Ayudantía Modelo de Barro y Gordon

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Solución del Modelo Barro y Gordon
EAE 221B
Noviembre , 2015
Profesor : Klaus Schmidt-Hebbel D.
Ayudante : Mart́ın Carrasco N.
Modelo Barro y Gordon
Suponga la siguiente función de pérdida del Banco Central
L =
απ2t
2
− λ(yt − yn)
En donde πt es el nivel de inflación, yt e yn son el nivel de producto corriente y de largo plazo
respectivamente, α y λ son parámetros que determinan la sensibilidad de la función de pérdida a
las desviaciones de la inflación y el producto respectivamente de sus niveles de meta o de largo
plazo (asuma una meta de inflación de cero).
Suponga además que la ecuación que determina el producto está dada por la siguiente curva de
Phillips
yt = yn + δ(πt − πet )
• Encuentre la inflación óptima que busca el Banco Central de manera discrecional.
La función de pérdida del banco central
L =
απ2t
2
− β(πt − πet
Luego, la inflación óptima dado un πet es
∂L
∂πt
= απt − β
Luego,
πdt =
β
α
Aśı, los agentes racionales hacen su expectativa de πet = π
d
t .
Con lo que la pérdida del banco central es
Ld =
β2
2α
Sin embargo, esa solución se obtiene tomando πet como dado.
1
• ¿Hay alguna inflación a la que el Banco Central le gustaŕıa comprometerse y que le entrega
un mejor resultado?
Una solución mejor para el banco central seŕıa comprometerse a πet = 0.
Luego πet = π
r
t , con lo que
Lr = 0
Quedando mejor que antes.
• Suponiendo que el Banco Central logra comprometerse con dicho nivel de inflación ¿Tiene
incentivos a desviarse?
Supongamos el banco central se logra comprometer a πrt , con lo que π
e
t = 0. Dada esas
expectativas, para el banco será óptimo desviarse y hacer
πdt =
β
α
con lo que
Le =
−β2
2α
Quedando mejor aún.
Este equilibrio no es estable, y surgirá un juego dinámico de reputación.
Suponga ahora que el Banco Central tiene una función de pérdida intertemporal dada por
H =
∞∑
i=0
ρiLt+i
En donde H es la función de pérdida descontada y ρ el factor de descuento.
Para considerar la reputación incorporaremos las siguientes reglas de ajuste de expectativas
πet = π
r
t si πt−1 = π
e
t−1 = π
r
t−1
πet = π
d
t si πt−1 6= πet−1 = πrt−1
• ¿Puede el Banco Central comprometerse a cumplir con πt = πrt en el largo plazo? ¿Cuáles
son sus incentivos a desviarse?¿Qué pasa a medida que n aumenta? ¿Si n es infinto?
H =
∞∑
i=0
ρiLt+i
En donde H es la función de pérdida descontada y ρ el factor de descuento.
Para considerar la reputación incorporaremos las siguientes reglas de ajuste de expectativas
πet = π
r
t si πt−1 = π
e
t−1 = π
r
t−1
πet = π
d
t si πt−1 6= πet−1 = πrt−1
2
– Beneficio de no desviarse : como Lr = 0 tenemos H = 0.
– Beneficio del desv́ıo:
H = Le +
∞∑
i=1
ρiLd =
−β2
2α
+
∞∑
i=1
ρi
(
β2
2α
)
donde n es la cantidad de peŕıodos que dura el castigo.
– n = 1
H =
−β2
2α
+ ρ
(
−β2
2α
)
< 0
Luego, el banco central siempre engañará y se desviará.
– n ∈ (1,∞)
H =
−β2
2α
+
(
β2
2α
)(
1− ρn
1− ρ
)
– n =∞
H =
−β2
2α
= ρ · 1
2
· β
2
α
·
(
1
1− ρ
)
=
1
2
· β
2
α
·
(
2ρ− 1
1− ρ
)
Si ρ < 12 el banco central siempre se desv́ıa.
• ¿Existe un nivel de inflación π∗ > 0 al que no hayan incentivos de desviarse? Encuentrelo.
¿Existe un nivel de inflación π∗ > 0 al que no hayan incentivos de desviarse?
Lr ya no es cero. Ahora es
Lr =
απ∗2t
2
El valor de desviarse ahora es
Lr − Le =
απ∗2t
2
+
β2
2α
− βπ∗ = α
2
(
β
α
− π∗
)2
El valor del castigo de un peŕıodo es
ρ(Ld − Lr) = ρ
1
2
· α ·
((
β
α
)2
− π∗2
)
Igualando ambas funciones encontramos el nivel de meta de inflación que es compatible con
los incentivos
α
2
(
β
α
− π∗
)2
= ρ
1
2
α
((
β
α
)2
− π∗2
)
De acá tenemos que
β2
2α
− βπ∗ + α
2
π2∗ =
ρβ2
2α
− ρα
2
π∗
Multiplicando por 2α tenemos que
(1 + ρ)π∗2 − 2β
α
+ (
β
α
)2(1− ρ) = 0
3
Utilizando la solución para esta ecuación,
π∗ =
2βα ±
√
4
(
β
α
)2
− 4(1− ρ2)
(
β
α
)2
2(1 + ρ)
π∗ =
2βα ±
√
4ρ2(βα )
2
2(1 + ρ)
=
β(1− ρ)
α(1 + ρ)
o
β
α
4