Copia de Semana 5-DESCUENTO-Versión-Final - Patricia Torres

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2021-2
5
Regla del 
Descuento 
preuniversitario
2
INSTRUMENTOS 
FINANCIEROS EN 
EL PERÚ
3
El Pagaré: Título de crédito formal y 
completo, por medio del cual una 
persona jurídica se compromete a 
pagar una suma de dinero en un 
lugar y fecha concretos, a favor de 
una entidad financiera.
El préstamo puede ser: 
Descontado el interés se cobra en el 
momento del desembolso 
No descontado se paga la primera 
cuota o cuando se cancela toda la 
obligación.
INSTRUMENTOS FINANCIEROS 
EN EL PERÚ
4
El Sobregiro Bancario: Es el tipo 
de financiamiento más caro, nos 
permite disponer de dinero por 
encima de los fondos de nuestra 
corriente. 
Los intereses son calculados 
sobre los saldos deudores.
5
El factoring o financiamiento factorial: 
consiste en realizar la venta de una parte 
de nuestras cuentas por cobrar, sin 
derecho a rechazo, lo que significa que el 
Banco asume el riesgo de obligaciones 
incobrables y de todos los gastos 
generados por la cobranza.
Institución financiera FACTOR
Deudores de las cuentas por cobrar
CLIENTES
Empresas CEDENTE
6
7
Todos los gastos de mantenimiento, 
reparación, seguros, arbitrios (si se trata de un 
bien inmueble) corren por cuenta de la 
empresa que solicita la operación.
8
DESCUENTO DE LETRAS
Esta es la forma de
financiamiento más
utilizada por las
empresas en nuestro
país, por cuanto sus
beneficios para el Banco
son altos y además la
distribución del riesgo de
impago se produce entre
varias personas, con lo
que el riesgo global
disminuye.
Es una operación en la que el Banco anticipa al cliente el importe del crédito 
no vencido. Las letras son endosadas a favor del Banco; Además, se trata de uno de 
los productos más caros que se comercializan.
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EJEMPLO PRÁCTICO
Tenemos una factura cuyo valor, más IGV, es igual a S/10 000. Otorgamos crédito a nuestros 
clientes a letra a 180 días. La tasa efectiva anual es de 20%. El Banco nos cobra 22% de 
interés por una operación de Descuento de Letras.
Por lo anterior, el interés por cobrar es:
Así, nuestra letra por cobrar es por 11 000. Si el banco nos
cobra 22% de tasa de interés, los intereses serían:
11 000 x 22% x (180/360) = 1 210
El Banco nos depositará: 
11 000 – 1 210 = 9790
Puede apreciarse que el ingreso 
que obtenemos es menor 
respecto a la factura. Esto se 
debe a que el Banco nos cobra 
una tasa de interés mayor de la 
que cobramos a nuestro cliente.
Siempre será preferible actuar en 
dirección opuesta.
Interés 
cobrado al 
cliente
Al 
venderle 
las letras
EMPRESA
CLIENTE
BANCO
EMPRESA
10 000 𝑥 20% 𝑥
180
360
= 1 000
10
EJEMPLO PRÁCTICO
Si el comerciante cobrara una tasa efectiva del 30%, entonces:
10 000 x 30% x 180 = 1 500
Realiza la venta al Banco, de la letra, y éste le cobra:
11 500 x 22% x (180/360) = 1 265
El Banco depositará: 
11 500 – 1 265 = 10 235
Ahora, a diferencia del caso 
anterior, el comerciante obtiene una 
cantidad mayor que la cobrada al 
cliente. Esa es la dirección que 
siempre sigue este tipo de 
transacción.
Al venderle 
las letras
Nuevo 
interés 
cobrado 
al cliente
EMPRESA
CLIENTE
BANCO
EMPRESA
11
REGLA DE DESCUENTO
ELEMENTOS:
Documentos comercial.- Letra de pago mediante la cual una
persona llamada deudor o aceptante de la letra, se compromete
a pagar a otra llamada acreedor o girador una cantidad de dinero
en una fecha convenida por ambas (fecha de vencimiento).
Valor Nominal (Vn).- Es la cantidad de dinero que está escrita y
especificada en la letra de cambio; el deudor debe pagar esta
cantidad en la fecha de vencimiento.
Descuento (D).- Es la rebaja que se le hace a la letra de cambio,
cuando es pagado con anticipación a su vencimiento.
Valor Actual (Va).- Llamado también valor efectivo, es el valor que
se paga por la letra de cambio al momento de ser cancelado.
Tiempo de descuento (t).- Es el periodo de tiempo desde el
momento en que se cancela la deuda hasta la fecha de
vencimiento.
Tasa de descuento (r).- Tanto por ciento por unidad de tiempo que
se descontará.
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ESQUEMA
Firma de la letra
Venta de la letra
Va Vn
D
r
t
Va = Vn - D
D = Vn - Va
D = Vn r t Descuento = Valor nominal x tasa de descuento x 
tiempo antes de vencimiento
Valor actual = Valor nominal – Descuento 
Descuento = Valor nominal – Valor actual
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NOTA.- Cuando 
no se mencione 
el tipo de 
descuento 
consideraremos 
descuento 
comercial.
CLASES DE DESCUENTO
a. Descuento Comercial (Dc).- Llamado también descuento externo o abusivo, es 
cuando el descuento se calcula como el interés simple que generaría el valor 
nominal en el tiempo de descuento. Después de restado el descuento del valor 
nominal se obtienen la cantidad a pagar llamada valor actual comercial (Vac). 
t
r
Observación: 1 – r t factor de descuento, actualiza el Valor nominal
𝑽𝒂𝒄 𝑽𝒏
𝑫𝑪
𝑫𝑪 = 𝑽𝒏𝒓𝒕 𝑽𝒂𝒄 = 𝑽𝒏 −𝑫𝑪 𝑽𝒂𝒄 = 𝑽𝒏(𝟏 − 𝒓𝒕)
14
Ejemplo 1: Edwin había firmado una letra por S/ 1200; si decide cancelar 
dicha letra 5 meses antes de su vencimiento a una tasa de descuento del 4% 
mensual. Identifique los elementos que intervienen y calcule el descuento 
comercial y cuánto se pagará por dicha letra.
Vn = 1200Vac
t = 5 meses
Dc
r = 4% mensual
Resolución:
Como: Dc = Vn r t Dc = 1200 x 0.04 x 5 = 240
Entonces: Vac = Vn - Dc Vac = 1200 – 240 = 960
Observación: La tasa de descuento y el tiempo antes de vencimiento 
deben estar en las mismas unidades de tiempo, como es el caso.
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b. Descuento Racional.- Llamado también descuento Interno o 
matemático, es cuando el descuento se calcula como el interés simple que 
se generaría al tomar como capital al valor actual en el tiempo de 
descuento; dicho descuento después de ser restado del valor nominal se 
obtiene la cantidad a pagar denominada valor actual racional.
DRVaR Vn
t
r
Descuento Racional = Valor actual racional x 
tasa de descuento x tiempo antes de vencimiento
Valor actual racional = Valor nominal menos 
Descuento racional 
Valor actual racional = valor nominal dividido por
(1 + tasa de descuento x tiempo antes de
vencimiento)
𝑽𝒂𝑹 =
𝑽𝒏
𝟏 + 𝒓𝒕
𝑽𝒂𝑹 = 𝑽𝒏 −𝑫𝑹
𝑫𝑹 = 𝑽𝒂𝑹𝒓𝒕
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Ejemplo 2.- Un empresario ha firmado hoy una letra cuyo Valor nominal es 
S/ 14 000 la cual vence dentro de 3 meses; transcurridos 60 días desde la 
firma del documento y considerando una tasa de descuento del 12% anual, 
¿cuánto debe pagar dicho empresario para poder cancelar su deuda? Haga 
los cálculos desde el descuento racional. 
Vn = 14 000
Vence dentro de 3 meses
60 días t = 1 mes = 1/12 año
VaR r = 12% anual
Sabemos: VaR = 13 861.40
Nota.- Segunda 
práctica Cepreuni
𝑉𝑎𝑅 =
𝑉𝑛
1 + 𝑟𝑡
𝑉𝑎𝑅 =
14 000
1+
0.12
12
Respuesta:
Resolución:
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PROPIEDADES
Vac
VaR
DR
Dc
r t Vn
Dado que: Dc = Vn – Vac
DR = Vn - VaR
Dc – DR = VaR - Vac
𝟐. 𝑫𝑪−𝑫𝑹 = 𝑫𝑹 . 𝒓 . 𝒕
𝟑. 𝑽𝒏 =
𝑫𝑪 . 𝑫𝑹
𝑫𝑪 −𝑫𝑹
𝟒.
𝑫𝑪
𝑫𝑹
= 𝟏 + 𝒓𝒕
𝟓.
𝑽𝒂𝒄
𝑽𝒂𝑹
= 𝟏 − (𝒓𝒕)𝟐
𝟏. 𝑫𝑪 −𝑫𝑹 = 𝑽𝒂𝑹 − 𝑽𝒂𝒄
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Aplicación 1.- Una letra de S/ 8 000 se descuenta al 9% faltando 45 días 
para su vencimiento. Calcule el descuento y el importe neto a recibir.
Vn = 8 000
t = 45 días
r = 9% anual
Vac Dc
Resolución.-
Descuento:
Valor Efectivo:
𝐷𝐶 = 𝑉𝑛𝑟𝑡
𝐷𝐶 = 8 000 . 0,09 .
45
360
𝑫𝑪 = 𝟗𝟎
𝑉𝑎𝑐 = 𝑉𝑛 − 𝐷𝐶
𝑉𝑎𝑐 = 8 000 − 90 𝑽𝒂𝒄 = 𝟕 𝟗𝟏𝟎
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Aplicación 2.- ¿Qué tiempo falta para el vencimiento de una letra de S/ 30 
000 si se ha recibido S/29 500 después de haberla descontando al 8%?
t
Vn = 30 000Va = 29 500
r = 8%
Resolución.-
Dc = Vn . r . t 
t =
5
24
𝑎ñ𝑜𝑠
Dc = 500
𝑡 =
𝐷𝐶
𝑉𝑛 . 𝑟
𝑡 =
500
30 000 . 0,08
𝑥
360 𝑑𝑖𝑎𝑠
1 𝑎ñ𝑜
𝒕 = 𝟕𝟓 𝒅𝒊𝒂𝒔
20
Aplicación 3.- Calcule el valor efectivo en la fecha 29 de abril 
de una letra de S/ 5 293.40, que vence el 12 de julio próximo a 
una tasa de descuento del 11% 
Resolución.-
29 de abril 12 de julio
t = 1 + 31 + 30 + 12 = 74días
Va = 5 173.71
r = 11% anual
𝑉𝑎 = 𝑉𝑛(1 − 𝑟𝑡)
𝑉𝑎 = 5 293,40(1 − 0,11 .
74
360
)
t días
21
Aplicación 4.- Se descuenta una letra de S/ 7 200 al 12% faltando 50 
días para su vencimiento, calcule los descuentos comercial y racional.
Vn = 7 200
r = 12% anual
t = 50 días
Dc = ¿? DR = ¿?
Resolución.-
Descuento Comercial:
Descuento Racional:
Diferencia: 
1.97 a favor del 
interesado en 
el corto tiempo
𝐷𝐶 = 𝑉𝑛𝑟𝑡 𝐷𝐶 = 7 200 . 0,12 .
50
360
𝑫𝑪 = 𝟏𝟐𝟎
𝐷𝑅 =
𝑉𝑛𝑟𝑡
1 + 𝑟𝑡
𝐷𝑅 =
7 200 . 0,12 .
50
360
1 + 0,12 .
50
360
𝑫𝑹 = 𝟏𝟏𝟖, 𝟎𝟑
22
Aplicación 5.- El valor actual racional excede al valor actual 
comercial de una letra en S/45. Calcule el valor nominal de dicha 
letra si el producto de los descuentos es 53 190.
Vn
t
r
Resolución.-
Datos: VaR – Vac = 45
Dc x DR = 53 190
Por propiedad: VaR – Vac = Dc - DR
Entonces: 𝑉𝑛 =
𝐷𝐶 . 𝐷𝑅
𝐷𝐶 − 𝐷𝑅
𝑉𝑛 =
53 190
45
𝑽𝒏 = 𝟏 𝟏𝟖𝟐
23
Aplicación 6.- La relación entre el DR y el DC es 7/9. Calcule la 
relación entre el Vac y el Vn del mismo documento.
Resolución.-
Dato: Propiedad: 
Por lo tanto: 
Entonces:
𝐷𝑅
𝐷𝐶
=
7
9
𝐷𝐶
𝐷𝑅
=
9
7
= 1 + 𝑟𝑡 𝑟𝑡 =
2
7
𝐷𝐶
𝐷𝑅
= 1 + 𝑟 . 𝑡
𝑉𝑎𝑐 = 𝑉𝑛(1 − 𝑟𝑡)
𝑉𝑎𝑐
𝑉𝑛
= 1 − 𝑟𝑡
𝑽𝒂𝒄
𝑽𝒏
=
𝟓
𝟕
24
Aplicación 7. Julián firmó hoy una letra de cambio por S/7 200, con una tasa de 
descuento del 15% anual. Si sumamos la cantidad de dinero que se pagaría hoy al 
cancelar la deuda, con la que se tendría que pagar si se cancelara dentro de 6 meses, 
se obtendría S/12 240 ¿Al cabo de qué tiempo, en meses, vencerá dicha letra?
a) 18 b) 15 c) 14 d) 16 e) 20
Resolución:
𝑉𝑛 = 7 200
𝑟 = 15%
Dato: 𝑉𝑎1 + 𝑉𝑎2 = 12 240
𝑉𝑎1 𝑉𝑎2
6 meses
t meses
(t – 6) mes
Sabemos: 𝑉𝑎 = 𝑉𝑛(1 − 𝑟𝑡)
𝑉𝑎1 = 7 200(1 − 0,15
𝑡
12
)
𝑉𝑎2 = 7 200(1 − 0,15
𝑡 − 6
12
)
Sumando:
14 400 −
1080
12
𝑡 −
1080
12
𝑡 − 6 = 12 240
14 400 − 90 2𝑡 − 6 = 12 240
2160
90
= 2𝑡 − 6 𝒕 = 𝟏𝟓𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔
Clave: b
25
Aplicación 8.- Si hoy se cancelara una deuda, faltando t meses para su 
vencimiento, se pagaría 1/8 menos de la deuda contraída, que es de S/4 
000; pero si se cancelara t/4 meses después. ¿Cuántos soles se pagaría?
a) 3 185 b) 3 275 c) 3 325 d) 3 475 e) 3 625
Resolución:
Datos:
𝑉𝑛 𝑡 𝑉𝑎 =
7
8
(𝑉𝑛)
𝑉𝑛 𝑡 −
𝑡
4
𝑉𝑎
′
7
8
𝑉𝑛 = 𝑉𝑛(1 − 𝑟𝑡) 𝑟𝑡 =
1
8
𝑉𝑎
′ = 𝑉𝑛 1 − 𝑟
3
4
𝑡 = 𝑉𝑛 1 −
1
8
3
4
Entonces, como:
𝑉𝑎
′ = 4 000 1 −
3
32
= 3 625
𝑉𝑛 = 4 000
Respuesta: Pagaría S/3 625
Clave: e
26
CAMBIO DE LETRA
Es un procedimiento en el cual el deudor cambia una forma de 
pago por otra, considerando que no se perjudique el deudor ni 
el acreedor; los descuentos pueden ser comerciales o 
racionales, así las tasas podrían ser diferentes.
Vn1
Vn2
Vn3
VnI
VnII
Primer grupo de letras Segundo grupo de letras
27
CAMBIO DE LETRA
Se cumple: “La suma de los valores actuales de las letras que se 
van a reemplazar, debe ser igual a la suma de los valores actuales 
de las letras reemplazantes”
Va1 + Va2 + Va3 = VaI + VaII
Nota.- Cuando se mencione que un 
grupo de letras son equivalentes, 
asumiremos que se considera que 
sus valores actuales son iguales.
28
Aplicación 9.- Sarita compró un TV pantalla plana y le falta pagar dos 
letras mensuales de S/600 cada uno, pero surgen ciertos 
inconvenientes y decide cancelar mediante tres pagos mensuales de 
igual valor. ¿Qué suma debe entregar en cada pago para cumplir el 
compromiso; asumiendo una tasa de descuento del 12%? 
Resolución.-
Letras a reemplazar
S/600
S/600
Letras reemplazantes
Vn
Vn
Vn
Suma de valores actuales:
1182 = 2.94 Vn
600 1 − 0,12
1
12
+ 600 1 − 0,12
2
12
= 𝑉𝑛 1 − 0,12
1
12
+ 𝑉𝑛 1 − 0,12
2
12
+ 𝑉𝑛 1 − 0,12
3
12
Vn = 402.04
1200 – 18 = Vn (3 – 0.06)
29
Aplicación 10.- Considerando descuento racional, dos letras de S/4 100 
y S/5 100 que vencen dentro de 2 y 5 meses, se deben reemplazar por 
otras dos letras de igual valor nominal a pagar dentro de 3 y 4 meses. 
Si en todos los casos, la tasa de descuento es 15%, calcule el valor 
nominal de las letras reemplazantes.
Resolución.-
Operando:
4 100
1 + 0,15 .
2
12
+
5 100
1 + 0,15 .
5
12
=
𝑉𝑛
1 + 0,15 .
3
12
+
𝑉𝑛
1 + 0,15 .
4
12
4 000 + 4 800 = 𝑉𝑛(1,916) 𝑽𝒏 = 𝟒 𝟓𝟗𝟐, 𝟑𝟒
𝑽𝒂𝑹 =
𝑽𝒏
𝟏 + 𝒓𝒕
෍𝑽𝒂𝑹 =෍𝑽𝒂𝑹
′
30
Aplicación 11.- Sarita firmó hoy una letra de cambio de S/7 200 a pagar 
dentro de 300 días, con una tasa de descuento del 24%. Si hoy mismo esta 
letra la cambia por otra de S/6 480, cuya tasa de descuento es del 16%, 
¿cuál es el tiempo de vencimiento, en días, de la segunda letra?
Resolución:
Entonces: Los valores actuales de las dos letras son iguales
𝑉𝑎 = 7 200(1 − 0,24
300
360
) = 6 480(1 − 0,16
𝑡
360
)
5 760 = 6 480 − 2,88𝑡 𝑡 =
720
2,88
= 250 𝑑í𝑎𝑠
t = 300 días
Vn=7 200
Vn’= 6 480
t = ¿?
r = 24%
r =16%
a) 240 b) 270 c) 250 d) 280 e) 260
Clave: c
Va
Va’
31
VENCIMIENTO COMÚN
Es un caso especial de cambio de letra, donde debe cumplirse tres
condiciones:
1.- Se cambian varias letras por una sola letra (letra única)
2.- La suma de valores nominales del grupo de letras que se van a 
reemplazar debe ser igual al valor nominal de la letra única.
Vn1 + Vn2 + Vn3 + … + = Vn
3.- Todos los descuentos son comerciales y a la misma tasa.
𝑽𝒏𝒌
32
ESQUEMA
Vn1
Vn2
Vn3
Vn< >
t1
t2
t3
tv
Letras a reemplazar
Letra única
Vn = Vn1 + Vn2 + Vn3
33
A una tasa r para todas las letras; y por ser cambio de letras se cumple:
k letras a reemplazar Letra única
Como: Vn1 + Vn2 + Vn3 + … + Vnk = Vn
Dc1 + Dc2 + Dc3 + … + Dck = Dc
Vn1 r t1 + Vn2 r t2 + Vn3 r t3 + … + Vnk r tk = Vn r tv
tv = 
Vn1 t1 + Vn2 t2 + Vn3 t3 + … + Vnk tk
Vn
Finalmente: tv =
Vn1 t1 + Vn2 t2 + Vn3 t3 + … + Vnk tk
Vn1 + Vn2 + Vn3 + … + Vnk
𝑽𝒂𝟏 + 𝑽𝒂𝟐 +⋯+ 𝑽𝒂𝒌 = 𝑽𝒂
𝑽𝒏𝟏 −𝑫𝒄𝟏 + 𝑽𝒏𝟐 −𝑫𝒄𝟐 +⋯+ 𝑽𝒏𝒌 −𝑫𝒄𝒌 = 𝑽𝒏 − 𝑫𝒄
34
Aplicación 12.- El día de hoy Jessica firma tres letras de S/600; S/400 y S/1 000;
se sabe que la segunda vence 20 días después de la primera, además el tiempo
(en días) que falta para el vencimiento de la tercera es el doble del tiempo (en
días) que falta para el vencimiento de la primera. Si ella desea cambiar las tres
letras por una única a vencimiento común, ésta vencería un día antes que la fecha
de vencimiento de la segunda letra. ¿Dentro de cuántos días a partir de hoy vence
la primera letra? (Considere que todas las letras vencen el mismo año)
(2da práctica Cepreuni)
Resolución.-
Vn1 = 600; t1 = t
Vn2 = 400; t2 = t + 20
Vn3 = 1 000; t3 = 2t
tvc = t + 19
tvc = t + 19 =
600t +400(t + 20) + 1 000(2t)
2 000
2 000 t + 38 000 = 3 000 t + 8 000
1 000 t = 30 000
t = 30 días
35
Letras equivalentes
Dos letras son equivalentes
cuando sus valores actuales son
iguales.
Cambio de letras
Se debe cumplir
(Suma de valores actuales de las
letras reemplazadas) = (Suma de
valores actuales de las letras
reemplazantes)
Tiempo de vencimiento común
Cuando se cambia varias letras
por una sola, cuyo Vn es la suma
de los Vn de las letras
reemplazadas, se cumple:
Las propiedades se
cumplen cuando a una
letra se le aplica un Dc
y/o DR.
Aplicando la misma
tasa y tiempo,
obtenemos:
1. Dc > DR
2. Vac < VaR
3. Dc – DR = VaR –
Vac
4. Vn =
5. DR =
Descuento
Comercial (Dc):
También llamado
descuento externo,
abusivo o bancario.
Se calcula:
Dc = Vn r% t
Descuento
Racional (DR):
También llamado
descuento interno
o matemático. Se
calcula:
DR = VaR r% t
Valor nominal (Vn);
Cantidad que lleva impresa
una letra de cambio, la cual
debe hacerse efectiva el día
de su vencimiento.
Valor Actual (Va): Valor que
tiene una letra al ser pagada
con anticipación
Descuento (D): Beneficio
que tiene el deudor por
realizar un pago anticipado
de la letra
D = Vn – Va 
Tiempo de descuento(t):
Tiempo que falta para el
vencimiento del documento
de realizar el pago
anticipado.
Tasa de descuento (r%):
Tanto por ciento que se
descuenta por pagar una
letra por anticipado.
SÍNTESIS : REGLA DE DESCUENTO
Elementos de Regla de 
Descuento Clases de Descuento Propiedades Casos Particulares
Dc x DR
Dc - DR
Vn r% t
1+ r% t
tvc = Vn1 t1 + Vn2 t2 + … + Vnk tk
Vn1 + Vn2 + … +Vnk
36
Aplicación 13.- Cuatro letras de cambio de S/1 000; 2 000; 5 000 
y 2 000 vencen dentro de 5, 6, 3 y 4 meses. Si se desea cancelar 
todas mediante un pago único de S/10 000; ¿dentro de cuántos 
meses debe efectuarse dicho pago?
Vn t (meses)
1 000 5
2 000 6
5 000 3
2 000 4
Resolución.-
tvc = 
1 000 x 5 + 2 000 x 6 + 5 000 x 3 + 2 000 x 4
10 000
tvc = 4 meses
37
Aplicación 14.- Un comerciante tiene tres letras de S/5 175; 4 360 y 1
500; que son pagaderas el 15 de julio, el 30 de octubre y el 16 de
marzo del año siguiente. Si se desea reemplazar por una sola letra de
S/11 035; ¿cuál será la fecha de vencimiento de esa única letra?
Resolución.-
Como: 5 175 + 4 360 + 1 500 = 11 035
Entonces: 
15/julio 30/octubre 16/marzo
16 + 31 + 30 + 30 días
107 días
1 + 30 + 31 + 31 + 28 + 16 días
137 días
244 días
t = 0
Punto 
inicial
Operando:
tvc = 
5 175 x 0 + 4 360 x 107 + 1 500 x 244
11 035
= 75 días
𝐹. 𝑉. = 15 𝑗𝑢𝑙𝑖𝑜 + 75 𝑑𝑖𝑎𝑠 = 𝟐𝟖 𝒅𝒆 𝑺𝒆𝒑𝒕𝒊𝒆𝒎𝒃𝒓𝒆
38
Aplicación 15.- La suma y diferencia de los descuentos matemáticos
y externos de una letra se encuentran en la misma relación que los
números 486 y 6; siendo el valor actual racional S/16 000; ¿cuál es el
valor nominal de la letra?
Resolución.-
Dc + DR
Dc – DR
=
486
6
=
81k
1k
Operando: Dc = 41k ; DR = 40k
Entonces: Vn = 
Dc x DR
Dc – DR
Vn = 
41k . 40k
k
= 1 640k
Por lo tanto: VaR = Vn – DR 16 000 = 1 640k – 40k 
Vn = 1 640k = S/ 16 400k = 10
39
Aplicación 16.- Se tiene 4 letras de iguales valores nominales y los 
tiempos que faltan para sus vencimientos en días están dado por 4 
potencias consecutivas de 2. Si el tiempo de vencimiento común es 240 
días, calcule dentro de cuántos días vencerá la primera de las letras.
Resolución:
Aplicando vencimiento común
Vn Vn Vn Vn 4 VnValores nominales
Tiempos de vencimiento 2x 2x+1 2x+2 2x+3 240 días
Operando:
240 = 
Vn . 2x + Vn . 2x+1 + Vn . 2x+2 + Vn . 2x+3
4 Vn
240 x 4 = 2x (1 + 2 + 22 + 23)
15
2x = 64 x = 6
Por lo tanto: La 1° letra vence en 2x días = 64 días
40
Aplicación 17.- Emilio quiere comprar una lavadora. Al visitar una tienda le
ofrecen dicho artefacto con una cuota inicial de S/ 400 y el resto lo debe pagar en
cuatro cuotas mensuales de S/ 300 cada una. En otra tienda le ofrecieron pagar el
artefacto en ocho cuotas mensuales, cada una de S/ 200. Si Emilio decide
comprar la lavadora al contado, ¿cuál es al diferencia de los precios? Ambas
tiendas aplican una tasa de descuento del 8%.
Diferencia de precios = 1 580 – 1 552
1 580 – 1 552 = 28
1° 𝑇𝑖𝑒𝑛𝑑𝑎:
Resolución:
𝑃𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜 = 𝐶𝑢𝑜𝑡𝑎𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 +෍𝑉𝑎 = 𝐶𝑢𝑜𝑡𝑎𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 + (෍𝑉𝑛 −෍𝐷 )
𝑃𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜 = 400 + 4 300 − 300 𝑥
8
1200
[1 + 2 + 3 + 4] = 𝟏 𝟓𝟖𝟎
2° 𝑇𝑖𝑒𝑛𝑑𝑎: 𝑃′𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜 = 8 200 − 200 𝑥
8
1200
[1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8]
= 𝟏 𝟓𝟓𝟐𝑃′𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜 = 1 600 − 48
= 𝟐𝟖
41
Aplicación 18.- Se negocian dos letras pagaderas a los 80 y 120 días 
respectivamente, siendo el descuento total de S/19 500 al 18%. Si las 
dos letras se hubieran descontado 15 días más tarde el descuento total 
hubiese sido S/16 500. ¿Cuál es el valor nominal de las letras?
Resolución.-
Datos:
Vn1; t1 = 80 días
Vn2; t2 = 120 días
tasa = 18% anual
Dc1 + Dc2 = 19 500
(α)
Operando:
2 Vn1 + 3 Vn2 = 975 000
Datos:
Vn1; t’1 = 80 – 15 = 65 días 
Vn2; t’2 = 120 – 15 = 105 días
Dc’1 + Dc’2 = 16 500
(β)
Operando:
13 Vn1 + 21 Vn2 = 6 600 000
De α y β : Vn1 = 225 000 ; Vn2 = 175 000
𝑉𝑛1 . 0,18.
65
360
+ 𝑉𝑛2 . 0,18.
105
360
= 16 500
𝑉𝑛1 . 0,18.
80
360
+ 𝑉𝑛2 . 0,18.
120
360
= 19 500
42
Aplicación 19.- Se compró un artefacto a crédito y se firmó por esta una
letra de cambio de S/1 800 que vence dentro de un año. Si se desea
cancelar dentro de 2 meses con un descuento racional del 24% anual.
¿Cuánto se pagará por la letra (valor actual)? y ¿cuánto se descontará?
Resolución.-
2 meses 10 meses
Hoy Cancela Vn = 1 800
VaR
DR
Descuento Racional
𝐷𝑅 =
1 800(0,24)
10
12
1 + 0,24
10
12
= 𝟏 𝟓𝟎𝟎
𝑫𝑹 =
𝑽𝒏. 𝒓. 𝒕
𝟏 + 𝒓. 𝒕 = 300
𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 𝑉𝑎𝑅 = 1 800 − 300
43
Aplicación 20.- Una letra vence dentro de 4 meses y se observa que
dentro de 2 meses, los descuentos comercial y racional están en la
relación de 7 a 6. Si hoy la letra tiene un valor de S/270. Calcule el valor
nominal de dicha letra.
Resolución.-
Va = 270 Vn
F.V.
Dc
DR
=
7k
6k
2 meses 2 meses
Vn =
7k . 6k
7k – 6k 
= 42k
Entonces: Va = Vn – D4meses
Por lo tanto:
Descuento es 
el doble del de 
dos meses
𝑘 =
270
28
𝑉𝑛 = 42.
270
28
= 𝟒𝟎𝟓
270 = 42k – 14k
44
PROBLEMAS DEL 
AULA VIRTUAL
45
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Problema 01
Resolución: 
Se tiene una letra de S/ 1 990 pagadera dentro de 90 días al 6%; si dicha
letra se cambia por otra de S/ 1 970 y empleando una tasa para el
descuento del 6%. ¿A los cuantos meses vence la segunda letra?
46
Se tiene tres letras de S/ 2 410; S/ 2 420 y S/ 2 430, pagaderas a 30, 60 y 90
días respectivamente. si se hace un descuento racional del 5%, ¿cuál es el
valor nominal, en soles, de una letra que reemplazó a los tres anteriores y
que sea pagadera a los 40 días;?
A)7 240 B) 7 000 C) 6 950 D) 6 870 E) 6 740
Problema 02
Resolución: 
47
Problema 04
Resolución: 
La suma de los valores nominales de dos letras es igual a S/6 400 y se ha
recibido por ellos S/6 215, descontado al 5% comercialmente, la primera
por 6 meses y la segunda por 8 meses. ¿Cuál es el valor nominal en soles,
de la menor de ellas?
A)2 800 B) 3 000 C) 3 200 D) 3 250 E) 4 750
48
Se descontó tres letras; una de S/ 980 pagadera a los 60 días; otra de S/
750 pagadera a los 90 días y la tercera de S/ 860 pagadera a los 120 días.
El banco pago por las tres letras la suma de S/ 2 551,75. ¿Cuál es la tasa
de descuento?
A) 3% B) 4% C) 5% D) 6% E) 7%
Problema 08
Resolución: 
49
Problema 11
Resolución: 
Calcule el precio, en soles, al contado de un celular por el cual se firmó dos
letras, una de S/ 600 que vence a los 4 meses y otra de S/ 840 que vence a
los 5 meses, con las tasas de descuento respectivas del 8% cuatrimestral y
5% trimestral.
A) 1 300 B) 1 316 C) 1 322 D) 1 352 E) 1 360
50
Problema 12
Resolución: 
Se tiene una letra de S/ 2 100 a pagar dentro de 120 días con una tasa de
descuento del 30% anual. Si esta letra se cambia por otra de S/ 2 000
empleando la misma tasa de descuento, ¿A los cuántos días vence esta
última letra?
A) 66 B) 68 C) 70 D) 72 E) 75
51
Problema 14
Resolución: 
Se debe pagar dos letras de S/ 7500 cada una, la primera a los a los 6
meses y la segunda dentro de los 4 meses siguientes. Si se pagase dicha
deuda al contado a una tasa de descuento del 0,5% mensual, ¿cuántos
soles se pagará por ella?
A) 14400 B) 14600 C) 14700 D) 14800 E) 15000
52
Problema 15
Resolución: 
Luis debe S/ 2 400 pagadera dentro de 8 meses. Se libera pagando S/
676 al contado y suscribiendo dos letras, el primero de S/ 864 pagadero
en 5 meses y el otro pagable en un año, todos con una tasa de descuento
de 5%. ¿Cuál es el valor nominal, en soles, de la última letra?
A) 875 B) 860 C) 850 D) 845 E) 840
53
Problema 16
Resolución: 
Una letra de S/ 36 000 se negocia 7 días después, su valor actual sería S/
840 mayor. Si se negoció 15 días antes de su vencimiento, ¿cuántos soles
se recibió por la letra?
A) 35 200 B) 35 100 C) 35 000 D) 34 200 E) 31 400
54
Problema 
17
Resolución
: 
El descuento comercial y racional de una misma letra son proporcionales
a dos números consecutivos y los valoresactuales respectivos son
proporcionales a 126 y 128. Si el valor nominal de la letra es S/14 400.
Determine la diferencia de los descuentos, en soles.
A) 100 B) 150 C) 200 D) 250 E) 270
55
Problema 18
Resolución: 
La compra de un artefacto se puede realizar de dos formas:
• La primera con una cuota inicial de S/ 724, y por el saldo se firman dos letras
equivalentes que vencen dentro de 4 y 7 meses, descontándolas al 60%.
• La segunda sin cuota inicial a pagarse con tres letras: la primera de S/ 420, que vence
dentro de 5 meses; la segunda de S/1 921, que vence dentro de 7 meses, y la tercera
de S/500, que vence dentro de 10 meses, descontados racionalmente al 10% mensual.
Calcule la suma de los valores nominales, en soles, de las letras de cambio de la primera
forma de pago, sabiendo que la relación entre ellos es como 3 es a 4.
A) 1 310,40 B) 1 680,50 C) 1 312,50 D) 2 320,40 E) 1 860,60
56
Problema 19
Resolución: 
El primero de noviembre se firma una letra pagadera el 20 de diciembre del mismo
año; además, el valor actual que tomaría la letra 25 días antes de su vencimiento y
su valor nominal están en la relación de 5 a 8. Calcule el valor nominal, en soles, si
se sabe que si se cancela 15 días antes de su vencimiento, se pagarán S/189
menos.
A) 1 176 B) 1 200 C) 1 224 D) 1 260 E) 1 280
57
Problema 26
Resolución: 
Se tiene 3 letras de $ 800, $ 1 200, $ 1 000, la primera vence dentro de
12 días y la tercera vence 13 días después que la segunda. Dentro de
cuántos días vence la segunda letra tal que si se reemplaza las 3 letras por
una sola en vencimiento común, se encuentra que su vencimiento será
dentro de 20 días?
A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19
58
Problema 27
Resolución: 
Se tienen tres letras cuyas fechas de vencimiento son 1 de marzo de 2022, 31 de
marzo de 2022 y 18 de abril de 2022, cuyos valores nominales son S/ 2 000, S/ 1
000 y S/ 3 000, respectivamente. Se quieren reemplazar estas tres letras por una
a vencimiento común. Determine la fecha en que se debe realizar este pago único.
A) 03-04-22 B) 04-04-22 C) 05-04-22 D) 06-04-22 E) 05-05-22
59
Problema 28
Resolución: 
Una persona adquiere una casa cuyo precio al contado es $ 200 000,
paga como cuota inicial $ 53 200 y por el saldo firma letras, todas del
mismo valor e igual a $ 16 000 con vencimiento mensual. Si la tasa de
descuento es 18%, ¿Cuántas letras firmó?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10