Semana 2 Ejercicios 2

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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
ÁLGEBRA LINEAL • HOJA DE EJERCICIOS SEMANA 02
Semestre 2022-A Departamento de Formación Básica
1. Sean A ∈ R3×3 y B ∈ R3×4,
A =



1 0 3
0 −4 8
−2 0 −5



y B =



−1 2 3 1
−2 0 1 2
0 −1 −1 3



Obtener una matriz escalonada a partir de cada una de las matrices, realizando operaciones elementales.
2. Sean α, β ∈ R, considere la matriz A =



2 α 3
5 −6 2
β 2 4



. Encuentre todos los valores posibles de α y β tal
que A sea simétrica.
3. Sean A, B ∈ Rn×n, dos matrices simétricas. Demuestre que:
a) A + B es simétrica.
b) (AB)T = BA.
4. Sean A, B ∈ Rn×n, dos matrices antisimétricas. Demuestre que:
a) A + B es antisimétrica.
b) Toda componente en la diagonal principal de A es cero.
5. Dado k ∈ R, sea Dk = kIn la matriz escalar asociada al escalar k. Sean además A ∈ R
n×n y k′ ∈ R.
Probar que:
a) Dk A = ADk = kA.
b) Dk+k′ = Dk + Dk′ .
6. Dadas las matrices:
A =
(
1 −2
0 1
)
y B =



2 −1 1
0 2 1
0 0 2



.
Utilice la fórmula del binomio de Newton para determinar An y Bn para todo n ∈ N∗.
7. Sea A ∈ R3×4
A =



1 4 −1 4
2 4 3 5
−1 −8 6 −7



Realizar las siguientes operaciones elementales:
a) −2F1 + F2 → F2
b) F1 + F3 → F3
c) −F2 + F3 → F3
¿La matriz que se obtiene luego de realizar las operaciones elementales es escalonada?
1
8. Sea A ∈ R3×4
A =



1 2 3 1
2 6 3 7
1 3 8 12



Realizar operaciones elementales sobre la matriz A, para obtener una matriz escalonada.
9. Sea A ∈ R3×3
A =



1 1 1
−1 −1 3
2 1 −1



Realizar operaciones elementales sobre la matriz A hasta obtener la matriz identidad I3.
10. Al realizar las siguientes operaciones elementales de fila sobre la matriz A, se obtiene la matriz identidad
I3.
a) −2F1 + F3 → F3
b) F3 + F2 → F2
c) 3F1 → F1
d) F1 ↔ F2
Hallar la matriz A.
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