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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO 
FACULTAD DE CIENCIAS 
 
 
 
 
ANÁLISIS DE EXPECTATIVAS DE MERCADO 
IMPLÍCITAS EN OPCIONES FINANCIERAS 
 
 
OCTAVIO MONTÚFAR COVARRUBIAS 
 
 
DIRECTOR DE TESIS: 
Erendida Itze Islas García 
Mayo de 2011 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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2 
 
 
INTRODUCCIÓN .............................................................................................................................. 3 
Objetivo ............................................................................................................................................... 7 
MARCO TÉORICO ................................................................................................................................. 9 
Opciones Financieras ................................................................................................................ 9 
Valuación de Opciones ........................................................................................................... 16 
A. Uso de Log normales ................................................................................................. 16 
B. Modelo de Black y Scholes ........................................................................................ 20 
Opciones del SP500 ................................................................................................................ 23 
Volatilidad Implícita .......................................................................................................................... 24 
Estimación de volatilidad implícita: ........................................................................................ 24 
Análisis de expectativas con la curva smile ............................................................................ 28 
Interpretación del análisis de expectativas con la curva smile............................................... 29 
MODELO ............................................................................................................................................ 30 
Aplicación del Modelo: ........................................................................................................... 31 
Cálculo de volatilidad implícita: ............................................................................................. 31 
RESULTADOS y Análisis de expectativas con la curva smile ................................................... 32 
C. Análisis 1 “Expectativas bearish” ............................................................................... 32 
D. Análisis 2 “Expectativas bullish” ................................................................................ 34 
E. Análisis 3 “Expectativas mixtas” ................................................................................ 35 
Análisis de expectativas con el mapa de densidades (metodología propuesta). ............................. 37 
Construcción del modelo ........................................................................................................ 38 
CONCLUSIONES ................................................................................................................................. 49 
INDICE DE FIGURAS ........................................................................................................................... 50 
BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................................................... 51 
ANEXOS ............................................................................................................................................. 52 
 
 
 
3 
 
INTRODUCCIÓN 
 
Los mercados financieros son mecanismos que permiten a los agentes 
económicos el intercambio de activos financieros. Estos mercados han 
experimentado un crecimiento considerable en las últimas décadas. 
Los mercados financieros se caracterizan por desarrollarse bajo un 
ambiente de incertidumbre en el que los diferentes agentes que participan 
deben tomar decisiones de inversión, gestión, administración de riesgos, entre 
otros aspectos que requieren una administración eficiente de recursos, por 
tanto, identificar momentos de incertidumbre es indispensable para la toma de 
decisiones en cualquier ámbito. 
Un instrumento derivado es un producto financiero cuyo valor se basa 
en el precio de otro activo, el cual se conoce como activo subyacente. Estos 
instrumentos pueden operarse en mercados organizados (como bolsas de 
valores), o no organizados (entre particulares); son contratos que se liquidan a 
fechas futuras y su precio está directamente ligado al del activo subyacente. 
En particular, el uso de instrumentos derivados ha demostrado ser una 
herramienta eficaz en la administración de riesgos. Estos instrumentos son 
utilizados, entre otros fines, como una forma de protección o minimización de 
los distintos riesgos a los que los agentes que participan en el mercado 
financiero están expuestos. Las opciones financieras son un ejemplo de esta 
clase de instrumentos, en los cuales se otorga un beneficio a su poseedor 
cuando el activo de referencia alcanza valores estipulados, poniendo en juego 
únicamente el valor de la prima. 
El incremento en el uso de los instrumentos ha dado lugar al desarrollo 
de modelos avanzados de valoración de derivados. Cuando se analiza una 
opción, el rendimiento teórico asociado a dicha opción depende del valor 
específico del activo subyacente en una fecha determinada, de su fecha de 
vencimiento y de la volatilidad que se considera en el modelo con el que se 
está valuando. Dado que el valor de estos instrumentos en el futuro es 
desconocido, su precio se ve afectado por la especulación de los participantes 
en dicho mercado. No obstante, si se conocen las distintas posiciones que 
tienen los agentes con relación a un mismo tipo de contrato, se pueden tratar 
 
4 
 
de inferir las expectativas que tienen los participantes en el mercado respecto 
del comportamiento del precio del activo subyacente; es decir, se puede 
aprovechar la experiencia y el conocimiento que conduce a los agentes a 
definir cierta postura en su intento por predecir cambios en los precios de los 
activos en un futuro cercano. Esta información puede ser utilizada para tratar 
de identificar momentos de incertidumbre y cambios en las expectativas de los 
agentes, lo que busca a su vez prever cambios inesperados en el precio del 
activo. 
 
En finanzas, los modelos de valuación pretenden estimar, a través del 
uso de algunas variables conocidas, el valor futuro de un activo o de un 
pasivo. Para las empresas en particular, resulta de gran importancia realizar 
pronósticos sobre sus posiciones financieras futuras, de forma que puedan 
hacer presupuestos más acertados. En general, a cualquier persona involucrada 
en el ámbito de las finanzas, le sería útil poder conocer el comportamiento 
futuro de cualquier factor financiero, como por ejemplo, el valor de un activo, 
una tasa de interés, cambios en los índices inflacionarios, etc., ya que con este 
conocimiento le sería posible obtener un beneficio seguro sin poner en riesgo 
su capital. De lo anterior se sigue que cuando no se conocencon certeza los 
flujos futuros que serán recibidos por una inversión, los inversionistas 
solicitan tener un beneficio mayor al que obtendrían si los conocieran. 
 
Los modelos de valuación de opciones financieras buscan, mediante la 
realización de cálculos matemáticos y consideración de diversas variables, 
obtener el valor presente de dichas opciones financieras, de tal manera que 
con la información que se obtiene de ellos se puedan tomar decisiones sobre 
acciones futuras que mejoren el desempeño financiero de los agentes 
interesados. 
 
En finanzas, la volatilidad generalmente se refiere a la volatilidad 
histórica del precio de un activo; la cual corresponde a la desviación estándar 
que presentan los precios del activo en un periodo de tiempo considerable. La 
volatilidad es un parámetro considerado en todos los modelos de valuación 
hasta ahora conocidos. Dicho parámetro está íntimamente ligado al resultado 
obtenido por la valuación; es decir, uno de los parámetros más relevantes en la 
valuación de un instrumento derivado es la volatilidad del activo subyacente. 
Por esta razón, se debe tener especial cuidado con la estimación de dicho 
parámetro. 
 
 
5 
 
Como se menciona en el párrafo anterior, para realizar la valuación del 
modelo generalmente se utiliza la volatilidad histórica como valor del 
parámetro que corresponde a la volatilidad; sin embargo, los valores históricos 
pueden no ser los más adecuados para realizar la valuación, ya que es posible 
que los valores obtenidos tras el uso del modelo no correspondan con los 
valores de las opciones financieras realmente se cotizan en el mercado 
financiero. Es necesario mencionar durante la valuación de opciones la 
volatilidad histórica sirve como parámetro de comparación contra lo que el 
mercado cotiza. 
 
En particular, las decisiones de inversión siempre se toman bajo 
esquemas de incertidumbre, por lo que el disponer de información adecuada 
permite realizar una gestión más eficiente. Una fuente importante de 
información pueden ser las mismas opciones financieras, ya que de ellas se 
pueden inferir las expectativas implícitas sobre el activo referido. 
Existen diferentes metodologías para el análisis e interpretación de la 
información oculta en los mercados, en particular en las cotizaciones de las 
opciones financieras. En este trabajo se expone una de ellas y se propone un 
nuevo procedimiento. Se analiza la curva smile y su evolución, con el fin de 
obtener un pronóstico de volatilidad y los cambios en las expectativas de 
mercado. Adicionalmente, se propone una metodología que busca, al igual que 
la curva smile, analizar las expectativas del mercado a partir del análisis de la 
distribución de la volatilidad reflejada en los precios de las opciones 
negociadas en el mercado. Finalmente se ilustra el valor de este tipo de 
información de forma gráfica para poder ser explotada y usada como una 
herramienta adicional de apoyo para la toma de decisiones. 
El presente documento se desarrolla con el objetivo de proponer 
una metodología que funcione como herramienta de referencia para 
identificar momentos de incertidumbre en los mercados financieros. La 
motivación para el desarrollo de este proyecto se origina en la facilitación 
de la toma de decisiones en el contexto de crisis. 
La primera parte de este trabajo pretende proveer el sustento teórico 
para el desarrollo de la metodología propuesta más adelante, de forma que, sin 
perder de vista que la intención del presente documento se enfoca en la 
 
6 
 
posible aplicación de dicha metodología, se presentan también las bases 
matemáticas que justifican su uso. En la segunda parte del documento se 
describe el uso de una herramienta similar a la propuesta: la curva smile
1
. 
Esta curva busca mostrar gráficamente la volatilidad inferida a través 
del análisis de los precios de los instrumentos derivados analizados para un día 
en particular. Por último se presenta la herramienta propuesta, la cual, al igual 
que la curva smile, pretende servir como un elemento más para la toma de 
decisiones tomando como información las expectativas de los agentes que 
participan intercambiando un tipo de contrato de un instrumento derivado en 
particular, pero tomando en cuenta la evolución de dichas expectativas a 
través del tiempo. 
 
 
1 La curva smile relaciona al precio de ejercicio con la volatilidad implícita en los precios de las 
opciones. 
 
7 
 
Objetivo 
En general, en el mundo financiero se manejan dos tipos de volatilidad. 
La volatilidad histórica que es una medida estadística de la fluctuación de los 
precios en el pasado y la volatilidad implícita, la cual mide si las primas de las 
opciones son relativamente caras o baratas de acuerdo con las condiciones del 
mercado. La volatilidad implícita se calcula en función del valor actual de las 
primas negociadas. La volatilidad histórica, por otro lado, constituye una 
buena aproximación para tratar de entender el comportamiento del 
instrumento financiero en cuestión. Es posible por tanto, basándose en ésta, 
analizar cuál ha sido la volatilidad en la última semana, en el último mes, en 
los últimos años, etc. Si se graficara el comportamiento de la volatilidad a 
través del tiempo se podría esperar, que mientras mayor sea el plazo, la curva 
se presente de una manera más “suave”. 
 
Es de esperar por tanto, que los instrumentos que históricamente 
mantienen una volatilidad alta, cuando se analicen en periodos cortos sigan 
presentando volatilidades altas en comparación con otros instrumentos. 
 
Cuando se evalúa la compra de una opción, generalmente se considera 
la volatilidad histórica del instrumento financiero subyacente; sin embargo, 
existe una interpretación diferente de volatilidad no asociada con el 
instrumento financiero subyacente: la volatilidad implícita. 
 
Se han planteado diferentes modelos para analizar el valor de las 
opciones (a este valor se le conoce como prima), en general mayoría de estos 
modelos determina precios relativamente cerca el uno del otro cuando se les 
ingresan parámetros similares; es decir, la mayoría de los modelos empleados 
para la valuación de opciones dará un valor similar cuando usemos las mismas 
variables. En general, para la valuación de las opciones, las variables que 
están involucradas son básicamente: el precio del instrumento financiero 
subyacente, el tiempo hasta su expiración, el precio de ejecución, dividendos a 
ser pagados por la acción, la actual tasa de interés y la volatilidad. 
 
Es posible que la prima cotizada en el mercado difiera de la que arrojan 
los modelos de valuación, esto ocurre cuando los agentes que participan en el 
mercado consideran que el precio de la prima resultante de los modelos no 
refleja las condiciones actuales del mercado. Si tomamos en cuenta que de 
todas las variables que se ocupan para la valuación, la única que no es 
conocida y que debe ser estimada mediante algún método es la volatilidad, se 
 
8 
 
observa que lo que ocurre es que el mercado está asumiendo una volatilidad 
distinta a la volatilidad histórica. 
 
Dado que ya se conocen los precios de las primas que el mercado está 
cotizando, es posible, utilizar la ecuación de algún de modelo de valuación 
para encontrar el valor volatilidad correspondiente a dicho precio. En este 
trabajo se utilizará esta información para proponer una metodología de análisis 
que funja como herramienta para la toma de decisiones, en función de la 
volatilidad implícita por el mercado. 
 
 
9 
 
MARCO TÉORICO 
 
Opciones Financieras 
 
Una opción financiera es un título que brinda a su poseedor el derecho a 
comprar o vender un activo a un precio determinado durante un período o 
fecha prefijada. Existen tanto opciones de compra (call), que dan a su 
propietario elderecho a comprar un activo en una fecha determinada a un 
precio previamente pactado; como opciones de venta (put), que dan al tenedor 
el derecho a vender un activo en una fecha dada a un precio previamente 
pactado. El activo sobre el que se instrumenta la opción se denomina el activo 
subyacente. El precio de compra o de venta garantizado en la opción es el 
precio de ejercicio (strike). En un contrato de opción, las posiciones del 
comprador y del vendedor ante el riesgo no son simétricas, ya que el 
comprador tiene el derecho, más no la obligación, de ejercer la opción. 
Por otro lado, el vendedor, a través de la recepción de un pago (prima), 
asume la obligación de respetar la decisión del comprador. En Options, futures 
and other derivatives (2007, 6) John Hull, quien es catedrático en la 
Universidad de Toronto y una reconocida autoridad en los temas de derivados 
y administración de riesgo, menciona que “Una opción da al propietario el 
derecho de hacer algo, pero el propietario no está obligado a ejercer este 
derecho, aunque su compra requiere un pago inicial”. Un contrato de 
opciones, por lo tanto, otorga al titular el derecho mas no la obligación de 
comprar o vender un activo a un precio determinado (precio de ejercicio). 
Las opciones son contratos que se pueden utilizar para asegurar precios 
futuros de activos en particular; o bien, simplemente para efectuar operaciones 
financieras con la intención de obtener beneficios basados en las variaciones 
de los precios de los activos subyacentes. 
Una opción sólo es ejercida cuando genera un beneficio para el tenedor 
de dicha opción, lo que ocurre para una opción tipo call, en el momento en 
que el precio del activo subyacente (So)
2
 es superior al precio de ejercicio (K)
3
 
 
2
 Al precio del activo subyacente también se le conoce en la literatura como precio Spot. 
 
10 
 
y para la opción tipo put cuando So es inferior a K. Los beneficios obtenidos 
serán iguales a la diferencia entre So y K. El precio de una opción se encuentra 
en función de las posibilidades de alcanzar dichos beneficios; es decir, las 
posibilidades de que el precio del activo subyacente se encuentre en diferentes 
puntos por encima (para una opción tipo call)
4
, del precio de ejercicio. 
 
 
Figura 1: Gráfica de pago de las opciones tipo call y put 
 
Como se menciona anteriormente, Una opción financiera le da al 
poseedor el derecho de hacer algo, más no la obligación de ejercer este 
derecho, esto mediante un pago en el momento de la adquisición de la opción. 
Existen dos tipos principales de opciones, una opción tipo call le da al 
poseedor el derecho de comprar un bien en una fecha específica a un precio 
determinado. Una opción tipo put le da al poseedor el derecho de vender un 
bien en una fecha específica a un precio determinado. Todas estas 
características son determinadas mediante un contrato, a la fecha pactada en 
dicho documento se le conoce como fecha de vencimiento (maturity date), a 
su vez, el precio especificado en el contrato se conoce como precio de 
ejercicio o precio strike. 
 
3
 Al precio del ejercicio también se le conoce en la literatura como Strike. 
4
 En caso de tratarse de una opción tipo put, ésta se ejercerá cuando el precio del activo se encuentra por 
debajo del precio del ejercicio de dicha opción. 
 
11 
 
Supongamos que una persona decide comprar una opción tipo call sobre 
una acción con un precio de ejercicio de $100 y una fecha de vencimiento en 4 
meses a partir de la compra. Supongamos también que el precio actual de 
dicha acción es de $98 y que el precio por comprar dicha opción es de $5. En 
el ejemplo descrito se podría asumir que la persona sólo ejercerá su derecho 
de comprar si es que el precio de la acción sobrepasa los $100. Supongamos 
que pasados los 4 meses el precio de la acción alcanza $110, si la persona 
ejerce en este momento su derecho de comprar a $100, automáticamente habrá 
obtenido una ganancia de $10, resultado de obtener algo con valor de $110 a 
$100 (esto sin considerar el costo de adquisición de la opción de $5, 
considerando dicho costo, la ganancia habría sido $5 = $110 - $100 - $5). Si 
suponemos que pasados los 4 meses la acción alcanzó un precio de $103, la 
persona obtendrá un beneficio de $3 sin embargo, al considerar el costo de 
adquisición tendrá una pérdida de -$2 resultado de la diferencia: -2$ = $103 - 
$100 - $5. Si la acción no alcanza un precio mayor a $100, entonces la 
persona no utilizará su derecho de comprar y sólo habrá perdido lo que pagó 
por comprar la opción financiera, es decir: habrá perdido $5. 
La compra de una opción tipo call se hace cuando se espera que el 
precio del activo subyacente incremente mientras que la compra de una opción 
tipo put se hace cuando se espera que el precio baje. Si se supone que una 
persona compra una opción tipo put con un precio de ejercicio de $50 y el 
precio actual de la acción es de $45, la fecha de vencimiento es en 3 meses a 
partir de la compra y el costo por adquirir la opción es de $7. Se espera que la 
opción sólo sea ejercida sí el precio de la acción es menor a los $50 pactados 
como precio de ejercicio. Si suponemos que una vez cumplida la fecha de 
vencimiento el precio de la acción es de $40 tendremos que la persona habrá 
obtenido una ganancia de $10 si considerar el costo de la opción (la ganancia 
hubiera sido de $3 = $50 - $40 -$7, si consideramos el precio de la opción). Si 
el precio de la acción sobrepasa el precio pactado como precio de ejercicio, 
esta no es ejercida y la pérdida únicamente sería por el monto pagado por la 
opción, para este ejemplo sería de $7. 
Los dos tipos más comunes de opciones son: americanas y europeas. 
La diferencia entre ellas nada tiene que ver con su ubicación geográfica. Las 
 
12 
 
opciones americanas pueden ejercerse en cualquier momento durante la vida 
del contrato, mientras que las europeas sólo pueden ejercerse en su 
vencimiento. Dadas las características de las opciones de tipo europeo, éstas 
son generalmente más fáciles de analizar, por lo que normalmente para los 
modelos empíricos de valuación se asume que la opción evaluada es de éste 
tipo. 
En todos los contratos de opciones existen dos posiciones. Se dice que 
el inversionista está en una posición larga cuando es quien compra la opción y 
en posición corta cuando la vende. El inversionista que está en una posición 
corta recibe un pago inmediato tras la venta de la opción (la prima o costo de 
la opción), sin embargo la ganancia a pérdida generada por esta opción es 
inversa para ambas posiciones, es decir, una ganancia para la posición corta 
implica pérdida para la posición larga. De lo anterior podemos pensar que 
existen 4 tipos de posiciones en las opciones: 
1. Posición larga en un call. 
2. Posición larga en un put. 
3. Posición corta en un call. 
4. Posición corta en un put. 
 
Si denotamos como X al precio de ejercicio de una opción tipo call y 
S(T) al valor de la acción en el tiempo T, si se da el caso que S(T) > X entonces 
el poseedor de la opción puede ejercerla y obtener un beneficio equivalente a 
S(T) – X. Si se da el caso contrario en el que S(T) ≤ X entonces el propietario 
no obtiene ganancia alguna. En el caso de que la opción fuera de tipo put y el 
precio de la acción fuera menor que el precio de ejercicio, el propietario 
podría ejercer la opción y generar un beneficio, es decir: si se da que X > S(T) 
entonces el beneficio obtenido por ejercer la opción es X – S(T), Lo anterior 
puede ser expresado como: 
 
 
13 
 
 
 
Donde C denota el monto del beneficio obtenido por la opción tipo call 
y P denota el montodel beneficio obtenido por la opción tipo put. 
Las opciones financieras se han vuelto muy populares y en muchos 
casos hay más dinero invertido en éllas, que en los mismos activos 
subyacentes a los que están ligados. Lo anterior se da por dos razones 
principales: Las opciones financieras son muy atractivas para los 
inversionistas tanto para especular
5
 como para proteger flujos financieros 
futuros
6
. Mediante la combinación de varias posiciones un inversionista puede 
protegerse contra distintos comportamientos contratos de futuros. 
Adicionalmente a esto existen modelos sistemáticos que permiten determinar 
el valor de las opciones de forma que éstas pueden ser intercambiadas con 
confianza. 
El valor de un derivado se encuentra definido en función de los 
siguientes factores: la cotización del bien subyacente, el precio de ejercicio, la 
volatilidad, los dividendos y la tasa de rendimiento del activo. En general, al 
realizar la valuación se considera un escenario neutral al riesgo
7
, por lo que se 
utiliza la tasa de interés libre de riesgo
8
. Los precios de las opciones se 
calculan mediante la tasa libre de riesgo y la tasa de rendimiento esperado, por 
lo que la información que se obtiene de éstas refleja las expectativas del 
mercado en un escenario neutral al riesgo. En general se supone que la 
mayoría de los inversionistas son adversos al riesgo y que potencialmente 
tienen diferentes expectativas a las de un “mundo neutral al riesgo”. 
Los precios de las opciones que arrojan los modelos de valuación que 
consideran la tasa libre de riesgo, son precios que consideran un escenario 
 
5
 Realizar operaciones esperando obtener un beneficio con el cambio de los precios. 
6
 Ingresos o Egresos ya considerados en un presupuesto. 
7
 Un individuo es neutral al riesgo si se muestra indiferente entre el pago esperado de una situación incierta y 
la situación incierta. 
8
 La tasa libre de riesgo, es un concepto teórico que asume que existe una alternativa de inversión que no 
tiene riesgo para el inversionista. En la práctica se utiliza el rendimiento de los Bonos del Tesoro de Estados 
Unidos. Para las inversiones en pesos se utiliza como referencia de la tasa libre de riesgo la tasa de los 
Certificados de la Tesorería (CETES) a 28 días. 
 
14 
 
neutral al riesgo. En general, estos precios están sesgados con respecto a los 
precios futuros. Esta diferencia se atribuye a la prima de riesgo que compensa 
el riesgo asumido por los inversionistas de acuerdo a determinado activo 
subyacente. 
Una vez introducido el concepto de prima de riesgo, éste debe 
considerarse para el cálculo de los beneficios, por lo que una opción tipo call 
será ejercida una vez que So sea mayor a X y sólo generara utilidad cuando So 
es mayor a X más la prima de riesgo que se pagó al adquirir dicha opción. Una 
opción tipo put será ejercida cuando So sea menor a X y generara utilidad 
cuando So es menor a X menos la prima de riesgo. 
 
 
Figura 2: Gráfica de ganancia de las opciones tipo call y put 
 
Si suponemos que se tiene un call y un put ambos sobre el mismo 
activo (S) con el mismo strike (K) y con la misma fecha de vencimiento (T). 
Al final del periodo tendremos un ingreso por la venta y un gasto por la 
compra, es decir se tendrá un retorno de S(T) – K, donde S(T) el precio del 
activo al vencimiento. 
 
 
15 
 
Donde, 
p, es el valor de una opción europea tipo put para vender una acción. 
c, corresponde al valor de una opción europea tipo call para comprar una 
acción. 
S(T), es el valor del activo en la fecha de vencimiento de la opción. 
K, es el precio de ejercicio de la opción. 
Si consideramos como S(t) el valor del activo en el tiempo t, donde t < T 
entonces: 
 
Si no se cumpliera lo anterior sería posible en algún tiempo (t) “comprar 
barato y vender caro” en mismo activo de manera que se puede generar una 
ganancia sin riesgo alguno. 
 
De la paridad call – put
9
, se sabe que no es posible realizar arbitraje
10
 
con dos opciones del mismo tipo, dado el equilibrio que existe entre las primas 
de una opción de compra y una de venta con el mismo vencimiento y precio 
de ejercicio. Dicho de otra manera, la paridad call-put es una relación de 
equilibrio entre las primas de opciones de compra y de venta que tienen las 
mismas características. 
Para una put: 
 
 
 
Donde: 
p es el valor de una opción europea tipo put para vender una acción. 
c corresponde al valor de una opción europea tipo call para comprar una 
acción. 
S0 representa el valor actual de la acción. 
D denota el valor de los dividendos otorgados por la acción al vencimiento. 
 
9
 Ver Jhon Hull Options, futures and other derivatives - 7th edition p. 208. 
10
 Se conoce como arbitraje a la práctica de tomar ventaja de la diferencia del precio de un activo en dos o 
más mercados. La utilidad se logra debido a la diferencia de precios de mercado, en otras palabras, obtener 
ganancias sin riesgo o con inversión neta nula. 
 
16 
 
X indica el precio del ejercicio de la opción. 
 
Es decir, en equilibrio, la prima de una opción put debe ser igual a la 
prima de una opción call de características equivalentes menos el precio del 
activo subyacente más el precio del ejercicio a valor presente más el valor 
actual de los dividendos que proporciona la acción hasta el vencimiento de la 
opción. 
De manera alterna, comprar una opción put equivale a comprar una 
opción de compra y a su vez vender la acción en el mercado. 
 
Si se reordenan los términos se observa: 
 
 
 
Esta igualdad señala que el comprar una opción call equivale a comprar 
una opción put y comprar la acción en el mercado. Es decir, combinando 
posiciones en el precio del subyacente (S0) con una opción call o put, se 
obtendrá otra modalidad de opción. 
 
Lo anterior justifica que en un “mercado perfecto”
11
 no se puedan 
realizar operaciones de arbitraje con las primas de riesgo de las opciones 
financieras, lo que constituye una condición primordial para el funcionamiento 
de los mercados. De no ser así, sería posible generar utilidad con total certeza 
sin importar que las condiciones que rigen dicho mercado cambien a través del 
tiempo. 
 
Valuación de Opciones 
Uso de Log normales 
 
El rendimiento de las variables financieras (descrito como el cambio del 
valor a través del tiempo en términos monetarios), puede ser descrito con un 
comportamiento exponencial, de forma que al aplicarle una transformación 
logarítmica es posible describirlo de forma lineal. Adicionalmente a esto, 
cuando se hace una transformación logarítmica cambia la interpretación de la 
variable obtenida de términos absolutos a términos relativos; es decir, el 
sentido de la interpretación cambia de tener un valor x a un incremento o 
 
11
 Se conoce como mercado perfecto al mercado financiero en el que la información sobre las condiciones de 
lo que se negocia es la misma para todos los participantes. 
 
17 
 
decremento con respecto a otro valor, lo que facilita la realización de 
comparaciones a través del tiempo. 
 
Debido a que los cambios significativos del nivel de precios y el precio 
de un activo nunca podrán tomar valores por debajo de cero, el uso de 
logaritmos permite limitar los valores positivamente. En los activos 
financieros, resulta adecuado considerar los rendimientos de los activos 
tomando en cuenta la diferencia entre el logaritmo del precio spot y del 
derivado en S0. De igual forma, es posible calcular el rendimiento esperado 
comparando el logaritmo de cada uno de los precios potenciales en el futuro 
(X) con el logaritmo del precio spot. Es decir: 
 
 
 
 
 
Por lo general, los modelos de valuación de opciones emplean 
distribucionesasimétricas para la valuación de activos, lo cual se ajusta a la 
realidad, ya que la gente tiene reaccionar más rápido a cambios negativos que 
a positivos. Las distribuciones lognormales se utilizan como referencia para 
estas valuaciones, aunque ésto presupone que el logaritmo del precio de los 
activos se distribuye como una normal. 
 
Decimos que una variable aleatoria X se distribuye lognormal cuando 
Y=logb X tiene una distribución normal con media µ y varianza σ
2
. Dicha 
distribución presenta las siguientes características: 
 
 Función de densidad: 
 
 
 
 
Esperanza: 
 
 
 
 
 
18 
 
Varianza: 
 
 
 
 
Una variable que se distribuye lognormal puede tomar valores entre 
cero e infinito y como característica principal presenta asimetría, por lo que a 
diferencia de la distribución normal, su media, moda y mediana, no coinciden. 
La siguiente gráfica ilustra muestra la forma de la distribución lognormal: 
 
 
Figura 3: Gráfico de distribuciones lognormales 
 
 
Esta distribución se utiliza frecuentemente para aproximar variables 
financieras, tales como el precio de una acción y en consecuencia el 
rendimiento continuo. 
 
El método desarrollado por los economistas Black y Scholes en The 
pricing of options and corporate liabilities
12
 constituye uno de los métodos 
más utilizados para la valuación de opciones financieras. Más adelante se hará 
una breve descripción del desarrollo de dicho método, el cual emplea como 
uno de sus supuestos que el comportamiento del precio en las opciones 
financieras se distribuye lognormal. 
 
Si se supone que el precio de una acción evoluciona de acuerdo con un 
proceso estocástico llamado Movimiento Browniano geométrico (también 
conocido como proceso Wiener)
13
. Ello implicaría que dicho precio tiene una 
 
12
 Ver Black-Scholes (1973) “The pricing of options and corporate liabilities”, Journal of political 
economy may/june) p.637-654. 
13
 Ver Campbell J.Y. , Lo A .W. And McKinlay A.C. (1997) The econometrics of financial markets” C 2 p 
27, C9 p341, princenton university press 
 
Sigma=1
Sigma=1.2
Sigma=0.6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Realización de la variable 
aleatoria lognormal
Frecuencia
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
 
19 
 
pendiente esperada (drift) y un cambio constante en su varianza. Sin embargo, 
un modelo bajo estos supuestos no considera un aspecto esencial en los 
precios de las acciones; esto es, que el inversionista requiere un rendimiento 
mínimo sin importar cuál es el precio de la acción, por lo que es conveniente 
reemplazar la pendiente esperada por el rendimiento esperado de dicha acción 
µ, siendo éste un parámetro constante. Por lo tanto en un intervalo de tiempo 
dt, el cambio esperado en el precio de la acción S es: 
 
dS = µSdt 
 
Es razonable considerar que en la práctica exista volatilidad durante el 
intervalo de tiempo dado y que dicha variabilidad sea la misma sin importar el 
precio de la acción. Esto sugiere que el cambio en la desviación estándar del 
cambio en el periodo de tiempo dt debe ser proporcional al precio de la 
acción, por lo que: 
 
dS= µSdt + σSdz 
 
Dado que µ y σ se suponen constantes y dz y dt representan los 
incrementos en un proceso Wiener, al aplicar el Lema de Ito
14
 a la ecuación 
anterior tenemos: 
 
ln St ~ Φ [In S + (µ + ½σ 2) Τ, σ √ Τ] 
 
De donde se puede observar que ln St se distribuye normal, por lo que 
St tiene una distribución lognormal. 
Como se mencionó anteriormente, la distribución lognormal posee 
características que se ajustan a los eventos financieros, entre ellas, la no 
simetría, ya que los agentes no reaccionan igual ante los eventos de pérdida 
que a los de ganancia. Otra cualidad de dicha distribución es que no adquiere 
valores negativos, lo cual resulta conveniente para la modelación de tasas de 
interés o de valores de primas. 
 
 
14
Ver Jhon Hull Options, futures and other derivatives - 7th edition p. 269. 
 
20 
 
Modelo de Black y Scholes 
 
El modelo de Black y Scholes asume la existencia de un portafolio libre de 
riesgo cuyo rendimiento es la tasa libre de riesgo, ya que dado que el precio de 
un activo y el precio del derivado relacionado con dicho activo están 
fuertemente correlacionados en un periodo de tiempo suficientemente corto, 
es posible diseñar un portafolio de tal manera que en el corto plazo se elimina 
el efecto del proceso de Wiener
15
. Adicionalmente a los supuestos antes 
mencionados el modelo considera lo siguiente: 
 µ y σ son constantes. 
 Es posible realizar ventas en corto16. 
 No existen costos impositivos. 
 No se efectúa pago de dividendos durante la vida del derivado. 
 No hay posibilidades de arbitraje. 
 Sólo existe una tasa libre de riesgo. 
 
A partir de lo anterior, se deduce una ecuación diferencial que puede ser 
usada para la valuación de derivados. Considerando el supuesto de no 
arbitraje en portafolios libres de riesgo, la ecuación diferencial parcial de 
segundo orden soluciona el modelo
17
. 
 
 
 
 
Con las condiciones de las opciones de tipo europeo, la ecuación 
anterior queda para opciones tipo call: 
 
 
 
 
15
 Ver Jhon Hull Options, futures and other derivatives - 7th edition p. 285 - 288. 
16
 Las ventas en corto se realizan cuando se espera que el precio de un título baje. Se venden acciones que no 
se poseen al precio actual, las cuales se piden prestadas a algún otro inversionista con quien se genera el 
compromiso devolver dichos títulos en un cierto plazo y a cambio se le paga una comisión. 
17
 Ver Jhon Hull Options, futures and other derivatives - 7th edition p. 287. 
 
21 
 
Y para opciones tipo put: 
 
 
 
A partir de lo anterior se deriva el modelo Black y Scholes para valuar 
opciones. 
 
Si se supone que todos los inversionistas son neutrales al riesgo, se 
puede probar que el precio de la prima “c” de la opción financiera no depende 
de las preferencias de riesgo de cada agente. 
 
De igual manera que Cox y Ross en The Valuation of Options for 
Alternative Stochastic Processes, Journal of Financial Economics (1976),
18
 y 
Black y Scholes en The pricing of options and corporate liabilities (1973) 
19
 
muestran que las opciones pueden ser valuadas si los inversionistas son 
neutrales al riesgo. Utilizando la tasa libre de riesgo (r) como tasa esperada de 
rendimiento del activo subyacente (µ). La fórmula de Black y Scholes para 
valuar opciones de tipo europeas es la siguiente: 
 
C(S,T,X,r,d, σ)= S e
-dt 
N(d1)- X e
-dt 
N(d2) 
 
 
 
 
 
 
 
Donde: 
 
C: Precio teórico de una opción tipo call 
S: Precio spot del activo subyacente 
 
18
 Ver J. Cox and S.A. Ross (1976) "The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes, Journal of 
Financial Economics, p. 145-146. 
19
 Ver Black-Scholes (1973) “The pricing of options and corporate liabilities”, Journal of political economy 
may/june) p.637-654. 
 
22 
 
X: Precio de ejercicio 
r: Tasa libre de riesgo
20
 
D: Tasa de dividendos 
T: Tiempo al vencimiento del contrato 
N(di): Función de probabilidad acumulada de la distribución normal estándar 
σ: Volatilidad 
 
La fórmula anterior representa una de las fórmulas más empleadas hoy 
en día en el mundo de la valuación de los instrumentos financieros. A pesar de 
que el modelo matemático anterior está basado en una serie de supuestos que 
condicionan su uso, en la práctica esta fórmula es altamente socorrida para 
valuar todo tipo de opciones, incluso aquellas que no son de tipo europeo. Sin 
embargo, el resultado obtenido puede emplearse como un precio de referencia 
aproximadosi no se cuenta con las herramientas o el tiempo necesario para 
valuaciones más complejas. 
 
 
20 Ver wall street journal: Tasa gubernamental US.. 
 
23 
 
 
Opciones del SP500 
 
El Índice Standar & Poor‟s 500 (S&P500) es considerado uno de los 
índices más representativos de la situación real del mercado financiero, ya 
que comprende 500 de las compañías más grandes que participan en el 
mercado accionario de los Estados Unidos (400 del sector industrial, 20 de 
transporte, 40 de servicios y 40 financieras). Concretamente, para no 
extendernos demasiado, el índice se calcula como la media de captación, 
ponderada por la participación de cada una de las empresas
21
. 
 
En este trabajo se emplearán opciones sobre este índice, pues debido a 
su composición, constituyen un buen indicador del comportamiento que sigue 
en este momento toda la bolsa. El ejercicio se lleva acabo de acuerdo al valor 
del índice SP500 vigente a esta fecha. Los contratos son de tipo americano y 
se negocian en el Chicago Mercantil Exchange (CME)
22
 
 
 
 
21
 Si se desea profundizar más respecto a cómo está constituido el índice S&P500 se puede consultar: 
http://www.standardandpoors.com/indices/sp-500/en/us/?indexId=spusa-500-usduf--p-us-l-- 
22
 ver: www.cmegroup.com 
http://www.standardandpoors.com/indices/sp-500/en/us/?indexId=spusa-500-usduf--p-us-l--
http://www.cmegroup.com/
 
24 
 
 
 
Volatilidad Implícita 
 
Estimación de volatilidad implícita: 
 
Los precios a los que se comercializan las opciones financieras se 
encuentran plenamente determinados por el comportamiento del mercado. 
Estos precios pueden proporcionar información relevante sobre los cambios 
tanto de las expectativas como del comportamiento de dicho mercado a través 
del tiempo y por ende, sobre los precios futuros de las propias opciones. 
 
Cuando ocurre que dada una fecha de expiración de una opción existe 
diferencia entre el precio (real) de dicha opción y su precio de ejercicio 
(teórico), se hace notar la perspectiva de que el mercado considera la 
posibilidad de que el precio del activo subyacente no sea precisamente el 
precio que determinan los modelos empíricos. 
 
Los instrumentos derivados reflejan información sobre las expectativas 
que tienen los participantes de los mercados acerca del comportamiento que 
tendrán los activos subyacentes relacionados con dichos derivados. Lo anterior 
puede observarse en las cotizaciones de las opciones, ya que el valor de la 
cotización actual se encuentra función del valor que tomará el activo 
subyacente en el futuro. Así, a partir de los precios de las cotizaciones es 
posible tratar de inferir las expectativas que tienen los agentes que participan 
en el mercado respecto al cambio en el precio de los activos o bienes 
subyacentes en el futuro. 
 
A partir de las distintas cotizaciones que en un mismo día tiene una 
opción, es posible tratar de inferir la información necesaria para construir una 
función de densidad que describa el comportamiento del precio para ese bien 
subyacente. Esta función refleja, para ese día en particular, la frecuencia que 
corresponde a las diferentes posturas que tomaron los agentes mediante las 
cotizaciones (es decir, las diferentes expectativas de los agentes referentes a 
las variaciones futuras del precio del activo), lo que permite obtener 
información de las expectativas del mercado para dicho activo en el futuro. 
 
 
25 
 
Bajo determinados supuestos, la información en las opciones puede ser 
expresada en términos de la probabilidad de que el precio del activo 
subyacente se encuentre en ciertos niveles de precios, tales estimaciones son 
las funciones de densidad de probabilidad (fdp). Estas fdp no necesariamente 
proporcionan las probabilidades actuales de que el precio de un activo alcance 
cierto valor en el futuro, pero facilitan la interpretación de las probabilidades 
provistas por la experiencia, conocimientos y expectativas de los 
participantes del mercado, quienes le otorgan diferentes valores que el activo 
subyacente podría tomar en el futuro. En otras palabras, las fdp permiten dar 
una interpretación a la incertidumbre reflejada por las distintas posturas que 
adoptan los participantes en el mercado. 
 
Es posible recrear una función de densidad a través de sus primeros 
cuatro momentos: media, varianza, asimetría y curtosis. La asimetría muestra 
la ubicación de los valores extremos respecto de la media. La curtosis mide la 
concentración de los valores de la distribución con relación a la media; es 
decir, muestra qué tanto las observaciones se concentran en la media o en las 
colas de la distribución. 
 
Bajo este contexto, es posible asignar valores a la volatilidad implícita. 
Estos valores se obtienen a partir de precios de opciones que tienen 
negociación “trading” en el mercado. A través del uso de modelos de 
valuación de opciones, en este caso bajo el modelo de Black y Scholes
23
, es 
posible percatarse que los parámetros que requieren dichos modelos son 
valores conocidos (como la tasa de interés libre de riesgo, o el tiempo para 
vencimiento), con excepción de la volatilidad. Al ser ésta la única variable no 
observable en dicho modelo, debe ser estimada de acuerdo a las otras 
variables observadas. Por tanto, es posible interpretar a la volatilidad implícita 
como el pronóstico de volatilidad que el mercado asigna a un subyacente 
específico. En otros términos, puede interpretarse como la expectativa del 
mercado sobre la volatilidad del subyacente durante la vida de la opción. 
 
Las expectativas que los agentes económicos tienen sobre diversos 
activos o variables financieras pueden ser observados en las cotizaciones de 
futuros
24
 y opciones. Las volatilidades implícitas proporcionan información 
 
23
 Ver página 12, Modelo de Black and Scholes 
24
 Un contrato de futuros es un acuerdo, negociado en un mercado organizado, que obliga a las partes 
contratantes a comprar o vender un activo subyacente en una fecha futura con un precio establecido 
previamente. 
 
26 
 
acerca de las expectativas del mercado sobre el futuro de los precios de los 
activos. 
 
A partir de los precios de las opciones es posible obtener no sólo la 
media y varianza esperada del precio de algún activo, sino además las 
volatilidades implícitas para los diferentes niveles del bien subyacente. A 
partir de esta información es posible construir “curvas de volatilidad”. Los 
cambios en las formas de las de las curvas de volatilidad implícita pueden ser 
interpretados en relación a las expectativas del mercado. Esta curva refleja, 
para un día en particular, la expectativa en términos de volatilidad de cada 
uno de los precios esperados para ese activo subyacente al vencimiento de los 
contratos. Por esta razón, a través de la curva es posible obtener información 
de los cambios direccionales en las expectativas del mercado e intentar 
detectar momentos de incertidumbre. 
 
En el presente trabajo, se hará la estimación de la volatilidad implícita 
considerando un procedimiento basado en la metodología de Black y Scholes 
para la valuación de opciones. Para ello, se considera que el valor de la prima 
(cmercado) es un dato ya conocido, de modo que sería posible tratar de despejar 
la volatilidad de la fórmula de valuación para que la volatilidad fuera ahora la 
variable dependiente. Sin embargo, dada la complejidad de la fórmula usada, 
se plantea una salida más práctica, a través de un proceso iterativo se define 
un límite de tolerancia que representa la diferencia máxima que se está 
dispuesto a permitir entre el valor observado y el valor que arroja el modelo 
tras haber hecho la valuación usando algún valor asignadopara la volatilidad. 
En otras palabras, se realiza una búsqueda iterativa a modo de “prueba y 
error” hasta encontrar un valor tal que sea “suficientemente cercano” a la 
volatilidad correspondiente al precio observado.
25
 
 
 
Interpretación de la curva de volatilidad implícita “curva smile” 
 
La curva smile es una representación gráfica de los valores obtenidos a 
partir de las estimaciones de la volatilidad implícita dado un modelo 
específico de valuación de opciones. En esta representación gráfica se 
presenta en el eje horizontal el precio de ejercicio de la opción y en el eje 
vertical la volatilidad implícita asociada a dicho nivel de precios. 
 
25
 Ver metodología para calcular volatilidad implícita página 24 
 
27 
 
 
Se le llama curva smile porque generalmente las opciones que son 
negociadas en los niveles de precio conocidos como “At The Money” 
(ATM)
26
, tienen una volatilidad implícita menor que las opciones que están 
“Out of The Money” (OTM)
27
 o “In The Money” (ITM)
28
, éstos últimos son los 
precios que se presentan en los extremos del gráfico. 
 
 
Figura 4: Gráfico volatilidad implícita contra precio de ejercicio 
 
Dado que se cuenta con un número finito de observaciones, para 
generar un gráfico como el que se encuentra en la imagen es necesario 
interpolar el resto de los puntos que describen la curva. 
 
A continuación se hará una descripción de la curva smile, con la 
intención de dar una interpretación a los cambios que ésta presenta a través 
del tiempo. La dispersión en la curva refleja una mayor probabilidad de 
alcanzar valores extremos en los niveles del activo subyacente. A través de 
este fenómeno es posible inferir un mayor o menor grado de incertidumbre, 
cuando se observen incrementos o decrementos en la amplitud de la curva. La 
asimetría puede mostrar un cierto sesgo en las expectativas de los agentes. 
Cuando los valores de dicha asimetría son positivos es posible deducir 
expectativas de valores positivos extremos. De igual forma, cuando la 
asimetría es negativa, se puede inferir que existen agentes en el mercado que 
esperan que se presenten valores negativos extremos. 
 
26
 Se dice que una opción está “At The Money” cuando el precio de ejercicio es el mismo que el precio spot al 
que fue emitido dicho derivado. 
27
 Una opción que se encuentra “Out of The Money” cuando el precio de ejercicio está por debajo (arriba), del 
precio spot del activo cuando es una opción tipo call (put). 
28
 Una opción que se encuentra “In The Money” cuando el precio de ejercicio por arriba (abajo), del precio 
spot del activo cuando es una opción tipo call (put). Si una opción se encuentra en estos niveles, tiene un 
valor intrínseco positivo. 
 
28 
 
 
Ahora bien, las probabilidades relacionadas a los valores que se 
encuentran lejos de los niveles de precios actuales, esto es, el grado de 
amplitud en la curva de volatilidad, permiten evaluar las expectativas del 
mercado sobre cambios drásticos en los niveles de precios en el futuro. Esto 
significa que el número de posiciones que hay para un sólo tipo de contrato se 
ve reflejado en la amplitud de la curva. Entre más amplia sea la curva, se 
puede interpretar una menor expectativa por parte de los agentes que 
participan en el mercado a un cambio drástico en los precios en un periodo de 
tiempo relativamente corto. 
 
 
Análisis de expectativas con la curva smile 
 
Los precios de las opciones cotizados en los mercados establecidos 
OTC
29
 se cotizan en términos de volatilidad implícita (σimp)
30
, la cual 
regularmente varía en función de los diferentes precios de ejercicio (X), 
relacionados con la opción negociada. 
 
El comportamiento de la volatilidad implícita (σimp), en función de los 
diferentes precios de ejercicio, se ilustran en la siguiente tabla: 
 
Comportamiento de la volatilidad en función del precio de ejercicio 
 
Relación de X con el precio de ejercicio σimp 
Si X está cercano a ATM baja 
Si X se encuentra fuertemente OTM / ITM alta 
Figura 5: Tabla ATM/OTM 
 
La cual puede interpretarse como: Si el precio de ejercicio “X” se 
encuentra en niveles que puedan ser considerados como “At The Money” 
 
29
 El término OTC (Over The Counter), se refiere a las negociaciones de instrumentos financieros que se 
realizan directamente entre los interesados, fuera de los mercados organizados. 
30
 Ver definición volatilidad implícita página 15 
 
29 
 
(ATM), sus volatilidades suelen ser inferiores comparadas con el precio de 
ejercicio cuando está profundamente “in the Money” o “out of the Money”. 
Este fenómeno da lugar a la llamada curva smile, la cual relaciona las 
volatilidades implícitas en las opciones, para diferentes rangos de precios de 
ejercicio y contratos con características similares. 
 
En el siguiente gráfico se presenta la volatilidad implícita para las 
opciones del índice S&P500 para el día primero de julio de 2009, es decir, la 
representación de la curva smile para el S&P500 del 01/06/09 con 
vencimiento el día 17 de julio. 
 
 
SP500 01jul09 
 
 
Figura 6: Gráfico de volatilidad implícita para el SP500 del día 1 de julio de 09 
 
 
Interpretación del análisis de expectativas con la curva smile 
 
En la curva smile es posible observar las expectativas en términos de 
volatilidad implícita en los diferentes niveles que puede tomar el índice 
(Precio de ejercicio). 
 
Retomando el cuadro que se expuso anteriormente
31
 se puede apreciar lo 
siguiente: 
 
31
 Ver Comportamiento de la volatilidad en función del precio del ejercicio descrito en la página 18 
6
7
5
7
2
0
7
6
0
7
9
5
8
2
0
8
5
0
8
7
5
9
0
0
9
2
5
9
5
0
9
7
5
1
0
0
0
1
0
2
5
1
0
5
0
1
0
7
5
1
1
0
0
1
1
4
0
1
1
9
0
 -
 0.10
 0.20
 0.30
 0.40
 0.50
 0.60
 0.70
 0.80
Implied Volatility SP500 
 
30 
 
 
1. Cuando existe incremento en los niveles de volatilidad, el mercado 
tiene un mayor grado de incertidumbre, con lo que se pueden inferir 
grandes movimientos en los niveles del activo analizado. 
 
2. Cuando existe una disminución en los niveles de volatilidad, el 
mercado muestra un menor grado de incertidumbre, de donde se 
pueden deducir movimientos muy pequeños en los niveles del activo 
analizado. 
 
3. Cuando el extremo izquierdo de la curva presenta niveles de volatilidad 
implícita mayores a los del lado derecho, es posible pensar que el 
mercado tiene expectativas de decrementos en los niveles del activo 
analizado. 
 
4. Cuando extremo derecho de la curva presenta niveles de volatilidad 
implícita mayores a los del lado izquierdo, es posible suponer que el 
mercado tiene expectativas de incremento en los niveles del activo 
analizado. 
 
Cabe mencionar que cada uno de los criterios anteriormente señalados, 
poseen un alto grado de subjetividad, debido a que se basan en la perspectiva 
y criterio del analista. 
 
MODELO 
 
En el presente trabajo se desarrollan dos metodologías en las que se 
buscan inferir las expectativas del mercado implícitas en las opciones sobre el 
SP500. La primera constituye la reproducción de una técnica frecuentemente 
utilizada en el medio financiero, el análisis a partir de la curva smile. La 
segunda propuesta representa un nuevo modelo, que no es precisamente una 
extensión de la curva smile, pero que al emplearse como complemento de 
ésta, puede ayudar en la toma de decisiones. En ambos métodos la intención 
consiste en que con el uso de estas herramientas, se pueda llevar a cabo un31 
 
análisis que permita dar una interpretación de la incertidumbre que presenta el 
mercado financiero, de forma que el agente que está operando día a día pueda 
tomar decisiones con una mayor certeza y en menor tiempo. 
 
Aplicación del Modelo: 
 
El primer paso consiste en determinar la información a ser utilizada. 
Para ello se obtuvieron datos correspondientes a cuatro semanas de las 
cotizaciones de las opciones del índice SP500. Dos de las semanas descritas, 
pertenecen al mes de junio de 2009 y dos al de julio, cada una de ellas 
correspondiente al contrato más próximo al vencimiento
32
. Los periodos 
considerados se ilustran en la siguiente tabla: 
 
 
 
Vencimiento de contrato 
 
Jun-09 Jul-09 
# de días 
análizados 10 10 
 
 
 
 
Cálculo de volatilidad implícita: 
 
Para determinar la volatilidad implícita se utilizará el modelo propuesto 
por Black y Scholes en el que con base en la metodología de cálculo curva 
smile
33
, al tener los valores de las primas de mercado “cmercado”, se estima 
una volatilidad implícita suficientemente cercana a la volatilidad que el 
modelo requeriría como parámetro de entrada, para obtener como resultado la 
prima de mercado observada. 
 
 Para obtener la volatilidad implícita “σimplícita”, con base en la 
metodología citada, se requiere: 
 
1. Obtener un precio mercado cmercado (observado). 
 
 
32
 Ver anexo 1 base de datos 
33
 Ver anexo 2 programación VBA (Implied volatility) 
 
32 
 
2. Identificar parámetros (S,T,X,r,d)
34
. 
 
3. Definir el nivel máximo de tolerancia del proceso. 
 
4. Establecer un nivel de volatilidad (σ). 
 
5. Sustituir en el modelo de Black y Scholes. 
 
6. Validar que la diferencia entre el valor obtenido por el proceso y la prima 
observada sea menor que la tolerancia definida. 
 
7. Repetir los pasos 4, 5 y 6 (Iteración) hasta encontrar un valor tal que la 
diferencia del valor de la prima obtenido con la volatilidad propuesta y la 
prima observada, sea menor a la tolerancia definida. Es decir que f(σimplícita) = 
cmercado 
 
Este cálculo deberá realizarse en cada día analizado, considerando cada 
uno de los diferentes precios de ejercicio (X), con sus correspondientes 
primas (cmercado). 
 
RESULTADOS y Análisis de expectativas con la curva smile 
 
El proceso anterior fue programado en VBA
35
. Para ello se 
seleccionaron tres periodos en los que se localizaron eventos de diferente 
naturaleza. Los eventos analizados se describen a continuación: 
 
1. Incremento en los niveles del índice superior al 2%. 
2. Decremento en los niveles del índice superior al 2%. 
3. Periodo con incrementos y decrementos continuos. 
 
 
Análisis 1 “Expectativas bearish” 
 
Durante el primer periodo analizado se consideran los datos del 30 de 
junio y 1 de julio. Este periodo corresponde a los días previos a una caída en 
 
34
 (S,T,X,r,d) son datos observados en el mercado. 
35
 Ver programa en Visual Basic: “calculo de volatilidad implícita” , anexo 2 
 
33 
 
el mercado del 2.9%. En la figura se muestra también la curva smile del 
periodo correspondiente al 30 de junio al 2de julio, con el fin de poder 
contrastar los cambios que experimenta la curva tras los movimientos que se 
presentaron durante dicho periodo en el mercado. Estos contratos tienen 
vencimiento el día 17 de julio. 
 
 
Figura 7: Gráfico de volatilidad implícita para el SP500 para los días 30 de junio, 1 y 2 de julio 
 
 
Figura 8: Gráfico de Nivel de precios del SP500 para los días 30 de junio, 1 y 2 de julio 
6
7
5
7
1
0
7
4
0
7
7
5
8
0
0
8
2
0
8
4
5
8
6
5
8
8
5
9
0
5
9
2
5
9
4
5
9
6
5
9
8
5
1
0
0
5
1
0
2
5
1
0
4
5
1
0
6
5
1
0
8
5
1
1
1
0
1
1
4
0
1
1
8
0
 -
 0.20
 0.40
 0.60
 0.80
 1.00
 1.20
 1.40
 1.60
Curvas SMILE de los días 30 de junio, 1 y 2 de julio 
Implied Volatility 02jul
Implied Volatility 30jun
Implied Volatility 01jul
850
860
870
880
890
900
910
920
930
940
 
34 
 
 
El primero de julio se observa un incremento en los niveles de 
volatilidad implícita que corresponden a los precios de ejercicio bajos; esto se 
refleja en el lado izquierdo de la curva smile. Al analizar esta transición de un 
día a otro, se podría pensar en la posibilidad de que el mercado muestre cierta 
expectativa hacia una caída en el nivel del índice. En concordancia con esta 
suposición, el 02 de julio se presenta una caída del 2.9%, a la que acompaña 
un incremento muy considerable en los valores de la volatilidad implícita 
correspondientes al extremo izquierdo de la curva en dicho día, lo que 
sugiere que el mercado espera que se presente un nuevo un descenso en los 
niveles del índice. En los días posteriores se observa por tanto, una caída de 
alrededor de 2 % en los valores del índice. 
 
Análisis 2 “Expectativas bullish” 
 
En el segundo periodo analizado se consideran los datos del 09 de julio 
y 10 julio, días previos a que se presente una subida en el mercado del 2.5%. 
Estos contratos tienen vencimiento el día 17 de julio. 
 
 
Figura 9: Gráfico de volatilidad implícita para el SP500 para los días 9, 10 y 13 julio 
6
7
5
7
1
0
7
4
0
7
7
5
8
0
0
8
2
0
8
4
5
8
6
5
8
8
5
9
0
5
9
2
5
9
4
5
9
6
5
9
8
5
1
0
0
5
1
0
2
5
1
0
4
5
1
0
6
5
1
0
8
5
1
1
1
0
1
1
4
0
1
1
8
0
 -
 0.10
 0.20
 0.30
 0.40
 0.50
 0.60
Curvas SMILE de los días 9, 10 y 13 de julio de 2009 
Implied Volatility 13jul
Implied Volatility 09 jul
Implied Volatility 10 jul
 
35 
 
 
 
 
Figura 10: Gráfico de Nivel de precios del SP500 para los días 9 al 13 julio 
 
 
A pesar de que a primera vista, en la figura que muestra las curvas de 
volatilidad implícita del periodo analizado, el extremo izquierdo del gráfico 
muestra valores considerablemente mayores que los del lado derecho, es 
importante remarcar la intersección que presentan las curvas del 9 y 10 de 
julio. Asimismo, el 10 Julio se puede observar un ligero incremento en las 
volatilidades del extremo derecho comparado con relación a los valores 
obtenidos para los mismos precios de ejercicio el día anterior. De igual forma, 
en la curva del extremo izquierdo se puede apreciar una ligera disminución en 
los niveles de volatilidad implícita asignados con relación a los del día 9 de 
julio. De lo anterior se podría pensar que el mercado espera que el índice 
alcance niveles superiores en los próximos días. El 13 julio se confirman las 
expectativas con un incremento en el nivel del índice del 2.5%. No obstante, 
es posible deducir un cierto nerviosismo en el mercado, al observar en esta 
nueva curva un incremento en las volatilidades del lado izquierdo y una 
disminución del lado positivo. 
 
Análisis 3 “Expectativas mixtas” 
 
En el siguiente ejercicio se evalúa, de una manera más completa, la 
evolución de las expectativas del mercado, al considerar un mayor número de 
días. En el primer periodo analizado se consideran los datos del 18 de junio y 
07/07 08/07 09/07 10/07 11/07 12/07 13/07
865
870
875
880
885
890
895
900
905 Precio S&P500 
 
36 
 
19 de junio, días previos a una caída en el mercado del 3.1%. Posteriormente 
se analizarán los 3 días posteriores en los cuales se alcanza un rendimiento 
acumulado del 3%. Estos contratos tienen vencimiento el día 17 de julio. 
 
 
 
Figura 11: Gráfico de volatilidad implícita para el SP500 para los días 18,19,22,23 y 24 de junio 
 
Figura 12: Gráfico de Nivel de precios del SP500 para los días 18 al 24 junio 
 
 
5
6
0
7
0
0
7
3
0
7
7
0
7
9
5
8
1
5
8
4
0
8
6
0
8
8
0
9
0
0
9
2
0
9
4
0
9
6
0
9
8
0
1
0
0
0
1
0
2
0
1
0
4
0
1
0
6
0
1
0
8
0
1
1
0
0
1
1
3
0
1
3
0
0
 -
 0.10
 0.20
 0.30
 0.40
 0.50
 0.60
 0.70
Curvas SMILE de los días 18, 19, 22, 23 y 24 dejunio 
Implied Volatility 24jun
Implied Volatility 18jun
Implied Volatility 19jun
Implied Volatility 22jun
Implied Volatility 23jun
16/06 17/06 18/06 19/06 20/06 21/06 22/06 23/06 24/06 25/06 26/06
875
880
885
890
895
900
905
910
915
920
925
 
37 
 
El 19 de junio se observa un claro incremento en la volatilidad implícita 
en general para toda la curva, de donde se infiere cierto nerviosismo en los 
mercados. No obstante, se observa que el incremento en la volatilidad es 
superior del lado izquierdo de la curva, razón por la cual es posible esperar 
que el mercado tenga una expectativa de caída para el activo analizado. Esta 
expectativa se cumple al día siguiente (trading day), con un descenso en los 
niveles del índices del 3.1%. 
 
El día 22 junio, a pesar de la caída observada, es posible apreciar un 
nuevo gráfico que presenta un ligero incremento en las volatilidades que 
corresponden al lado derecho de curva, así como un ligero decremento en 
lado izquierdo. Con este cambio en la forma de la curva es posible pensar que 
las expectativas del mercado para los días próximos son de incremento en los 
niveles del índice. Esta expectativa se cumple al día siguiente (23 junio), en el 
que se observa un incremento de casi el 0.2%. 
 
El día 23 y 24 de junio, los niveles de volatilidad se mantienen, aunque 
se aprecia una ligera disminución en la volatilidad del extremo izquierdo de la 
curva, mientras que los niveles de volatilidad del extremo derecho 
permanecen prácticamente iguales, por lo que es posible pensar que el 
mercado espera pequeños movimientos alcistas en los niveles del índice. 
Estas expectativas se cumplen en los siguientes dos días con un incremento en 
el nivel del índice del 2.8%. 
 
El último ejercicio mostrado presenta una forma más completa de 
análisis, permitiendo observar los cambios que se presentaron en las 
expectativas de los agentes que componen el mercado de las opciones de 
S&P500. La contribución del presente trabajo, consiste en el hecho de que 
permite apreciar la transición a través del tiempo de los valores que se 
obtienen al calcular la volatilidad implícita. Es realmente este cambio el que 
permite inferir movimientos en el nivel del índice. De aquí que el modelo 
propuesto pueda ser visto como una extensión al método recién descrito, ya 
que incorpora una nueva dimensión, el tiempo. 
 
Análisis de expectativas con el mapa de densidades (metodología 
propuesta). 
 
 
38 
 
 
El presente modelo pretende analizar el comportamiento de la 
volatilidad implícita a través del tiempo para poder determinar periodos de 
“nerviosismo” del mercado referentes a un instrumento financiero en 
particular. 
 
La metodología propuesta por tanto, busca primero, calcular la 
volatilidad implícita para cada prima de una opción en un mismo día. 
Posteriormente, con la frecuencia de las primas negociadas en el mercado en 
el mismo día se busca aproximar la función de densidad de la volatilidad 
implícita para el día estudiado. Una vez obtenidas las densidades de varios 
días a través del tiempo, se busca generar un gráfico que permita mostrar, de 
forma visual los periodos en los que la dispersión de los datos, así como los 
valores de los mismos permitan detectar momentos de incertidumbre sobre el 
verdadero valor de la opción asignado por los agentes de mercado. 
 
Para el cálculo de la volatilidad implícita se ocuparon una serie de 
funciones que en conjunto, funcionan como un método de aproximación el 
cual, mediante iteraciones, calcula el valor de sigma (la volatilidad implícita), 
con una precisión tal que tolera un error de 0.00001 (Ver anexo 2). 
 
La función principal toma como parámetros, la prima de mercado de la 
opción, el precio Spot del subyacente, el strike pactado, el tiempo de 
vencimiento de la opción, la tasa libre de riesgo, la tasa anualizada de los 
dividendos y un valor inicial de sigma. El algoritmo empleado en el cálculo de 
la volatilidad implícita, estima el valor de la prima de la siguiente manera: a 
través de Black y Scholes se calcula cuál sería el valor de la prima dados los 
parámetros iníciales (incluyendo la sigma inicial) y lo compara con el valor de 
la prima de mercado. Dependiendo de la diferencia entre estos valores se 
ajusta una nueva sigma y se vuelve a realizar la comparación, hasta que la 
diferencia entre el valor de la prima obtenida y la de la observada en el 
mercado sea menor a .00001. 
 
 
Construcción del modelo 
 
 
En el presente trabajo, se pretende modelar la distribución de la 
volatilidad implícita de las distintas posturas que adquirieron los agentes 
 
39 
 
durante un día en particular, con el fin de observar los cambios que presentan 
dichas distribuciones a lo largo del tiempo. 
 
El primer paso en la elaboración del modelo propuesto radica en el 
cálculo de las volatilidades implícitas, en todas las diversas posturas de cierre 
de la opción para cada uno de los días analizados. En todos los casos se 
consideró una tasa de dividendos igual a cero. 
 
 
Fecha Tipo Prima Spot Strike Tiempo Tasa LdR 
Sigma 
inicial 
Volatilidad 
implícita Frecuencia 
01/07/2009 Call 2 923.33 970 0.04 0.00467 0.25 0.189570533 13 
01/07/2009 Call 1.5 923.33 975 0.04 0.00467 0.25 0.188740624 105 
01/07/2009 Call 1.15 923.33 980 0.04 0.00467 0.25 0.189505259 20 
01/07/2009 Call 0.95 923.33 985 0.04 0.00467 0.25 0.193598853 85 
01/07/2009 Call 0.75 923.33 990 0.04 0.00467 0.25 0.195790185 20 
01/07/2009 Call 0.55 923.33 995 0.04 0.00467 0.25 0.195407867 12 
01/07/2009 Call 0.45 923.33 1000 0.04 0.00467 0.25 0.199025896 174 
Figura 13: Tabla ejemplo para el cálculo de la volatilidad implícita 
 
El siguiente paso consiste en tratar de modelar la distribución de la 
volatilidad implícita. Como valor de frecuencia se considera el volumen de 
los contratos. 
 
En las siguientes gráficas se presenta la frecuencia de las primas de un 
contrato S&P500 a 10 días de su vencimiento con la información del mismo 
día agrupada en rangos de primas de un dólar. 
. 
 
40 
 
 
Figura 14: Gráfico de Frecuencia de las primas de una opción a 10 días de su vencimiento. 
 
 
 
De la gráfica anterior se aprecia que la modelación de la distribución no 
puede hacerse con un ajuste a una distribución conocida, por lo que se 
propone utilizar una mezcla de distribuciones. 
 
Normalmente los modelos que describen variables financieras emplean 
combinaciones de variables Lognormales, ya que esta distribución es más fácil 
de describir; ya que se ajusta con más facilidad y adquiere únicamente valores 
positivos. Sin embargo, por simplificación en el uso de modelos que se ajustan 
a distribuciones normales, se realizó el ajuste de esta forma. 
 
Adicionalmente sabemos que si una variable aleatoria se distribuye 
lognormal, el logaritmo de dicha variable será normalmente distribuido. De 
forma que, si se parte del hecho de que la distribución de la volatilidad se 
comporta como una lognormal, se puede aplicar una transformación para tener 
una variable con una distribución normal. 
 
Con ayuda del paquete estadístico R y la función Mclust, se ajustó la 
distribución de la volatilidad como una mezcla de distribuciones normales. 
Esto es, la distribución conjunta de varias variables aleatorias que se 
distribuyen normal. Cabe esperar, que no para todos los días el mejor ajuste de 
la distribución conjunta anteriormente mencionada, contenga el mismo 
número de variables aleatorias, por lo que el presente trabajo se basó en el 
Fr
e
cu
e
n
ci
a 
Primas (redondeadas a 0 decimales) 
 
41 
 
criterio bayesiano de información (BIC), para determinar el número de 
variables aleatorias que mejor se ajustaron a la distribución observada. 
 
El BIC constituye una medida que se utiliza en la selección de modelos 
y está determinado en función de la verosimilitud, el número de datos y el 
número decomponentes del modelo. Se basa en una probabilidad integrada en 
la teoría bayesiana, que supone una corrección del criterio de verosimilitud 
considerando el número de parámetros estimados y el número de datos. Si no 
aumenta la complejidad del modelo con relación al número de datos, el 
criterio es adecuado. 
 
Dada la máxima verosimilitud para un modelo, el número de datos y el 
número de componentes en el modelo, el BIC es el valor de la máxima 
verosimilitud penalizada por el número de parámetros en el modelo y permite 
comparar modelos con diferentes parametrizaciones. En general, entre mayor 
sea el BIC, existe mayor evidencia de ajuste del modelo. Como se mencionó 
antes, el criterio está construido de forma que penaliza la verosimilitud de 
acuerdo con el número de parámetros: 
 
)log()(#),(log*2 * nparamXlikBIC mkm 
 
Donde ),(log
*
km Xlik es la máxima verosimilitud para la información del 
modelo, mparam)(# representa el número de parámetros independientes 
estimados en el modelo m y n representa el número de observaciones. 
 
Para la elaboración del modelo se empleó el paquete R que es un 
lenguaje y ambiente para cálculos estadísticos y gráficos, que provee una gran 
variedad de técnicas de análisis estadístico. Entre las ventajas que presenta 
esta plataforma destacan que es gratuita, de código libre y corre sobre una 
gran variedad de sistemas operativos, por lo que constituye una herramienta 
adecuada. 
 
Con base en lo anterior, se desarrolló una rutina que comprende 4 
archivos: Datos, Estima, Calcula densidades y Mapa de distribución. 
 
 
1. Datos: en este archivo se agrega la información al modelo, se generan 
distintas matrices (tantas como días se vayan a analizar), de 
dimensiones Nx2, donde N son las distintas sigmas que se obtuvieron 
 
42 
 
cada día. La columna 1 contiene el valor de sigma y la segunda columna 
la frecuencia que presentó en el día. Este archivo contiene toda la 
información que el usuario debe agregar al modelo. 
 
 
2. Estima: Dado que el programa necesita que los datos sean introducidos 
de uno en uno, ya que dicha aplicación no relaciona que la frecuencia 
está asignada a cierta sigma, es necesario generar otras matrices que 
contengan las sigmas repetidas tantas veces como indique la frecuencia. 
Este mismo archivo aplica la función Mclust al logaritmo de las 
matrices generadas, la cual estima el número de variables aleatorias con 
distribución normal que compondrían la distribución conjunta que 
mejor ajusta la distribución de los datos; esto de acuerdo al criterio BIC. 
Este archivo calcula también la media y la varianza de las distribuciones 
conjuntas de cada día. 
 
Para los valores del día 19 de junio, se aplicó la función Mclust y de 
acuerdo al criterio BIC, el modelo que mejor ajusta los datos es aquel 
que incluye 5 variables aleatorias con los siguientes parámetros: 
 
 
Parámetro 1 2 3 4 5 
$pro 0.31993461 0.07315491 0.34436255 0.12272367 0.13982426 
$mean -1.647233 -1.5858 -1.194201 -1.043289 -0.897622 
$variance 0.00016972 9.3322E-05 0.00338846 0.00022596 0.00235152 
Figura 15: Tabla de parámetros para el día 19 de junio. 
Donde $pro, se refiere a la proporción de cada una de las variables 
aleatorias, la suma de todas estas proporciones es igual a 1. $mean y $variance 
son los parámetros de media y la varianza respectivamente. 
 
 
 
43 
 
 
Figura 16: Gráfico de frecuencias del logaritmo de la volatilidad implícita para las primas del 19 de junio 
 
El gráfico anterior presenta la frecuencia de los distintos valores del 
logaritmo de la volatilidad implicita del 19 de junio. 
 
 
Figura 17: Gráfico de descomposición de la distribución de la volatilidad implícita en 5 normales para el 19 de junio 
 
En el gráfico anterior se presentan las distribuciones de las 5 variables 
aleatorias que ajustan la distribución de los datos del día analizado. 
 
 
0
500
1000
1500
2000
2500
-1
.6
7
-1
.6
3
-1
.5
9
-1
.5
6
-1
.5
2
-1
.4
8
-1
.4
4
-1
.4
0
-1
.3
6
-1
.3
2
-1
.2
8
-1
.2
5
-1
.2
1
-1
.1
7
-1
.1
3
-1
.0
9
-1
.0
5
-1
.0
1
-0
.9
8
-0
.9
4
-0
.9
0
-0
.8
6
-0
.8
2
-0
.7
8
-0
.7
4
Frecuencia
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
-1
.6
7
-1
.6
3
-1
.5
9
-1
.5
6
-1
.5
2
-1
.4
8
-1
.4
4
-1
.4
0
-1
.3
6
-1
.3
2
-1
.2
8
-1
.2
5
-1
.2
1
-1
.1
7
-1
.1
3
-1
.0
9
-1
.0
5
-1
.0
1
-0
.9
8
-0
.9
4
-0
.9
0
-0
.8
6
-0
.8
2
-0
.7
8
-0
.7
4
 
44 
 
 
Figura 18: Distribución conjunta de las 5 normales para el día 19 de junio 
 
 
3. Calcula densidades: Este archivo asigna valores a las distribuciones 
calculadas en el intervalo [-5,0], a modo de poder graficarlas en el 
mismo dominio. 
 
 
4. Mapa de distribución, Este archivo genera un gráfico cuya lectura debe 
hacerse considerando 3 dimensiones, el eje X representa el tiempo, es 
decir, los distintos días que se están considerando; el eje Y marca los 
niveles del logaritmo de la volatilidad y la tonalidad denota la densidad 
de la volatilidad en ese punto. 
 
 
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
-1
.7
-1
.6
5
-1
.6
-1
.5
5
-1
.5
-1
.4
5
-1
.4
-1
.3
5
-1
.3
-1
.2
5
-1
.2
-1
.1
5
-1
.1
-1
.0
5 -1
-0
.9
5
-0
.9
-0
.8
5
-0
.8
-0
.7
5
Distribución Conjunta
 
45 
 
 
Figura 19: Mapa de calor del periodo analizado 
 
 
El resultado es el mapa de densidades que se muestra en la figura 
anterior, en esta imagen es posible apreciar la evolución de la incertidumbre 
de los agentes financieros con relación a los niveles futuros en los que se 
encontrará la opción financiera analizada a través del tiempo, lo que genera 
una visión más amplia de lo que de un panorama que al ser analizado con 
otras herramientas como son la curva smile. 
En el mapa resultante se facilita la lectura de los momentos en los que la 
“incertidumbre” en el mercado se concentra en niveles altos o cuando ésta no 
se encuentra concentrada en un solo punto. Existen otro tipo de herramientas 
que están más ligados a la curva smile llamadas superficies de volatilidad 
implícita. Estas superficies son usualmente una representación gráfica de una 
función que al igual que la curva smile, buscan mostrar la incertidumbre en los 
mercados considerando el tiempo que a la opción le queda para expirar. 
 
46 
 
 
Figura 20: Superficie de volatilidad 
 
La diferencia principal entre el mapa propuesto y una superficie de 
volatilidad implícita, radica primeramente en la información que se transmite 
Por un lado, la superficie de volatilidad implícita es meramente una la 
representación de las curvas smile a través del tiempo; es decir, constituye la 
evolución de la incertidumbre a través de una tercera dimensión que en este 
caso es el tiempo. Por otro lado el mapa propuesto muestra qué tan 
concentrada o dispersa está la volatilidad implícita, así como el nivel de 
concentración en el que se encuentra. 
El mapa propuesto por tanto, permite apreciar, ente otras cosas, el 
cambio en la función de densidad a través del tiempo, mostrando la 
concentración o dispersión en los distintos niveles de volatilidad y el cómo 
ésta varía con el transcurso de los días. La intensidad del color rosa indica una 
mayor densidad de transacciones en esos niveles de volatilidad (por las 
propiedades de la función logaritmo tiene sentido hablar de valores negativos). 
La presencia de varias líneas de color rosa en un mismo día indica que la 
distribución es multimodal. 
Esta herramienta presenta información de utilidad para analizar el 
comportamiento durante la vida de la opción, de una manera sencilla qué tan 
concentrada está la volatilidad a través del periodo analizado. En la gráfica 
anterior vemos los últimos días de vida de una opción que venció el 27 de 
 
47 
 
junio (día 15) y el principio de la valuación de opción referente al siguiente 
periodo, lo