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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA
DE MÉXICO
FACULTAD DE CIENCIAS
Formación y caracterización de Nano partículas
bi-metálicas (Ag/Pt) en zafiro sintético formadas por
implantación de iones
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
F Í S I C O
P R E S E N T A :
JUAN PABLO CORDERO SANTIAGO
DIRECTOR DE TESIS
DR. ALEJANDRO CRESPO SOSA
Ciudad Universitaria, Ciudad de México
2018
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
1. Datos del alumno
Cordero
Santiago
Juan Pablo
57 65 04 81
Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ciencias
Física
308189344
2. Datos del tutor
Dr.
Alejandro
Crespo
Sosa
3. Datos del sinodal 1
Dra.
Alicia María
Oliver
y Gutiérrez
4. Datos del sinodal 2
Dr.
Juan Carlos
Alonso
Huitrón
5. Datos del sinodal 3
Dr.
Oscar Genaro
de Lucio
Morales
6. Datos del sinodal 4
Dr.
Neil Charles
Bruce
Davidson
7. Datos del trabajo escrito
Formación y caracterización de Nano partículas bi-metálicas (Ag/Pt)
en zafiro sintético formadas por implantación de iones
140 páginas
2018
Formación y caracterización de Nano partículas
bi-metálicas (Ag/Pt) en zafiro sintético formadas por
implantación de iones
Juan Pablo Cordero Santiago
2018
Dedicado a mis cuatro familias (por orden de aparición en mi vida):
Santiago Santiago, Ruíz Martínez, Barón Viveros y Hernández Leyva.
Agradecimientos
Al Dr. Alejandro Crespo Sosa por su orientación y paciencia durante la elaboración de esta tesis;
además, por su enseñanzas y apoyo que han ayudado a mi formación profesional y personal. Tam-
bién agradezco a la Dra. Alicia María Oliver y Gutiérrez, al Dr. Juan Carlos Alonso Huitrón, al Dr.
Oscar Genaro de Lucio Morales y al Dr. Neil Charles Bruce Davidson por todas las observaciones
y comentarios que ayudaron a mejorar este trabajo escrito.
A Karim Uriel López Guzmán, Francisco Javier Jaimes Beristain y a Mauricio Escobar, del
Laboratorio “Marcos Mazari” del Instituto de Física, por su ayuda en el manejo operativo del
acelerador Tandem Pelletron. A Juan Gabriel Morales Morales, por su ayuda en la preparación
de muestras y tratamientos térmicos. A Samuel Tehuacanero Cuapa, Diego Quiterio Vargas y
Carlos Magaña, del Laboratorio Central de Microscopía, por la operación de los microscopios
electrónicos para el análisis de muestras. A Antonio Moreno Espino y Alejandro Herrera, del
Laboratorio de Refinamiento de Estructuras Cristalinas.
Quiero agradecer a mi familia: a mi mamá por todo su esfuerzo por brindarme a mí y mis
hermanos un futuro mejor; a mi hermana Itzen y mi hermano Gabriel por lo que hemos aprendido
y compartido juntos; a mis tíos Cuauhtémoc, Juan y Roberto, a mi tía Elizabeth, mi tía Anabell,
mi primo Raúl, Mago, Pancho, Arely y Carmen; por todas las enseñanzas que me han dado, aún
en momentos difíciles.
También agradezco a mi amigo Crhistian y su familia: sus hermanos, su tía Juana y sus tíos.
Siempre me han tratado como un miembro más y yo también los considero como mi familia.
Lo mismo tengo que decir de mi amigo Rafael Alejandro y su familia: su mamá, su papá y su
hermana, su tío Alberto, Jesús y su tía Isabel. En la práctica, también pertenezco a esta familia.
Incluso me atrevo a decir que Rafa, Crhistian y yo resultamos ser hermanos.
No puede faltar mi agradecimiento a mi compañera de vida, me refiero a Ana Patricia, le doy
gracias por el amor que me ha mostrado, su confianza y hasta paciencia. Este agradecimiento
también está dirigido a su familia: a su mamá Ruth, a su tío Isaac, a su tía Lupe, a su tío Paco,
a sus primos Víctor y Javier; todos ellos también me han acogido y tratado como un integrante
más.
El lector podrá darse cuenta que aquí he enumerado a mis cuatro familias (¡y sí, claro que es
posible tener tanta familia!).
Por último quiero agradecer a todas las personas que han contribuido en mi educación (com-
pañeros de escuela, camaradas y profesores), desde el kinder hasta la universidad.
Este trabajo fue posible gracias al proyecto DGPA-UNAM IN110717.
I
Resumen
El propósito de este trabajo escrito es describir la formación y caracterización de varios tipos
de nanopartículas bimetálicas Ag − Pt dentro de una matriz de zafiro sintético α − Al2O3. Para
formar las nanopartículas se implantaron iones de plata y platino con energía cinética de 850 KeV
y 1.5 MeV respectivamente, de tal manera que penetraron en las muestras de zafiro sintético a
una profundidad del orden de 200 nm; alternadamente, estas muestras se sometieron a diversas
combinaciones de tratamientos térmicos del orden de 1000 ◦C bajo una atmósfera reductora (50 %
H2, 50 % N2).
Para el análisis de las propiedades de las nanopartículas se utilizaron distintas técnicas: RBS
(Rutherford Backscattering), SEM (Scanning Electron Microscopy), espectroscopía por extin-
ción óptica y espectrometría por difracción de rayos X. Mediante el RBS se obtuvo la afluen-
cia y profundidad de las implantaciones; por medio del SEM, la distribución de tamaños de las
nanopartículas. Con las dos últimas técnicas ya mencionadas se obtuvo el espectro de extinción
óptica e información sobre la estructura cristalina de las nanopartículas.
Un tipo de nanopartículas formadas tiene una estructura compuesta por un núcleo de platino
con cascarón de plata; para lograr esto primero se implantaron iones de platino en una matriz de
zafiro y luego se aplicó un tratamiento térmico para inducir un proceso de nucleación homogénea
y hacer crecer nanopartículas de platino; seguidamente, se implantaron iones de plata y después se
aplicó un segundo tratamiento térmico para ahora inducir un proceso de nucleación heterogénea
de cúmulos de plata sobre las nanopartículas de platino. El radio promedio de estas nanopartículas
fue r = 4.77 nm, la afluencia en el zafiro fue de 8.33 × 1015 Pt
cm2
y 40.16 × 1015 Ag
cm2
; estas
nanopartículas exhiben una resonancia de plasmón de superficie en una longitud de onda de
260 nm y otro en 430 nm, el primero asociado al platino y el segundo a la plata.
Un segundo tipo de nanopartículas están formadas por aleaciones de plata-platino; para esto
se implantaron iones de plata y luego iones de platino en una matriz de zafiro sintético, posterior-
mente esta muestra se sometió a un tratamiento térmico para inducir un proceso de nucleación
homogénea y crecimiento de nanopartículas. El radio promedio de estas partículas fue de 5.5 nm
y la afluencia en el zafiro fue de 23.3 × 1015 Pt
cm2
y 37.28 × 1015 Ag
cm2
; estas nanopartículas solo
exhiben una resonancia de plasmón de superficie en los 260 nm.
La evolución del espectro de extinción óptica de las nanopartículas se ha reportado en cada
parte del proceso de formación. Para el caso de la extinción óptica de nanopartículas de platino se
observó un cambio significativo en el efecto de resonancia de plasmón de superficie después de
que se indujo el crecimiento del cascarón de plata. Mientras que para el caso de las nanopartícu-
las de aleaciones de plata-platino, el efecto de resonancia asociado a la plata desaparece y el
II
RESUMEN III
asociado al platino prevalece. También se encontró que la resonancia de plasmón de superficie
de nanopartículas de platino en el zafiro sintético es de menor magnitud que la resonancia de las
nanopartículas de plata-platino, tanto con las que tiene una estructura de núcleo y cascarón como
las que están constituídas por algún tipo de aleación;es decir, la presencia de los átomos de plata
afectan considerablemente la extinción óptica de las nanopartículas, y por otro lado la presencia
de los átomos de platino minimizan el efecto de resonancia de plasmón de superficie asociado a
la plata (el cual es muy intenso [1, 2]).
Los resultados de los análisis al patrón de difracción de rayos X muestran que las nanopartícu-
las de tipo núcleo-cascarón presentan un pico en su patrón de difracción de rayos X (con longitud
de onda λ = 1.5406 Å) con ángulo de incidencia (en la geometría Bragg-Brentano) de 38.7 ◦.
Este pico se localiza en medio de los picos de las familias de planos [1, 1, 1[ de la plata y el
platino (para la misma longitud de onda λ). Es importante aclarar que la plata y el platino tienen
estructuras cristalinas muy similares [3]).
En el caso del patrón de difracción de las nanopartículas de aleaciones de plata-platino pre-
sentan dos picos en su patrón de difracción de rayos X con ángulos de incidencia de 38.75 ◦ y
65.85 ◦ respectivamente. Al igual que en el caso de las nanopartículas de tipo núcleo-cascarón,
el primer pico se localiza en medio de donde estarían los picos de las familias de planos [1, 1, 1[
de la plata y el platino; el segundo pico se localiza en medio de donde estarían los picos de las
familias de planos de [2, 2, 0] de la plata y el platino.
En principio se esperaría que las estructuras cristalinas de las nanopartículas no crecieran con
una orientación preferencial y más bien tuvieran orientaciones aleatorias y entonces su patrón
de difracción exhibiría varios picos de intensidad, cada uno correspondiente a cada una de las
familias de planos (como en una situación de difracción de rayos X de polvos). Sin embargo, los
resultados de los patrones de difracción de las nanopartículas indican que es posible que el crec-
imiento de las nanopartículas esté influenciado por las tensiones que ejerce la matriz de zafiro;
luego, el crecimiento de las nanopartículas se daría con una orientación favorecida por esas ten-
siones. Otros factores que pueden influir en estos resultados son el tamaño de las nanopartículas
y la cantidad de plata y platino comparada con la cantidad de zafiro.
Todos los procesos de formación y caracterización de las nanopartículas se realizaron en las
instalaciones del Instituto de Física de la UNAM.
Índice general
Agradecimientos I
Resumen II
1. Introducción 1
2. Interacción de iones con la materia 4
2.1. Poder de frenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1. Física clásica de dispersión de iones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.2. Frenado nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.3. Frenado electrónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.4. Cálculo del poder de frenado por medio de SRIM . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. Alcance de penetración de iones y straggling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1. Distribución de alcance gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3. Nucleación y crecimiento 26
3.1. Equilibrio de fases para una superficie esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2. Energía libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3. Nucleación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.1. Nucleación homogénea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.2. Nucleación heterogénea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4. Cinética de crecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4. Técnicas de análisis 45
4.1. Espectrometría de Retrodispersión de Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.1. Fundamentos físicos del RBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.2. Análisis de un espectro RBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2. Extinción óptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.1. Tratamiento Electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.2. Solución de Mie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.3. Extinción óptica para partículas pequeñas . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2.4. Modelo de interacción de la luz con la materia . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2.5. Efecto de tamaño en la extinción óptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
IV
ÍNDICE GENERAL V
4.3. Espectrometría de difracción de rayos X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3.1. Producción de rayos X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3.2. Condición de Bragg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3.3. Análisis cuantitativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4. Microscopía electrónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4.1. Configuración de un microscopio electrónico de barrido . . . . . . . . . 74
4.4.2. Interacciones entre electrones y muestras . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4.3. Captación de señales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5. Dispositivos experimentales 78
5.1. Propiedades del zafiro sintético, la plata y el platino . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.2. Acelerador Tandem Pelletron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.3. Implantación de iones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.4. Tratamientos térmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.5. Dispositivos para las técnicas de análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.5.1. RBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.5.2. Espectroscopía por extinción óptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.5.3. Difracción de rayos X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.5.4. SEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6. Formación de las nanopartículas y resultados 88
6.1. Muestra I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.1.1. Implantación de iones y tratamientos térmicos . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.1.2. Espectro de extinción óptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.1.3. Interpretación de las imágenes obtenidas por SEM . . . . . . . . . . . . 96
6.1.4. Patrón de difracción de rayos X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.2. Muestra II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.2.1. Implantación de iones y tratamientos térmico . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.2.2. Espectro de extinción óptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.2.3. Interpretación de las imágenes obtenidas por SEM . . . . . . . . . . . . 106
6.2.4. Patrón de difracción de rayos X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7. Discusión y conclusiones 112
7.1. Sobre la formación de las nanopartículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.2. Estructura y propiedades de las nanopartículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.2.1. Muestra I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.2.2. Muestra II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.3. Conclusiones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
A. Frenado de algunos iones en zafiro 132
B. El Teorema de Poynting 135
Bibliografía 140
Capítulo 1
Introducción
A lo largo de su historia, la humanidad ha utilizado los objetos y sustancias que le rodean para
beneficiarse, e incluso ha alterado a estos objetos y sustancias para mejorarlos en donde sea que
se desempeñen. Ejemplos de esta situación hay muchos, desde el aprovechamiento de los metales
en la antigüedad, pasando por el interés en las diversas sustancias químicas en la Edad Media,
hasta el uso de los semiconductores en la electrónica en las épocas másrecientes. Aludiendo a
esto, el conocimiento de las propiedades de los materiales ha sido y será muy importante para el
avance científico y tecnológico.
En las últimas décadas, uno de los campos de investigación en materiales que ha ido desarro-
llándose es el que se enfoca en el entendimiento y aprovechamiento de estrucuras cuyo tamaño
va desde unos cuantos nanómetros hasta decenas de nanómetros (por cierto, un nanómetro es
la milmillonésima parte de un metro, 1 nm = 10−9 m); a estas disciplinas se les conocen como
nanociencias. A escalas tan pequeñas algunas propiedades de los materiales cambian radical-
mente, aparecen fenómenos que no se observarían a escalas macroscópicas; estos fenómenos se
utilizan (o utilizarían) para diversos fines: el mejoramiento de circuitos integrados, celdas solares,
transmisión de información, e incluso en el modificación de sistemas biológicos como las cadenas
de ADN [4]. Un ejemplo de investigación en el área de las nanociencias es formar nanopartículas
metálicas de oro, plata, cobre, aluminio... embebidas en materiales dieléctricos como el dióxido
de silicio, para luego describir sus propiedades físicas [5] (en especial sus propiedades ópticas
como veremos más adelante). Tales investigaciones han resultado en aplicaciones tecnológicas
como las guías de ondas [2] o el mejoramiento en la eficiencia de celdas solares [6], etc.
El objetivo de este trabajo escrito es describir la formación de nanopartículas bimetálicas, es-
pecíficamente de plata y platino, dentro de una matriz de zafiro sintético α − Al2O3. El zafiro es
un dieléctrico con un índice de refracción relativamente alto (1.76), es el segundo material más
duro en la naturaleza -después del diamante-, tiene un punto de fusión muy alto (2053◦) y además
es transparente en la región que va del ultravioleta al infrarrojo cercano. por su parte, la plata y
el platino son metales que tienen la misma estructura cristalina (FCC), más aún, es posible for-
mar aleaciones que preservan esa estructrua; también las nanopartículas de plata y platino, dentro
de materiales dieléctricos exhiben su plasmón de superficie en la región del espectro visible y
el ultravioleta1. Una vez formadas las nanopartículas de plata - platino dentro del zafiro se pro-
1Toda esta información sobre el zafiro, la plata y el platino se encuentra en el capítulo 5.
1
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 2
siguió con realizar una caracterización de algunas de sus propiedades físicas, como su espectro
de extinción óptica, su estructura geométrica, su estructura cristalina y su tamaño. La formación
de estas nanopartículas comienza con la implantación de iones de plata y/o platino en la matriz
de zafiro, alternadamente, se aplican distintos tratamientos térmicos dentro de una atmósfera re-
ductora (50 % H2, 50 % N2) para inducir procesos de nucleación (homogénea y heterogénea) y
crecimiento.
Para las nanopartículas ya formadas, el volumen no es tan significativo (V ∼ r3) y la superfcie
(A ∼ r2) comienza a ser muy relevante; entonces, los fenómenos de bulto que están asociados
al volumen comienzan a ceder en importancia a los efectos superficiales asociados al área de las
nanopartículas. La resonancia de plasmón de superficie de los metales involucrados es uno de
estos fenómenos y adquiere mucha relevancia en su espectro de extinción óptica; en contraparte,
para cuerpos metálicos macroscópicos, la resonancia de plasmón de superficie es prácticamente
inadvertida. Esto sucede debido a que la resonancia de plasmón de superficie es producto de los
modos de vibración de las cargas eléctricas en la superficie de los metales cuando se exponen a
una onda electromagnética con cierta frecuencia; el valor de esta frecuencia depende del metal,
el tamaño y el medio que lo rodea. Precisamente el plasmón de superficie de las nanopartículas
será un tema muy importante en este trabajo.
Otro tema que se desarrollará en este trabajo es la utilización de diferentes técnicas de análisis
para caracterizar a las nanopartículas de plata-platino embebidas en el zafiro; estas técnicas son: la
retrodispersión de Rutherford (RBS por “Rutherford Backscattering”), la espectroscopía por ex-
tinción óptica, la microscopía electrónica de barrido (SEM por “Scanning Electron Microscopy”)
y la difracción de rayos X. Por medio de estas técnicas se obtendrá información sobre la cantidad
de átomos de plata y platino en la matriz de zafiro, la profundidad a la que se encuentran estos
átomos, el espectro de extinción óptica de las nanopartículas, la distribución de tamaños y la es-
tructura cristalina de las mismas. Ahora bien, a continuación se presentará la organización de este
trabajo escrito.
El capítulo 2, Interacción de iones con la materia, trata sobre los fenómenos que ocurren
cuando un ion con cierta energía atraviesa un material sólido; entre estos fenómenos están las
colisiones que experimenta el ion con los núcleos y electrones del material. También se men-
cionan los conceptos de alcance, poder de frenado, factor cinemático de dispersión, frenado
nuclear, frenado electrónico, etc. que son fundamentales para poder entender las interacciones
entre el ion y el material, por lo que también son necesarios para comprender el proceso de im-
plantación de iones en una matriz. Y de hecho, también son importantes para el RBS, técnica de
análisis de la que se hablará en el capítulo 4.
En el capítulo 3, Nucleación y crecimiento, se exponen los fundamentos de la teoría clásica
de la nucleación; esta teoría está construida a partir de las ideas y las leyes de la Termodinámica
y la Física Estadística. La teoría clasica de la nucleación se ha tomado como base para explicar
la formación de nanopartículas a partir de los átomos de plata y platino previamente implantados
en el zafiro.
El capítulo 4, Técnicas de análisis, desarrolla los fundamentos físicos de la espectrometría
de retrodispersión de Rutherford, la espectroscopía por extinción optica, la espectrometría de
difracción de rayos X y la microscopía electrónica de barrido. Durante este capítulo se utilizan
algunos conceptos de la física de estado sólido, el electromagnetismo, la cristalografía, etc.
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 3
El capítulo 5, Técnicas experimentales, presenta las propiedades físicas (relevantes para este
trabajo) del zafiro sintético, la plata y el platino. Aquí también se describe el funcionamiento
de los dispositivos utilizados durante este proyecto; tales dispositivos son: el Acelerador-Tandem
Pelletron, un horno de tipo tubular, un difractómetro de rayos X y un espectroscopio de rejilla de
difracción, todos del Instituto de Física de la UNAM. En este capítulo también se presentan los
detalles técnicos de estos dispositivos.
El capítulo 6, Formación de las nanopartículas y resultados, explica a detalle el proceso de
formación de las nanopartículas bimetálicas Ag-Pt en dos muestras de zafiro sintético α−Al2O3.
También aquí se muestran todos los resultados de la aplicación de las técnicas de análisis ya
mencionadas, se incluyen los espectros de energía de RBS, los espectros de extinción óptica,
los patrones de difracción de rayos X y las imágenes obtenidas de la microscopía electrónica,
cada cual con sus respectivas interpretaciones. Al mismo tiempo se hacen algunas observaciones
cualitativas de lo que se ha obtenido.
En el capítulo 7, Discusión y conclusiones, se entabla una discusión sobre algunas considera-
ciones que tienen influencia en el proceso de formación de las nanopartículas y sobre su caracte-
rización; también se comparan los resultados obtenidos por las diferentes técnicas de análisis y su
concordancia entre ellas y la teoría en la que se basan. Además se analiza el cómo han influido los
diferentes procesos de formación de las nanopartículas en sus respectivas caracterizaciones. En
este capítulo también se mencionan algunas propiedades notables que tienen las nanopartículas
formadas. Al final de este capítulo se exponen las conclusiones a las que se llegó tras todos estos
análisis.
En la última partede este trabajo se incluyen algunos apéndices que son necesarios para el
buen desarrollo de algunos de los temas de este trabajo.
Capítulo 2
Interacción de iones con la materia
Cuando un ion con energía cinética penetra un sólido o sustrato, el ion experimenta varias coli-
siones con los núcleos y los electrones del sólido; como consecuencia, al atravesar una capa con
espesor 4x el ion pierde una cantidad 4E de energía. Después de algunas colisiones, el ion va
cambiando de dirección y su energía disminuye hasta que llega al reposo. A la tasa con que el ion
pierde energía al atravesar al material se le conoce como poder de frenado dE
dx
, típicamente es del
orden de unos cuantos electronvolts por nanómetro hasta cien electronvolts por nanómetro [7].
De esta manera se puede establecer una relación entre la penetración que alcanza el ion en el
material y su energía inicial. Si E0 es la energía del ion antes de penetrar, entonces la profundidad
de penetración o alcance proyectado RP se puede expresar como:
RP =
ˆ 0
E0
1(
dE
dx
)dE,
donde dE
dx
tiene valores negativos porque representa la pérdida de energía conforme el ion atraviesa
al material (ver la figura 2.1).
Figura 2.1: A la izquierda, cuando un ion con energía E atraviesa una capa de material de grosor 4x
pierde energía al colisionar con los núcleos y electrones de esa capa. A la derecha, diferencia entre la
trayectoria completa del ion R y su proyección normal a la superficie RP .
La trayectoría que sigue el ion al colisionar con los átomos y los electrones, así como la tasa
de energía perdida son fenómenos aleatorios. Por lo que los iones incidentes que penetran el
4
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN DE IONES CON LA MATERIA 5
material tienen diversos valores de alcance proyectado; entonces, hay una ancha distribución en
los valores de profundidad de los iones que penetraron, esta es la distribución de alcance de
los iones incidentes. En el caso del estudio de la implantación de iones, la trayectoria completa
que sigue el ion no es del todo primordial; en lugar de eso, un parámetro más significativo es
la proyección (normal a la superficie) de la trayectoria seguida por el ion, de aquí el nombre de
“alcance proyectado”.
Los parámetros que más influyen en la tasa de pérdida de energía son E0, el número atómico
Z1 del ion y el número atómico Z2 de los átomos del material, además de la masa M1 del ion
y la masa M2 de los átomos del sustrato. El poder de frenado y el alcance de penetración de
iones en materiales sólidos son los temas centrales de este capítulo. En las siguientes secciones
se analizarán cada uno de estos conceptos, su justificación física y algunas maneras de resolver
los problemas que involucran.
2.1. Poder de frenado
El poder de frenado es determinado por las interacciones que experimenta el ion con los electrones
y átomos del sustrato. Cuando el ion colisiona directamente con los núcleos atómicos, el ion les
trasfiere parte de su energía cinética; a este tipo de colisiones se les considera elásticas. Cuando
el ion interactúa o colisiona con los electrones, el ion excita o expulsa a los electrones; a este tipo
de colisiones se les considera inelásticas. En muchas situaciones, la distinción entre colisiones
elásticas e inelásticas es muy útil y lleva a una buena aproximación de la tasa de pérdida de
energía. Luego, el poder de frenado se puede expresar así:
dE
dx
=
[
dE
dx
]
n
+
[
dE
dx
]
e
, (2.1)
donde
[
dE
dx
]
n
representa la tasa de pérdida de energía por colisiones con lo núcleos (frenado nucle-
ar) y
[
dE
dx
]
e
es la tasa de pérdida de energía por colisiones con los electrones (frenado electrónico).
Típicamente las unidades del poder de frenado son eV
nm
. En el capítulo 4, la gráfica 4.1 muestra un
ejemplo del comportamiento de estos dos tipos de frenado en función de la energía.
Las numerosas colisiones entre los iones y los núcleos atómicos implican pérdida de energía
para el ion, además de deflexiones apreciables. Este proceso puede generar desplazamientos de
los átomos del sustrato, lo que provoca desarreglos en su disposición. Las colisiones individuales
entre un ion y un electrón no representa una gran pérdida de energía ni tampoco deflexiones
apreciables para el ion, y tampoco afecta al arreglo de los átomos del sustrato; sin embargo, dado
que el número de electrones es muy grande, el ion experimenta muchas colisiones con ellos y
el frenado electrónico termina siendo significativo y en algunas ocasiones es dominante como se
verá más adelante.
Otro parámetro muy importante es la sección transversal de frenado S, cuyo concepto se
puede aplicar al frenado nuclear y al frenado electrónico; esta se define como:
S =
1
N
∣∣∣∣dEdx
∣∣∣∣ , (2.2)
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN DE IONES CON LA MATERIA 6
donde N es la densidad de átomos del sustrato. La sección transversal de frenado, también cono-
cida como sección eficaz de frenado, representa la tasa de pérdida de energía por centro u objeto
dispersor. Las unidades de este parámetro son eV/cm
atomos/cm3
= eVcm
2
atomo
.
Las ecuaciones 2.1 y 2.2 están enfocadas para sustratos de un sólo elemento químico. Sin
embargo; en el caso de un compuesto, la sección eficaz de frenado se puede calcular como la suma
ponderada de las secciones eficaces de frenado de cada elemento que conforma al compuesto;
a esta aproximación se le comoce como Regla de Bragg [8]. Esta regla se aplica así: sea un
compuesto formado por los elementos A y B, digamos AkBl, se define la abundancia relativa
de A como m = k
k+l
y la abundancia relativa de B como n = l
k+l
(nótese que se cumple que
m+ n = 1); luego, la sección transversal de frenado del compuesto AkBl es
S (AkBl) = mS (A) + nS (B) ,
donde S (A) es la sección transversal de frenado del elemento A y S (B) es del elemento B. Y
por tanto, el poder de frenado es
dE
dx
(AkBl) = NAkBlS (AkBl) = NAkBl [mS (A) + nS (B)] ,
aquí NAkBl es la densidad atómica del compuesto.
Los fenómenos que intervienen en cada proceso de frenado son, por supuesto, diferentes; a
continuación se presentarán los fundamentos físicos del frenado nuclear y electrónico.
2.1.1. Física clásica de dispersión de iones
En el proceso de frenado nuclear los iones experimentan dispersión al acercarse mucho a los
núcleos atómicos del material que actúa como blanco. En cada dispersión, el ion cede una parte de
su energía al núcleo con el que “colisiona”; por lo que el fenómeno de dispersión es el reponsable
del frenado nuclear. Cuando la velocidad del ion es suficientemente baja se puede utilizar un
tratamiento clásico para describir la interacción entre iones y núcleos, y para esto se tomarán en
cuenta las siguientes suposiciones:
Únicamente se considerarán las colisiones de dos partículas.
La mecánica clásica es válida: las colisiones son elásticas y las velocidades son lo suficien-
temente bajas para no catalogarse como relativistas.
La excitación de electrones representa pérdida de energía, pero no influye en las colisiones.
Una de las dos partículas que colisionarán se encuentra en reposo.
Hay dos cantidades que son muy importantes para describir la dispersión de iones: el factor
cinemático de dispersión y la sección eficaz de dispersión.
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN DE IONES CON LA MATERIA 7
Figura 2.2: Colisión de un ion de masa M1 con un átomo de masa M2.
Factor cinemático de dispersión
Para resolver el caso de una colisión que cumple con las suposiciones anteriores se puede utilizar
la ley de la conservación de la energía y la ley de la conservación del momento [7].
La situación es la siguiente: un ion de masa M1 se mueve con velocidad v0 por lo que tiene
una energía cinética E0 = 12M1v
2
0 . El ion de masa M1 se impactará con un átomo en reposo de
masa M2, este átomo forma parte del sólido que funge como blanco del bomabardeo de iones.
Después de la colisión, el ion de masa M1 tiene una velocidad v1 y una energía cinética E1, se
dispersó con un ángulo θ; el átomo de masa M2 tiene una velocidad v2 y una energía cinética E2,
ambasdeterminadas por el ángulo de retroceso φ (ver la figura 2.2). Tomando en cuenta estas
aclaraciones y los principios de conservación de la energía y el momento (en las componentes
horizontales y verticales) se pueden obtener las siguientes expresiones:
E0 =
1
2
M1v
2
0 =
1
2
M1v
2
1 +
1
2
M2v
2
2, (2.3)
M1v0 = M1v1 cos (θ) +M2v2 cos (φ) , (2.4)
0 = M1v1 sin (θ) +M2v2 sin (φ) . (2.5)
De estas tres ecuaciones se puede obtener la siguiente ecuación:
v1
v0
=
M1
M1 +M2
cos (θ)±
[(
M1
M1 +M2
)2
cos2 (θ) +
M2 −M1
M2 +M1
] 1
2
. (2.6)
Cuando M1 > M2. En la ecuación 2.6, la cantidad dentro del radical es cero o negativa si:
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN DE IONES CON LA MATERIA 8
cos2 (θ) ≤ 1−
(
M2
M1
)2
, 0 ≤ θ ≤ π
2
;
Es decir, θ puede alcanzar, a lo más, el valor de θm; donde θm cumple:
cos2 (θm) = 1−
(
M2
M1
)2
, 0 ≤ θm ≤
π
2
.
Por lo tanto, si M1 > M2, solo puede ser posible que 0 ≤ θ ≤ θm ≤ π2 . El caso en el que
θm < θ ≤ π no es posible porque el valor de v1v0 toma valores imaginarios o negativos y eso no es
físicamente factible. El ángulo θm representa el ángulo de máxima dispersión.
Cuando M2 ≥ M1. Todos los valores de θ, de 0 a π, son posibles. El valor de v1v0 es positivo
solo si se escoge el signo “ + ” de la ecuación 2.6. No es físicamente factible que v1
v0
tome valores
negativos.
La ecuación 2.6 se puede simplificar más y se puede obtener la siguiente expresión:
v1
v0
=
M1 cos (θ)±
(
M22 −M21 sin2 (θ)
) 1
2
M1 +M2
.
Y como E1
E0
=
1
2
M1v21
1
2
M1v20
=
(
v1
v0
)2
, entonces:
E1
E0
=
M1 cos (θ)± (M22 −M21 sin2 (θ)) 12
M1 +M2
2 . (2.7)
A este último valor se le denomina factor cinemático de dispersión y se le denotará comoK ≡ E1
E0
.
El factor cinemático de dispersión representa el cambio en la energía que experimenta el ion con
masa M1 tras colisionar con el átomo de masa M2. De acuerdo a lo discutido anteriormente, el
factor K es tal que:
Si M1 > M2, entonces
K =
M1 cos (θ)± (M22 −M21 sin2 (θ)) 12
M1 +M2
2 ,
donde 0 ≤ θ ≤ θm, con θm el ángulo máximo de retrodispersión.
Si M2 ≥M1, entonces
K =
M1 cos (θ) + (M22 −M21 sin2 (θ)) 12
M1 +M2
2 ,
donde 0 ≤ θ ≤ π; pero cuando M1 = M2, θ ≤ π2 .
Ambos casos son descritos desde el marco de referencia del laboratorio.
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN DE IONES CON LA MATERIA 9
Sección eficaz de dispersión
La sección eficaz de dispersión es el área transversal efectiva para que se dé la dispersión de
una partícula que se ha movido en dirección de un elemento dispersor [9]. La sección eficaz
diferencial de dispersión es un parámetro que da una medida de la probabilidad de transferir una
cantidad de energía T , en el rango entre T y T + dT , a un átomo objetivo; y al mismo tiempo, da
la probabilidad de dispersar un proyectil en un ángulo entre θ y θ + dθ.
Para encontrar una expresión de la sección eficaz diferencial para el caso del experimento de
dispersión de Rutherford (ver la figura 2.3) es conveniente hacer las siguientes consideraciones:
Prácticamente toda la masa del átomo objetivo M2 se concentra en su núcleo.
El ion de masa M1 y el núcleo de masa M2 son partículas puntuales.
La dispersión es debida a las fuerza de Coulomb entre el ion M1 y el núcleo M2.
La masa del núcleo M2 es varias veces más grande que la masa del ion M1, por lo que el
retroceso del núcleo M2 es despreciable.
El ion de masa M1 no atraviesa la región nuclear (el tamaño de un núcleo atómico es del
orden de 10−15 m), por lo que las fuerzas nucleares no intervienen.
Figura 2.3: (a) Cambio en el momento que experimenta un ion de masa M1 después de interactuar con un
núcleo de masa M2, aquí se considera que M1 �M2. (b) Dispersión del ion de masa M1.
La sección eficaz de dispersión se puede expresar por medio de un parámetro de impacto; el
cual se define como la distancia mínima transversal en la que el ion de masa M1 se aproximaría
con velocidad v0 hacia el núcleo de masa M2, si no existieran fuerzas repulsivas entre ellos;
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN DE IONES CON LA MATERIA 10
el parámetro de impacto se denotará como b. A continuación, se deducirá la relación entre el
parámetro de impacto y la energía inicial del ion, las cargas eléctricas del ion y el núcleo y el
ángulo de dispersión del ion.
Como ya hemos supuesto que el retroceso del núcleo es despreciable al interacuar con el ion;
entonces, la energía cinética del ion es igual antes y despues de la dispersión:
E0 =
‖p1‖2
2M1
=
‖p2‖2
2M1
.
Por tanto, p1 = p2, la magnitud del momento lineal permanece constante. Dado que la fuerza F
entre el ion y el núcleo es de tipo central y actúa sobre el radiovector r que los separa; entonces,
el momento angular (observado desde el marco de referencia del núcleo) se conserva ya que
r × F = 0, pues son vectores paralelos. Más aún, ‖L‖ = bp1 = b′p2 implica que b = b′. Sin
embargo, según la figura 2.3, aunque la magnitud del momento lineal se conserva, en general no
se cumple que p1 = p2, ya que el ion cambia de dirección. Del inciso (a) de la figura 2.3 (nótese
que los vectores p1, p2 y4p forman un triángulo isósceles), la magnitud de este cambio se puede
escribir como sigue:
‖4p‖ = 2p1sen
(
θ
2
)
,
Sea N el eje sobre el cual yace el vector 4p; entonces, de la segunda ley de Newton se cumple
que:
‖4p‖ =
ˆ ∞
0
‖F‖ cos (α) dt,
donde la cantidad ‖F‖ cos (α) representa la magnitud que la fuerza F ejerce sobre el ion, proyec-
tada sobre el eje N . Y si se supone que el movimiento del ion es asintótico a líneas rectas a
distancias muy lejanas; el eje N se situaría justo en medio del ángulo π − θ, como se muestra en
la figura 2.3. Eso implica que α = π−θ
2
− ϕ y que cos (α) = sen
(
θ
2
+ ϕ
)
. Por lo tanto:
2p1sen
(
θ
2
)
=
ˆ ∞
0
‖F‖sen
(
θ
2
+ ϕ
)
dt =
ˆ π−θ
ϕ=0
‖F‖
ω
sen
(
θ
2
+ ϕ
)
dϕ, (2.8)
aqui ω = dϕ
dt
, la velocidad angular del ion. Por otro lado, de la conservación del momento angular
se tiene que:
‖L‖ = M1v0b = ‖r‖‖p‖sen (ϕ) = rM1vϕ,
donde vϕ = ωr es la componente transversal de la velocidad del ion. Luego v0b = ωr2 y:
ω =
v0b
r2
,
sustituyendo este valor en la ecuación 2.8 se concluye que:
2p1sen
(
θ
2
)
=
ˆ π−θ
ϕ=0
r2‖F‖
v0b
sen
(
θ
2
+ ϕ
)
dϕ. (2.9)
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN DE IONES CON LA MATERIA 11
La ecuación 2.9 hasta ahora solo ha requerido que la fuerza entre el ion y el núcleo sea central;
para nuestro caso esta fuerza es la de Coulomb y suponiendo que Z1e es la carga del ion y Z2e es
la carga del núcleo (e es la carga del electrón), entonces la ecuación 2.9 se resuelve como:
2p1sen
(
θ
2
)
=
ˆ π−θ
ϕ=0
Z1Z2
4π�0
e2
v0b
sen
(
θ
2
+ ϕ
)
dϕ =
Z1Z2
2π�0
e2
v0b
cos
(
θ
2
)
.
En conclusión, al despejar el parámetro de impacto resulta:
b =
Z1Z2e
2
8π�0E0
cot
(
θ
2
)
, (2.10)
donde se ha usado el hecho de que 2E0 = p1v0. La ecuación 2.10 implica que el parámetro de
impacto es muy grande para ángulos de dispersión muy pequeños, y para ángulos de dispersion
cercanos a π el parámetro de impacto es muy pequeño; es decir, el parámetro de impacto es una
medida de que “tan de frente” interactúan el ion y el núcleo. Por otro lado, para velocidades
pequeñas E0 también es pequeña y como consecuencia el parámetro de impacto crece, y para
velocidades altas E0 es grande y entonces el parámetro de impacto es pequeño. Esto se debe a
que un ion con baja velocidad al acercarse al núcleo experimenta por más tiempo la fuerza de
repulsión y recibe más impulso de esta fuerza que un núcleo con velocidad alta.
Ahora la sección eficaz (o sección transversal integral) se puede escribir, a partir de la ecuación
2.10, de la siguiente manera:
σ = πb2 = π
(
Z1Z2e
2
8π�0E0
)2
cot2
(
θ
2
)
. (2.11)
De esta manera de la ecuación 2.11 se deduce que la sección eficaz σ es el área efectiva que
tendría un objeto dispersor, para que se dé la dispersión (a un ángulo θ) de un ion con energía E0.
Al igual que el parámetro de impacto, la sección eficaz depende de la energía inicial del ion: si
un ion tiene mucha energía, la sección eficaz es muy pequeña; lo contrario sucede cuandoel ion
tiene poca energía.
Figura 2.4: Iones dispersados entre θ y θ +4θ.
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN DE IONES CON LA MATERIA 12
En la figura 2.4 se muestra un arreglo experimental en el que se proyectan iones contra una
delgada lámina; estos iones salen dispersados a través de un ángulo sólido 4Ω. A continuación
se encontrará una expresión del número de iones que pasan a través de4Ω.
Sea n = N
V
la densidad de núcleos en la lámina, sea A el área transversal de la lámina y t el
grosor de la misma. Entonces el área total efectiva de dispersión, a un ángulo 0 < θ ≤ π, dedibida
a los núcleos en la lámina es σN = σ (nAt). Luego, la razón entre el área efectiva de dispersión
y el área transversal de la lámina es:
f =
σ (nAt)
A
= ntσ. (2.12)
La ecuación 2.12 ofrece una medida de la probabilidad de que un ion experimente dispersión al
moverse contra los núcleos de la lámina. Ahora, si N0 es el número de iones iniciales; entonces,
el número total de iones que se dispersan, a un ángulo 0 < θ ≤ π, al atravesar la lámina está dado
por:
I = N0f = N0ntσ.
Por tanto el número de iones que se dispersan por unidad de ángulo sólido4Ω (para una sección
eficaz de un determinado ángulo θ) es aproximadamente:
4I
4Ω
≈ N0nt
4σ
4Ω
En la ecuación anterior el término 4σ4Ω es una medida de la probabilidad de que un ion se disperse a
través de un ángulo sólido4Ω; entonces, dσ
dΩ
es una medida de la probabilidad de dispersión de un
ion a través de un ángulo sólido infinitamente pequeño asociado a cierto ángulo θ, a esta cantidad
se le conoce como sección eficaz diferencial. Entonces, el número de iones que se dispersan a un
determinado ángulo θ, por unidad de ángulo sólido, se expresa como:
dI
dΩ
= N0nt
∣∣∣∣ dσdΩ
∣∣∣∣ . (2.13)
A continuación se encontrará una expresión para la sección eficaz diferencial para el caso en que
M1 �M2.
Si4θ es muy pequeño se cumple que el área encerrada entre las dos circunferencias mostradas
en la figura 2.4 es aproximadamente:
4S ≈ (2πrsen (θ)) r4θ.
Entonces, el ángulo sólido subtendido por la superficie4S es aproximadamente:
4Ω = 4S
r2
≈ 2πsen (θ)4θ.
Mientras que de la ecuación 2.11 se cumple:
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN DE IONES CON LA MATERIA 13
4σ ≈ π
(
Z1Z2e
2
8π�0E0
)2 [
cot2
(
θ +4θ
2
)
− cot2
(
θ
2
)]
.
Por lo tanto:
4σ
4Ω
≈ 1
2sen (θ)
(
Z1Z2e
2
8π�0E0
)2 [cot2 ( θ+4θ
2
)
− cot2
(
θ
2
)
4θ
]
.
Si4θ es infinitamente pequeña, entonces4Ω y4σ también lo son; por lo que resulta:
dσ
dΩ
=
1
2sen (θ)
(
Z1Z2e
2
8π�0E0
)2 [
d
dθ
cot2
(
θ
2
)]
.
Y finalmente, al simplificar:
dσ
dΩ
= −
(
1
4π�0
Z1Z2e
2
4E0
)2
1
sen4
(
θ
2
) .
El signo negativo de esta ecuación es debido a que el vector de área de la sección eficaz y el
vector de área del ángulo sólido apuntan en direcciones opuestas. Por lo que al tomar solo valores
positivos resulta simplemente:
dσ
dΩ
=
(
1
4π�0
Z1Z2e
2
4E0
)2
1
sen4
(
θ
2
) . (2.14)
A la ecuación 2.14 se le conoce como fórmula de dispersión de Rutherford.
Sin embargo, la formula de dispersión de Rutherford es un caso especial que se basa en la
suposición de que la masa del núcleo M2 es mucho más grande que la masa del ion M1; por
lo que el núcleo prácticamente no retrocede cuando interactúa apreciablemente con el ion. En-
tonces, cuando la masa del núcleo no es muy grande comparada con la masa del ion, la formula
de dispersión de Rutherford no es válida. Al eliminar esta suposición y considerar el retroceso
del núcleo después de interactuar con el ion, utlizando la conservación del momento lineal total,
la conservación del momento angular (la fuerza de repulsión sigue siendo central) y la conser-
vación de la energía se puede obtener una ecuación más general. En el marco de referencia del
laboratorio, tal fórmula de la sección eficaz diferencial es [8]:
dσ
dΩ
=
(
1
4π�0
Z1Z2e
2
2E0sen2 (θ)
)2
[(
1− sen2 (θ)
(
M1
M2
)2) 12
+ cos (θ)
]2
(
1− sen2 (θ)
(
M1
M2
)2) 12 . (2.15)
Cuando M2 �M1 esta ecuación se puede reescribir así:
dσ
dΩ
=
(
1
4π�0
Z1Z2e
2
2E0
)2(
1 + cos (θ)
sen2 (θ)
)2
.
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN DE IONES CON LA MATERIA 14
Utilizando las identidades trigonométricas sen2 (θ) = 4sen2
(
θ
2
)
cos2
(
θ
2
)
, cos (θ) = cos2
(
θ
2
)
−
sen2
(
θ
2
)
y cos2
(
θ
2
)
= 1 − sen2
(
θ
2
)
, al desarrollar se obtiene la sección eficaz diferencial de
Rutherford.
2.1.2. Frenado nuclear
La probabilidad de que un ion con energía E experimente dispersión (o una colisión) con un
núcleo del sustrato mientras atraviesa una capa de espesor4x (muy pequeño) se puede formular
a partir de la sección eficaz de dispersión [7, 9]; esta probabilidad se sigue de la ecuación 2.12:
PE = NσE4x, (2.16)
ahora N es la cantidad de núcleos atómicos por unidad de volumen en el sustrato y σE es la
sección eficaz correspondiente a la energía E y el ángulo de dispersión θ. Es posible establecer
una relación entre σE y T (energía transferida por el ion al núcleo); entonces PE también depende
de T , por lo que la probabilidad de que un ion con energíaE experimente una colisión y transfiera
energía en un intervalo entre T y T +4T (con 4T pequeño) se puede expresar como dPE
dT
4T .
Y de la ecuación 2.16:
dPE
dT
4T = (N4x) dσE
dT
4T.
Por lo tanto, el promedio de energía perdida por el ion al atravesar la capa de grosor4x es:
〈4E〉 =
Tmax∑
Tmin
Tk
[
dPE
dT
∣∣∣∣∣
Tk
4T
]
= (N4x)
Tmax∑
Tmin
Tk
[
dσE
dT
∣∣∣∣∣
Tk
4T
]
,
donde Tk representa todos los valores de energía transferida por el ion en cada una de las coli-
siones mientras cruza la distancia 4x; es decir, Tk ∈ [Tmin, Tmax] con Tmin la mínima energía
que transfirió el ion y Tmax es la máxima. El valor de Tmin no necesariamente tiene que ser cero,
aunque puede ser muy bajo. La última ecuación se puede escribir así:
〈4E〉
4x
= N
Tmax∑
Tmin
Tk
[
dσE
dT
∣∣∣∣∣
Tk
4T
]
.
Si el número de colisiones que sufre el ion es grande y tanto 〈4E〉 como 4x son pequeños, al
omitir el símbolo de promedio, la ecuación anterior se puede escribir como:[
dE
dx
]
n
= N
ˆ Tmax
Tmin
T
dσE
dT
dT. (2.17)
De las ecuaciones 2.17 y 2.2, la sección de transversal de frenado nuclear es:
Sn =
ˆ Tmax
Tmin
T
dσE
dT
dT. (2.18)
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN DE IONES CON LA MATERIA 15
Hay muchas maneras de resolver, de manera aproximada, la integral de la ecuación 2.18; todas
ellas se basan en el análisis de los potenciales interatómicos, a través del uso de series de poten-
cias. Este tipo de aproximaciones fueron desarrollados por Thomas-Fermi, Bohr, Lenz-Jensen y
Moliere; pero solo son aceptables para algunos casos. Sin embargo, existe otra aproximación de
los potenciales interatómicos que fue el realizado por Ziegler, Biersack y Littmark (aproximación
ZBL); esta tiene la ventaja de ofrecer mayor precisión y de ser aplicable a un gran número de
situaciones [7].
Aproximación ZBL de la sección transversal de frenado nuclear
Cuando un átomo 1 interactúa o colisiona con un átomo 2 es muy importante considerar qué tan
cerca se encuentran. Si tomamos como referencias al radio de Bohr a0 = 0.053 nm y la distancia
de separación típica entre átomos vecinos dentro de un cristal r0 ≈ 0.25 nm (entre a0 y r0 se
encuentran los electrones de cada átomo) [7], y si r es la separación entre el átomo 1 y 2; entonces,
cuando r � r0 todos los electrones ocuparán los niveles de energía más interiores de cada átomo,
y por la fuerza de exclusión de Pauli quedará un máximo número de niveles ocupado, con lo que
solo los niveles de valencia quedarán vacíos. En consecuencia, los dos átomos experimentarán
una débil fuerza atractiva para superponer sus capas de valencia.
Otra situación es que r � a0, por lo que la interacción dominante se da entre los núcleos
atómicos y es prácticamente coulombiana; es decir el potencial interatómico es
V (r) =
Z1Z2e
2
r
.
Aquí Z1 y Z2 son los número atómicos de los átomos 1 y 2 respectivamente y e2 = e
2
4π�0
=
1.44 eVnm.
El caso en que a0 < r ≤ r0 es más complicado, en tal situación aparece un potencial positivo
que provoca una fuerza de repulsiónentre los dos átomos. Este potencial positivo surge princi-
palmente por dos interacciones: la repulsión de los núcleos atómicos, y el aumento en la energía
necesaria para mantener a los electrones cerca y en el espacio compartido por ambos átomos (sin
violar la exclusión de Pauli). Por lo tanto, la energía necesaria para este proceso crece conforme
los átomos se acercan. Como consecuencia hay una reducción del potencial de Coulomb debido
al apantallamiento electrostático que experimentan los núcleos en el espacio con carga de las ca-
pas de electrones. A este potencial se le conoce como potencial de Coulomb apantallado y se
expresa como:
V (r) =
Z1Z2e
2
r
χ (r) ,
donde χ (r) es la función de apantallamiento y se define como la razón entre el potencial atómico
real (para alguna r) y el potencial de Coulomb. Cuando r es muy grande χ (r) se aproxima a cero,
y cuando r tiende a cero χ (r) se aproxima a 1.
Existen muchas aproximaciones de la función de apantallamiento y potenciales interatómi-
cos desarrolladas por Bohr, Lenz-Jensen, Thomas-Fermi, etc. Estas aproximaciones son ajustes
para casos muy específicos. Sin embargo, Ziegler, Biersack y Littmark desarrollaron el potencial
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN DE IONES CON LA MATERIA 16
interatómico universal y la función de apantallamiento universal, esta última es un ajuste a di-
versas situaciones de interacción entre varios tipos de átomos [7]. La función de apantallamiento
universal es:
χU = 0.1818 exp (−3.2x) + 0.5099 exp (−0.9423x)
+0.2802 exp (−0.4028x) + 0.02817 exp (−0.2016x) ,
donde
x =
r
aU
,
es la distancia reducida. La cantida aU se denomina la longitud de apantallamiento universal y
está dada como
aU =
0.8854a0
(Z0.231 + Z
0.23
2 )
.
Utilizando el potencial interatómico universal y su función de apantallamiento se puede cal-
cular la sección de frenado nuclear de la ecuación 2.18; a este método se le conoce como aproxi-
mación ZBL. Este cálculo requiere de métodos numéricos para resolver la ecuación 2.18. De este
análisis resulta que la sección transversal de frenado nuclear en notación reducida es:
Sn (ε) =
0.5 ln (1 + 1.1383ε)
(ε+ 0.01321ε0.21226 + 0.19593ε0.5)
, (2.19)
Aquí ε es la energía reducida del sistema en la proximación ZBL:
ε =
32.53M2E0 [KeV]
Z1Z2 (M1 +M2) (Z0.231 + Z
0.23
2 )
.
Donde E0 es la energía en KeV del ion incidente, M2 es la masa de los átomos del sólido, M1 es
la masa del ion, Z1 es el número atómico del ion y Z2 es el número atómico de los átomos del
sólido. La ecuación 2.19 es válida para ε ≤ 30. Para el caso en que ε > 30, el regimen de alta
energía:
Sn (ε) =
ln (ε)
2ε
. (2.20)
Ahora, la sección transversal de frenado nuclear, en términos de la energía E0, es:
Sn (E0) =
8.462× 10−15Z1Z2M1Sn (ε) eVcm2
(M1 +M2) (Z0.231 + Z
0.23
2 ) atomo
. (2.21)
De la ecuación 2.21 y la ecuación 2.2 se obtiene el poder de frenado nuclear.
Una desventaja de la aproximación ZBL y del resto de las aproximaciones ya mencionadas es
que sólo se pueden aplicar a sustratos conformados de un sólo elemento químico, o bien, sustratos
de compuestos o aleaciones de elementos con números atómicos similares; por ejemplo, para un
sustrato hecho de una aleación de hierro y níquel, la aproximación ZBL sí es útil. Una alternativa
para sortear este inconveniente es la regla de Bragg.
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN DE IONES CON LA MATERIA 17
2.1.3. Frenado electrónico
El frenado electrónico es otro mecanismo por el que un ion pierde energía al moverse dentro
de un sólido. En este caso se considera la energía que el ion le transfiere a los electrones de los
átomos del sustrato; con la cuál los electrones se excitan o salen expulsados de sus átomos [7].
Muchos de los procesos de interacción entre los iones y los átomos del sustrato dependen de
la velocidad del ion y sus cargas eléctricas. Cuando la velocidad del ion es significativamente
menor que la velocidad de los electrones v0, el ion que acarrea sus propios electrones tiende a
neutralizarse por captura electrónica; por lo que las colisiones que predominan son las colisiones
directas con el núcleo y la pérdida de energía se debe principalmente al frenado nuclear. Pero,
cuando la velocidad de los iones es alta; la pérdida de energía por frenado nuclear es pequeña,
y predominan las colisiones con los electrones. Entonces, dependiendo de la velocidad del ion
v, existen dos regímenes de frenado electrónico: el régimen de alta energia o de alta velocidad
(v ≥ v0Z
2
3
1 ) y el régimen de baja energía o baja velocidad (v < v0Z
2
3
1 ).
Régimen de alta energía
Cuando la velocidad del ion es mayor que la velocidad de sus electrones, v ≥ v0Z
2
3
1 ; el estado
de carga del ion incrementa, el ion se despoja de sus electrones, y se puede considerar como
un punto con carga positiva Z1e que se mueve a una velocidad, incluso, mayor que la velocidad
orbital de los electrones de los átomos del sustrato. Para tal situación, en 1913, Niels Bohr dedujo
una expresión para el poder de frenado electrónico partiendo de las siguientes suposiciones:
El ion es una partícula mucho más masiva que los electrones (masa me), tiene carga Z1e,
velocidad v y masa M1. Por lo tanto, en cada colisión con un electrón, la cantidad de
movimiento del ion no cambia apreciablemente.
Como la velocidad del ion es mayor que la velocidad de los electrones, estos últimos se
pueden considerar inicialmente en reposo.
Al pasar cerca de un electrón y debido al potencial de Coulomb, el ion altera continuamente
la cantidad de movimiento del electrón (el ion siempre atrae al electrón); pero al final,
solo el cambio en la cantidad de movimiento vertical es apreciable ya que la cantidad de
movimiento horizontal se anula (ver la figura 2.5).
Figura 2.5: A la izquierda, el ion de masa M1 se mueve cerca de un electrón; b representa el parámetro de
impacto. A la derecha, la cantidad de movimiento del electrón se ve afectada solo en el eje vertical.
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN DE IONES CON LA MATERIA 18
Para hallar el poder de frenado electrónico se utilizará la ecuación 2.17 adaptada a una situación
de interacción entre un el ion de masa M1 y un electrón. Tal ecuación es la siguiente:[
dE
dx
]
e
= ne
ˆ Tmax
Tmin
T
dσE
dT
dT,
donde ne es la densidad de electrones en el material. Donde la seccion eficaz cumple que σE =
πb2; entonces, dσE = 2πbdb. Luego, la ecuación anterior se puede reescribir en términos del
parámetro de impacto como: [
dE
dx
]
e
= ne
ˆ bmin
bmax
T2πbdb. (2.22)
En esta ecuación la máxima energía cinética (Tmax) que puede ganar el electrón tras la interacción
está asociada al mínimo parámetro de impacto (bmin) entre el ion y el electrón; mientras que la
mínima energía cinética que puede ganar el electrón (Tmin) corresponde al máximo parámetro de
impacto bmax. Mas adelante se discutirá cómo escoger los valores bmin y bmax. Para resolver la
ecuación 2.22 es necesario saber cuánta energía cinética gana el electrón tras interactuar con el
ion; una forma de obtener esta información es calcular el cambio en el momento del electrón (ver
figura 2.5). De las hipótesis, el impulso total que recibe el electrón es vertical; entonces:
4p = ĵ
ˆ +∞
−∞
Fdt,
donde ĵ es un vector unitario en dirección vertical, F = ‖F‖. Dado que la cantidad de movimiento
del ion casi no cambia, entonces su velocidad v = dx
dt
se puede considerar constante durante la
interacción. Luego:
4p = ĵ1
v
ˆ +∞
−∞
Fdx,
dado que la interacción entre el ion y el electrón es coulombiana F se puede expresar en términos
del potencial, F = −∇V . Si analizamos el movimiento en dos dimensiones, xy, y dado que el
electrón solo cambia su movimiento verticalmente; entonces:
F = −∂V
∂y
,
donde V = Z1e
2
(x2+y2)1/2
; pero justamente b representa la separación vertical entre el electrón y el
ion, luego el potencial se puede expresar en términos de b y como consecuencia:
V =
Z1e
2
(x2 + y2)
1
2
=
Z1e
2
(x2 + b2)
1
2
⇒ F = −∂V
∂y
= b
Z1e
2
(x2 + b2)
3
2
.
Entonces el cambio en el momento del electrón en el eje vertical es:4p = ĵ1
v
ˆ +∞
−∞
b
Z1e
2
(x2 + b2)
3
2
dx = ĵ
2Z1e
2
vb
. (2.23)
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN DE IONES CON LA MATERIA 19
Este es el cambio total del momento del electrón tras interactuar con el ion en movimiento como
se muestra en la imagen 2.5. Sabiendo esto, la energía cinética que gana el electrón es:
T =
‖4p‖2
2me
=
2Z21e
4
meb2v2
, (2.24)
donde me es la masa del electrón. Al sustituir la ecuación 2.24 en 2.22 y resolver la integral se
obtiene: [
dE
dx
]
e
= −4πneZ
2
1e
4
mev2
ln
(
bmax
bmin
)
, (2.25)
donde bmax > bmin. Dado que bmin está asociado a la máxima energía cinética que puede ganar
el electrón; entonces de la ecuación 2.24 se obtiene que:
bmin =
√
2Z21e
4
mev2Tmax
;
sin embargo, la máxima energía cinética transferida del ion al electrón se da cuando la interacción
es casi de frente y con lo que el electrón adquiere el doble de la velocidad del ion; es decir,
Tmax =
me(2v)
2
2
. Por lo tanto:
bmin =
Z1e
2
mev2
. (2.26)
Por otro lado, bmax no se puede escoger como infinito ya que estariamos considerando a los
electrones que se encuentran muy lejos del ion; los cuales prácticamente no cambian su estado de
movimiento. En lugar de eso, bmax está asociado a la mínima energía que un electrón necesita para
llegar a un estado excitado. Sea I el promedio de energía de excitación de un electrón; entonces,
de la ecuación 2.24 se obtiene:
bmax =
2Z1e
2
(2mev2I)
1
2
(2.27)
Sustituyendo las expresiones 2.26 y 2.27 en la ecuación 2.25 se tiene:
−
[
dE
dx
]
e
=
2πneZ
2
1e
4
mev2
ln
(
2mev
2
I
)
,
esta es una aproximación del poder de frenado del ion por colisiones directas con los electrónes;
pero falta considerar la transferencia de energía a electrones distantes, este efecto tiene una mag-
nitud comparable con la calculada en esta última ecuación [7]. Tomando en cuenta esto, el poder
de frenado es el doble de lo ya calculado; es decir:
−
[
dE
dx
]
e
=
4πneZ
2
1e
4
mev2
ln
(
2mev
2
I
)
,
o equivalentemente:
−
[
dE
dx
]
e
=
2πZ21e
4
E
NZ2
(
M1
me
)
ln
[
2mev
2
I
]
; (2.28)
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN DE IONES CON LA MATERIA 20
donde E = 1
2
M1v
2 es la energía cinética del ion y ne = NZz, con N el número de átomos por
unidad de volumen del sustrato,Z2 es el número atómico del sustrato e I es el promedio de energía
de excitación de los electrones al interactuar con el ion. Además e2 = e
2
4π�0
= 1.44 eVnm. La
ecuación 2.28 fue deducida primero por Niels Bohr para el frenado electrónico. Para la mayoria
de los elementos (exceptuando a los elementos ligeros), el promedio de energía de excitación I
(en eV) es:
I ≈ 10Z2.
Si la energía E está dada en eV y la densidad atómica se da en atomos
cm3
; el frenado electrónico
obtenido de la ecuación 2.28 tiene como unidades el factor 10−21 eV
nm
. En general, esta expresión
concuerda aceptablemente con los datos experimentales.
La energía que pierde el ion al interactuar con los electrones del sustrato se debe a dos pro-
cesos: colisiones cercanas donde el ion se adentra en las órbitas de los electrones y hay una gran
cantidad de transferencia de momento al electrón y las colisiones lejanas donde la transferencia
de momento es pequeña, cuando el ion permanece fuera de las órbitas electrónicas. La ecuación
2.28 describe el proceso de frenado electrónico a velocidades altas; sin embargo, no es válida
para velocidades relativistas, en este caso, la ecuación correspondiente al frenado electrónico es
la ecuación de Bethe.
Régimen de baja energía
La ecuación 2.28 falla cuando v < v0Z
2
3
1 . En este caso la velocidad del ion es menor que la ve-
locidad orbital de los electrones y no se puede considerar al ion como un simple núcleo despojado
de sus electrones. En tal situación los electrones, que se mueven más rápido que el ion, no pueden
ganar energía por colisiones directas con el ion.
En 1959, Oleg Firsov propuso un modelo de frenado electrónico [7] en el régimen v < v0Z
2
3
1 .
Este modelo considera que el ion captura electrones y los acelera hasta la velocidad v; entonces,
por cada electrón ganado y acelerado, el ion pierde una pequeña cantidad de momento propor-
cional a mev.
Otro modelo de frenado electrónico es el desarrollado por Linhard y Scharff [7]. Este modelo
se puede obtener siguiendo el método de Firsov y tiene una gran escala de usos. La diferencia
fundamental entre el modelo de Firsov y el de Lindhard-Scharff es el potencial interatómico
elegido. Ahora, la sección de frenado electrónico de Linhard-Scharff es:
Se (E) =
3.83Z
7
6
1 Z2(
Z
2
3
1 + Z
2
3
2
) 3
2
[
E
M1
] 1
2
, (2.29)
donde las unidades de Se (E) están dadas en 10−15 eVcm
2
atomo
, E es la energía cinética del ion dada en
KeV y M1 es la masa del ion dada en unidades de masa atómica. El poder de frenado se puede
obtener de las ecuaciones 2.29 y 2.2.
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN DE IONES CON LA MATERIA 21
2.1.4. Cálculo del poder de frenado por medio de SRIM
La obtención del poder de frenado nuclear por medio de la aproximación ZBL o las aproxi-
maciones dadas por Thomas-Fermi, Bohr, etc. se limitan a cierto tipo de materiales y a ciertas
cantidades de energía; igualmente, la obtención del poder de frenado electrónico mediante las
ecuaciones 2.28 o 2.29 tienen esas limitaciones. Sin embargo, el cálculo del poder de frenado
también se puede realizar a través de programas de cómputo como The Stopping and Range of
Ions in Matter (SRIM) [10, 11]; SRIM es un conjunto de programas especializados en el cálcu-
lo del frenado y alcance de iones en diversos materiales, sin importar cuál sea su composición,
para esto utiliza cálculos numéricos (Método de Monte Carlo) de las colisiones que experimen-
tan los iones con los átomos del sustrato, basándose principalmente en el potencial interatómico
universal (SRIM fue desarrollado por J. F. Ziegler y J. P. Biersack) y las ecuaciones de Bohr
y Bethe para el frenado electrónico; los algoritmos que utiliza se ajustan a una amplia base de
datos experimentales (obtenidos de diversas combinaciones de iones y materiales a bombardear)
para obtener una buena aproximación del poder de frenado nuclear y electrónico, el alcance de
penetración de los iones incidentes, etc. (ver el apéndice A).
2.2. Alcance de penetración de iones y straggling
Como ya se ha mencionado, cuando un ion atraviesa un material pierde energía por las múltiples
colisiones que experimenta con los núcleos y electrones del material. Sin embargo, aunque en
un haz de iones donde todos tengan la misma energía inicial, las colisiones que experimentaría
cada ion es en general diferente; entonces, no pierden la misma cantidad de energía tras atravesar
una misma capa 4x del material. En lugar de eso, se genera una ancha distribución de pérdida
de energía, la cual es conocida como straggling y se denota como Ω. El straggling entre el ion
(proyectil) y otra partícula blanco (núcleo o electrón) se define como:
Ω2 =
〈
T 2
〉
, (2.30)
aquí T es la energía que pierde el ion tras atravesar una capa4x del material y entonces 〈T 2〉 es
el valor promedio de T 2. Para el caso en que el material es un denso absorbente de energía y que
el número de colisiones que experimenta un ion es bastante grande, la distribución de pérdida de
energía tiene una forma gaussiana [12, 13]:
f (T ) ∝ exp
(
−(T − 〈T 〉)
2
2Ω2
)
,
donde T es la energía perdida por el ion al atravesar al material y 〈T 〉 es el promedio de energía
perdida por el ion.
Para el caso en que los proyectiles son iones ligeros con energía del orden de ∼ 1 MeV y que
atraviesan materiales sólidos, el frenado electrónico es mucho más significativo que el frenado
nuclear (ver también 4.1). Esta es la situación en la que se enfocará el siguiente análisis, pues
como se verá en el capítulo 4, el frenado electrónico es muy importante para la técnica de análisis
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN DE IONES CON LA MATERIA 22
RBS. Ahora, de la ecuación 2.16 para el caso del frenado electrónico, la probabilidad de que un
ion con energía E experimente una colisión con un electróny le transfiera una energía entre T y
T + dT , al atravesar una capa de material4x, es:
P (T ) = ne4x
dσE
dT
,
donde ne es la densidad de electrones en el material y σE = πb2 y b es el parámetro de impacto.
Entonces: 〈
T 2
〉
=
ˆ Tmin
Tmin
T 2P (T ) dT = ne4x
ˆ Tmax
Tmin
T 2dσE.
Pero dσE = 2πbdb, además Tmin está asociada a bmax y Tmax está asociado a bmin; luego:〈
T 2
〉
= 2πne4x
ˆ bmin
bmax
T 2bdb.
al sustituir la ecuación 2.24 en la anterior, resolver la integral y simplificar utilizando nuevamente
la ecuación 2.24 se tiene:
Ω2e =
〈
T 2
〉
= −2πne4x
(
Z21e
2
mev2
)
(Tmax − Tmin) .
Pero, como ya se vio anteriormente, la máxima energía que puede transferir el ion a un electrón
es Tmax = 2mev2, para el caso en que Tmax � Tmin y tomando el valor absoluto de la ecuación
anterior (el signo negativo de esta ecuación se debe a que se está tratando con pérdidas de energía,
que por definición son negativas), se concluye que:
Ω2e = 4πZ
2
1e
2NZ24x, (2.31)
donde ne = NZz (N es la densidad atómica del material y Z2 es el número atómico de los átomos
del material). La ecuación 2.31 muestra que el straggling no depende de la energía inicial del ion,
en lugar de eso depende del número atómico del ion y de los átomos en el material, la cantidad Ωe
es la desviación estándar de la distribución de energía perdida por el ion al atravesar una capa4x
de material. La expresión 2.31 fue deducida por Bohr. SRIM utiliza esta fórmula para calcular
el straggling energético por frenamiento electrónico que sufren iones ligeros al incidir contra un
blanco. Para el caso de iones pesados hay que considerar también el frenamiento nuclear y una
ecuación análoga de straggling nuclear; una aproximación de esta cantidad es [11]:
Ω2n =
1
4
(
1− 1
1 +X
)
, (2.32)
donde X = (2εp2), ε = Ea
Z1Z2e2
, p = b
aU
, E es la energía del ion, b es el parámetro de impacto nu-
clear y aU el la longitud universal de apantallamiento (ver la aproximación ZBL del frenamiento
nuclear) .
El hecho de que los iones pierdan distintas cantidades de energía después de atravesar una
misma capa de material está relacionado con la manera en que los iones colisionan con los elec-
trones y núcleos, los cuales desvían de maneras diferentes a los iones; por lo tanto, iones con la
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN DE IONES CON LA MATERIA 23
misma energía generalmente no llegan al reposo en el mismo lugar. Como consecuencia, después
de hacer una implantación de iones en un material, cada ion tiene un valor distinto de alcance R;
estos valores de alcance forman una distribucion gaussiana si la dosis o afluencia de implantación
no es muy grande y no hay orientación cristalina apreciable en el blanco. En tal distribución de
alcance, el valor del alcance proyectado RP se interpreta como el promedio de la distribución de
alcance. A continuación se presentarán los parámetros necesarios para caracterizar una distribu-
ción de alcance de este tipo.
2.2.1. Distribución de alcance gaussiana
La serie de colisiones que experimentan los iones que han incididio sobre un material y la trayec-
toria que siguen, desde que cruzan la superficie del material hasta que se detienen, varían para
cada ion. Es decir, el frenado de los iones es un proceso aleatorio y para cada ion hay un valor de
alcance distinto; donde el valor que más se repite corresponde al alcance proyectado RP consid-
erado como el promedio de una distribución de alcance gaussiana si la afluencia de los iones es
pequeña comparada con el número de átomos en el material objetivo.
Figura 2.6: La cantidad Φ representa la concentración de elementos dispersores.
Para establecer una distribución gaussiana del alcance de penetración que logra cada ion primero
se observarán los parámetros que conforman a una función de distribución de probabilidad gaus-
siana normalizada, esta es:
f (x) =
1√
2πσ
exp
[
−1
2
(
x− x
σ
)2]
, (2.33)
donde x es el valor promedio de la distribución (primer momento) y σ es la desviación estandar
(segundo momento). Ahora, la distribución de alcance de los iones implantados N (x), normal-
izada con una dosis de implantación o afluencia Φ es:
N (x) =
Φ√
2π4RP
exp
[
−1
2
(
x−RP
4RP
)2]
, (2.34)
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN DE IONES CON LA MATERIA 24
donde se ha utilizado como modelo la ecuación 2.33; cambiando f (x) por N (x), RP por x y
4RP por σ. N (x) tiene unidades de átomos por unidad de volumen y representa la densidad de
iones implantados a distintos valores de profundidad (los valores de profundidad se representan
con x). Φ tiene unidades de átomos por unidad de área y es una medida de la concentración de
iones implantados en el área transversal del material (ver la figura 2.6). Mientras que4RP repre-
senta el ancho de distribución de alcance. Al principio de este capítulo se enunció una expresión
para obtnener RP :
RP =
ˆ 0
E0
1(
dE
dx
)dE. (2.35)
Donde hay que considerar el frenamiento nuclear y electrónico que experimentan los iones, y
como ya se vio en el desarrollo de este capítulo hay distintas maneras de calcular cada tipo de
frenado o se puede utilizar el programa SRIM. Mientras que 4RP para una situación donde
domina el frenado nuclear se aproxima como [7]:
4RP ≈
RP
2.5
. (2.36)
Las ecuaciones 2.35 y 2.36 se pueden aplicar para el caso de implantación de iones pesados en
materiales sólidos.
Figura 2.7: Distribución de implantación de iones de platino en zafiro sintético; en este casoRP = 193nm
y FWHM = 137nm. Esta distribución se obtuvo mediante el RBS.
La ecuación 2.34 tiene su máximo en x = RP , el alcance proyectado donde se hallan la mayoría
de los iones implantados. La densidad de implantación a esa profundidad es:
N (RP ) =
Φ√
2π4RP
.
CAPÍTULO 2. INTERACCIÓN DE IONES CON LA MATERIA 25
Por último, se denomina FWHM (del inglés Full Width at Half Maximum) o anchura a
media altura a la distancia que separa a los dos valores, en el eje x, en que la función N (x) es
igual a la mitad de su máximo N (RP ); la anchura a media altura es una medida de la extensión
de la distribución (ver la figura 2.7). Partiendo de esta definición resulta que:
FWHM = 2
√
2 ln (2)4RP ≈ 2.354824RP .
Las cantidades Φ, RP y FWHM (o 4RP ) son suficientes para caracterizar la distribución de
alcance de iones implantados en un material; sin embargo Φ es una medida que debe ser reportada
experimentalmente. En el capítulo 4 se analizará una implantación de iones de platino en un
sustrato de zafiro sintético α−Al2O3 y se mostrará como se puede medir la densidad atómica de
la implantación del platino en el material, y por lo tanto también se puede conocer la afluencia Φ
por medio de la ecuación 2.34. Las unidades de Φ suelen ser atomos
cm2
; mientras que las unidades de
RP y FWHM son típicamente Å y nm.
Capítulo 3
Nucleación y crecimiento
Una vez que ya se han implantado iones en un material, estos iones se pueden aglomerar para for-
mar nanopartículas durante los procesos de nucleación y crecimiento. Ambos procesos se pueden
describir mediante la Termodinámica; entonces es necesario plantear dos conceptos termodinámi-
cos importantes para esta descripción [14]:
Trabajo de volumen Es el trabajo que se realiza cuando el volumen V de un sistema cambia
reversiblemente en una cantidad infinitamente pequeña, se expresa como
dWV = PdV,
donde P es la presión que ejerce el sistema. Por convención si dV > 0, entonces V aumenta y el
sistema empuja hacia afuera; luego el trabajo que efectúa el sistema es positivo. Entonces, al ser
negativo el cambio en la energía interna U del sistema, debe ocurrir:
dU = −dWV = −PdV < 0.
Trabajo de superficie Es el trabajo que se realiza cuando el área A, que separa dos fases,
cambia reversiblemente en una cantidad infinitamente pequeña, se expresa como
dWA = −σdA,
donde σ es la tensión superficial, sus unidades son J
m2
. La definición termodinámica de la tensión
superficial es
σ =
(
∂U
∂A
)
S,Ni,V
;
es decir, la tensión superficial es el cambio en la energía U cuando hay un cambio en el áreaA del
sistema, donde la entropíaS, el número de partículas Ni (el subíndice se refiere a una especie i
de partículas) y el volumen V están fijos. Esta energía se origina en el hecho de que las moléculas
de la superficie de, por ejemplo, algún fluido experimentan menos fuerzas de atracción por sus
vecinas que las moléculas del interior del fluido; es decir, las moléculas en la superficie no están
totalmente rodeadas por sus vecinas (entonces experimentan más fuerza hacia adentro), mientras
26
CAPÍTULO 3. NUCLEACIÓN Y CRECIMIENTO 27
que las moléculas en el interior están totalmente rodeadas (entonces experimentan fuerzas en
todas direcciones). Como consecuencia las moléculas en la superfice tienen un estado de energía
mayor que las moléculas en el interior, y por lo tanto la energía del sistema aumenta con la
formación de su superficie.
En general, un sistema tiende a minimizar su energía, por lo que la formación de su superficie
tiende a ser la mínima posible. La tensión superficial es positiva (σ > 0), entonces cuando incre-
menta el área A de la superficie, el trabajo de superficie que se efectúa es negativo; por lo tanto,
al ser positivo el cambio en la energía interna U del sistema, debe ocurrir:
dU = −dWA = σdA > 0.
3.1. Equilibrio de fases para una superficie esférica
Antes de analizar el proceso de nucleación, primero se mostrarán las condiciones necesarias para
el equilibrio termodinámico para el caso de dos fases separadas por una superficie esférica; tal
situación se presenta, por ejemplo, en una gota de agua en medio de vapor.
Figura 3.1: Dos fases, l y g, separadas por una superficie con área A, todo dentro de una caja aislada y
rígida.
Supóngase una fase l y una fase g, ambas separadas por una superficie esférica con área A (ver
la figura 3.1). Tanto l, g y la superficie esférica están dentro de un contenedor rígido y aislado
térmicamente. Se distinguirán las tres partes del sistema como: fase l, fase g y superficie s (la
superficie que contiene a l).
Si r es el radio de la esfera donde se encuentra l; entonces A = 4πr2 y el volumen de la esfera
es V = 4
3
πr3. Si r cambia en una cantidad infinitesimal dr; el área de la superficie cambia en una
cantidad dA = 8πrdr y el volumen de la esfera cambia en dV = 4πr2dr.
Si el sistema experimenta un proceso reversible, donde la superficie s se puede mover; en-
tonces de la primera ley de la Termodinámica, el cambio en la energía de la superficie s es
dUs = TsdSs + σdA+
∑
i
µi,sdNi,s. (3.1)
Aquí el subíndice “s” se refiere a la superficie s, U es la energía interna, T es la temperatura, S es
la entropía,A es el área de la superficie,Ni,s representa el número de moléculas de alguna especie
CAPÍTULO 3. NUCLEACIÓN Y CRECIMIENTO 28
química i en la superficie s y µi,s es el potencial químico correspondiente a cada especie i en s.
De hecho, Ni representa el número de moléculas (de la especie i) de todo el sistema, sólo que las
moléculas están repartidas en las fases l y g, y en la superficie s. La ecuación 3.1 concuerda con
la definición de trabajo de superficie. Análogamente, el cambio en la energía de la fase g es
dUg = TgdSg − PgdVg +
∑
i
µi,gdNi,g. (3.2)
Donde Pg y Vg son respectivamente la presión y el volumen de la fase g. Similarmente, el cambio
en la energía de la fase l es
dUl = TldSl − PldVl +
∑
i
µi,ldNi,l. (3.3)
De las ecuaciones 3.1, 3.2 y 3.3 se puede obtener el cambio en la entropía en cada fase y en
la superficie s. Además, la entropía total del sistema debe ser
dStotal = dSs + dSg + dSl.
En equilibrio termodinámico (entropía máxima) y en procesos reversibles, el sistema completo,
que se encuentra aislado del exterior, debe cumplir que dStotal = 0. También se debe considerar
lo siguiente:
La energía del sistema debe ser constante
dUtotal = dUs + dUg + dUl = 0 ⇒ dUs = − (dUg + dUl) .
El volumen del contendor también es constante
dVtotal = dVg + dVl = 0 ⇒ dVg = −dVl.
El número total de moléculas, para cada especie química, es constante
dNi = dNi,s + dNi,g + dNi,l = 0 ⇒ dNi,s = − (dNi,g + dNi,l) .
Tomando en cuenta todas las condiciones anteriores, que dVg = −dVl = −4πr2dr y que dA =
2dVl
r
= −2dVg
r
; la ecuación de la entropía del sistema es
dStotal =
(
1
Tg
− 1
Ts
)
dUg +
(
1
Tl
− 1
Ts
)
dUl +
∑
i
(
µi,g
Tg
− µi,s
Ts
)
dNi,g
+
∑
i
(
µi,l
Tl
− µi,s
Ts
)
dNi,l +
(
Pg
Tg
− Pl
Tl
+
2σ
Tsr
)
dVg
= 0. (3.4)
CAPÍTULO 3. NUCLEACIÓN Y CRECIMIENTO 29
En conclusión, para que se satisfaga la ecuación 3.4 se debe cumplir
Tg = Tl = Ts, (3.5)
µi,g = µi,l = µi,s, (3.6)
Pl = Pg +
2σ
r
. (3.7)
La expresión 3.7 se conoce como ecuación de Laplace [14]. La ecuación de Laplace indica que
la presión de la fase l (que está dentro de la esfera) debe compensar la presión de la fase g y la
presión debida a la tensión superficial (la cuál empuja hacia adentro de la esfera).
Las ecuaciones 3.5, 3.6 y 3.7 solo son válidas en estado de equilibrio termodinámico (con
máxima entropía). Si el sistema no se encuentra en equilibrio; se encuentra, por ejemplo, en un
estado en equilibrio inestable, el sistema puede experimentar un cambio permanente con pequeñas
perturbaciones. En equilibrio estable la entropía del sistema es máxima y el sistema sólo puede
salir del equilibrio mediante una interacción externa o espontánea, en cualquiera de los dos casos
la entropía decrece.
3.2. Energía libre
Una manera de encontrar las condiciones de equilibrio para un sistema aislado, en el que la
energía interna U , el volumen V y el número de moléculas por especie químicaNi son constantes,
es determinando la situación de máxima entropía [14]. Sin embargo, este no es el único caso para
el cual es posible hallar las condiciones de equilibrio de un sistema. Supóngase, por ejemplo, un
sistema conectado a un baño térmico, donde el baño térmico es un sistema en equilibrio y además
es mucho más grande que el sistema conectado. Las variables intensivas del baño térmico (P0,
T0, µi,0) no cambian si el sistema intercambia calor, volumen o partículas con el baño; mientras
que las variables extensivas del baño térmico (V0, Ni,0, S0, U0) sí pueden cambiar. Tanto el baño
térmico como el sistema se hallan dentro de un contenedor aislado y rígido (ver la figura 3.2).
Figura 3.2: Un sistema y un baño térmico están en contacto, el sistema es mucho más pequeño que el
baño térmico, ambos se hallan dentro de un contenedor aislado y rígido.
CAPÍTULO 3. NUCLEACIÓN Y CRECIMIENTO 30
En tal situación y en procesos cuasiestáticos se cumple lo siguiente:
Los intercambios de calor entre el sistema y el baño térmico no cambian la temperatura T
del sistema, además T es igual a la temperatura T0 del baño térmico.
Los intercambios de trabajo de volumen entre el sistema y el baño térmico sí afectan al
volumen V del sistema, pero el volumen del sistema cambia de tal manera que la presión
P del sistema es constante e igual a la presión P0 del baño térmico.
El intercambio de partículas entre el sistema y el baño térmico es de tal manera que el
potencial químico µi es constante e igual al potencial químico µi,0 del baño.
Para el baño T0, P0, µi,0 nunca cambian y están bien definidas por lo que los procesos en el
baño térmico siempre son reversibles.
De estas consideraciones, de la primera y segunda ley de la Termodiámica se puede obtener la
siguiente relación [14]:
dU − T0dS + P0dV −
∑
i
µi,0dNi ≤ 0. (3.8)
A la expresión 3.8 se le conoce como desigualdad de Clausius; aquí T0, P0 y µi,0 son propiedades
del baño térmico y U , S, V y Ni son propiedades del sistema.
Ahora, sea alguna función ϕ, tal que dϕ = dU − T0dS + P0dV −
∑
i
µi,0dNi; dado que siem-
pre dS ≥ 0, entonces dϕ ≤ 0 para todos los posibles procesos espontáneos. En los procesos no
espontáneos ϕ debe alcanzar un valor mínimo y al mismo tiempo se deben cumplir las condi-
ciones sobre T0, P0 y µi,o. La función ϕ otorga la libertad de escoger el correcto diferencial, a
partir de la cantidad dϕ, de alguna situación específica, además de que el valor mínimo de ϕ
ofrece las condiciones para el estado de equilibrio. A