35497157-01-Dipolos - Bernardo Ramírez

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Teoría de los Circuitos II
Ing. Abascal- Ing. Andres 06/08/2010
Dipolos.
Definición: Circuito eléctrico con dos terminales de conexión hacia el exterior. 
Símbolo: 
Clasificación:
• Pasivos: No contienen fuentes, independientes ni dependientes, en su interior.
• Activos: Contienen una o más fuentes, independientes o dependientes.
• Simples: Están constituidos por un único componente, o una red de componentes 
de idéntico carácter.
• Compuestos: Constituidos por dos o más componentes de diferente carácter.
Dipolos pasivos, Impedancia eléctrica.
Si llamamos Vab a la diferencia de potencial aplicada sobre los terminales de un dipolo 
pasivo, e I a la corriente circulante a través del mismo, por la Ley de Ohm se debe 
cumplir la ecuación:
Vab = Z . I
donde Z es la impedancia eléctrica, o simplemente, la impedancia, del dipolo. 
La impedancia caracteriza al dipolo: El comportamiento de dos dipolos de igual 
impedancia en un sistema o red eléctrica, es idéntico.
En un dipolo pasivo y simple, la impedancia recibe el nombre de: 
• Resistiva, (O, más simplemente, Resistencia), si el cuadripolo está constituido por 
Resistores únicamente.
• Reactiva: Si está compuesto por condensadores, o bien bobinas (inductores), 
exclusivamente. En estos casos la impedancia se denomina, respectivamente: 
Capacitiva o Inductiva.
La Impedancia de un cuadripolo compuesto por dos o más tipos de componentes puede 
tener asimismo un comportamiento inductivo o capacitivo según que predomine la acción 
de los componentes de uno u otro carácter. 
Las definiciones que siguen se corresponden con la definición de Dipolo que venimos 
estudiando. Es decir, no consideramos en ellas a los diferentes elementos como 
Componentes Electrónicos desde el punto de vista de la Física, sino como constituyentes 
de un circuito o de una red eléctricos.
Resistor:
Un resistor, o resistencia, como se lo suele denominar con mayor frecuencia, es un dipolo 
pasivo simple que satisface la ecuación:
38064876.doc 1
a b
 L
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Vab = R . I (1)
donde R es el valor, constante, de la Resistencia Eléctrica del dipolo. La ecuación (1) es 
una ecuación lineal, siendo R la constante de proporcionalidad entre la diferencia de 
potencial (O tensión), aplicada y la corriente circulante por el dipolo. 
El valor de la Resistencia se expresa en ohms, u ohmios.
Símbolo:
Inductor:
La ecuación de un dipolo compuesto por uno o más inductores (O bobinas) es:
Vab = j ω L . I
E este caso, j es la unidad imaginaria (En electrónica se la suele llamar j para diferenciarla 
del símbolo i que se reserva para identificar la intensidad de la corriente eléctrica). 
Mientras que ω , por su parte, es la pulsación o frecuencia angular de la señal aplicada al 
dipolo.
ω = 2 π f
f es la frecuencia de la señal aplicada. Su unidad es el Hertz, o ciclo por segundo. 
L es la inductancia de la bobina, que medimos en Henry o Henrios. j ω L, por su parte, 
representa la reactancia inductiva del dipolo. La unidad de medida de esta última es el 
ohm reactivo. Se la designa con el símbolo:
XL = j ω L
Símbolo:
Condensador:
La ecuación en este caso es:
Vab = 
I
38064876.doc 2
R
I
Vab
R = tg α
α
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 j ω C 
C es la Capacidad del condensador, medida en Faradios. j ω C representa la reactancia 
Capacitiva del dipolo. Se la designa como:
XC = 
1
 j ω C 
Símbolo:
Dipolos activos simples:
Los dipolos activos simples son las fuentes de energía eléctrica, que pueden a su vez 
funcionar como Fuentes de Tensión o Fuentes de Corriente. También aquí nos referimos a 
ellas exclusivamente como elementos componentes del circuito, sin considerar su 
composición o propiedades. Por diferentes motivos suele o no incluirse en el dipolo la 
resistencia interna de la fuente, sin que por ello el dipolo deje de ser considerado simple.
Los símbolos que utilizaremos son, respectivamente, los siguientes:
Dipolos pasivos compuestos: 
Los dipolos pasivos compuestos pueden clasificarse como:
• Dipolos reactivos puros, formados por condensadores e inductores únicamente.
• Dipolos RL, que contienen resistencias e inductores
• Dipolos RC cuando están formados por resistencia y condensadores, y
• Dipolos RLC, que contienen los tres tipos de elementos.
En general, la impedancia, Z, de un dipolo compuesto tiene una componente resistiva, R, y 
una componente reactiva, X:
Z = R + j X
salvo en el caso de los dipolos LC, en los cuales el valor de la componente resistiva es 
cero, por lo que, precisamente, se denominan Dipolos reactivos puros.
Dipolos Reactivos, LC:
38064876.doc 3
 C
 v (t) i (t)
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Ya se ha visto que la Reactancia es una función de la frecuencia. Los gráficos siguientes 
representan respectivamente, los dos primeros, la reactancia de un inductor y de un 
condensador, ambas en función de la frecuencia. 
Los dos siguientes, la reactancia compuesta de un circuito formado por un inductor y un 
condensador, conectados en serie y en paralelo. 
En la conexión serie, la reactancia total es la suma de las reactancias individuales, mientras 
que en la conexión paralelo, la reactancia inversa, o susceptancia, es la suma de las dos 
susceptancias individuales.
Las frecuencias indicadas como fo en estos dos últimos gráficos son las frecuencias de 
resonancia de cada circuito. Como puede verse, en el circuito en serie la reactancia a la 
frecuencia de resonancia es igual a cero (Decimos que el circuito tiene un cero a esa 
frecuencia), mientras que en el circuito en paralelo, la reactancia en resonancia es infinita 
(Decimos que el circuito tiene un polo en dicha frecuencia).
Observando los cuatro gráficos, vemos que la reactancia es siempre creciente con la 
frecuencia. Se demuestra que esta propiedad se cumple asimismo para cualquier tipo de 
conexión y cualquier número de componentes L C. Analíticamente, podemos expresar esta 
propiedad así:
 d X 
> 0
 d f
También puede observarse que a frecuencia cero la reactancia o es siempre cero ó − ∞, y 
para f → ∞ , igual a cero ó + ∞.
Una consecuencia de todo esto es que el gráfico de la reactancia en función de la 
frecuencia no puede tener dos valores cero consecutivos (No sería uniformemente 
38064876.doc 4
X 
L
X 
C
X 
S
X 
P
f
f
ff
fo fo
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creciente en el intervalo), sino que necesariamente se alternan los valores infinitos, o 
polos, y los ceros.
Gráficos Polo - cero: Se denomina así a la representación en el plano de los valores de la 
variable para los que una función vale cero o infinito. Esta representación, o Mapa Polo - 
Cero, es útil para conocer el comportamiento de ciertas funciones sin necesidad de efectuar 
una representación completa de las mismas, que se complica por ejemplo cuando se trata 
de funciones complejas, como ocurre en el caso de los circuitos eléctricos.
 
El Mapa polo - cero de una reactancia en función de la frecuencia toma por tanto formas 
similares a las siguientes, estando en este caso todos los polos y ceros ubicados sobre el 
eje, por ser la frecuencia una variable real. Notar que la escala de frecuencias no es lineal.
De acuerdo a su comportamiento en el origen o en el infinito, las reactancias se suelen 
clasificar como:
• C - L, cuando, como la del primer gráfico, su comportamiento es capacitivo en 
ambos extremos.
• L - L, son, con idéntico criterio, las que presentan un comportamiento como la del 
segundo gráfico.
• C - C, si se comportan como la del tercer gráfico, y finalmente,
• L - C, las que corresponden al tipo representado en cuarto lugar.
 
Para mayor claridad, representamos a continuaciónesta última:
Corrimiento de los ceros de una reactancia: 
Si a un dipolo reactivo puro se le agrega en serie un inductor, la reactancia XT del conjunto 
es igual a la suma de las reactancias individuales del dipolo, XDip, más la del inductor XL.
38064876.doc 5
f = 0 f → ∞
X
f
Regiones donde el 
comportamiento 
es inductivo
+ +
Regiones donde el 
comportamiento 
es capacitivo
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XT = XDip + XL
Como la reactancia agregada es siempre positiva, el efecto es una elevación de la gráfica 
de la reactancia original, que a su vez se traduce en un corrimiento de los ceros del 
diagrama hacia valores menores de frecuencia. Los polos, por ser infinita la reactancia en 
ellos, no experimentan ninguna modificación en su posición. Si en lugar del inductor 
hubiéramos agregado en serie un condensador, el efecto sería el opuesto. Veamos:
La Función Impedancia.
Podemos definir a la función impedancia como Z = R + j X ( ω ), pues la reactancia es 
función de la frecuencia. La fórmula general de la impedancia eléctrica de un dipolo RLC 
serie es
Z = R + j ω L + 1 (1)
 j ω C 
Sabemos por otra parte que la ecuación de un circuito serie, siendo v ( t ) la diferencia de 
potencial aplicada e i ( t ) la intensidad de la corriente circulante es:
 t
v ( t ) = R . i ( t ) + L d i ( t ) + 1 ∫ i ( t ) d t
 d t C 0
Si la corriente inicial es nula, la transformada de Laplace de esta ecuación es:
V ( s ) = R. I ( s ) + s L I ( s ) + 1 I ( s )
 s C
Sacando factor común, 
V ( s ) = R. + s L + 1 I ( s ) (2)
38064876.doc 6
X
ω
Efecto de agregar un 
inductor en serie
Efecto de agregar un 
capacitor en serie
Reactancia del 
dipolo original
Cero de la 
Reactancia 
original
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 s C
s es la variable de Laplace: 
s = σ + j ω
La expresión entre paréntesis se denomina Impedancia Operacional. Al comparar las 
ecuaciones (1) y (2), observamos que la impedancia eléctrica es igual a la operacional 
cuando σ es igual a cero:
Ze = lím Zop 
 σ → 0
Puede verse también que la impedancia operacional puede ser representada mediante un 
cociente de polinomios, es decir, es una ecuación algebraica, y, mientras nos mantengamos 
en el plano operacional (El plano de la transformada Laplace), los coeficientes de ambos 
polinomios, numerador y denominador, son reales y positivos. Lo mismo ocurre con las 
demás funciones (Conocidas globalmente como Transferencias), que relacionan las 
tensiones y corrientes en los circuitos eléctricos, lo que permite utilizar herramientas 
sencillas para resolver los problemas de análisis y síntesis de circuitos eléctricos, como 
veremos en las clases siguientes. 
En el caso presente, se tiene:
Z ( s ) = LC s2 + RC s + 1
 s C
Factoreando los polinomios numerador y denominador, una ecuación de este tipo responde 
a la forma general
F ( s ) = K ( s - c1
 ) . ( s - c
2
 ) . . . ( s - c
m
 )
 ( s - p1 ) . ( s - p2) . . . ( s- pn )
Aquí, los coeficientes ci, raíces del polinomio numerador, representan los ceros de Z ( s ), 
mientras que los pi, raíces del polinomio denominador, son los polos de Z ( s ). K es una 
constante.
En el dominio de la variable de Laplace, las funciones transformadas son reales. Por lo 
tanto, las raíces tanto del numerador como del denominador o son reales o bien complejas 
conjugadas. En la fórmula anterior, si alguno de los polos o ceros es imaginario o 
complejo, aparece también, necesariamente, el conjugado.
38064876.doc 7
	Dipolos.
	Dipolos pasivos, Impedancia eléctrica.