Semana 2 deber 2

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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
ÁLGEBRA LINEAL • DEBER SEMANA 02
Semestre 2022-A Departamento de Formación Básica
1. Sea A ∈ R3×3
A =



1 −5 0
0 1 −1
0 15 1



Realizar las siguientes operaciones elementales para obtener la matriz escalonada:
a) −15F2 + F3 → F3
b)
1
16
F3 → F3
2. Determinar si la siguiente matriz es nilpotente
A =



1 1 3
5 2 6
−2 −1 −3



3. Si A ∈ Kn×n, demuestre que:
a) AAT y AT A es simétrica.
b) A + AT es simétrica.
c) A − AT es antisimétrica.
4. Dado k ∈ R, sea Dk = kIn la matriz escalar asociada al escalar k. Sea k
′
∈ R, probar que DkDk′ = Dkk′ .
5. Resuelva los siguientes enunciados:
a) Escriba la fórmula del binomio de Newton para dos números reales a y b.
b) Considere la matriz A definida por:
A =



−3 0 2
0 −3 1
0 0 −3



.
Descomponga la matriz A en la suma de una matriz escalar (−3I3) y una matriz que llamaremos
B. Calcule Bn para todo n ∈ N∗
c) Calcule An, para todo n ∈ N∗, utilizando la fórmula del binomio de Newton.
6. Dada la matriz:
A =
(
−2 5
0 −2
)
Determinar An, para todo n ∈ N∗.
7. Sea A ∈ R3×2
A =



1 3
3 −4
0 −13



Realizar las siguientes operaciones elementales:
1
a) −3F1 + F2 → F2
b) −
1
13
F2 → F2
c) 13F2 + F3 → F3
8. Sea A ∈ R3×3
A =



1 −2 1
0 2 −8
−4 5 9



Realizar operaciones elementales hasta obtener una matriz identidad I3.
9. Dada la matriz:
A =



1 2 1 3
1 1 2 −4
1 2 0 7



Hallar una matriz B escalonada por filas equivalente a la matriz A.
10. Al realizar las siguientes operaciones elementales de fila sobre la matriz A, se obtiene la matriz identidad
I4
a) −2F1 + F4 → F4
b) −F3 + F2 → F2
c) −2F1 → F1
d) F4 ↔ F2
Hallar la matriz A.
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