0785738

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
Maestría en Ciencias (Física)
 (OPCIONAL: ENTIDADES PARTICIPANTES)
(OPCIONAL: CAMPO DE CONOCIMIENTO)
Contribución a un estudio completo de la transición de dos fotones 5S1/2 → 5P3/2 →
5D5/2 en rubidio 87 a temperatura ambiente
TESIS
QUE PARA OPTAR POR EL GRADO DE:
MAESTRO EN CIENCIAS (FÍSICA)
PRESENTA:
OSCAR LÓPEZ HERNÁNDEZ
TUTOR PRINCIPAL:
DR. JOSÉ I. JIMÉNEZ MIER Y TERÁN
INSTITUTO DE CIENCIAS NUCLEARES, UNAM
MIEMBROS DE COMITÉ TUTOR:
DRA. ROCÍO JÁUREGUI RENAUD
INSTITUTO DE FÍSICA, UNAM
DR. FERNANDO RAMÍREZ MARTÍNEZ
INSTITUTO DE CIENCIAS NUCLEARES, UNAM
CIUDAD DE MÉXICO, FEBRERO 2019
 
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respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
Agradecimientos
A mi familia, por 29 años de apoyo incondicional.
A mis abuelos, fue con ellos que empezó este gusto por la ciencia. Gracias a ellos
nunca faltaron libros ni con quien comentarlos.
A mis padres, que a lo largo de todo este camino creyeron en mi. Está por demás
decir que sin ellos nada de esto hubiera sido posible.
A los integrantes del Laboratorio de Átomos Fŕıos. Al Dr. Jesús Flores, por en-
señarme desde cómo atornillar la óptica, hasta el cómo operar los láseres. A Santiago
Hernández y Francisco Ponciano, por todos los datos, las notas y los apuntes que
me pasaban cuando me haćıan falta. A Oscar Lazo, por su ayuda para apender a
usar Python y su programa FAST .
A los miembros de mi comité tutor, el Dr. Fernando Ramı́rez y la Dra. Roćıo
Jauregúı, y mis sinodales, el Dr. Alexander Franco, el Dr. Daniel Sahagún, el Dr.
Enrique López y al Dr. Vı́ctor Manuel Velázquez, por su ayuda en la revisión de
este trabajo.
A mi tutor, el Dr. José Jiménez, quien siempre estuvo disponible para platicar
los avances de mi trabajo, resolver mis dudas y ofrecerme su ayuda. Sin su apoyo
hubiera sido imposible concluir este trabajo.
ii
Resumen
En el presente trabajo se realizó un estudio teórico-experimental de la transición
5S1/2 → 5P3/2 → 5D5/2 en rubidio 87 a temperatura ambiente, en función de la
potencia de los láseres. El sistema experimental consistió en dos láseres de onda
cont́ınua incidiendo contrapropagantemente en una celda de rubidio. El primer láser
con una longitud de onda de 780 nm, anclado a la transición 5S1/2 → 5P3/2. El
segundo, de 776 nm, excitando la transición 5P3/2 → 5D5/2 y con un barrido que
permite sintonizar los niveles hiperfinos del estado 5D5/2. El sistema experimental
diseñado permitió una medición simultánea de espectros de absorción y fluorescencia,
los cuales fueron tomados para diferentes valores de potencia del láser de 776 nm
(de 30 µW a 8 mW).
A partir de calcular la evolución temporal de la matriz de densidad de un sis-
tema de 3 niveles finos (con sus respectivos subniveles hiperfinos y magnéticos), se
generaron espectros teóricos que describen el comportamiento observado en el expe-
rimento. Con este modelo se logró explicar las diferencias halladas entre los espectros
de absorción y fluorescencia.
El estudio de esta transición permite una mejor comprensión de los efectos de la
potencia en la forma de los espectros atómicos, lo cual tiene una particular utilidad
para poder optimizar la señal de anclado del láser de 776 nm.
iii
Índice general
1. Introducción 1
2. Modelo 4
2.1. Interacción radiación-átomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1. Aproximación de onda rotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2. Marco rotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3. Matriz de densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4. Evolución temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4.1. Ecuación de Lindblad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5. Átomo de 3 niveles en escalera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3. Átomo de rubidio 15
3.1. Estructura atómica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1.1. Estructura hiperfina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2. Reglas de selección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3. Transiciones atómicas involucradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3.1. Decaimiento espontáneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4. Corrimiento Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.5. Espectroscoṕıa libre de Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.5.1. Espectroscopia libre de Doppler con dos fotones . . . . . . . . 24
3.6. Selección de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.7. Tiempo de interacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4. Montaje experimental 30
4.1. Sistema de dos fotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2. Láseres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2.1. Láser de 780 nm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2.2. Sistema de anclado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
iv
Índice general
4.2.3. Láser de 776 nm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3. Sistema de detección de fluorescencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3.1. Fotomultiplicador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.4. Detección de absorción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.5. Registro de espectros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5. Programa de análisis de datos 39
5.1. Ajuste a las señales de fluorescencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.1.1. Ajuste de perfiles Voigt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.1.2. Conversión a escala de frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2. Ajuste señal de absorción y dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2.1. Señal de dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6. Programa de cálculo de espectros 46
6.1. Solución de la ecuación maestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.2. Modelo propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.3. Alturas teóricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.4. Anchos teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7. Resultados 53
7.1. Ancho de ĺınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.2. Altura de los picos de fluorescencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.3. Comparación fluorescencia con absorción . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.4. Pendiente de la dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8. Conclusiones 64
8.1. Trabajo a futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
A. Perfil de Voigt 66
B. Proceso de ajuste de datos 69
C. Módulo de espectroscoṕıa 76
Bibliograf́ıa 85
v
Índice de figuras
1.1. Diagrama de los principales niveles de enerǵıa involucrados en el ex-
perimento, aśı como los láseres que inducen las transiciones y los
decaimientos producidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.1. Diagrama de los niveles de enerǵıa involucrados en el experimento.
Las flechas rojas son las transiciones generadas por los láseres de 780
y 776 nm. Lasĺıneas punteadas son los decaimientos posibles dadas
las dos transiciones. En violeta se señala el decaimiento que produce
la fluorescencia de 420 nm que se detecta. . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2. Distribución de velocidades de la componente vz para
87Rb a 19 ◦C. . 21
3.3. Átomo de rubidio con velocidad vz siendo excitado por un par de haces
contrapropagantes en configuración de espectroscopia de absorción
saturada, el de la izquierda el haz de saturación νs y el de la derecha
el de prueba νp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4. Espectro teórico de absorción saturada para la transición 5S1/2(F =
2)→ 5P3/2(F = 3) en 87Rb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5. Distribución de velocidades en el eje z para un haz de 780 nm anclado
a la transición 5S1/2(F = 2) → 5P3/2(F′ = 3) para átomos de 87Rb
a una temperatura de 19 ◦C. Las ĺıneas verticales corresponden a los
subniveles hiperfinos de 5P3/2 que diferentes poblaciones de velocidad
sintonizan por selección de velocidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.6. Diagrama de enerǵıas de la transición 5S1/2 → 5P3/2 → 5D5/2 para
diferentes los corrimientos en frecuencia de la figura 3.5. La transición
en verde es prohibida para cualquier grupo de velocidades pero aun
aśı se incluye para incluir todos los posibles subniveles hiperfinos de
5P3/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
vi
Índice de figuras
3.7. Distribución de velocidades en el plano XY para 87Rb a una tempe-
ratura de 19 ◦C. La velocidad media de la distribución es vm = 208.5
m/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.1. Diagrama del dispositivo experimental. En ĺınea punteada se muestra
el láser de 780 nm, en ĺınea continua el láser de 776 nm y en gris la
fluorescencia de 420 nm. E indica un espejo, BS un divisor de haz,
PBS un cubo polarizador, λ/2 un retardador de media onda λ/4 un
retardador de cuarto de onda, PD los fotodiodos, L1 y L2 las lentes,
F un filtro y PMT el fotomultiplicador. . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2. Diagrama de de la espectroscopia de polarización utilizada para anclar
el láser de 780 nm a través de la señal de dispersión. . . . . . . . . . . 33
4.3. Curva de respuesta espectral del PMT Hamamatsu H7827-001. To-
mada de la hoja de especificaciones del fabricante [27]. . . . . . . . . 35
4.4. Señales registradas en el osciloscopio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.5. Espectro de absorción obtenido de sumar las señales de absorción de
los diodos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.6. Señal de dispersión obtenida de restar las señales de absorción de los
diodos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.1. Señal de voltaje de barrido aplicada al láser de 776 nm. En azul
se muestra la señal tal cual se manda al osciloscopio y en negro el
ajuste de sierra. Las zonas grises son los segmentos que se recortan,
únicamente la zona blanca se conserva. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2. Comparación entre los ajustes obtenidos para distintos perfiles. En
negro se muestra la señal de fluorescencia, en rojo el ajuste a los datos
de un perfil de Voigt, en azul el lorentziano y en verde el gaussiano. . 41
5.3. Espectro de fluorescencia para una potencia de 157 µW en el 780 y
7.3 mW en el 776. En negro muestra la fluorescencia registrada en el
osciloscopio y la ĺınea azul punteada el ajuste de Voigt realizado por
el programa. Adicionalmente se incluye las componentes individuales
de cada uno de los picos que conforman al perfil Voigt completo, el
pico 1 en rojo, el pico 2 en verde y el pico 3 en violeta. . . . . . . . . 42
vii
Índice de figuras
5.4. Espectro de absorción para una potencia de 157 µW en el 780 y 2.3
mW en el 776. En negro muestra la absorción del fotodiodo 1 y la ĺınea
azul punteada el ajuste de Voigt realizado por el programa. Además
se incluye las componentes individuales de cada uno de los picos que
conforman al perfil Voigt completo, el pico 1 en rojo, el pico 2 en
verde y el pico 3 en violeta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.5. Comparación entre los ajustes de fluorescencia y absorción. En azul
el ajuste a la fluorescencia, en rojo el ajuste a la absorción. Las ĺıneas
continuas son los datos experimentales mientras que las punteadas
son los ajustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.6. Dispersión para una potencia de 157 µW en el 780 y 2.3 mW en el 776.
En azul se muestra la señal experimental de dispersión y en negro
su ajuste. Las ĺıneas punteadas marcan la posición de las diferentes
transiciones hiperfinas 5P3/2(F
′ = 3)→ 5D5/2(F = 4, 3, 2). . . . . . . . 45
6.1. Evolución temporal de las poblaciones de los subniveles magnéticos
del estado 5D5/2(F = 4) para modelos con diferente número de sub-
niveles hiperfinos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2. Evolución temporal de las poblaciones de los subniveles magnéticos
del estado 5D5/2(F = 3) para modelos con diferente número de sub-
niveles hiperfinos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.3. Evolución temporal de las poblaciones de los subniveles magnéticos
del estado 5D5/2(F = 2) para modelos con diferente número de sub-
niveles hiperfinos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.1. Ancho gaussiano de los espectros en función de la potencia del láser
de 776 nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.2. Ancho lorentziano de los espectros en función de la potencia del láser
de 776 nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.3. Ancho lorentziano de los espectros de fluorescencia en función de la
potencia del láser de 776 nm, utilizando un mismo ancho gaussiano
de 7.9± 0.5 MHz en todos los ajustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.4. Ancho total del perfil Voigt del ajuste a los espectros en función de
la potencia del láser de 776 nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
viii
Índice de figuras
7.5. Comparación entre los datos experimentales (puntos negros) y la cur-
va del cálculo teórico (ĺınea azul) para las alturas de los picos en fun-
ción de la potencia del láser de 776 nm. La g[Pleaseinsertintopreamble]afica
(a) corresponde al pico 1, la (b) al pico 2 y la (c) al pico 3. . . . . . . 57
7.6. Gráficas del cociente de la altura de cada uno de los picos entre la
suma de las 3 alturas para los datos experimentales (puntos negros)
y los cálculos teóricos (ĺınea azul). (a) Altura del pico 1 entre la suma
de las alturas. (b) Altura del pico 2 entre la suma de las alturas. (c)
Altura del pico 3 entre la suma de las alturas. Lás gráficas en los
recuadros pequeños son acercamientos al comportamiento en la zona
de bajas potencias (0 a 0.25 mW). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.7. Comparación de la forma de los espectros en 3 diferentes regiones de
potencias. De arriba a abajo, a 0.03 mW, 1.0 mW y 7.8 mW. . . . . . 59
7.8. Ajuste de los espectros normalizado para 3 diferentes regiones de po-
tencias. En negro a 0.03 mW, en azul 1.0 mW y en rojo a 7.8 mW. . 60
7.9. FWHM del perfil de Voigt para la fluorescencia (azul) y la absorción
(rojo) en función de la potencia del láser de 776 nm. . . . . . . . . . . 61
7.10. Ancho gaussiano para la fluorescencia (azul) y la absorción (rojo)
en función de la potencia del láser de 776 nm. Las ĺıneas punteadas
horizontales corresponden a los promedios de dichos datos. . . . . . . 61
7.11. Comparación entre el modelo de tres niveles y los datos experimen-
tales para los anchos lorentzianos de la fluorescencia y la absorción.
Las lineas continuas corresponden al resultado del modelo y los pun-
tos a los datos experimenatales, siendo el azul el correspondientea la
fluorescencia y en rojo la absorción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.12. Pendiente de la dispersión de la transición 5P3/2(F = 3)→ 5D5/2(F =
4) en función de la potencia del láser de 776 nm. . . . . . . . . . . . . 63
A.1. Comparación entre los ajustes obtenidos para distintos perfiles. En
negro se muestra la señal de fluorescencia, en rojo el ajuste a los datos
de un perfil de Voigt, en azul el lorentziano y en verde el gaussiano. . 67
ix
Índice de tablas
3.1. Isotopos de rubidio, 85Rb y 87Rb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2. Estructura de los primeros 6 niveles del rubidio y su desdoblamiento
fino [12]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3. Vidas medias y anchos naturales de los principales estados de este
sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4. Transiciones a velocidad cero con sus correspondientes transiciones
por selección de velocidades. ∗La transición F ′ = 3 → F ′′ = 1 es
dipolar prohibida, sin embargo sus transiciones por selección de velo-
cidades son permitidas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
x
Caṕıtulo 1
Introducción
En el presente trabajo se investiga la transición de dos fotones 5S1/2 → 5P3/2 →
5D5/2 en rubidio 87 a temperatura ambiente. En la actualidad esta transición es
utilizada en una amplia variedad de experimentos tales como la transparencia elec-
tromagnéticamente inducida [2], los átomos de Rydberg [3], la estabilización de
frecuencia en las telecomunicaciones [4], etc.
En la figura 1.1 se muestra un diagrama de los niveles involucrados, incluidas
las longitudes de onda de la luz que induce las transiciones y los decaimientos. La
excitación de dos fotones se produce con dos láseres, cada uno sintonizado en cada
una de las transiciones, 780 nm para la transición 5S1/2 → 5P3/2 y 760 nm para
5P3/2 → 5D3/2. Después de excitar a los átomos hasta el nivel 5D3/2, 65 % [5] de los
átomos de rubidio decaen de regreso al nivel 5P3/2, mientras que el 35 % restante
decae al nivel 6P3/2, emitiendo luz de 5.23 µm. De ah́ı decaen una segunda vez, ahora
al estado base 5S1/2, emitiendo luz de 420 nm [1].
Detectar la fluorescencia de 420 nm tiene la utilidad de indicar que ya se al-
canzó el nivel 6P3/2. A partir de dicho nivel se puede utilizar un tercer láser de 1016
nm para excitar a los átomos a un nivel de Rydberg [3].
El sistema experimental utilizado en este trabajo consiste en dos láseres viajando
contrapropagantes a través de una celda con vapor de rubidio. Usar haces contra-
propagantes resulta en una señal libre de ensanchamiento Doppler. El láser de 780
nm que induce el primer paso es un láser diodo de cavidad extendida (ECDL por
sus siglas en inglés) con una polarización lineal. Este láser se ancla a la transición
5S1/2(F = 2) → 5P3/2(F = 3) haciendo uso de espectroscoṕıa de polarización. El
segundo paso de la transición es alcanzado con un láser de titanio zafiro (TiS) sin-
tonizado en 776 nm, con polarización circular y con un barrido de frecuencia que
permite alcanzar los niveles hiperfinos 5D5/2(F = 4, 3, 2).
1
Figura 1.1: Diagrama de los principales niveles de enerǵıa involucrados en el expe-
rimento, aśı como los láseres que inducen las transiciones y los decaimientos produ-
cidos.
Se obtienen dos espectroscopias de manera simultánea, la primera es la fluo-
rescencia proveniente del decaimiento 6P3/2 → 5S1/2 y que se mide utilizando un
fotomultiplicador (PMT) que colecta la luz de 420 nm que se genera en el cruce de
los láseres dentro de la celda.
La segunda es la absorción, la cual se mide haciendo incidir el láser de 780,
después de haber pasado por la celda, sobre un par de fotodiodos que miden por
separado la componente vertical y horizontal del haz. Cuando el láser de 776 nm
entra en resonancia, provoca una disminución en la absorción del láser de 780 nm,
lo que se le conoce como una transparencia inducida. El láser de 776 nm tiene una
polarización circular que dará preferencia a que se induzcan sólo ciertas transiciones
magnéticas; generando una anisotroṕıa en el medio la cual se refleja en la presencia
de diferencias en la señal de absorción para las componentes vertical y horizontal
del láser de 780 nm. Al restar estas dos señales de absorción se obtienen un perfil
de dispersión.
Se tomaron una serie de espectros para diferentes valores de potencia en el láser
de 776 nm, que van de los 30 µW hasta los 8 mW. La finalidad es encontrar las
condiciones para optimizar la señal de dispersión, en función a que sirve para anclar
al láser de 776 nm a alguna transición hiperfina del nivel 5D5/2.
Para analizar los datos se escribió un programa en Python para limpiar automáti-
camente los espectros, restando contribuciones lineales o gaussianas. Posteriormente
se ajustan perfiles de Voigt a cada pico de los espectros y aśı se obtienen parámetros
tales como el ancho, la altura y posición. Finalmente se convierte todo a escala de
2
frecuencias para poder compararlo con un modelo teórico.
El modelo teórico con el cual se comparan los datos experimentales consiste en
resolver la evolución temporal para de la matriz de densidad construida a partir de
los niveles 5S1/2, 5P3/2 y 5D5/2 y sus correspondientes subniveles finos, hiperfinos
y magnéticos. A partir de la evolución temporal de los elementos de la matriz de
densidad se obtienen anchos y alturas que se pueden comparar con los parámetros
ajustados con el programa de análisis de datos.
Debido a que los átomos se encuentran a temperatura ambiente dentro de la
celda, se tuvo que tomar consideraciones respecto a la temperatura de los átomos.
Estas se ven expresadas principalmente en tres aspectos, el ensanchamiento Doppler,
selección de velocidades y el tiempo de interacción átomo-láser.
3
Caṕıtulo 2
Modelo
2.1. Interacción radiación-átomo
Para describir la interacción de un átomo con radiación se utiliza un tratamiento
semiclásico, esto es, la radiación se toma como un campo electromagnético clásico
pero se hace uso de la mecánica cuántica para describir al átomo. El Hamiltoniano
de un átomo de N niveles con enerǵıas En = ~ωn interaccionando con un campo
electromagnético ~E(~r0, t), es el siguiente [7]:
Hij = ~ωiδij − e ~E(~r0, t) · ~rij (2.1)
Donde ~r0 es la posición del átomo, el operador de posición es ~rij = 〈i|~r |j〉 y el
campo ~E está compuesto por una superposición de ondas planas correspondientes a
cada uno de los n láseres que interaccionan con el átomo, ~E =
∑
n
~En.
2.1.1. Aproximación de onda rotante
Descomponiendo el campo ~E en sus frecuencias positivas y negativas.
~E(~r0, t) =
1
2
∑
n
( ~E(+)n + ~E
(−)
n ) =
1
2
∑
n
En(~�
(+)
n e
−iωlnt + ~�(−)n e
iωlnt). (2.2)
El supeŕındice en las frecuencias ωl denota que esa frecuencia corresponde al
campo, a diferencia de las frecuencias ω las cuales corresponden a los niveles atómi-
cos. Para descomponer ~r en frecuencias positivas y negativas hay que pasar el Ha-
miltoniano al cuadro de interacción con la transformación unitaria U = eiH0t/~ =∑
i e
iωit |i〉 〈i|, aśı que en el cuadro de interacción el operador ~r se vuelve:
4
2.1. Interacción radiación-átomo
~rI = U~rU
† =
∑
i,j
eiωit |i〉 〈i|~re−iωjt |j〉 〈j| =
∑
i,j
eiωijt~rij |i〉 〈j| . (2.3)
Suponiendo que las enerǵıas están ordenadas de manera que ωij > 0 cuando
i > j, entonces,
~rI =
∑
i>j
eiωijt~rij |i〉 〈j|+
∑
i<j
e−iωijt~rij |i〉 〈j| = ~r(−)I + ~r
(+)
I . (2.4)
Fijándonos en el término ~E · ~rI del Hamiltoniano en el cuadro de interacción.
~E · ~rI =
1
2
∑
n
( ~E(+)n + ~E
(−)
n ) · (~r
(−)
I + ~r
(+)
I )
=
1
2
∑
n
( ~E(+)n · ~r
(+)
I +
~E(+)n · ~r
(−)
I +
~E(−)n · ~r
(+)
I +
~E(−)n · ~r
(−)
I ).
(2.5)
Los términos con supeŕındice del mismo signo tendrán componentes en frecuen-
cia con exp{±i(ωln + ωij)t}, mientras quecon supeŕındice de signo contrario tie-
nen frecuencias con exp{±i(ωln − ωij)t}. Para simplificar la ecuación 2.5 se utili-
za la aproximación de onda rotante [6], que permite despreciar los términos con
exp{±i(ωln + ωij)t}, y la cual se explica a continuación.
El campo eléctrico se encuentra cerca de resonancia con la transición, por lo tanto
la suma de las frecuencias atómica y del campo será mucho mayor a la resta de las
mismas, esto es, ωln−ωij << ωln +ωij. Esto significa que los términos exponenciales
con las frecuencias rapidas ωln +ωij van a oscilar mucho más rápido en comparación
a los términos con frecuencias bajas ωln− ωij. Es por esto que en la escala temporal
de las oscilaciones lentas, las oscilaciones rápidas se promediarán a cero y serán
despreciables.
Por lo tanto, bajo la aproximación de onda rotante los términos que incluyan la
suma de frecuencias se despreciarán y el término ~E · ~rI se reduce a:
~E · ~rI =
1
2
∑
n
( ~E(+)n · ~r
(−)
I +
~E(−)n · ~r
(+)
I ). (2.6)
Regresando al marco de Schrödinger, el Hamiltoniano bajo la aproximación de
onda rotante queda como:
5
2.2. Marco rotante
Hij = ~ωiδij −
1
2
e
∑
n
( ~E(+)n · ~r
(−)
ij +
~E(−)n · ~r
(+)
ij )
= ~ωiδij −
1
2
e
∑
n
En(e
−iωlnt~�(+)n · ~r
(−)
ij + e
iωlnt~�(−)n · ~r
(+)
ij )
= ~ωiδij −
1
2
e
∑
n
En(δi>je
−iωlnt~�(+)n · ~rij + δj>ieiω
l
nt~�(−)n · ~rij)
.
(2.7)
El śımbolo δi>j es igual a 1 cuando i > j y 0 en los demás casos.
2.2. Marco rotante
Como se puede ver en la ecuación 2.2 el campo electromagnético tiene términos
e±iω
l
nt dependientes de t. Sin embargo dichos términos se pueden eliminar si se lo-
gra encontrar una transformación adecuada. Escribiendo la función de onda |Ψ〉 en
términos de la base |j〉 y los coeficientes
|Ψ〉 =
∑
j
cj(t) |j〉 (2.8)
Tomando la ecuación de Schrödinger y multiplicando por 〈i| en ambos lados de
la ecuación,
i~
∂
∂t
|Ψ〉 = H |Ψ〉 . (2.9)
Sustituyendo la función de onda con la superposición de estados de la base y
aplicando 〈i| en ambos lados de la ecuación,
〈i| i~
∑
j
ċj |j〉 = 〈i|
∑
j
Hcj |j〉 , (2.10)
Con esto llegamos a una ecuación equivalente a la de Schrödinger pero en térmi-
nos de los coeficientes c(t).
i~ċi(t) =
∑
j
Hijcj(t). (2.11)
Para eliminar los términos e±iω
l
nt de la la ecuación 2.2, se reescriben los coefi-
cientes ci(t) = e
iθitdi(t) y se sustituyen en la ecuación 2.11. A esta transformación
es lo que se le conoce como marco rotante. El objetivo es encontrar valores de las
6
2.2. Marco rotante
fases θi tal que se eliminen los términos e
±iωlnt.
i~
∂
∂t
(eiθitdi(t)) =
∑
j
Hije
iθjtdj(t)
−~θieiθitdi(t) + i~eiθitḋi(t) =
∑
j
Hije
iθjtdj(t)
(2.12)
Multiplicando por e−iθi ,
i~ḋi(t) = ~θidi(t) +
∑
j
ei(θj−θi)tHijdj(t). (2.13)
i~ḋi(t) =
∑
j
(
~θjδij + ei(θj−θi)tHij
)
dj(t) =
∑
j
HRijdj(t). (2.14)
En la ecuación 2.14 es la ecuación de Schrödinger para el sistema en el marco ro-
tante, aśı que el término entre paréntesis es el Hamiltoniano en el marco rotante HRij .
Para encontrar los valores de las fases θ el siguiente paso es sustituir el Hamiltoniano
original de la ecuación 2.7.
HRij = ~θjδij + ei(θj−θi)t
[
~ωiδij −
1
2
e
∑
n
En(δi>je
−iωlnt~�(+)n · ~rij + δj>ieiω
l
nt~�(−)n · ~rij)
]
= ~θjδij + ei(θj−θi)t~ωiδij −
1
2
e
∑
n
En(δi>je
i(θj−θi)te−iω
l
nt~�(+)n · ~rij+
+ ei(θj−θi)teiω
l
ntδj>i~�
(−)
n · ~rij)
= ~(θj + ωj)δij −
1
2
e
∑
n
En(δj>ie
i(θj−θi−ωln)t~�(−)n · ~rij + δi>jei(θj−θi+ω
l
n)t~�(+)n · ~rij).
(2.15)
Para eliminar los términos con dependencia temporal las fases deben de cumplir
que:
ωln − θi + θj = 0. (2.16)
Con la restricción de que i > j. Existen otras restricciones para los valores de n,
i y j. En el caso del laboratorio, los láseres utilizados no van a excitar cualquiera
o todas las transiciones posibles, sino que cada transición va a tener un conjunto
de láseres (campos EM) que van a ser los responsables de generar las transiciones.
Aśı que el valor de n está restringido a estar en el conjunto Lij, donde Lij es el
conjunto de campos EM que excita a la transición i→ j.
7
2.3. Matriz de densidad
Además se tiene que para los elementos de matriz del operador de posición iguales
a cero, ~rij = 0, la condición de la ecuación 2.16 no va a tener que considerarse. Esto
ayuda a reducir el número de ecuaciones del sistema para determinar las fases, ya
que rij solamente es diferente de cero para las transiciones permitidas por las reglas
de selección.
Ya que se obtuvieron las fases que eliminan los términos dependientes del tiempo,
la ecuación de Schrödinger del sistema en el marco rotante queda como:
i~ḋi =
∑
j
[
~(θj + ωj)δij −
1
2
e
∑
n
En(δj>i~�
(−)
n · ~rij + δi>j~�(+)n · ~rij)
]
dj(t). (2.17)
Aśı que el Hamiltoniano asociado a esta ecuación, es decir, el Hamiltoniano en
el marco rotante, es el siguiente.
HRij = ~(θi + ωi)δij −
1
2
e
∑
n∈Lij
En(δj>i~�
(−)
n · ~rij + δi>j~�(+)n · ~rij). (2.18)
Las fases para el cambio al marco rotante deben de cumplir que:
ωln + θj − θi = 0. (2.19)
Para todo i > j, rij 6= 0 y para todo n ∈ Lij. Donde Lij es el conjunto de campos
que excitan la transición i→ j.
2.3. Matriz de densidad
La matriz de densidad de un sistema cuántico formado por Ni estados |ψi〉
está descrito por la ecuación 2.20 que se muestra a continuación.
ρ =
∑
i
pi |ψi〉 〈ψi| . (2.20)
La matriz de densidad tiene las siguientes propiedades:
1. Traza 1: Tr(ρ) = 1
2. Idempotente: ρ2 = ρ
3. Hermitiana: ρij = ρ
∗
ji
4. Positiva: ρii ≥ 0
8
2.4. Evolución temporal
Para encontrar el valor esperado de un operador A con la matriz de densidad.
〈A〉 = Tr(Aρ) =
∑
i
pi 〈ψi|A |ψi〉 (2.21)
Los términos pi son las probabilidades de encontrar al sistema en el estado ψi,
aśı que los elementos en la diagonal de la matriz de densidad serán las poblaciones.
En este trabajo los elementos fuera de la diagonal se van a relacionar con la
susceptibilidad del átomo. El vector de polarización está dado por:
~P = �0χ~E. (2.22)
Donde �0 es la permitividad del vaćıo y χ la susceptibilidad del medio. Por otro
lado la polarización atómica se define con el valor esperado del momento dipolar por
unidad de volumen.
~P =
N
V
〈e~r〉 = eN
V
Tr(ρ~r). (2.23)
Si consideramos únicamente el momento dipolar de la transición |i〉 → |j〉.
~P =
N
V
〈e~r〉 = eN
V
ρij~rij. (2.24)
Igualando estas dos ecuaciones,
�0χ~E =
eN
V
ρij~rij. (2.25)
Multiplicando por ~rij y siendo la frecuencia de Rabi Ωij = e~rij ~E/~
χ =
eN |e~rij|2
�0V ~rij · ~E
ρij =
N |e~rij|2
�0V ~Ωij
ρij. (2.26)
La susceptibilidad es un número complejo χ = χ′ + iχ′′ en el cual la parte real
χ′ corresponde a la dispersión del medio y la parte imaginaria χ′′ a la absorción.
Aśı que las coherencias de la matriz de densidad darán información acerca de la
dispersión y absorción de las transiciones.
2.4. Evolución temporal
Para obtener la ecuación de evolución temporal basta derivar la matriz de densi-
dad (ec. 2.20) y hacer uso de la ecuación de Schrödinger (ec. 2.9), como se muestra
9
2.4. Evolución temporal
a continuación.
∂
∂t
ρ =
∑
i
pi
∂
∂t
(|ψi〉 〈ψi|)
=
∑
i
pi
(
∂
∂t
|ψi〉 〈ψi|+ |ψi〉
∂
∂t
〈ψi|
)
=
∑
i
pi
(
− i
~
H |ψi〉 〈ψi|+
i
~
|ψi〉 〈ψi|H
)
= − i
~
(
H
∑
i
pi |ψi〉 〈ψi| −
∑
i
pi |ψi〉 〈ψi|H
)
= − i
~
(Hρ− ρH)
(2.27)
La ecuación resultante se conoce como la ecuación de Liouville-von Neumann
(ec. 2.28).
ρ̇ = − i
~
[H, ρ] (2.28)
2.4.1. Ecuación de Lindblad
Para la descripción matemática de este experimento, va a ser necesario ir un
paso más allá de la ecuación de Liouville-von Neumann, y hacer uso de la ecuación
de Lindblad [9]. Dicha ecuación es la forma más general de la ecuación maestra de
Markov y nos permite calcular la evolución temporal de la matriz de densidad para
sistemas abiertos en los cuales existe interacción con el entorno [10]. Para el caso
espećıfico de este trabajo el entorno será el vaćıo al cual estará acopladoel átomo
de N niveles, generando emisión espontánea [11].
El desarrollo de la ecuación en Lindblad va más allá del alcance de este trabajo,
por lo que a continuación se presenta la ecuación en cuestión.
ρ̇ = − i
~
[H, ρ] +
N2−1∑
k=1
hk
(
AkρA
†
k −
1
2
{A†kAk, ρ}
)
. (2.29)
Donde las llaves {B,C} denotan el anticonmutador de B con C y los operadores
Ak son conocidos como operadores de Lindblad.
Nos podemos dar cuenta el primer término de la ecuación de Lindblad es la ecua-
ción de Liouville-von Neumann, el término adicional es al cual llamaremos término
de Lindblad L(ρ). Como ya se mencionó en este trabajo, el término de Lindblad
se usará para describir los procesos de decaimiento espontáneo entre los diferentes
10
2.4. Evolución temporal
niveles del átomo, por lo que los operadores de Lindblad Ak van a corresponder a
los operadores de descenso σab = |b〉 〈a| y los coeficientes hk a sus constantes de
decaimiento correspondientes γab [11].
Ak = σab = |b〉 〈a| , hk = γab (2.30)
También hay que considerar que la suma ya no será sobre los N2 − 1 posibles
combinaciones entre 2 estados, sino que se restringirá a decaimientos |a〉 → |b〉
con a > b, ya que no existen decaimientos que vayan de los niveles inferiores a los
superiores o entre el mismo nivel. Es por esto que el término de Lindblad toma la
siguiente forma:
L(ρ) =
∑
a>b
Lab =
∑
a>b
γab
(
|b〉 〈a| ρ |a〉 〈b| − 1
2
{|a〉〈b|b〉〈a|, ρ}
)
. (2.31)
El Hamiltoniano en el marco rotante (ec. 2.18) está escrito en forma matricial,
por lo que se buscará escribir el término de Lindblad de la misma manera. Para
calcular estos elementos de matriz {Lab}ij primero vamos a desarrollar el término
dentro del paréntesis en la ecuación 2.31.
|b〉 〈a| ρ |a〉 〈b| − 1
2
{|a〉〈b|b〉〈a|, ρ} = |b〉 〈a| ρ |a〉 〈b| − 1
2
|a〉 〈b|b〉 〈a| ρ− 1
2
ρ |a〉 〈b|b〉 〈a|
= |b〉 〈a|
∑
m,n
ρmn |m〉 〈n| |a〉 〈b| −
1
2
|a〉 〈b|b〉 〈a|
∑
m,n
ρmn |m〉 〈n|
−1
2
∑
m,n
ρmn |m〉 〈n| |a〉 〈b|b〉 〈a|
=
∑
m,n
(
|b〉 〈a| ρmn |m〉 〈n|a〉 〈b| −
1
2
|a〉 〈b|b〉 〈a| ρmn |m〉 〈n| −
1
2
ρmn |m〉 〈n|a〉 〈b|b〉 〈a|
)
=
∑
m,n
(
ρmnδamδna |b〉 〈b| −
1
2
ρmnδam |a〉 〈n| −
1
2
ρmnδna |m〉 〈a|
)
= ρaa |b〉 〈b| −
1
2
∑
n
ρan |a〉 〈n| −
1
2
∑
m
ρma |m〉 〈a| .
(2.32)
Donde ρmn son los elementos de la matriz de densidad, ρmn = 〈m| ρ |n〉. Por lo
que la matriz de densidad se puede escribir en términos de la base y sus elementos
como: ρ =
∑
m,n ρm,n |m〉 〈n|.
Ahora vamos a obtener los elementos de matriz del Lindbladiano {Lab}ij usando
11
2.5. Átomo de 3 niveles en escalera
el resultado anterior.
{Lab}ij = γab 〈i|
(
ρaa |b〉 〈b| −
1
2
∑
n
ρan |a〉 〈n| −
1
2
∑
m
ρma |m〉 〈a|
)
|j〉
= γab
(
ρaaδibδbj −
1
2
∑
n
ρanδiaδnj −
1
2
∑
m
ρmaδimδaj
)
= γab
(
ρaaδibδbj −
1
2
ρajδia −
1
2
ρiaδaj
)
.
(2.33)
Aśı que el término de Lindblad que se ocupará se puede escribir como:
L(ρ) =
∑
a>b
γab
(
ρaaδibδbj −
1
2
ρajδia −
1
2
ρiaδaj
)
. (2.34)
Resumiendo, lo que hemos hecho hasta ahora es encontrar la ecuación maestra
que describe un sistema de N niveles, en términos del Hamiltoniano en el marco ro-
tante para la interacción átomo-luz e incluyendo términos de Lindblad que describen
el decaimiento espontáneo. La ecuación maestra a resolver es:
ρ̇ = − i
~
[H, ρ] + L(ρ). (2.35)
Con H dado por la ecuación 2.18 y L(ρ) por la ecuación 2.34.
2.5. Átomo de 3 niveles en escalera
La forma más sencilla de modelar la transición de dos fotones es considerándola
un sistema de tres niveles en escalera con las transiciones hiperfinas 5S1/2(F = 2)→
5P3/2(F = 3)→ 5D5/2(F = 4). Estos niveles se nombraran 1, 2 y 3 respectivamente,
con enerǵıas ~ωi (i = 1, 2, 3) y los campos que acoplan los niveles serán ~Ea para el
primer paso y ~Eb para el segundo. A partir de esto y de la ecuación 2.18 se obtiene
que el Hamiltoniano de este sistema es el siguiente.
H =
 ~(ω1 + θ1) −
1
2
eEa(~�
(−)
a · ~r12) 0
−1
2
eEa(~�
(+)
a · ~r21) ~(ω2 + θ2) −12eEb(~�
(−)
b · ~r23)
0 −1
2
eEb(~�
(+)
b · ~r32) ~(ω3 + θ3)
 . (2.36)
De acuerdo a la ecuación 2.19 las fases de la transformación al marco rotante
en este caso deben de cumplir que,
12
2.5. Átomo de 3 niveles en escalera
ωa + θ2 − θ1 = 0,
ωb + θ3 − θ2 = 0.
(2.37)
Tomando θ3 = 0 queda ωb = θ2 y θ1 = ωa + ωb se llega a que:
H = ~
ω1 + ωa + ωb
1
2
Ω12 0
1
2
Ω21 ω2 + ωb
1
2
Ω23
0 1
2
Ω32 ω3
 .
Restándole (ω1 + ωa + ωb)Î, siendo ωji = ωj − ωi, δa = ωa − ω21 y δb = ωb − ω32,
H =
~
2
 0 Ω12 0Ω∗12 −2δa Ω23
0 Ω∗23 −2(δb + δa)
 .
El termino de Lindblad consiste de dos términos L(ρ) = L21 + L32 ya que se
consideran los decaimientos 3 → 2 y 2 → 1, con sus respectivas constantes de
decaimiento γ21 y γ32. Utilizando la ecuación 2.33 para el término L21,
{L21}ij = γ21
(
ρ22δi1δ1j −
1
2
ρ2jδi2 −
1
2
ρi2δ2j
)
. (2.38)
Entonces,
L21 =
 ρ22 −
1
2
ρ12 0
−1
2
ρ21 −ρ22 −12ρ23
0 −1
2
ρ32 0
 . (2.39)
Análogamente para L32,
L32 =
 0 0 −
1
2
ρ13
0 ρ33 −12ρ23
−1
2
ρ31 −12ρ32 −ρ33
 . (2.40)
Por lo tanto el término de Lindblad completo es,
L(ρ) =
 γ21ρ22 −
γ21
2
ρ12 −γ212 ρ13
−γ21
2
ρ21 γ32ρ33 − γ21ρ22 −Γ2ρ23
−γ32
2
ρ31 −Γ2ρ32 −γ32ρ33
 , (2.41)
donde Γ = γ21 + γ32.
13
2.5. Átomo de 3 niveles en escalera
Si consideramos que la suma de la diagonal de ρ debe de ser igual a 1 y que los
elementos fuera de la diagonal cumplen que ρij = ρ
∗
ij, entonces se llega al siguiente
sistema de ecuaciones diferenciales para la matriz de densidad.
ρ̇22 = −γ21ρ22 + γ32ρ33 − Ω12 Im{ρ21}+ Ω23 Im{ρ32}
ρ̇33 = −γ32ρ33 − Ω23 Im{ρ32}
Re{ρ̇21} = −
γ21
2
Re{ρ21} − δa Im{ρ21}+
1
2
Ω23 Im{ρ31}
Re{ρ̇31} = −
γ32
2
Re{ρ31}+
Ω23
2
Im{ρ21} − (δa + δb) Im{ρ31} −
Ω12
2
Im{ρ32}
Re{ρ̇32} = −
Γ
2
Re{ρ32} −
Ω12
2
Im{ρ31} − δb Im{ρ32}
Im{ρ̇21} = Ω12ρ22 +
Ω12
2
ρ33 + δa Re{ρ21} −
Ω23
2
Re{ρ31} −
γ21
2
Im{ρ21} −
Ω12
2
Im{ρ̇31} = −
Ω23
2
Re{ρ21}+ (δa + δb) Re{ρ31}+
Ω12
2
Re{ρ32} −
γ32
2
Im{ρ31}
Im{ρ̇32} = −
Ω23
2
ρ22 +
Ω12
2
ρ33 +
Ω12
2
Re{ρ31}+ δb Re{ρ32} −
Γ
2
Im{ρ32}
(2.42)
El conjunto de ecuaciones 2.42 se resolverá de manera numérica, la cual se detalla
en el caṕıtulo 6. Esta solución completa nos va a decir cual es el valor de la matriz
de densidad ρ(t = t′) a cualquier tiempo t′.
Hay casos en los cuales la evolución temporal de los elementos de matriz tiende a
un valor constante conforme avanza el tiempo, es decir, tiende a un estado estaciona-
rio para el cual ρ̇ = 0. En este caso el lado izquierdo de las ecuaciones 2.42 es igual a
cero por lo cual se vuelve un sistema de 8 ecuaciones lineales con 8 incógnitas, N2−1
en el caso general de N niveles. Este sistema de ecuaciones es considerablemente más
sencillo de resolver numéricamente y ahorra mucho tiempo de cómputo. Para que la
aproximación estacionaria sea válida se necesita que el tiempo de interacción entre
el átomo y la radiación sea lo suficientemente largo como para que se alcance dicho
estado.
14
Caṕıtulo 3
Átomo de rubidio
3.1. Estructura atómica
Los experimentos del presente trabajo se llevaron a cabo utilizando átomos de
rubidio. El rubidio es un elemento alcalino con número atómico Z = 37. En la
naturaleza se encuentra como una mezcla de dos isótopos, rubidio 85 y 87, con las
caracteŕısticas que se muestran en la tabla 3.1.
Su configuración electrónica es:
(1s)2(2s)2(2p)6(3s)2(4s)2(3p)6(3d)10(4p)6(5s)1 (3.1)
Los átomos alcalinos se pueden considerar como un electrón orbitando un núcleo
con carga neta de +1e, ya que sus N − 1 electrones de capa llena apantallan al
núcleo atómico. En rubidio, el único electrón de capa abierta es el que se encuentra
en 5s.
El momento angular del átomo está determinado por el valor de momento angular
orbital ~L y esṕın ~S del estado del electrón de valencia. Al acoplar ~S y ~L se da origen al
momento angular total electrónico ~J = ~S+~L. Como aparece en la tabla 3.1 el núcleo
de rubidio tiene un esṕın nuclear I asociado que interacciona con ~J , dando lugar al
momento angulartotal ~F = ~I + ~J . Cada uno de estos acoplamientos modificará las
85Rb 87Rb
Abundancia 72.17 % 27.83 %
Peso atómico 84.911 794 u 86.909 187 u
Esṕın atómico (I) 5/2 3/2
Tabla 3.1: Isotopos de rubidio, 85Rb y 87Rb.
15
3.1. Estructura atómica
enerǵıas del átomo. Es por esto que para un átomo hidrogoneoide el Hamiltoniano
se puede separar de la siguiente manera:
H = H0 +HLS +HF . (3.2)
H0 es la enerǵıa cinética y potencial del electrón de valencia interaccionando con
el núcleo.
El término HLS es la enerǵıa de interacción que se origina del acoplamiento LS
y se conoce como acoplamiento esṕın-órbita.
3.1.1. Estructura hiperfina
La parte HF corresponde al Hamiltoniano producto del acoplamiento entre el
momento electrónico total ~J y el esṕın nuclear ~I. El esṕın nuclear ~I interacciona
con el campo magnético producido por el electrón. Además, como la distribución de
cargas en el núcleo no es simétrica, también existe una interacción con el cuadrupolo
eléctrico nuclear. Es por esto que el Hamiltoniano HF se escribe como la suma de
estas dos contribuciones.
HF = HA +HB. (3.3)
Donde HA es de la interacción dipolar magnética y HB es de la interacción
cuadrupolar eléctrica. Se escribe el Hamiltoniano dipolar magnético como:
HA = A~I · ~J. (3.4)
A se conoce como la constante dipolar magnética y se obtiene experimentalmente.
El desarrollo es completamente análogo al que se utilizó en la estructura fina. El
momento atómico total es igual a ~F = ~J + ~I. Se tiene ~I · ~J = 1
2
(~F 2 − ~I2 − ~J2),
se construye la base acoplada {n, L, S, J, I, F,MF}. Y se sustituyen los eigenvalores
correspondientes pare el valor esperado del Hamiltoniano.
EA = A〈~S · ~L〉 =
1
2
~2A(F (F + 1)− I(I + 1)− J(J + 1)). (3.5)
Como ya se mencionó debido a que la carga del rubidio no presenta una distribu-
ción simétrica, entonces existe un término de interacción cuadrupolar eléctrica. No
se discutirá completamente el desarrollo de esta interacción, dicho desarrollo se pue-
de revisar en [13]. El Hamiltoniano de interacción cuadrupolar cumple la siguiente
relación:
16
3.2. Reglas de selección
HB ∝ QY (2)2m · (I · I)(2). (3.6)
Donde Q es un escalar de la magnitud del momento cuadrupolar. El supeŕındice
en los armónicos esféricos y el esṕın nuclear denota un tensor de orden dos. El valor
esperado del Hamiltoniano es la enerǵıa:
EB = ~2B
3
2
K(K + 1)− 2I(I + 1)J(J + 1)
2I(2I − 1)2J(2J − 1)
. (3.7)
Donde, K = F (F + 1) − I(I + 1) − J(J + 1). La constante B se conoce como
constante cuadrupolar eléctrica y se determina experimentalmente. Una vez que
se conocen ambas enerǵıas sólo basta sumarlas para conocer la enerǵıa total de la
interacción hiperfina.
∆EF =
1
2
~2AK + ~2B
3
2
K(K + 1)− 2I(I + 1)J(J + 1)
2I(2I − 1)2J(2J − 1)
. (3.8)
3.2. Reglas de selección
Con la teoŕıa que se ha desarrollado hasta este punto es posible determinar un
conjunto de reglas para conocer qué transiciones atómicas se pueden llevar a cabo.
Para empezar, la probabilidad de transición es proporcional al elemento de matriz
dipolar eléctrico.
~rjn =
∫
ψ∗j~rψnd
3~r. (3.9)
Como el operador ~r es impar, la integral 3.9 es diferente de cero únicamente
cuando ψj y ψn son de paridades opuestas.
En el caso de los átomos alcalinos, como el rubidio, únicamente es el electrón de
valencia el que interviene en las transiciones. Dicha transición se lleva a cabo por
medio de la absorción o emisión de un fotón cuyo momento angular es 1, de modo
que el cambio neto de momento angular es ±1. Con esto se llega al primer conjunto
de reglas de selección para el momento angular orbital ~L y sus proyecciones ML.
∆L = La − Lb = ±1
∆ML = 0,±1
(3.10)
Para el momento angular total ~F y sus proyecciones −F ≤MF ≤ F , se debe de
cumplir las reglas de selección para subniveles hiperfinos:
17
3.3. Transiciones atómicas involucradas
∆F = 0,±1
∆MF = 0,±1
(3.11)
Las transiciones ∆MF = 0 suceden cuando la polarización de la radiación reso-
nante tiene una polarización lineal. En cambio las transiciones ∆MF = ±1 se llevan
a cabo cuando la polarización de la radiación es circular. Para el caso de ∆MF = 1
cuando es circular derecha y ∆MF = −1 cuando es circular izquierda [15, 16].
3.3. Transiciones atómicas involucradas
El sistema utilizado en este experimento consiste en 3 niveles finos principales
5S1/2, 5P3/2 y 5D5/2, los cuales corresponden al estado base y los dos excitados por
los láser de 780 nm y 776 nm. Adicionalmente se alcanzan 5 niveles más a través
de decaimientos, estos niveles finos son el 5P1/2, 4D5/2, 4D3/2, 6S1/2 y 6P3/2. En la
tabla 3.2 se muestran las enerǵıas de dichos niveles aśı como la longitud de onda
asociada a las enerǵıas.
Configuración Término J Nivel (cm−1) Longitud de onda (nm)
4p65s 2S 1/2 0.000 0.00
4p65p 2P 1/2 12,578.950 794.98
3/2 12,816.545 780.24
4p64d 2D 5/2 19,355.203 516.66
3/2 19,355.649 516.64
4p66s 2S 1/2 20,132.510 496.70
4p66p 2P 1/2 23,715.081 421.67
3/2 23,792.591 420.24
4p65d 2D 3/2 25,700.536 383.10
5/2 25,703.498 389.05
Tabla 3.2: Estructura de los primeros 6 niveles del rubidio y su desdoblamiento
fino [12].
Los láseres utilizados en el experimento tienen un ancho de ĺınea lo suficiente-
mente delgado como para poder tener resolución en la estructura hiperfina de cada
uno de los niveles finos de la tabla 3.2. Como ya se vió en la sección 3.1.1 estos nive-
les finos se desdoblaran en los subniveles hiperfinos que se muestran en la figura 3.1.
En la figura 3.1 no se incluye los niveles 5D3/2 ni 6P1/2 ya que en el experimento no
son accesibles ni por transiciones ni a través de decaimientos.
18
3.3. Transiciones atómicas involucradas
Figura 3.1: Diagrama de los niveles de enerǵıa involucrados en el experimento. Las
flechas rojas son las transiciones generadas por los láseres de 780 y 776 nm. Las
ĺıneas punteadas son los decaimientos posibles dadas las dos transiciones. En violeta
se señala el decaimiento que produce la fluorescencia de 420 nm que se detecta.
19
3.4. Corrimiento Doppler
3.3.1. Decaimiento espontáneo
Como se menciona en la sección 2.4.1 también se van a considerar los decaimien-
tos espontaneos de los niveles atómicos involucrados en el modelo. En la tabla 3.3
se reportan los valores de vida media y ancho natural para los estados involucrados
en la trancisión de dos fotones 5S1/2, 5P3/2 y 5D5/2 y el estado 6P3/2, que genera la
flourescencia cuando decae al estado base.
Estado Vida media (ns) Ancho natural (MHz) Referencia
5P3/2 26.2± 0.04 2π · (6.065± 0.009) [17]
5D5/2 238.5± 2.3 2π · (0.667± 0.0064) [18]
6P3/2 120.7± 1.2 2π · (1.32± 0.013) [19]
Tabla 3.3: Vidas medias y anchos naturales de los principales estados de este sistema.
3.4. Corrimiento Doppler
Los átomos de rubidio utilizados en el experimento se encontraban dentro de
una celda de vidrio a una temperatura de 19 ◦C, esta temperatura es suficiente como
para que los efectos del corrimiento Doppler se hagan presentes. Como ya sabemos
el efecto Doppler [14] consiste en el cambio en frecuencia de una onda cuando el
observador se mueve con respecto a ésta, cuando el observador se mueve hacia la
fuente de la onda la frecuencia aumentará y cuando se aleje de la fuente la frecuencia
disminuirá.
En este caso la onda es el láser y el observador el átomo en movimiento. La
ecuación 3.12 describe cual es la frecuencia observada ν.
ν =
(
1 +
vz
c
)
ν0. (3.12)
Donde c es la velocidad de la luz, ν0 la frecuencia en reposo del láser y vz la
componente en z de la velocidad del átomo. Suponinedo que el vector de propagación
del láser es colineal al eje z, tal que cuando vz es la única componente del vector de
velocidad del átomo que interviene en el corrimiento.
La nube de átomos de rubidio es una colección de muchos átomos con diferentes
velocidades que siguen la distribución de Maxwell-Boltzmann P (~v) (ec. 3.13) [21].
Esto es, dentro de la nube atómicala fracción de átomos que se encuentren en el
espacio de velocidades ~v + ~vdv será P (v) ~dv, donde P (~v) es:
20
3.4. Corrimiento Doppler
P (~v) =
(
m
2πkBT
)3/2
exp
(
− mv
2
2kBT
)
. (3.13)
Donde m es la masa del átomo, T la temperatura de los átomos, kB la constante
de Boltzmann y v la norma de la velocidad.
Integrando la ecuación 3.13 sobre las componentes vx y vy, se puede calcular la
distribución para una sola componente de la velocidad, en este caso vz.
Pvz(vz)dvz =
∫∫
P (v)dvxdvydvz =
(
m
2πkBT
)1/2
exp
(
− mv
2
z
2kBT
)
dvz. (3.14)
En la figura 3.2 se muestra dicha distribución de velocidades para la componente
vz de átomos de rubidio 87 a una temperatura de 19
◦C, la distribución está centrada
en cero y tiene un ancho total a la mitad de la altura1 554 m/s.
−1000 −750 −500 −250 0 250 500 750 1000
Velocidad en vz (m/s)
0.0000
0.0005
0.0010
0.0015
0.0020
0.0025
De
ns
id
ad
 d
e 
pr
ob
ab
ilid
ad
 (s
/m
) FWHM = 554.09 m/s
Figura 3.2: Distribución de velocidades de la componente vz para
87Rb a 19 ◦C.
Ahora consideremos el efecto que tendrá un láser que interaccione con estos
átomos a diversas velocidades. Lo que buscamos al hacer espectroscopia es inducir
transiciones atómicas cuando la sintońıa del láser es tal que está en resonancia
con dicha transición atómica. Como se puede inferir a partir de la ecuación 3.12
y la figura 3.2 sólo los átomos con vz = 0 entraran en resonancia en sincrońıa
con la transición atómicas, tanto a la derecha como a la izquierda del centro de la
1Cuando me refiera al ancho de una distribución me referiré al FWHM.
21
3.5. Espectroscoṕıa libre de Doppler
distribución habrá átomos que entren en resonancia aun cuando el láser no tenga la
frecuencia de resonancia. Esto provocará que las ĺıneas se ensanchen.
Para cuantificar el ensanchamiento Doppler tomemos las ecuaciones 3.12 y 3.14
y partir de estas calculemos la distribución en frecuencias.
Pν(ν)dν = Pvz(vz)
dvz
dν
dν = Pvz
(( ν
ν0
− 1
)
c
)
d
dν
(( ν
ν0
− 1
)
c
)
dν
= Pvz
(( ν
ν0
− 1
)
c
)
c
ν0
dν.
(3.15)
Donde,
Pvz
(( ν
ν0
−1
)
c
)
=
(
m
2πkBT
)1/2
exp
(
−
m
(
ν
ν0
− 1
)2
c2
2kBT
)
=
(
m
2πkBT
)1/2
exp
(
−mc
2(ν − ν0)2
2kBTν20
)
.
(3.16)
Entonces,
Pν(ν)dν =
(
mc2
2πkBTν20
)1/2
exp
(
− mc
2(ν − ν0)2
2kBTν20
)
dν. (3.17)
La ecuación 3.17 es una gaussiana normalizada, centrada en ν0, con una desvia-
ción estándar de σ =
√
kBT
mc2
ν0 y por lo tanto con un ancho total a la mitad de la
altura de:
∆νFWHM =
√
8kBT ln 2
mc2
ν0. (3.18)
Para el caso de átomos de 87Rb a una temperatura de 19 ◦C y para una transición
5S1/2 → 5P3/2 excitada por un láser de 780 nm, se obtiene un FWHM de ∆νFWHM =
502.3 MHz. Este ensanchamiento es dos ordenes de magnitud más grande que el
ancho natural de las ĺıneas hiperfinas de 5P3/2 y un orden de magnitud más grande
que las separaciones hiperfinas del mismo nivel (ver fig. 3.1). Por lo tanto ensanchaŕıa
tanto las ĺıneas que se perdeŕıa el detalle de las transiciones hiperfinas.
3.5. Espectroscoṕıa libre de Doppler
La forma que se utilizó en este experimento para librarnos del ensanchamiento
Doppler fue con espectroscopia de absorción saturada. Esta consiste en tener dos
22
3.5. Espectroscoṕıa libre de Doppler
láseres de la misma frecuencia, uno con una alta intensidad, al cual llamaremos láser
de saturación y un segundo láser con menor intensidad, al cual llamaremos haz de
prueba, viajando contrapropagantes a través de una celda con átomos de rubidio.
El espectro se obtendrá de monitorear la transmisión del haz de prueba.
En la figura 3.3 se muestra un diagrama de la idea básica de esta configuración.
Un átomo con velocidad vz el cual viaja contrapropagante al haz de saturación con
frecuencia νs y copropagante al haz de prueba νp. En reposo ambas frecuencias son
iguales νs = νp.
Figura 3.3: Átomo de rubidio con velocidad vz siendo excitado por un par de haces
contrapropagantes en configuración de espectroscopia de absorción saturada, el de
la izquierda el haz de saturación νs y el de la derecha el de prueba νp.
Pero el átomo en movimiento no observa estás frecuencias, observa las frecuencias
corridas ν ′s, corrida al azul, y ν
′
p, corrida al rojo.
ν ′s =
(
1 +
vz
c
)
νs, ν
′
p =
(
1− vz
c
)
νp. (3.19)
Resulta claro que la única manera en la que ν ′s = ν
′
p es con vz = 0, lo cual indica
que sólo la población de átomos con velocidad en z igual a 0 serán los que verán
ambos láseres con la misma frecuencia.
Si no existiera el láser de saturación y únicamente se tuviera al haz de prueba
viajando a través de la celda de rubidio, lo que se observaŕıa seŕıa una disminución
en la intensidad del láser conforme este se va acercando a la resonancia atómica.
Esta disminución seguiŕıa la forma de una gaussiana de acuerdo al ensanchamiento
Doppler que se describió en la ecuación 3.17.
Cuando se introduce el láser de saturación la situación no cambia para veloci-
dades v 6= 0, el corrimiento Doppler hace que el átomo observe a los átomos con
diferentes frecuencias. En cambio, conforme los láseres se acercan a la resonancia
(que coincide con la población de velocidades vz = 0) sus frecuencias se van igua-
lando. Esto provoca que la transmisión del haz de prueba aumente ya que el haz
de saturación, al ser más intenso, habrá saturado la misma transición. En otras
23
3.5. Espectroscoṕıa libre de Doppler
palabras, el haz de prueba no encontrará átomos que lo absorban porque estos ya
habrán absorbido al haz de saturación. Para ejemplificar este proceso en la figu-
ra 3.4 se muestra el espectro de absorción saturada que se esperaŕıa observar en la
transición hiperfina 5S1/2, F = 2→ 5P3/2, F = 3 en 87Rb.
−400 −200 0 200 400
Corrimiento en frecuencia (MHz)
−1.0
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0.0
Ab
so
rc
ió
n 
de
l h
az
 d
e 
pr
ue
ba
sin haz de saturación
con haz de saturación
Figura 3.4: Espectro teórico de absorción saturada para la transición 5S1/2(F = 2)→
5P3/2(F = 3) en
87Rb.
3.5.1. Espectroscopia libre de Doppler con dos fotones
Si bien la espectroscopia de saturación es importante para este experimento, la
parte central son las transiciones de dos fotones, más espećıficamente la transición
5S1/2 → 5P3/2 → 5D5/2, la cual se lleva a cabo en dos pasos, un láser de 780 nm
excita la primer transición y uno de 776 nm la segunda.
Con el fin de disminuir el ensanchamiento Doppler se utiliza una configuración de
láseres contrapropagantes análoga a la que se ha venido discutiendo. Debido a que
los láseres cuentan con diferentes frecuencias el corrimiento Doppler que experimen-
tan será diferente para cada láser, es decir, el láser de mayor frecuencia tendrá un
corrimiento mayor que el de menor frecuencia para un grupo de velocidades dado.
Consideremos un sistema de 3 niveles donde un láser de frecuencia ν1 excita
el primer paso y un láser de frecuencia ν2 excita al segundo. Un átomo viaja en la
dirección de propagación de los láseres de tal manera que las frecuencias que observa
son:
24
3.6. Selección de velocidades
ν ′1 =
(
1 +
vz
c
)
ν1, ν
′
2 =
(
1− vz
c
)
ν2. (3.20)
La frecuencia total observada por el átomo será la suma de las frecuencias de
cada paso. Con ν1 corrida al azul y ν2 corrida al rojo.
ν ′1 + ν
′
2 =
(
1 +
vz
c
)
ν1 +
(
1− vz
c
)
ν2 = ν1 + ν2 + ∆ν
vz
c
. (3.21)
Por simplicidad se nombrará ν a la suma de frecuencias observada por el átomo
ν = ν ′1 + ν
′
2, y la diferencia de las frecuencias en reposo se nombrará ∆ν = ν1 − ν2.
Llevando a cabo un procedimiento análogo al usado en las ecuaciones 3.15, 3.16
y 3.17 se llega a la distribución de frecuencias.
Pν(ν)dν =
( mc2
2πkBT
)−1/2
exp
(
− ν − (ν1 + ν2)
2
2kbT∆ν2/mc2
)
dν. (3.22)
La cual corresponde a una gaussiana centrada en ν1 + ν2 y con un FWHM de:
∆νFWHM =
√
8 ln 2kBT
mc2
∆ν. (3.23)
Sustituyendo convalores correspondientes a los láseres de 780 nm y 776 nm, una
temperatura de 19 ◦C y masa correspondiente al 87Rb, se obtiene una FWHM de
∆νFWHM = 2.6 MHz. Este ensanchamiento es alrededor de dos veces menor que el
ancho de ĺınea del láser de 780 nm utilizado en el experimento (ver sección 4.2.1).
3.6. Selección de velocidades
Como ya se vió en la ecuación 3.14 y en la figura 3.2, el conjunto de átomos de
87Rb en la celda a 19 ◦C estarán conformados por diferentes poblaciones de átomos
cada una velocidad distinta y por lo tanto con un corrimiento Doppler en las fre-
cuencias observadas de los láseres. Debido a que la población de velocidad cero es la
más abundante, entonces la contribución principal a las ĺıneas espectrales vendrá de
este grupo. Sin embargo si la separación entre subniveles hiperfinos es menor que el
ensanchamiento Doppler entonces habrá poblaciones de átomos con el corrimiento
Doppler suficiente como para sintonizar simultáneamente otro subnivel hiperfino.
En el caso espećıfico de este trabajo el primer paso de la transición de dos fotones
será entre los subniveles hiperfinos 5S1/2(F = 2)→ 5P3/2(F′ = 3) utilizando el láser
25
3.6. Selección de velocidades
de 780 nm. En la figura 3.5 se muestra una gráfica de la distribución de velocidades
para los átomos de 87Rb a 19 ◦C. Las ĺıneas verticales de colores corresponden a
las separaciones entre las transiciones hiperfinas del estado 5P3/2 y se encuentran
puestas en la velocidad que genera el corrimiento en frecuencia necesario para alcan-
zarlas. El bloque gris es la región del FWHM de la distribución. Cuando se tiene en
resonancia la transición 5S1/2(F = 2)→ 5P3/2(F′ = 3) los átomos con velocidad cero
se encuentran en el centro de la distribución, sin corrimiento (ĺınea violeta fig. 3.5),
sin embargo los subniveles hiperfinos de 5P3/2 están los suficientemente cerca como
para que existan poblaciones de velocidades que los sintonicen. Esto es particular-
mente cierto para el subnivel hiperfino con F′ = 2 (ĺınea azul) que se encuentra
contenido dentro de la región del FWHM de la distribución.
−600 −400 −200 0 200 400 600
Velocidad en z (m/ )
0.0000
0.0005
0.0010
0.0015
0.0020
0.0025
De
n 
id
ad
 d
e 
pr
ob
ab
ilid
ad
 ( 
/m
) F'=3
F'=2
F'=1
F'=0
FWHM
Figura 3.5: Distribución de velocidades en el eje z para un haz de 780 nm anclado a
la transición 5S1/2(F = 2)→ 5P3/2(F′ = 3) para átomos de 87Rb a una temperatura
de 19 ◦C. Las ĺıneas verticales corresponden a los subniveles hiperfinos de 5P3/2 que
diferentes poblaciones de velocidad sintonizan por selección de velocidades.
En la figura 3.6 se muestra el diagrama de niveles para las transiciones por se-
lección de velocidades cuando se tiene la transición a velocidad cero 5S1/2(F = 2)→
5P3/2(F
′ = 3)→ 5D5/2(F′′), donde F′′ puede tomar valores de 4, 3, 2, 1. Se ocuparon
los mismos colores que en la figura 3.5 ya que las transiciones corresponden a los
mismos corrimientos de aquella figura. La suma de frecuencias se mantiene igual pa-
ra las 4 transiciones debido a que la configuración utilizada en estas espectroscopias
es contrapropagante, esto es, cuando el láser de 780 se corre al rojo entonces el 776
se corre al azul.
26
3.7. Tiempo de interacción
En el caso de que F′′ = 4, aunque el corrimiento permita sintonizar F′ = 2,
por reglas de selección la transición F′ = 2 → F′′ = 4 está prohibida, por lo tanto
la transición 5S1/2(F = 2) → 5P3/2(F = 3) → 5D5/2(F = 4) no tendrá contribu-
ciones de otra ĺınea. En cambio cuando se sintonice F = 2 → F′ = 3 → F′′ = 3,
simultáneamente habrá otra poblacion de velocidades que sintonice la transición
hiperfina F = 2 → F′ = 2 → F′′ = 3. La misma lógica se sigue para los demás
subniveles hiperfinos de 5D5/2 y en la tabla 3.4 se resume cuales son las transiciones
adicionales que se sintonizan para cada transición a velocidad cero. Es necesario
aclarar que la transición F′ = 3 → F′′ = 1 es prohibida aśı que a velocidad cero no
debeŕıa de ser posible observarse, sin embargo para poblaciones de velocidad dis-
tintas a cero, el corrimiento por selección de velocidades producirá las transiciones
F′ = 2→ F′′ = 1 y F′ = 1→ F′′ = 1.
Figura 3.6: Diagrama de enerǵıas de la transición 5S1/2 → 5P3/2 → 5D5/2 para
diferentes los corrimientos en frecuencia de la figura 3.5. La transición en verde es
prohibida para cualquier grupo de velocidades pero aun aśı se incluye para incluir
todos los posibles subniveles hiperfinos de 5P3/2
3.7. Tiempo de interacción
Dado que los láseres tienen un tamaño finito y los átomos se mueven dentro
de la celda, el tiempo que los átomos interaccionarán con los láseres dependerá de
cuanto tiempo tardan en cruzar el haz. Este tiempo de interacción es de particular
importancia para saber la evolución temporal de los átomos (sec. 2.4) y si éstos
alcanzan el estado estacionario (sec. 2.5).
27
3.7. Tiempo de interacción
Transición a velocidad cero Transiciones por selección de velocidades
F ′ = 3→ F ′′ = 4 −
F ′ = 3→ F ′′ = 3 F ′ = 2→ F ′′ = 3
F ′ = 3→ F ′′ = 2 F ′ = 2→ F ′′ = 2
F ′ = 1→ F” = 2
F ′ = 3→ F ′′ = 1∗ F ′ = 2→ F ′′ = 1
F ′ = 1→ F ′′ = 1
Tabla 3.4: Transiciones a velocidad cero con sus correspondientes transiciones por
selección de velocidades. ∗La transición F ′ = 3 → F ′′ = 1 es dipolar prohibida, sin
embargo sus transiciones por selección de velocidades son permitidas.
Para conocer cuanto es este tiempo de interacción, se va a calcular la media de
la norma de la velocidad de los átomos y con ésta el tiempo que tardan en cruzar
el láser en el plano transversal (plano XY ) al eje de propagación (eje z). Utilizando
la ecuación 3.13 podemos llegar a la densidad de probabilidad de las velocidades en
2 dimensiones.
P (~v)dvxdvy =
m
2πkBT
exp
(
− mv
2
2kBT
)
dvxdvy. (3.24)
La velocidad en el plano XY es v =
√
v2x + v
2
y, aśı que cambiando a coordenadas
polares dvxdvy = vdvdθv e integrando sobre las componentes angulares se llega a la
ecuación 3.25, que corresponde a la distribución de la norma de las velocidades en
el plano XY . En la figura 3.7 se grafica esta distribución para el caso de rubidio 87
a una temperatura de 19 ◦C.
Pv(v)dv =
m
kBT
v exp
(
− mv
2
2kBT
)
dv. (3.25)
Para encontrar la velocidad media se calcula el valor esperado 〈v〉,
vm = 〈v〉 =
∫ ∞
0
vPv(v)dv =
√
πkBT
2m
(3.26)
Aśı que de la ecuación 3.26 y para el caso del 87Rb a 19 ◦C da una velocidad media
de vm = 235.3 m/s. Esto significa que en promedio los átomos interaccionarán con
el láser un tiempo tp = vm/dl, donde dl es el ancho del láser. Para el caso espećıfico
de las dimensiones de los láseres ocupados en el experimento (ver sección 4.2) y la
temperatura ya mencionada, el tiempo de interacción calculado será de:
28
3.7. Tiempo de interacción
0 100 200 300 400 500 600 700 800
Norma de la velocidad en el plano XY (m/s)
0.0000
0.0005
0.0010
0.0015
0.0020
0.0025
0.0030
0.0035
De
ns
id
ad
 d
e 
pr
ob
ab
ilid
ad
vp=417.1 m/s
Figura 3.7: Distribución de velocidades en el plano XY para 87Rb a una temperatura
de 19 ◦C. La velocidad media de la distribución es vm = 208.5 m/s.
tp = 9.6 µs (3.27)
29
Caṕıtulo 4
Montaje experimental
4.1. Sistema de dos fotones
El dispositivo experimental utilizado para producir y detectar la transición de
dos fotones 5S1/2 → 5P3/2 → 5D5/2 se muestra en la figura 4.1.
Figura 4.1: Diagrama del dispositivo experimental. En ĺınea punteada se muestra el
láser de 780 nm, en ĺınea continua el láser de 776 nm y en gris la fluorescencia de
420 nm. E indica un espejo, BS un divisor de haz, PBS un cubo polarizador, λ/2 un
retardador de media onda λ/4 un retardador de cuarto de onda, PD los fotodiodos,
L1 y L2 las lentes, F un filtro y PMT el fotomultiplicador.
Consiste en dos láseres, uno de 780 nm y otro de 776 nm, que viajan contra-
propagantes a través de una celda con vapor de rubidio.Después de pasar por la
30
4.2. Láseres
celda se mide la absorción del haz de 780 nm con un par de fotodiodos, realizando
espectroscopia de polarización. El paso de los láseres a través de la celda excita a los
átomos de rubidio, que al decaer producen fluorescencia de 420 nm. Con un arreglo
de lentes se colecta esta luz y se manda al cátodo de un fotomultiplicador (PMT).
La señal de los fotodiodos y la del PMT se mandan a un osciloscopio para visualizar
los espectros.
Antes de pasar por la celda el láser de 780 nm pasa por un portaobjetos que
actúa como divisor de haz (BS en la fig. 4.1) y manda parte del haz a un arreglo que
realiza espectroscopia de polarización. Con esta espectroscopia es posible anclar el
láser de 780 nm a la transición 5S1/2(F = 2)→ 5P3/2(F = 3) (ver sec. 4.2.2).
La espectroscopia de este trabajo tiene su origen en la detección y análisis si-
multáneo de 2 señales:
1. La absorción del láser de 780 nm. Después de que el láser de 780 nm pasa
a través de la celda, con un divisor parte del haz es reflejado hacia un cubo
polarizador (PBS). El cubo polarizador separa las componentes vertical y ho-
rizontal del haz y las manda a unos fotodiodos (PD 1 y 2). A partir de estas
dos señales de los fotodiodos se obtiene la señal de absorción y dispersión del
estado 5D5/2.
2. La fluorescencia de 420 nm medida por el PMT. De esta señal se van a extraer
los espectros de las ĺıneas hiperfinas del nivel 5D5/2 y en base a los ajustes se
determinará el ancho de ĺınea, separaciones hiperfinas y alturas relativas de
los picos. La celda de rubio se encuentra dentro de una montura que colecta la
fluorescencia y la lleva al cátodo del PMT. Para más detalles de este sistema
ver la subsección 4.3 más adelante.
4.2. Láseres
4.2.1. Láser de 780 nm
El láser de 780 nm se utilizó para excitar el primer paso de la transición de dos
fotones, es decir, la transición 5S1/2 → 5P3/2, también conocida como ĺınea D2 [17].
Este láser es un diodo láser de cavidad extendida (ECDL, por sus siglas en inglés)
construido en el Laboratorio de Átomos Fŕıos [23]. El haz del láser es colimado, con
una polarización horizontal y un ancho de ĺınea de ∼6 MHz. Tiene un perfil eĺıptico
con un eje mayor de 5 mm y un eje menor de 2.5 mm. La porción del haz que se
31
4.2. Láseres
llevó a la celda de la espectroscopia de dos fotones se operó en un rango de potencias
de 20 µW a 3 mW.
Para sintonizar el láser de 780 a la longitud de onda deseada, se controló la co-
rriente y temperatura del diodo con un módulo comercial LDC-3908 de ILX Light-
wave.
4.2.2. Sistema de anclado
Para anclar el láser de 780 nm a la transición del primer paso, se utilizó un con-
trolador High-Speed Servo Controller LB1005 de Newport. Como ya se mencionó y
mostró en la figura 4.1, parte del haz de 780 nm original es utilizado para obtener la
señal de anclado. La señal utilizada para el anclado del 780 fue la señal de dispersión
proveniente de hacer espectroscopia de polarización [24] en la ĺınea D2 del 87Rb y
anclarlo a la transición hiperfina 5S1/2(F = 2)→ 5P3/2(F = 3).
En la figura 4.2 se muestra el diagrama de la espectroscopia de polarización
usada para obtener la señal de anclado [25]. Con un portaobjetos, el haz de 780 nm
se va a dividir en dos brazos, el transmitido (mayor intensidad) se denominará haz
de saturación y el reflejado (menor intensidad) será el haz de prueba. El haz de
saturación pasa por un λ/4 el cual va a polarizar al haz de manera circular. Por otro
lado el haz de prueba va a pasar por un λ/2 que permitirá controlar la dirección de
la polarizacion lineal del haz. Por medio de espejos el camino óptico de los haces
de prueba y saturación se trazará de tal manera que pasen casi contrapropagantes
a lo largo de la celda rubidio. A la salida de la celda de rubidio se tiene un cubo
polarizador que separa las componentes vertical y horizontal del haz de prueba, y
manda cada componente a un fotodiodo para analizar la absorción del haz.
Lo que ocurre dentro de la celda es que el haz de prueba genera una aniso-
troṕıa en el gas de rubidio. Cuando el haz de prueba pase a través de la celda esta
anisotroṕıa se verá reflejada en el par de señales de absorción detectadas por los
fotodiodos. Las señales de absorción para la polarización vertical y horizontal es-
tarán ligeramente corridas una con respecto a la otra, de forma que a la hora de
restarlas se genera una señal de dispersión. En esta señal de dispersión los cruces
por cero corresponden a diferentes transiciones hiperfinas (o entrecruzamientos) en
las cuales el servo-controlador podrá anclarse, en este caso a la transición hiperfina
F = 2→ F ′ = 3 de la ĺınea D2.
32
4.2. Láseres
Figura 4.2: Diagrama de de la espectroscopia de polarización utilizada para anclar
el láser de 780 nm a través de la señal de dispersión.
4.2.3. Láser de 776 nm
Para inducir el segundo paso de la transición, es decir 5P3/2 → 5D5/2, se utilizó un
láser comercial de titanio-zafiro (Ti-Sa) SolsTiS-1600-SRX-F de MSquared Lasers
sintonizable entre 725 nm y 975 nm. El haz sale con una polarización horizontal y
un ancho de ĺınea menor a los 50 kHz. Este ancho de ĺınea es 2 ordenes de magnitud
menor que el del láser ECDL de 780, por lo cual el ensanchamiento espectral asociado
a este parámetro será prácticamente originado en su totalidad por el 780.
Al llegar a la celda, el haz tiene una forma eĺıptica con eje mayor de 2.5 mm y
eje menor de 2.0 mm. La potencia a la entrada de la celda estuvo en un rango de
30 µW a 8.3 mW.
El láser Ti-Sa ya incluye un programa que permite seleccionar la longitud de
onda deseada, en este caso 776 nm. Para generar espectros se necesita ir variando
de manera continua la longitud de onda del láser, de manera que vaya barriendo un
intervalo de frecuencias, sintonizando las transiciones atómicas. Este láser tiene la
ventaja de ser capaz de realizar barridos continuos y de alta resolución de >25 GHz,
más que suficiente para las aplicaciones de este experimento.
Para el barrido se ocupó una señal de sierra triangular (fig. 4.4d) con una frecuen-
cia menor a 1 Hz. Para producirla se utilizó un generador de funciones comercial.
33
4.3. Sistema de detección de fluorescencia
4.3. Sistema de detección de fluorescencia
La celda de rubidio utilizada (Triad TT-RB-75-V-P) es ciĺındrica, con un largo
de 75 mm y un diámetro de 25 mm. Cuenta con un recubrimiento antireflejante
para 780 nm. La celda se encuentra recubierta con metal µ para aislarla de campos
magnéticos. El laboratorio mantiene una temperatura constante de 19 ◦C por lo que
los átomos dentro de la celda se van a encontrar a esta misma temperatura.
Para montar la celda en la mesa y aislarla de fuentes externas de luz, ésta se
colocó dentro de una montura construida con tubos de PVC [26]. La cara lateral de
la montura tiene un apertura circular que conecta a través de un tubo al cátodo del
PMT. En cada una de las caras circulares de la montura se tiene una ranura para
que entren los láseres.
Con el objetivo de colectar la mayor cantidad de fluorescencia posible se utiliza-
ron dos lentes dentro del tubo que conecta a la celda con el cátodo, las cuales forman
un sistema óptico 4F. La primera lente (referida como L1 en la figura 4.1) es una
lente biconvexa Thorlabs LB1761-B con una distancia focal de 25.4 mm, colocada
a 25.4 mm del hilo de fluorescencia. El objetivo de esta primera lente es proyectar
el mayor ángulo sólido y colectar la mayor cantidad de fluorescencia. La segunda
lente (L2) es una Thorlabs LA1027-B con distancia focal de 35 mm, la cual enfoca la
florescencia en el cátodo. Ambas lentes cuentan con un recubrimiento antireflejante
IR.
4.3.1. Fotomultiplicador
El fotomultiplicador utilizado fue un Hamamatsu H7827-001 [27] con una res-
puesta espectral entre los 300 a 650 nm, con su picode sensitividad en los 420 nm.
En la figura 4.3 se muestra la curva de respuesta del PMT.
Para evitar que el ruido de fondo, como luces del cuarto, de los displays o de
los haces de excitación, se colara al cátodo del PMT, se utilizó un filtro (F en la
fig. 4.1) pasabanda Thorlabs FB420-10 centrado en 420 nm y con una ventana de ±
2 nm. La combinación de montura, rango espectral del PMT y filtro frente al cátodo
garantizan un sistema libre de fuentes externas de ruido luminoso.
34
4.4. Detección de absorción
Figura 4.3: Curva de respuesta espectral del PMT Hamamatsu H7827-001. Tomada
de la hoja de especificaciones del fabricante [27].
4.4. Detección de absorción
Para obtener los espectros de absorción se utiliza espectroscopia de polarización.
Esta espectroscopia es completamente análoga a la que se describe en la sección 4.2.2
para el anclado del láser de 780. La diferencia es que en este caso el haz de saturación
será el haz de 776, mientras que el haz de prueba será el haz de 780 ya anclado a la
transición 5S1/2(F = 2)→ 5P3/2(F = 3).
Se utilizan dos retardadores de fase para controlar la polarización de los haces,
la cual originalmente es lineal en ambos casos. Para el láser de 780 nm se usa un
retardador de media onda (λ/2 en la fig. 4.1) para rotar su polarización lineal y
aśı controlar la proporción de sus componentes vertical y horizontal. Para el láser
de 776 nm se utiliza un retardador de un cuarto de onda (λ/4 en la fig. 4.1) que
convierte su polarización lineal en circular.
En este caso el láser que genera la anisotroṕıa en el medio es el de 776 nm
con su polarización circular, mientras que el de 780 nm, con su polarización lineal,
va a detectar diferentes ı́ndices de refracción para las componentes de polarización
35
4.5. Registro de espectros
horizontal y vertical. Después de pasar por al celda un cubo polarizador separa y
manda cada componente de polarización a un diferente fotodiodo.
4.5. Registro de espectros
En la figura 4.1 se puede ver que se mandan 4 señales al osciloscopio. Estas señales
se tomaron con 1000 puntos y un intervalo de muestreo de 400 ms. En la figura 4.4
se muestran los 4 canales del osciloscopio tal y como se despliegan y guardan.
(a-b) Absorción. Se tiene una señal por cada diodo, al sumarlas se obtiene el
espectro de absorción (fig 4.5) y al restarlas se obtiene la señal de dispersión
(fig. 4.6).
(c) Fluorescencia. Señal que proviene del PMT.
(d) Voltaje de barrido. Esta señal proviene del generador de funciones y se
manda simultáneamente al láser de 776 nm para controlar el barrido y al
osciloscopio para sincronizar los tiempos.
La señal de dispersión se obtiene de restar las dos señales de absorción. Esta señal
es particularmente importante para los experimentos del Laboratorio de Átomos
Fŕıos ya que el anclado de los láseres utiliza este tipo de señal. Para poder anclar el
láser de 776 nm a una transición atómica se utilizará la señal dispersión del estado
5D5/2, de ah́ı la importancia de poder tener una señal que sea óptima. En la figura 4.6
se muestra la señal de dispersión asociada a las señales de absorción de la figura 4.4.
36
4.5. Registro de espectros
−0.055
−0.025
0.005
0.035
0.065
0.095
Di
od
o 
1 
(V
)
a
Canales del osciloscopio
−0.055
−0.025
0.005
0.035
0.065
0.095
Di
od
o 
2 
(V
)
b
−0.1
0.1
0.3
0.5
0.7
0.9
1.1
Fl
 o
re
sc
en
cia
 (V
)
c
−0.020 −0.015 −0.010 −0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020
Tiempo (s)
−0.3
−0.2
−0.1
0.0
0.1
Vo
lta
je
 d
e 
ba
rri
do
 (V
)
d
Figura 4.4: Señales registradas en el osciloscopio.
37
4.5. Registro de espectros
−0.003 −0.002 −0.001 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004
Tiempo (s)
−0.10
−0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
Ab
so
rc
ió
n 
(V
)
Figura 4.5: Espectro de absorción obtenido de sumar las señales de absorción de los
diodos.
−0.003 −0.002 −0.001 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004
Tiempo (s)
−0.005
−0.004
−0.003
−0.002
−0.001
0.000
0.001
Di
sp
er
sió
n 
(V
)
Figura 4.6: Señal de dispersión obtenida de restar las señales de absorción de los
diodos.
38
Caṕıtulo 5
Programa de análisis de datos
El osciloscopio guarda las cuatro señales de la figura 4.4 en un archivo formato
.tek. En total se tomaron 25 archivos, cada uno bajo las mismas condiciones pero
con diferentes valores de potencia del láser de 776. Las potencias del 776 van de los
30 µW a los 8 mW, mientras que la potencia del 780 se mantiene fija a 157 µW.
Los espectros nos brindan información del átomo y sus transiciones a través de
la forma de los picos, su altura, ancho y separaciones entre ellos. Como se ve en
la figura 4.4, cada archivo tiene 4 señales, en total se tienen que analizar 100 de
estas señales. Por lo que llevaŕıa demasiado tiempo hacer estos análisis de manera
individual, espectro por espectro, es por esto que se escribió un programa para
automatizar esta tarea.
El programa de análisis de datos se escribió en Python y en este caṕıtulo se va
a explicar los pasos básicos que se sigue el ajuste y los resultados que arroja. Para
una explicación más a detalle en el apéndice B se incluye un manual que paso por
paso reproduce el ajuste de los datos.
5.1. Ajuste a las señales de fluorescencia
Como se puede ver en la figura 4.4 si comparamos la señal de fluorescencia con
la de absorción, en la primera se alcanzan a distinguir 3 picos, en la de absorción
sólo 2. Está separación entre picos es lo que se usará para la calibrar la escala de
frecuencias (ver sec. 5.1.2), aśı que mientras más picos y con menor ruido, mejor
será la calibración. También la señal de fluorescencia presenta un ancho de ĺınea
menor que las de absorción, por lo que el ajuste es más fácil al no existir tanto
empalme entre los picos. Es por estas dos razones que el análisis a los espectros de
fluorescencia se realizó primero. Posteriormente, el análisis de la absorción será más
39
5.1. Ajuste a las señales de fluorescencia
sencillo ya que se auxiliará de los resultados del ajuste de la fluorescencia.
5.1.1. Ajuste de perfiles Voigt
Para cada archivo, el análisis realizado por el programa consiste en los siguientes
pasos:
1. Del archivo .tex se seleccionan los canales que contienen el voltaje de barrido
y la fluorescencia.
2. Ajusta un perfil de sierra a la señal de voltaje de barrido. Esto permite extraer
la forma anaĺıtica de la rampa y obtener una rampa que sea estŕıctamente
decreciente (o creciente) independientemente de las variaciones por ruido en
la señal de voltaje. En la figura 5.1 se muestra en azul al señal original y en
negro el ajuste de sierra.
Adicionalmente sirve para recortar la señal de voltaje a intervalos que sólo
correspondan a la bajada (o subida) de la rampa de voltaje. En la figura 5.1
se muestra en gris la región que se recorta de los espectros.
3. Ajusta un fondo lineal a la señal de fluorescencia y lo sustrae. Con esto se
garantiza que todos los espectros estén sobre el mismo fondo.
4. Graf́ıca el intervalo de voltaje recortado y ajustado contra la señal de fluores-
cencia (voltaje en eje x, fluorescencia en el eje y, ver fig. 5.3) y ajusta perfiles
de Voigt a cada uno de los picos seleccionados. En el apéndice A, se explica
como se escribió la función de Voigt y su comparación con perfiles lorentziano
y gaussiano.
Los espectros analizados tienen componentes gaussianas y lorentzianas por lo
cual es necesario usar un perfil de Voigt para lograr el mejor ajuste posible. Como se
puede observar en la figura 5.2 los perfiles lorentziano y gaussiano no concuerdan en
las colas y picos de los datos, por lo que el perfil de Voigt es el que mejor se ajusta
a los datos.
Los parámetros de ajuste de los perfiles Voigt utilizados son: las componentes
lorentziana y gaussiana del ancho de ĺınea, la altura y centro de cada uno de los picos
y el fondo lineal. Para este ajuste se consideró que las 3 ĺıneas