai
Es decir, consideramos las sucesiones:
Un =
∞∑
i=1
bi − ai
Vn =
∞∑
i=1
ci − ai
Como
∞∑
i=1
ci y
∞∑
i=1
ai convergen, entonces Vn también converge. Luego, por (2) se verifica que Un
converge. De acuerdo a las propiedades, entonces:
Un converge⇐⇒
∞∑
i=1
bi y
∞∑
i=1
ai convergen
Luego,
∞∑
i=1
bi converge. �
(4) De acuerdo a la definición de ĺımite, como ĺım
i→∞
ai
bi
= c > 0, entonces existe un n ∈ N y un � ∈ (0, 1)
tal que:
(0 ≤)
∣∣∣∣aibi − c
∣∣∣∣ ≤ �c
(1− �)c ≤ ai
bi
≤ (1 + �)c
(1− �)cbi ≤ ai ≤ (1 + �)cbi aplicando
∞∑
i=1∑
(1− �)cbi ≤
∑
ai ≤
∑
(1 + �)cbi
De la proposición (3) y las propiedades vistas anteriormente:
24
Si
∑
bi converge, entonces
∑
(1 − �)cbi y
∑
(1 + �)cbi convergen y son positivas. Por lo tanto,∑
ai converge.Si ai converge, entonces 0 ≤
∑
(1− �)cbi también converge. Se concluye que
∑
bi converge.
Como se verifican ambas implicancias, queda entonces demostrado. �
Recordar: Para el cálculo de ĺımites. Sea {an} una sucesión tal que an > 0 (∀n ∈ N). Entonces:
ĺım
n→∞
an+1
an
= ` < 1 =⇒ ĺım
n→∞
an = 0
3.3.3. Convergencia absoluta
Definición: Una serie
∞∑
i=1
ai se dice absolutamente convergente si
∞∑
i=1
|ai| es convergente.
Teorema: Si
∞∑
i=1
ai es absolutamente convergente, entonces es convergente.
Demostración: Notamos que:
−|ai| ≤ ai ≤ |ai| (∀ai)
Sumando término a término:
−
∞∑
i=1
|ai| ≤
∞∑
i=1
ai ≤
∞∑
i=1
|ai|
De la hipótesis sabemos que las sucesiones de los extremos convergen. Luego, por teorema de compa-
ración la sucesión necesariamente converge.
3.3.4. Convergencia condicional
Definición: La serie
∞∑
k=0
ak se dice condicionalmente convergente si es convergente, pero no absoluta-
mente.
Teorema: Si ak es condicionalmente convergente y z ∈ N entonces existe un σ : N→ N biyeccion tal
que
∞∑
k=0
aσ(n) = z.
25
3.3.5. Series alternantes
Definición: Una serie
∞∑
i=1
ai se dice alternante si:
ai · ai+1 < 0 (∀i ∈ N)
Teorema: Criterio de Leibniz. Si para {ai}∞i=1 se verifica que ai ≥ 0 y es decreciente para todo i ∈ N
y ai −→ 0, entonces S =
∞∑
i=1
(−1)iai es convergente. Además, se tiene que:
|Si − S| < |Si − Si−1| = ai
Esto permite un cálculo aproximado de la serie con un error máximo.
Demostración: Sea Sn =
∞∑
i=1
(−1)iai, Pn = S2n y Rn = S2n−1. Entonces:
Pn = −a1 + a2 + (−a3 + a4) + . . .+ (−a2n−1 + a2n)
Pn+1 = Pn + (−a2n+1 + a2n+2)︸ ︷︷ ︸
<0
Entonces Pn es decreciente. De forma análoga, Rn es creciente. Además se tiene que:
Pn = Rn + a2n
Entonces Pn ≥ Rn. Como Pn es decreciente y está siempre acotada por un Rn, entonces Pn converge.
Por lo tanto,
Pn → P
Rn → R
Falta demostrar que P = R. Cuando n→∞. Además notemos que:
Pn −Rn = a2n
Tomando n→∞ se tiene que:
P −R = 0
Tenemos que dos subsucesiones de Sn (Pn y Rn) convergen a un mismo número, entonces por la
primera formulación del teorema de Bolzano-Weierstrass, tenemos que:
Sn → P = R �
Importante: Se debe demostrar que ai es positiva y decreciente para poder hacer uso del teorema.
26
Nicolas Corthorn
Nota adhesiva
Esto quiere decir que esta serie hasta un numero par o hasta un numero impar converge. y ambas, cuando n es par y cuando n es impar convergen al mismo numero
3.3.6. Criterio de la integral
Teorema: Sea f : [n,∞)→ [0,∞) decreciente y tal que f(i) = ai, entonces:
ˆ ∞
n
f(x) es convergente⇐⇒
∞∑
i=n
ai es convergente
Demostración: Notar que:
m∑
i=n
ˆ i+1
i
f(x)dx =
ˆ m+1
n
f(x)dx ≤
m∑
i=n
ai
Esta última desigualdad se puede ver explicada con la siguiente gráfica:
Al tratarse de una función decreciente y positiva, la serie representa una suma de Riemann superior
con rectángulos de ancho 1, y resulta mayor que el área de la integral en el intervalo [n,m+1]. Además,
es más evidente aún que:
m+1∑
i=n+1
f(i) ≤
ˆ m+1
n
f(x)dx ≤
m∑
i=n
ai
En base a esto, considerando Sm =
m∑
i=n
f(i) y F (y) =
ˆ y
n
f(x)dx, entonces:
F (y) ≤ S[y] (∀y ≥ n)
Sm ≤ F (m)− am
Sm es una función creciente y F (m) una sucesión creciente. Como F (m) es acotada superiormente si
y solo si Sm es acotada, entonces se concluye que una expresión es convergente si la otra lo es.
Observación 1: De la demostración anterior se verifica que:
27
ˆ ∞
n
f(x)dx ≤
∞∑
i=n
ai ≤
ˆ ∞
n−1
f(x)
ˆ ∞
n
f(x) ≤
∞∑
i=n
ai ≤
ˆ ∞
n
f(x) + a1
De esta forma se puede acotar o estimar el valor de una serie calculando una integral.
Importante: Al aplicar el criterio de la integral siempre se debe demostrar que la función implicada
es positiva y decreciente.
3.3.7. Criterio del cuociente
Teorema: Consideramos la serie
∞∑
j=1
aj . Si ĺım
i→∞
∣∣∣∣aj+1aj
∣∣∣∣ = c existe, entonces
si c < 1, entonces la serie es convergente.
si c > 1, entonces la serie diverge.
si c = 1, entonces no es concluyente.
Demostración: Se tomará el caso de que an ≥ 0.
Si |c| < 1 entonces
(∃n ∈ N) (∀n > j) 0 < an+1
an
<
c+ 1
2
= c̃
∴ an+1 ≤ c̃an
an+2 ≤ c̃an+1 ≤ c̃2an
aN+m ≤ c̃man
Sumando término a término:
0 ≤
N+m∑
n=N
an ≤
N+m∑
n=N
c̃m−naN = aN
m∑
j=0
c̃j
Como c̃ < 1 (y sólo lo es en el caso de que |c| < 1), entonces
∞∑
j=0
c̃j converge. Por lo tanto, se concluye
que:
∞∑
n=N
an es convergente
28
3.3.8. Criterio de la ráız
Teorema: Para la serie
∞∑
k=1
ak calculamos ĺım
k→∞
k
√
|ak| = c > 0. Entonces,
si c < 1 la serie converge.
si c > 1 la serie diverge.
si c = 1 no podemos concluir.
3.3.9. Criterios de Abel y Dirichlet
Teorema: Criterio de Dirichlet. Sea An =
n∑
i=1
ai acotada y {bn}∞i=1 decreciente tal que ĺımn→∞ bn = 0,
entonces
∞∑
i=1
ai · bi converge.
Teorema: Criterio de Abel. Sea
∞∑
i=1
ai convergente y bi monótona acotada, entonces
∞∑
i=1
ai · bi converge.
3.3.10. Test-M de Weierstrass
Teorema: Sea an : N→ R. Si para cada n existe una constante Mn ∈ R tal que |an| ≤Mn y además
∞∑
n=1
Mn converge, entonces
∞∑
n=1
an converge absolutamente.
Demostración: Por hipótesis, se verifica para todo n que:
|an| ≤Mn
Sumando término a termino:
∞∑
n=1
|an| ≤
∞∑
n=1
Mn
Tenemos que |an| ≥ 0, entonces
∞∑
n=1
|an| es creciente. Además, como
∞∑
n=1
Mn converge, entonces la serie
está acotada. Se tiene entonces, por teorema de Bolzano-Weierstrass, que la serie
∞∑
n=1
|an| converge.
Se concluye que
∞∑
n=1
an converge absolutamente. �
29
3.3.11. Estrategias
Algunas observaciones y/o sugerencias que pueden ser útiles para el estudio de la convergencia de
series.
1. Si ĺımn→∞ an 6= 0, entonces es inmediato que diverge.
2. Si es de la forma
∑ 1
np
ó
∑
arn estudiar según el caso de r ó p. Puede requerirse algún trabajo
algebraico para llevarlas a esta forma.
3. Si tiene una forma similar a función algebraica o a serie geomética, se realizan tests de compa-
ración. Si llega a tener valores negativos, se puede estudiar la convergencia absoluta.
4. Si es de la forma
∑
(−1)nbn se realiza el test de las series alternantes.
5. Series que involucren factoriales u otros productos (constante a la n) pueden ser evaluados con
el criterio del cuociente.
6. Si es de la forma (bn)
n se puede aplicar el criterio de la ráız.
7. Si an = f(n) donde
ˆ ∞
1
f(x)dx es fácil de calcular, entonces se aplica el criterio de la integral.
8. En el peor de los casos, se puede utilizar los criterios de Abel, Dirichlet o el test M de Weierstrass.
Este último puede resultar útil en series de la forma geométrica × trigonométrica.
3.4. Series de potencias
3.4.1. Conceptos básicos
Definición: Sea una sucesión {an}∞i=1 para la cual ai ∈ R para todo i.
1. Se define el ĺımite superior como:
ĺım sup
n→∞
an = ĺım
n→∞
sup {bk : k ≥ n}
2. Se define el ĺımite inferior como:
ĺım inf
n→∞
an = ĺım
n→∞
ı́nf {bk : k ≥ n}
3. an es convergente si y solo si:
ĺım sup
n→∞
an = ĺım inf
n→∞
an = ĺım
n→∞
an = L
30
Definición: Sea {ck}∞k=0 ⊆ R, entonces se define una serie de potencias centrada en a como la serie:
s(x) =
∞∑
k=0
ck(x− a)k
Esta serie (por criterio de la ráız) converge si y solo si:
ĺım
k→∞
k
√
|ck(x− a)k| = ĺım sup
k→∞
k
√
|ck| |x− a|︸ ︷︷ ︸
(*)
< 1
El término (*) se encuentra fuera del ĺımite, pero garantiza la convergencia. Luego, se define el radio
de convergencia de una sucesión como:
r :=
1
ĺım sup
k→∞
k
√
|ck|
El intervalo de convergencia queda definido como:
I = {x ∈ R : s(x) converge}
Es decir, se debe considerar el intervalo cerrado para el radio de convergencia y evaluar también la
convergencia en los puntos que el radio delimita.
Teorema: La serie de potencias
∞∑
k=0
ck(x− a)k es convergente si:
1. x = a y r = 0.
2. |x− a| < r y r ∈ (0,∞).
3. ∀x ∈ R si r =∞ −→ ĺım sup
n→∞
n
√
cn = 0.
La serie en cambio es divergente si:
1. x 6= a y r = 0.
2. |x− a| > r y r ∈ (0,∞)
3. Nunca diverge si r =∞.
En el caso de que |x− a| = r se debe estudiar la serie para determinar la convergencia.Observación: Si el siguiente ĺımite existe, se verifica que:
ĺım
k→∞
∣∣∣∣ck+1ck
∣∣∣∣ = 1r
31
3.4.2. Derivación de series de potencias
Consideramos la serie de potencias s(x) =
∞∑
k=0
ck(x− a)k. En el caso de una suma finita tenemos que:
d
dx
n∑
k=0
ck(x− a)k =
n∑
k=1
kck(x− a)k−1
Podemos considerar la serie:
s̃ =
∞∑
k=1
ckk(x− a)k−1
(
=
∞∑
k=0
ck+1(k + 1)
)
El radio de convergencia:
r̃ =
1
ĺım sup
n→∞
n
√
|cn|n
= r
Sin embargo, pueden haber variaciones en los extremos del radio de converencia.
Teorema: Si s(x) =
∞∑
k=0
ck(x− a)k tiene radio de convergencia r > 0, entonces s(x) es diferenciable y
además
s′(x) =
∞∑
k=1
ckk(x− a)k−1
con el mismo radio de converencia.
Demostración: Cabe notar primero que para sucesiones am,n no siempre se verifica que:
ĺım
m→∞
ĺım
n→∞
am,n 6= ĺım
n→∞
ĺım
m→∞
am,n
Basta tomar el ejemplo:
am,n =
1
n
+
1
m2
1
n
+
1
m
Se busca demostrar que:
ĺım
h→0
[
s(x+ h)− s(x)
h
− s̃(x)
]
= 0
32
Nicolas Corthorn
Resaltado
Considerando las definiciones dadas,
ĺım
h→0
 ĺımn→∞
n∑
k=0
ck(x− a+ h)k −
n∑
k=0
ck(x− a)k
h
−
n∑
k=1
ckk(x− a)k−1
 = 0
Esto se puede escribir como:
ĺım
h→0
ĺım
n→∞
n∑
k=2
ck
[
(x− a+ h)k − (x− a)k
h
− k(x− a)k−1
]
= 0
Tenemos que ∃ξ ∈ (0, h):
f(x+ h)− f(x)
h
− f ′(x) = f
′′(x+ ξ)
2
h
para f con segunda derivada continua. Como este es el caso, tenemos que:
(x− a+ h)k − (x− a)k
h
− k(x− a)k−1 = (x− a+ ξ)k−2k(k − 1)h
2︸ ︷︷ ︸
∗
Fijando además h̄ > 0 tal que para un q se cumple que:
q = máx{|x− a− h̄|, |x− a+ h̄|} < r
donde r es el radio de convergencia. Notar que por lo tanto, para |h| < h̄ se verifica que:
(x− a+ ξ) ≤ q
Por lo tanto, reemplazando (*) en el ĺımite e introduciendo los conceptos de la suma, se verifica la
siguiente desigualdad:
ĺım
h→0
ĺım
n→∞
n∑
k=2
ck(x− a+ ξ)k−2k(k − 1)
h
2
≤ ĺım
h→0
ĺım
n→∞
n∑
k=0
ck
k(k − 1)qk−2
2
h
Este último término puede ser escrito como:
ĺım
h→0
h
∞∑
k=0
ck
k(k − 1)qk−2
2
33
Es decir, para demostrar que el ĺımite converge a 0 debemos demostrar que la suma
∞∑
k=0
ck
k(k − 1)qk−2
2
converge. Aplicamos el criterio de la ráız:
ĺım
k→∞
k
√∣∣∣∣ck k(k − 1)qk−22
∣∣∣∣ = q ĺımk→∞ k√|ck| < 1
q · 1
r
< 1
Lo que se verifica, pues q cumple la condición de que 0 < q < r. Por lo tanto, esta serie converge, lo
que implica que el ĺımite planteado converge, y por lo tanto se verifica el enunciado.
Corolario: La función s(x) es infinitamente diferenciable. Además:
dn
dxn
s(x) =
∞∑
k=n
ci
k!
(k − n)!
(x− a)k−n
3.4.3. Integración de series de potencias
Corolario: Del teorema anterior. Si s(x) =
∞∑
n=0
cn(x− a)n tiene un radio de convergencia r > 0,
entonces:
S(x) =
ˆ
s(x)dx = c+
∞∑
k=1
cn
(x− a)k+1
k + 1
con radio de convergencia r. En particular, si [α, β] ⊂ (a− r, a+ r), entonces:
ˆ β
α
s(x)dx = S(β)− S(α)
3.4.4. Convergencia uniforme
Teorema: Si s(x) =
∞∑
k=0
ck(x− a)k con radio de convergencia r converge, entonces existe {dk}∞k=0 tal
que:
s(x) =
∞∑
k=0
dk(x− b)k, para b ∈ (a− r, a+ r)
r̃ = mı́n(a+ r − b, b− a+ r)
Luego la serie converge para todo x ∈ (b− r̃, b+ r̃). La serie puede ser expresada en torno a otro punto
con un dk adecuado y obtener el mismo resultado.
34
Definición: Decimos que fn(x) converge uniformemente a f(x) en el conjunto A ⊂ R si
ĺım
n→∞
sup
x∈A
|fn(x)− f(x)| = 0
La convergencia uniforme garantiza la convergencia puntual, pero no se verifica la expresión rećıproca.
Teorema: Sea sn(x) =
n∑
k=0
ck(x− a)k y sea 0 < r < R donde R es el radio de convergencia de la serie,
entonces sn(x) converge uniformemente a s(x) en el conjunto |x− a| < r.
Demostración: Como ĺım sup
k→∞
k
√
|ck| = R
entonces existe un n0 tal que:
k
√
|ck| <
1− �
r
para algún 0 < � < 1 (∀k > n0)
Si |x− a| ≤ r luego
|s(x)− sn(x)| =
∣∣∣∣∣
∞∑
k=n+1
ck(x− a)k
∣∣∣∣∣ ≤
∞∑
k=n+1
|ck| |x− a| k︸ ︷︷ ︸
desigualdad triangular
≤
∞∑
k=n+1
|ck| rk
Para n ≥ n0 tenemos que además:
|s(x)− sn(x)| ≤
∞∑
k=n+1
(1− �)k = (1− �)n+1 1
�
Notamos finalmente que:
0 ≤ ĺım
n→∞
sup
|x−a|≤r
|s(x)− sn(x)| ≤ ĺım
n→∞
(1− �)n+1
�
= 0
Entonces, por teorema, este ĺımite necesariamente es 0. Concluimos que sn(x) converge uniformemente
a s(x). Esto además garantiza que la serie es continua en su radio de convergencia.
3.4.5. Productos de series
n∑
k=0
ck(x− a)k ·
n∑
k=0
dk(x− a)k =
2n∑
k=0
(
k∑
i=0
cidk−i
)
︸ ︷︷ ︸
ek
(x− a)k
35
3.4.6. Composición de series de potencias
Sea s(x) =
∞∑
k=0
ckx
k convergente en (−r, r) y p(x) =
∞∑
i=0
dix
i. Sabemos por el teorema anterior que
toda serie converge uniformemente, luego:
pn(x)→ p(x)
Como s(x) es continua, entonces:
s(pn(x))→ s(p(x))
Además se tiene que:
ĺım
n→∞
ĺım
m→∞
sn(pm(x)) = s(p(x))
independiente del orden de los ĺımites, gracias a la convergencia uniforme. En particular,
ĺım
n→∞
sn(pn(x)) = s(p(x))
Como una composición de polinomios es un polinomio, el ĺımite anterior indica que s(p(x)) se pue-
de escribir como una serie de potencias, con la restricción de que p(x) pertenezca al intervalo de
convergencia de s(x).
Entonces, para c ∈ (a− r, a+ r) donde c = p(x0) existe ej tales que:
s(p(x)) =
∞∑
k=0
ck
[( ∞∑
k=0
di(x− b)i
)
− a
]k
=
∞∑
j=0
ej(x− c)j
3.4.7. Inverso multiplicativo
Del análisis anterior, en particular si p(x) =
∞∑
i=0
dix
i con p(0) = d0 6= 0 entonces,
1
p(x)
se puede
escribir como una serie de potencias para x ∼ 0.
Es decir, para dos series de potencias q(x) y r(x) con r(0) 6= 0 se tiene que q(x)
r(x)
se puede escribir
como una serie de potencias.
En todos estos casos la determinación del término ej depende de la naturaleza de las series involucradas.
36
3.4.8. Teorema de Abel
Por medio de este teorema se puede obtener el valor numérico de ciertas series apoyándose en series
de potencias.
Enunciado: Si
∞∑
k=0
ckx
k converge ∀|x| < 1 y
∞∑
k=0
ck converge, entonces
∞∑
k=0
ck = ĺım
x→1−
∞∑
k=0
ckx
k
Demostración: Se quiere demostrar que:
∣∣∣∣∣
∞∑
k=0
ckx
k −
∞∑
k=0
ck
∣∣∣∣∣→ 0 cuando x→ 1−
Consideremos dk = ck con d0 = c0 −
∞∑
k=0
ck. Con esto se puede sustituir, y se tiene que demostrar por
lo tanto que:
∣∣∣∣∣
∞∑
k=0
dkx
k
∣∣∣∣∣→ 0 cuando x→ 1−
Sea Sn =
n∑
k=0
dk, luego Sn − Sn−1 = dn (∀n ≥ 0) y ĺım
n→∞
Sn = 0. Se tiene por lo tanto que:
∣∣∣∣∣
∞∑
k=0
dkx
k
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣
∞∑
k=1
(Sk − Sk−1)xk
∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣
∞∑
k=1
Skx
k − x
∞∑
k=1
Sk−1x
k−1
∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣−S0 + (1− x)
∞∑
k=0
Skx
k
∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣(1− x)
∞∑
k=0
Skx
k
∣∣∣∣∣
Tomando el ĺımite cuando x tiende a 1 por la izquierda tendŕıamos una expresión convergiendo a 0
por una expresión que no hemos garantizado que esté acotada. Esto último hay que demostrarlo.
Sea � > 0. Como Sn → 0, existe N tal que |Sn| < � para todo n ≥ N . Se sigue que:
∣∣∣∣∣(1− x)
∞∑
n=0
Snx
n
∣∣∣∣∣ ≤
∣∣∣∣∣(1− x)
N∑
n=0
Snx
n
∣∣∣∣∣+ (1− x)
∞∑
n=N+1
|Sn| |x|n
37
Es decir, ∣∣∣∣∣(1− x)
∞∑
n=0
Snx
n
∣∣∣∣∣ ≤ (1− x)
N∑
n=0
|Sn| |x|n + � |x|n+1
Tomando x→ 1− se tiene que:
0 ≤ ĺım
x→1−
∣∣∣∣∣
∞∑
n=0
dkx
n
∣∣∣∣∣ ≤ �
Pero como � > 0 es arbitrario, la expresión anterior se verifica para cualquier � muy cercano a 0. Se
concluye entonces que:
ĺım
x→1−
∣∣∣∣∣
∞∑
n=0
dkx
n
∣∣∣∣∣ = 0
Que es lo que se necesitaba demostrar.
3.4.9. Serie binomial
Teorema: Sea α ∈ R y |x| < 1, entonces:
(1 + x)α =
∞∑
k=0
(
α
k
)
xk
En particular, el binomio se extiende esta forma para los reales:(
α
k
)
=
α(α− 1) . . . (α− k + 1)
k!
Demostración: Sea
u(x) =
∞∑
k=0
(
α
k
)
xk
Observamos que esta serie converge haciendo uso del criterio del cuociente:
∣∣∣∣( αk + 1
)∣∣∣∣∣∣∣∣(αk
)∣∣∣∣ =
∣∣∣∣α− kk + 1
∣∣∣∣→ 1
Además, al tratarse de una serie de potencias, sabemos que es infinitamente diferenciable. Notamos
que:
38
d
dx
u(x) =
∞∑
k=1
(
α
k
)
kxk−1 = α
∞∑
k=1
(
α− 1
k − 1
)
xk−1
Como (
α− 1
k − 1
)
+
(
α− 1
k
)
=
(
α
k
)
Entonces:
(1 + x)u′(x) = αu(x)
Multiplicamos por (1 + x):
(1 + x)u′(x) = α
∞∑
k=1
(
α− 1
k − 1
)
xk−1 +
(
α− 1
k − 1
)
xk = α
∞∑k=0
(
α− 1
k
)
xk +
(
α− 1
k
)
xk+1
Luego, reordenamos e integramos:
u′(x)
u(x)
=
α
1 + x
=⇒ lnu(x) = α ln(1 + x) + k
=⇒ u(x) = (1 + x)α · ek
Sabemos que u(0) = 1 = ek. Concluimos que:
u(x) = (1 + x)α
3.4.10. Fórmulas importantes
Algunas fórmulas clave que pueden ser fácilmente verificadas a través del desarrollo de la serie geométri-
ca:
1
1− x
=
∞∑
n=0
xn
1
1 + x
=
∞∑
n=0
(−1)nxn
Generalmente a partir de estas por derivación e integración se puede obtener el resto de expresiones.
39
3.5. Series de Taylor
3.5.1. Serie y polinomio de Taylor
Teorema: Si f(x) se puede escribir para x cerca de a como una serie de potencias, entonces la serie
de potencias, entonces la serie de potencias
f(x) =
∞∑
k=0
f (k)(a)
k!
(x− a)k |x− a| < r
converge para r el radio de potencias.
1
r
= ĺım sup
k→∞
√∣∣∣∣f (k)(a)k!
∣∣∣∣
Demostración: Como f(x) se puede escribir como serie de potencias, entonces es infinitamente dife-
renciable. Luego, por inspección se tiene que:
f(a) = c0
f ′(a) = c1 · 1
f ′′(a) = c2 · 1 · 2
...
...
f (k)(a) = ck · k!
Luego se tiene que ck =
f (k)(a)
k!
.
Definición:
Si f admite infinitas derivadas en a se define la serie de Taylor de f alrededor de a como:
Tf,a(x) =
∞∑
k=0
f (k)(a)
k!
(x− a)k
(que se anota T (x) teniendo claro el contexto)
Si una función f(x) coincide con su serie de Taylor Tf,a(x) en |x− a| < r, entonces f se llama
anaĺıtica real en |x− a| < r.
Observación: Siempre se tendrá que
f(a) = Tf,a(x)
pero hay funciones con infinitas derivadas en a tales que Tf,a(x) 6= f(x) ∀x 6= a. Por ejemplo, basta
considerar la función:
40
f(x) =

e
− 1|x| si x 6= 0
0 si x = 0
y desarrollar su polinomio de Taylor en torno a 0.
3.5.2. Resto de Taylor
Teorema: (del resto de Taylor) Sea f con (n+1) derivadas continuas en el punto a. Si
∣∣f (n+1)(ξ)∣∣ ≤M
∀ |ξ − a| ≤ d, entonces para Rn(x) se tiene que:
|Rn(x)| = |f(x)− Tf,a,n(x)| ≤
M
(n+ 1)!
|x− a|n+1
De aqúı se derivan distintas expresiones que se pueden obtener para el resto de orden n:
Resto de Lagrange: Rn(x) =
f (n+1)(ξ)
(n+ 1)!
(x− a)n+1 para ξ tal que |ξ − a| < |x− a|.
Resto de Cauchy: Rn(x) =
f (n+1)(ξ)
n!
(x− ξ)n(x− a) con |ξ − a| ≤ |x− a|.
Resto integral:
ˆ x
a
f (n+1)(s)
n!
(x− s)nds.
Observación: Dentro del intervalo de convergencia de Tf,a(x) se tiene que:
Tf,a,n(x)→ Tf,a(x) cuando n→∞
y por ende si f(x) es anaĺıtica cuando |x− a| < r entonces
f(x)− Tf,a,n → 0 cuando n→∞
De hecho, converge uniformemente. De esta forma se puede demostrar que una función es anaĺıtica.
41
4. Vectores y geometŕıa en R3
4.1. Introducción
Definición:
Se define R3 como el conjunto:
R3 = R× R× R = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R}
Esta representación permite expresar regiones del espacio mediante ecuaciones.
Sus elementos se representan por vectores. Se asume ~r = (r1, r2, r3), ~a = (a1, a2, a3), etc. a menos
que se explicite lo contrario.2
Se define la longitud de un vector como:
‖~a‖ =
√√√√ 3∑
i=1
a2i
Se define la distancia entre dos puntos/vectores como:
d(~a,~b) =
∥∥∥~a−~b∥∥∥
4.2. Operaciones lineales en R3
Suma: ~a+~b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3).
Multiplicación por escalar: α~a = (αa1, αa2, αa3).
Ambas operaciones conservan las propiedades lineales. Es decir,
~a+~b = ~b+ ~a.(
~a+~b
)
+ ~c = ~a+
(
~b+ ~c
)
.
λ
(
~a+~b
)
= λ~a+ λ~b.
λ(β ~a) = (λβ)~a.
λβ~a = βλ~a.
2Puede omitirse el signo de vector mientras se explicite que el objeto pertenece a R3. Por ejemplo, r ∈ R3.
42
4.3. Producto escalar y norma
Definición: Sean x e y dos vectores de Rn, se define el producto escalar como la operación · : Rn → R
tal que:
x · y =
n∑
i
xiyi
y que con z ∈ Rn y λ ∈ R verifica las siguientes propiedades:
x · y = y · x.
(λx) · y = x · (λy) = λ (x · y).
x · (y + z) = x · y + x · z.
Definición: Se define la norma como la operación Rn → R+ ∪ {0} tal que:
‖~x‖ =
√
~x · ~x =
√√√√ n∑
i=1
x2i
y que verifica las siguientes propiedades:
‖~a‖ = 0⇐⇒ ~a = ~0.
‖λ~a‖ = |λ| ‖~a‖.
Por ley del coseno: x · y = ‖x‖ ‖y‖ cosα.
Teorema: (desigualdad de Cauchy-Schwarz) Sean x, y vectores de Rn, entonces se verifica que:
|x · y| ≤ ‖x‖ ‖y‖
Demostración: Consideramos x− αy con α ∈ R. Se tiene que:
‖x− αy‖2 = (x− αy) · (x− αy) = ‖x‖2 + α2 ‖y‖2 − 2αx · y
Como la expresión es una función cuadratica de α que tiene que ser mayor o igual a cero, entonces el
discriminante de la expresión verifica que:
4 |x · y|2 − 4 ‖x‖2 ‖y‖2 ≤ 0
De donde se concluye que:
43
|x · y| ≤ ‖x‖ ‖y‖ �
Y la igualdad solo se verifica cuando x = λy o viceversa.
Teorema: (desigualdad triangular) Sean x, y vectoresde Rn, entonces se cumple que:
‖x‖+ ‖y‖ ≥ ‖x+ y‖
Demostración:
‖x+ y‖2 = (x+ y) · (x+ y) = ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2x · y
Por el teorema de Cauchy-Schwarz se sigue que:
‖x‖2 + ‖y‖2 + 2x · y ≤ ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2 ‖x‖ ‖y‖
Por lo tanto:
‖x+ y‖2 ≤ (‖x‖+ ‖y‖)2
Como por definición de norma ambas expresiones son necesariamente positivas, concluimos:
‖x‖+ ‖y‖ ≥ ‖x+ y‖ �
Definición:
x e y vectores de Rn se dicen perpendiculares u ortogonales (se nota x⊥y) si es que x · y = 0.
x e y vectores de Rn son paralelos si es que existen α 6= 0 tal que x = αy ó αx = y.
Observación: 0 es paralelo y ortogonal a todo vector en Rn.
4.4. Rectas en R3
Una recta en R3 se puede representar por medio de las siguientes parametrizaciones:
Ecuación vectorial: Una recta que pasa por los puntos a y b se puede representar como:
L : ~a+ (~b− ~a)t t ∈ R
O análogamente ~p+ t~d donde ~p es el punto y ~d es el vector dirección.
44
Ecuación paramétrica: De la ecuación anterior se tiene que:
x ∈ L ⇐⇒
 x1x2
x3
 =
 p1p2
p3
+ t
 d1d2
d3

De donde se desprende que la recta se puede representar por:
L :

x1(t) = p1 + td1
x2(t) = p2 + td2
x3(t) = p3 + td3
Ecuación cartesiana: Igualando el parámetro:
x1 − p1
d1
=
x2 − p2
d2
=
x3 − p3
d3
4.5. Planos en R3
Un plano en R3 también se puede expresar mediante las mismas parametrizaciones:
Ecuación vectorial: Un plano se puede caracterizar por un vector normal y un punto que pertenece
a él. Luego, la diferencia de cualquier punto debe ser ortogonal a la normal:
Π = {x ∈ Rn : n · (x− p) = 0}
De aqúı se sigue que se tiene que verificar que:
n · x = c
Donde n · p = c que es un número real fijo. Además notamos que:
 xy
z
 ∈ Π⇐⇒
 n1n2
n3
 ·
 xy
z
 = c =⇒ n1x+ n2y + n3z = c
Se toma una variable y se despeja. Por ejemplo, z:
z =
c− n1x− n2y
n3
Luego un vector (x, y, z) en el plano se escribe como:
45
 xy
z
 =
 xyc− n1x− n2y
n3
 =
 00c
n3
+ x
 10
−n1
n3
+ y
 01
−n2
n3

Con x e y arbitrarios. Es decir, para p, s y d vectores en R3 todo plano también se puede representar
como:
x ∈ Π⇐⇒ x = p+ λs+ td λ, t ∈ R
Ecuación paramétrica: se sigue que:
x ∈ Π⇐⇒
 xy
z
 =
 p1p2
p3
+ λ
 s1s2
s3
+ t
 d1d2
d3

Π :

x(λ, t) = p1 + λs1 + td1
y(λ, t) = p2 + λs2 + td2
z(λ, t) = p3 + λs3 + td3
Ecuación cartesiana: de la ecuación normal es directo:
n1x+ n2y + n3z = c
con c = n · p.
4.6. Producto cruz
Definición: Se define el producto cruz o producto vectorial entre dos vectores ~a y ~b en R3 como aquel
vector que cumple:
~a×~b⊥~a y ~a×~b⊥~b.∥∥∥~a×~b∥∥∥ = ‖~a‖ ∥∥∥~b∥∥∥ sin θ.
La dirección queda determinada por la regla de la mano derecha.
Además si ~a = a1î+ a2ĵ + a3k̂ y ~b = b1î+ b2ĵ + b3k̂ entonces:
~a×~b =
∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
a1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣ = î
∣∣∣∣ a2 a3b2 b3
∣∣∣∣− ĵ ∣∣∣∣ a1 a3b1 b3
∣∣∣∣+ k̂ ∣∣∣∣ a1 a2b1 b2
∣∣∣∣
Propiedades: Sean u, w, a, b y c en R3 y λ ∈ R, entonces se verifican las siguientes propiedades para
×:
46
1. Anticonmutatividad: a× b = −b× a.
2. λ (a× b) = (λa)× b = a× (λb).
3. a× (b+ c) = a× b+ a× c.
4. u · (v × w) = (u× v) · w.
5. u× (v × w) = (u · w) v − (u · v)w.
Demostración:
(1) Recordando que una operación elemental de permutación tiene determinante −1 se tiene que:
a× b = î
∣∣∣∣ a2 a3b2 b3
∣∣∣∣− ĵ ∣∣∣∣ a1 a3b1 b3
∣∣∣∣+ k̂ ∣∣∣∣ a1 a2b1 b2
∣∣∣∣
a× b = −î
∣∣∣∣b2 b3a2 a3
∣∣∣∣+ ĵ ∣∣∣∣ b1 b3a1 a3
∣∣∣∣− k̂ ∣∣∣∣ b1 b2a1 a2
∣∣∣∣
a× b = −b× a
(2) Recordando que una matriz de escalamiento Ei(λ) tiene determinante λ se sigue que:
λ (a× b) = λ
∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
a1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣
(λa)× b =
∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
λa1 λa2 λa3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣ = |E2(λ)|
∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
a1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣ = λ
∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
a1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣
a× (λb) =
∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
a1 a2 a3
λb1 λb2 λb3
∣∣∣∣∣∣ = |E3(λ)|
∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
a1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣ = λ
∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
a1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣
Por transitividad se verifica la igualdad.
(3) Tenemos que:
a× (b+ c) =
∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
a1 a2 a3
b1 + c1 b2 + c2 b3 + c3
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
a1 a2 a3
b1 + c1 b2 + c2 b3 + c3
∣∣∣∣∣∣ = î [a2(b3 + c3)− a3(b2 + c2)]
−ĵ [a1(b3 + c3)− a3(b1 + c1)] + k̂ [a1(b2 + c2)− a2(b1 + c1)]
Desarrollando y reagrupando se tiene que:
47
∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
a1 a2 a3
b1 + c1 b2 + c2 b3 + c3
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
a1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
a1 a2 a3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣
a× (b+ c) = a× b+ a× c
(4) Se quiere demostrar que:
u · (v × w) = (u× v) · w
Demostraremos que ambas expresiones son equivalentes. Notar que:
v × w =
∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
v1 v2 v3
w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣
= (v2w3 − v3w2) î− (v1w3 − v3w1) ĵ + (v1w2 − v2w1) k̂
Luego:
u · (v × w) = u1v2w3 − u1v3w2 + u2v3w1 − u2v1w3 + u3v1w2 − u3v2w1
Análogamente:
u× v =
∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
u1 u2 u3
v1 v2 v3
∣∣∣∣∣∣
= (u2v3 − u3v2) î− (u1v3 − u3v1) ĵ + (u1v2 − u2v1) k̂
Luego:
(u× v) · w = u2v3w1 − u3v2w1 + u3v1w2 − u1v3w2 + u1v2w3 − u2v1v3
De esta forma se verifica que ambas expresiones son equivalentes. �
(5) De forma análoga a la demostración anterior se verificará que las siguientes expresiones son equi-
valentes:
u× (v × w) = (u · w) v − (u · v)w
Notamos que:
48
u× (v × w) = u×
∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
v1 v2 v3
w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣
= u×
 v2w3 − v3w2v3w1 − v1w3
v1w2 − v2w1

=
∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
u1 u2 u3
v2w3 − v3w2 v3w1 − v1w3 v1w2 − v2w1
∣∣∣∣∣∣
=
 u2v1w2 − u2v2w1 − u3v3w1 + u3v1w3− (u1v1w2 − u1v2w1 − u3v2w3 + u3v3w2)
v1v3w1 − u1v1w3 − u2v2w3 + u2v3w2

Por otra parte:
u · w = u1w1 + u2w2 + u3w3
Entonces:
(u · w) v =
 u1w1v1 + u2w2v1 + u3w3v1u1w1v2 + u2w2v2 + u3w3v2
u1w1v3 + u2w2v3 + u3w3v3

Con este mismo proceder se llega a que:
(u · v)w =
 u1v1w1 + u2v2w1 + u3v3w1u1v1w2 + u2v2w2 + u3v3w2
u1v1w3 + u2v2w3 + u3v3w3

⇒ (u · w) v − (u · v)w =
 u2v2w2 − u2v2w1 − u3v3w1 + u3v1w3u1v2w1 + u3v2w3 − u1v1w2 − u3v3w2
u1v3w1 − u1v1w3 − u2v2w3 + u2w2v3

Revisando con cuidado (y paciencia) se concluye que ambas expresiones son equivalentes. �
4.6.1. Producto mixto
Definición: Sean ~u,~v, ~w vectores de R3, entonces se define el producto mixto o producto caja como:
[~u,~v, ~w] = ~u · (~v × ~w)
Por lo tanto, de acuerdo a la definición de ambas operaciones se tiene que:
[~u,~v, ~w] =
∣∣∣∣∣∣
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣
49
Observación: |[~u,~v, ~w]| corresponde al volumen signado del paraleleṕıpedo determinado por los vec-
tores ~u, ~v y ~w. Notarlo no es complicado:
|[~u,~v, ~w]| = |~u · (~v × ~w)| = |~u| |~v × ~w| cos θ 0 ≤ θ ≤ π
2
Sabemos que |~v × ~w| corresponde al área del paralelógramo, que se multiplica por la altura, dada por
|~u| cos θ (la proyección del vector ~u).
Propiedades: El producto mixto verifica que:
(1) [u, v, w] = −[u,w, v]
(2) [u, v, w] = [w, u, v] = [v, w, u]
Demostración:
(1)
[u, v, w] =
∣∣∣∣∣∣
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣ = −
∣∣∣∣∣∣
u1 u2 u3
w1 w2 w3
v1 v2 v3
∣∣∣∣∣∣ = −[u,w, v]
(2)
[u, v, w] =
∣∣∣∣∣∣
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣ = (−1)2
∣∣∣∣∣∣
w1 w2 w3
u1 u2 u3
v1 v2 v3
∣∣∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸
F2 ←→ F3
F1 ←→ F2
= [w, u, v]
[u, v, w] =
∣∣∣∣∣∣
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣ = (−1)2
∣∣∣∣∣∣
v1 v2 v3
w1 w2 w3
u1 u2 u3
∣∣∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸
F1 ←→ F2
F2 ←→ F3
= [v, w, u]
Observación: Sean dos rectas L1 : p1 + λd1 y L1 : p2 + λd2.
son paralelas si d1 × d2 = 0.
son alabeadas si [p1 − p2, d1, d2] 6= 0
se intersectan si [p1 − p2, d1d2] = 0.
50
4.7. Combinaciones lineales
Definición: Para r1, . . . , rm ∈ Rn (m ≤ n) se dice que r ∈ Rn es una combinación lineal de dichos
vectores si es que existen α1, . . . , αm ∈ R tales que:
r = α1r1 + . . .+ αmrm
Definición: Se dice que los vectores r1, . . . , rm ∈ Rn(m ≤ n) se dicen linealmente independientes si y
solo si:
α1r1 + . . .+ αmrm = 0⇐⇒ (∀i ≤ m) αi = 0
4.8. Conjuntos equidistantes en R3
Caso de 2 vectores: Para r = (x, y, z) que equidista de dos vectores a y b se cumple que:
‖r − a‖2 = ‖r − b‖2
‖r‖2 − 2r · a+ ‖a‖2 = ‖r‖2 − 2r · b+ ‖b‖2
‖b‖2 − ‖a‖2
2
= r · (b− a)
Se concluye que el vector r se debe encontrar en el plano:
r · (b− a) = 1
2
(b− a) · (b+ a)
Siendo b− a un vector normal. Notar que de la ecuación anterior:
(b− a) ·
(
r − b+ a
2
)
= 0
Caso de 3 vectores: Para r = (x, y, z) que equidista de los vectores a, b y c se cumple que:
‖r − a‖2 = ‖r − b‖2 = ‖r − c‖2
De acuerdo al caso anterior, podemos considerar dos planos:
Π1 = {x ∈ R3 : ‖r − a‖2 = ‖r − b‖2}
Π2 = {x ∈ R3 : ‖r − a‖2 = ‖r − c‖2}
De donde se observa que:
51
r ∈ Π1 ⇐⇒
(
r − b+ a
2
)
⊥ (b− a)
r ∈ Π2 ⇐⇒
(
r − c+ a
2
)
⊥ (c− a).
Buscamos que r ∈ Π1 ∩ Π2 para que se cumplan simultáneamente ambas expresiones. Observamos
que:
(b− a)× (c− a)⊥(b− a) y (b− a)× (c− a)⊥(c− a)
De esta forma, encontramos la recta que satisface la condición:
L : r + t(b− a)× (c− a)
pues
[r + t(b− a)× (c− a)] · (b− a) = 1
2
(b− a) · (b+ a)
[r + t(b− a)× (c− a)] · (c− a) = 1
2
(c− a) · (c+ a)
4.9. Intersección de planos y rectas
Considerando dos planos en R3: Π1 : n1 · (x− p1) = 0 y Π2 : n2 · (x− p2) = 0.
Si n1 ∦ n2 entonces los planos se intersectan en una recta.
Si n1 ‖ n2 entonces:
• si (p1 − p2) · n1 = 0 los planos son el mismo. Se puede hacer la prueba con otros vectores
cualesquiera.
• si no se cumple esto, los planos son paralelos.
Considerando un plano y una recta: Π : {r ∈ R3 : r · n = c} y L : {r ∈ R3 : r = p + td t ∈
R; p, d ∈ R3}.
si d⊥n:
• si p ∈ Π (n · p = c) entonces L ⊂ Π.
• si p /∈ Π entonces L ∩Π = ∅.
si d · n 6= 0 entonces si r ∈ L ∩Π se tiene que
{
r · n = c
r = p+ td
por lo que p · n+ td · n = c. Luego:
t =
c− p · n
d · n
se concluye:
L =
{
p+
c− p · n
d · n
d
}
52
4.10. Distancias a puntos y rectas
Antes de deducir las formulas se presenta un marco teórico previo:
Definición: Si A ⊆ Rn y x ∈ Rn se define la distancia de x a A como
d(x,A) = ı́nf
y∈A
‖x− y‖
Proposiciones:
Si A 6= ∅ entonces d(x,A) es finito y mayor o igual a cero.
d(x,A) ≤ ‖x− z‖+ d(z,A).
Definición: Decimos que A 6= ∅, A ⊂ Rn es cerrado si d(x,A) = 0⇒ x ∈ A.
Teorema: Sea x ∈ Rn y A ⊂ Rn. Si A 6= ∅ es cerrado, entonces existe z ∈ A tal que:
‖x− z‖ ≤ ‖x− y‖ ∀y ∈ A
Definición: Si dice que C ⊂ Rn es convexo si ∀x, y ∈ C:
[x, y] = {λx+ (1− λ)y : λ ∈ [0, 1]} ⊂ C
Teorema: Si C ⊂ Rn es convexo y cerrado y x /∈ C entonces z ∈ C es el punto (único) más cercano
a x en C. Es decir,
x− z ≤ x− y ⇐⇒ (x− z) · (y − z)︸ ︷︷ ︸
θ≥π/2
≤ 0
Demostración:
(⇐) Sea z ∈ C satisfaciendo (x− z) · (y − z) ≤ 0. Entonces:
‖x− y‖2 = ‖(x− z) + (z − y)‖2 = ‖x− z‖2︸ ︷︷ ︸
≥0
+2 (x− z) · (z − y)︸ ︷︷ ︸
≥0
+ ‖z − y‖2︸ ︷︷ ︸
≥0
≥ 0
Es inmediato que la última expresión es mayor a ‖x− z‖2. Entonces:
‖x− y‖2 ≥ ‖x− z‖2
53
Se desprende de inmediato la unicidad. Si suponemos z1 6= z2 se tiene que:
‖x− z1‖2 = ‖x− z2‖2
Bajo el mismo argumento anterior se llega a que:
0 ≤ ‖z2 − z1‖2 ≤ 0
De donde se concluye que z2 = z1.
(⇒) Sea z ∈ C tal que ‖x− z‖ ≤ ‖x− y‖ (∀y ∈ C) y sea y ∈ C, como C es convexo, entonces
z + λ(y − z) ∈ C ∀λ ∈ [0, 1] y por lo tanto:
‖x− z‖2 ≤ ‖x− [z + λ(y − z)]‖2 ∀y ∈ C
⇒ ‖x− z‖2 ≤ ‖x− z‖2 − 2λ(x− z) · (y − z) + λ2 ‖y − z‖2
⇒ (x− z) · (y − z) ≤ λ
2
‖y − z‖
Tomando ĺım
λ→0+
:
⇒ (x− z) · (y − z) ≤ 0
Quedan demostradas las dos implicancias, y por lo tanto la equivalencia. �
Definición: Si C es convexo cerrado y no vaćıo y x ∈ Rn se define PC(x) como z ∈ C que satisface
que ‖x− z‖ ≤ ‖x− y‖.
Proposición:
1. los planos y rectas son conjuntos cerrados y convexos.
2. si r1 y r2 pertenecen a unplano Π o una recta L entonces r1 + λ(r2 − r1) ∈ Π para todo λ ∈ R.
Demostración: (1) Si Π = {r ∈ R3 : r · n = c} con n ∈ R3 y c ∈ R dados y r1 y r2 ∈ Π. Luego,
[λr1 + (1− λ)r2] · n = λ(r1 · n) + (1− λ) (r2 · n) = λc+ (1− λ)c = c (∀λ ∈ R)
Teorema: Si Π es un plano (o L es una recta) y x /∈ Π entonces el punto z ∈ Π más cercano a x
satisface:
(x− z) · (y − z) = 0 ∀y ∈ Π
Demostración: Si z ∈ Π es el punto más cercano a x entonces
54
(x− z) · (y − z) ≤ 0 ∀y ∈ Π
Si y ∈ Π, como z ∈ Π entonces z + λ(y − z) ∈ Π (∀y ∈ R) y luego (x− z) · (λ(y − z)) ≤ 0.
Si tomamos λ = 1 se verifica que (x− z) · (y− z) ≤ 0. Si λ = −1 se verifica que (x− z) · (y− z). Como
debe cumplirse simultáneamente para ambos casos. Es condición necesaria que (x− z) · (y− z) = 0. �
Después de este marco teórico se pueden establecer las fórmulas para distancia punto-plano:
Distancia punto-plano: Sea Π = {r ∈ R3 : r · n̂ = c} un plano en R3. Para un vector x se la
proyección z ∈ Π que representa la distancia mı́nima al plano. Luego,
x =
x · n̂− c︷︸︸︷z · n̂
 n̂
︸ ︷︷ ︸
x−z
+
c︷ ︸︸ ︷
(z · n̂) n̂+
dirección en el plano︷ ︸︸ ︷
(x− (x · n̂)n̂)︸ ︷︷ ︸
∈Π
De donde se sigue que:
d(x,Π) = ‖x− z‖ = |x · n̂− c|
y para la distancia punto-recta:
Distancia punto-recta: Sea L = {r ∈ R3 : r = p + λd λ ∈ R} con p ∈ R3 y d ∈ R3 y x un punto.
La altura del paralelógramo determinado por x− p y d corresponde a la distancia mı́nima del punto
a la recta. Es decir,
d(x,L) = ‖x− p‖ sinα = ‖x− p‖ ‖(x− p)× d‖
‖x− p‖ ‖d‖
Despejando:
d(x,L) = ‖(x− p)× d‖
‖d‖
Algunos casos particulares:
Distancia entre rectas: en caso de no intersectarse se toma un punto de una se calcula la distancia
punto-recta.
Distancia recta-plano: en caso de ser paralelos, se toma un punto de la recta y se calcula la
distancia al plano.
Distancia entre planos: se toma el punto de un plano se calcula la distancia punto-plano con el
otro.
55
5. Curvas en Rn
Definición: Se define una curva como un conjunto unidimensional en Rn que se ve representado por
una función de R→ Rn denominada parametrización.
5.1. Diferenciación e integración en vectores
Definición:
Definimos una función f : R→ Rn como f(t) = (f1(t), . . . , fn(t)), donde fi : R→ R.
f es continua en t0 si y solo si fi es continua ∀i ≤ n. Es decir, si
ĺım
t→t0
f(t) =
(
ĺım
t→t0
f1(t), ĺım
t→t0
f2(t), ĺım
t→t0
f3(t)
)
= f(t0)
Se dice que la curva Γ ⊂ Rn es continua si existe un intervalo I ⊂ R y una parametrización
continua tal que Γ = f(I).
Observación: Se puede observar que una curva continua Γ ⊂ Rn admite más de una paramtrización.
Las curvas, por lo tanto, pueden reparametrizarse.
Definición: Se dice que f : R→ Rn es derivable en t si
ĺım
h→0
f(t+ h)− f(t)
h
existe
Es decir, si ĺım
h→0
fi(t+ h)− fi(t)
h
existe. Análogamente, si f es derivable en t, entonces es continua en
dicho punto.
En este caso, la notación es f ′(t), y representa al vector tangente a la curva Γ en el punto t (representa
su velocidad).
Teorema: Si u, v : R→ R3, f : R→ R son funciones diferenciables y sea c ∈ R, entonces:
1.
d
dt
(u(t) + v(t)) =
d
dt
u(t) +
d
dt
v(t).
2.
d
dt
cu(t) = c
d
dt
u(t).
3.
d
dt
f(t)u(t) = f ′(t)u(t) + f(t)u′(t).
4.
d
dt
u(t) · v(t) = u′(t) · v(t) + u(t) · v′(t).
5.
d
dt
[u(t)× v(t)] = u′(t)× v(t) + u(t)× v′(t). Notar que por este caso en particular se consideran
u y v vectores de R3. Los teoremas anteriores son generalizables para Rn.
56
Teorema: Sea Γ una curva parametrizada por r : R → R3 diferenciable. Entonces, si ‖r(t)‖ es
constante, entonces r(t) y r′(t) son ortogonales.
Demostración:
d
dt
‖r(t)‖ = 2r(t) · r′(t) = 0 =⇒ r(t) · r′(t) = 0�
Definición: Sea r : R→ Rn continua, se define
ˆ b
a
r(t)dt = ĺım
∆ti→0
n∑
i=1
r(ti)∆ti
donde ∆ti = ti − ti−1 y a = t0 < . . . < tn = b. Entonces:
ˆ b
a
r(t)dt =
(ˆ b
a
x(t)dt,
ˆ b
a
y(t)dt,
ˆ b
a
z(t)dt
)
5.2. Longitud de curva y arcoparámetro
Definición: Sea Γ una curva en Rn con una parametrización r : R→ Rn diferenciable. Se define la
longitud de arco como:
ds
dt
=
∥∥r′(t)∥∥ −→ s(t) = ˆ t
a
∥∥r′(t)∥∥ dt
Proposición: La longitud de Γ es independiente de la parametrización con si r′(t) es continua y
distinta de cero y r es inyectiva.
Demostración: Si Γ : r([a, b]), entonces σ : [c, d] → Γ ⊂ R3 es otra parametrización con las mismas
propiedades.
Luego, existe τ : [a, b] → [c, d] continuamente diferenciable, con τ ′ 6= 0 y tal que r(t) = σ(τ(t))
entonces:
r′(t) = σ′(τ(t))τ ′(t)
Por lo tanto:
L(Γ) =
ˆ b
a
∥∥r′(t)∥∥ dt
=
ˆ b
a
∥∥σ′(τ(t))τ ′(t)∥∥ dt
=
ˆ b
a
∥∥r′(τ)∥∥ dτ
57
Por lo tanto, la longitud de la curva es la misma. Esto sirve como corolario para la definición que se
presenta a continuación.
Observaciones: Si r(t) es derivable y tal que r′(t) 6= 0 entonces:
r : [a, b]→ Γ ⊂ R3 es biyectiva.
s(t) : [a, b]→ [0, L(Γ)] y s′(t) 6= 0 para todo t ∈ [a, b].
Luego, existe t = s−1(s). Es decir, cada longitud de arco se puede asociar a un instante del
parámetro inicial, y por lo tanto t puede ser una función de la longitud s.∥∥∥∥drds
∥∥∥∥ = ∥∥∥∥drdt · dtds
∥∥∥∥ = ∥∥∥∥drdt · dtdr
∥∥∥∥ = 1. Al hacer una parametrización en función de la longitud arco
se obtiene una velocidad constante.
Definición: Se define la reparametrización por longitud de arco o el arcoparámetro como la parame-
trización r ◦ s−1 : [0, L(Γ)]→ Γ ⊂ Rn denotada por r(t(s)).
El arcoparámetro es único para la curva que representa.
5.3. Propiedades geométricas de curvas
Definición: Sea Γ una curva representada por la parametrización r : [a, b] → Γ diferenciable, con
r′(t) 6= 0 y s su arcoparámetro, entonces se define:
El vector tangente unitario como T =
r′(t)
‖r′(t)‖
.
La curvatura como κ =
∥∥∥∥dTds
∥∥∥∥.
El vector normal como N =
dT
dt
/
∥∥∥∥∥dTdt
∥∥∥∥∥.
El vector binormal como B = T ×N .
La torsión como τ = −N · dB
ds
.
Definición:
Se define el plano normal a r(t) como r(t) + 〈N(t), B(t)〉.
Se define el plano osculador a r(t) como r(t) + 〈N(t), T (t)〉.
58
Teorema: (Fórmulas de Frenèt-Serret) Para una curva con parametrización diferenciable se verifica
que:
1.
dT
ds
= κN .
2.
dN
ds
= −κT + τB.
3.
dB
ds
= −τN .
Esta información se puede representar en la siguiente matriz antisimétrica:
dV
ds
=
 0 κ 0−κ τ
0 −τ 0
V donde V =
 TN
B

Demostración: Observamos que T , N y B son vectores ortogonales entre śı y unitarios. Luego, forman
una base ortonormal de Rn. Es decir, cada una de las derivadas se puede escribir como una combinación
lineal de dichos vectores.
(1) Observamos que:
N =
dT
dt∥∥∥∥dTdt
∥∥∥∥ =
dT
ds
ds
dt∥∥∥∥dTds dsdt
∥∥∥∥ =
dT
ds
∥∥r′(t)∥∥∥∥∥∥dTds
∥∥∥∥∥∥r′(t)∥∥ =
dT
ds
κ
De donde se obtiene que:
dT
ds
= κN �
(2) Del preámbulo de la demostración sabemos que se pueden encontrar α, β y γ reales tales que:
dN
ds
= αT + βN + γB
Queremos encontrar dichos coeficientes. Para ello, recordamos que si:
u = δ1v1 + δ2v2 + δ3v3 con v1, v2, v3 ortogonoales
Entonces δi = u·vi. Aplicaremos esta idea en esta demostración. Sabemos a priori que T ·N = B ·N = 0
(por ortogonalidad) y que N ·N = 1 (pues es la norma de un vector unitario), luego:
d
ds
(T ·N) = dT
ds︸︷︷︸
κN
·N + dN
ds
· T = 0 −→ dN
ds
· T = α = −k
59
d
ds
(N ·N) = 2dN
ds
·N = 0 −→ dN
ds
·N = β = 0
d
ds
(B ·N) = dB
ds
·N︸ ︷︷ ︸
−τ por def
+
dN
ds
·B = 0 −→ dN
ds
·B = γ = τ
Se concluye que:
dN
ds
= −κT + τB�
(3) De forma análoga:
dB
ds
= αT + βN + γB
Donde γ = 0 por el mismo razonamiento usado anteriormente. Además, bajo el mismo procedimiento:
d
ds
(T ·B) = dT
ds︸︷︷︸
κN
·B + dB
ds
· T = 0 −→ dB
ds
· T = α = 0
d
ds
(N ·B) = dN
ds
·B + dB
ds
·N = τ + dB
ds
·N = 0 −→ dB
ds
·N = β = −τ
Notar que en el último paso se reemplazó con el resultado obtenido en (2). Se concluye que:
dB
ds
= −τN �
Proposición: Las propiedades geométricas de las curvas se pueden representar por medio de los
siguientes vectores:
1. κ =
‖r′(t)× r′′(t)‖
‖r′(t)‖3
.
2. B =
r′(t)× r′′(t)
‖r′(t)× r′′(t)‖
.
3. N =
(r′(t)× r′′(t))× r′(t)
‖r′(t)×r′′(t)‖ ‖r′(t)‖
.
4. τ =
(r′(t)× r′′(t)) · r′′′(t)
‖r′(t)× r′′(t)‖2
.
60
Demostración:
(1) Sabemos por regla de la cadena que:
κ =
∥∥∥∥dTdt · dtds
∥∥∥∥ = ∥∥∥∥dTdt
∥∥∥∥ · 1‖r′(t)‖
Debemos encontrar una expresión para
∥∥∥∥dTdt
∥∥∥∥. Como T es unitario, entonces T ′⊥T y además al derivar
r′(t) = T
ds
dt
se obtiene que:
r′′(t) = T ′
ds
dt
+ T
d2s
dt2
El segundo término de esta expresión se anula si es que tomamos r′(t)× r′′(t):
r′(t)× r′′(t) = T × T ′
(
ds
dt
)2
︸ ︷︷ ︸
‖r′(t)‖2
Y sabiendo que ‖T‖ = 1 se llega a que:
∥∥r′(t)× r′′(t)∥∥ = ∥∥r′(t)∥∥2 ∥∥∥∥dTdt
∥∥∥∥ ‖T‖ sinα donde α = π2 pues T⊥T ′
Finalmente, reemplazando en la fórmula que se teńıa para κ:
κ =
‖r′(t)× r′′(t)‖
‖r′(t)‖3
�
(2) Recordamos que:
r′(t)× r′′(t) = T × T ′
∥∥r′(t)∥∥2 = T ×N︸ ︷︷ ︸
B
∥∥∥∥dTdt
∥∥∥∥∥∥r′(t)∥∥2
Además, de la demostración anterior, tenemos que
∥∥∥∥dTdt
∥∥∥∥ = ‖r′(t)× r′′(t)‖‖r′(t)‖2 . Luego,
r′(t)× r′′(t) = B
∥∥r′(t)× r′′(t)∥∥
Concluimos que:
B =
r′(t)× r′′(t)
‖r′(t)× r′′(t)‖
�
61
(3) Como B = T ×N entonces N = B × T . Es inmediato que:
N = B × T = (r
′(t)× r′′(t))× r′(t)
‖r′(t)× r′′(t)‖ ‖r′(t)‖
�
(4) Como {B, T,N} es una base ortonormal, entonces:
r′′′(t) = αT + βB + γN
Recordemos que:
r′′(t) = N
∥∥∥∥dTdt
∥∥∥∥ dsdt︸ ︷︷ ︸
‖r′(t)‖2
+T
d2s
dt2
Al derivar esta expresión, nos importa el término que acompaña a B. Dicho término aparecerá al
derivar N con respecto a t. Es decir,
r′′′(t) = . . .+ κ
∥∥r′(t)∥∥2 dN
dt
= . . .+ κ
∥∥r′(t)∥∥2 dN
ds
ds
dt
= . . .+ κ
∥∥r′(t)∥∥3 dN
ds︸︷︷︸
−κT+τB
←− fórmula de Frenet
Luego,
r′′′(t) ·B = κ
∥∥r′(t)∥∥3 τ = ∥∥r′(t)× r′′(t)∥∥ τ
Concluimos que:
τ =
r′′′(t) ·B
‖r′(t)× r′′(t)‖
=
(r′(t)× r′′(t)) · r′′′(t)
‖r′(t)× r′′(t)‖2
�
62
Formulario
Áreas y volúmenes:
Área entre curvas:
• Cartesiana:
ˆ b
a
|f(x)− g(x)|dx.
• Polares:
ˆ θ2
θ1
∣∣∣∣ρ(θ)22 − ϕ(θ)22
∣∣∣∣ dθ
• Paramétricas:
ˆ tf
ti
y(t)ẋ(t)dt, x(t) creciente.
Fórmula general para volúmenes:
ˆ b
a
A(x)dx donde A(x) es el área de la sección trasnversal.
Volumen de rotación en torno al eje x:
• Cartesiana:
ˆ b
a
πf2(x)dx.
• Polares: 2π
ˆ θ2
θ1
ρ3
3
sin θdθ.
Volumen de rotación en torno al eje y:
ˆ f(b)
f(a)
πx2dy =
ˆ b
a
πx2f ′(x)dx. a y b son los puntos en el
eje x.
En torno al eje y por casquetes ciĺındricos:
ˆ b
a
2πxf(x)dx.
Para coordenadas paramétricas con x(t) creciente:
A =
ˆ tf
ti
y(t)ẋ(t)dt
Momentos y centros de masa:
C =
momento
masa
Momento de una ĺınea:
ˆ b
a
xρ(x)dx. Masa de una ĺınea:
ˆ b
a
ρ(x)dx.
Momento de una placa:
x̄ =
ˆ b
a
ρ(x)xf(x)dx
ȳ =
ˆ b
a
ρ(x)
f2(x)
2
dx
63
ρ(x) sólo depende del eje x. Si ρ(x) es constante, se anulan.
Para coordenadas cartesianas:
x̄ =
1
A
ˆ b
a
1
3
r3 cos θdθ
ȳ =
1
A
ˆ b
a
1
3
r3 sin θdθ
Masa de una placa con densidad constante: m =
ˆ b
a
ρ(x)f(x)dx.
Momento de área entre curvas:
x̄ =
ˆ b
a
ρ(x)x|f(x)− g(x)|dx
ȳ =
ˆ b
a
ρ(x)
(
f(x) + g(x)
2
)
|f(x)− g(x)|dx
Centro de masa para sólido de revolución en torno al eje x: Cuidadosamente aplicado, también
sirve para el eje y.
ȳ = z̄ = 0
x̄ =
ˆ b
a
ρ(x)xπf2(x)dx
ˆ b
a
ρ(x)πf2(x)dx
Centro de masa para solido de revolución en torno al eje y:
x̄ = z̄ = 0
ȳ =
ˆ b
a
ρ(x)πxf2(x)dx
ˆ b
a
ρ(x)2πf(x)dx
Centro de masa para una curva a densidad constante:
x̄ =
ˆ b
a
x
√
1 + f ′(x)2
ˆ b
a
√
1 + f ′(x)2
ȳ =
ˆ b
a
y
√
1 + f ′(x)2
ˆ b
a
√
1 + f ′(x)2
• Coordenadas polares:
x̄ =
1
3A
ˆ b
a
r3 cos θdθ
ȳ =
1
3A
ˆ b
a
r3 sin θdθ
64
Distancia punto recta: (para el centroide)
r =
√
(ax̄+ bȳ + c)2
a2 + b2
Longitud de curvas:
En coordenadas cartesianas:
L =
ˆ b
a
√
1 + f ′(x)2dx
En coordenadas paramétricas:
L =
ˆ tf
ti
√
ẋ(t)2 + ẏ(t)2dt
En coordenadas polares:
L =
ˆ θf
θi
√
r(θ)2 + r′(θ)2dθ
Superficies de revolución:
Ax =
ˆ b
a
yds Ay =
ˆ b
a
xds
En coordenadas cartesianas:
• En torno al eje x:
A =
ˆ b
a
2πf(x)
√
1 + f ′(x)2dx
• En torno al eje y:
A =
ˆ b
a
2πx
√
1 + f ′(x)2dx
En coordenadas paramétricas:
A =
ˆ tf
ti
2πy(t)
√
x′(t)2 + y′(t)2dt
En coordenadas polares:
• En torno al eje x:
A =
ˆ θ2
θ1
r sin θ
√
r(θ)2 + r′(θ)2dθ
• En torno al eje y:
A =
ˆ θ2
θ1
r cos θ
√
r(θ)2 + r′(θ)2dθ
65
Teorema del centroide de Pappus: Ambos teoremas funcionan para cualquier sistema de coorde-
nadas. Resultan útiles en especial para los cálculos en polares y paramétricas.
Volúmenes de revolución: Para una región que está a un solo lado de la recta obĺıcua.
V = A · d
donde A es el área de la región y d = 2πr es la distancia recorrida por el centroide.
Superficies de revolución:
A = L · d
donde L es la longitud de la curva y d = 2πr es la distancia recorrida por el centroide.
Propiedades geométricas de las curvas:
Vector tangente: T =
dr
ds
=
r′(t)
‖r′(t)‖
.
Curvatura: κ =
∥∥∥∥dTds
∥∥∥∥ = ‖r′(t)× r′′(t)‖‖r′(t)‖3 .
Vector normal : N =
dT
dt∥∥∥∥dTdt
∥∥∥∥ =
(r′(t)× r′′(t))× r′(t)
‖r′(t)× r′′(t)‖ ‖r′(t)‖
.
Vector binormal : B = T ×N = r
′(t)× r′′(t)
‖r′(t)× r′′(t)‖
.
Torsión: τ = −N · dB
ds
=
(r′(t)× r′′(t)) · r′′′(t)
‖r′(t)× r′′(t)‖2
.
Triedro de Frenèt:
 T ′N ′
B′
 =
 κ−κ τ
−τ
 TN
B

66