El-modelo-de-Black-y-Scholes-para-opciones-financieras-sobre-el-portafolio-de-mnima-varianza-de-Markowitz

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO 
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLÁN 
 
 
El modelo de Black y Scholes para opciones financieras 
sobre el portafolio de mínima varianza de Markowitz. 
 
 
TESIS 
 
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE: 
 
LICENCIADA EN MATEMÁTICAS APLICADAS Y COMPUTACIÓN 
 
PRESENTA: 
PRISCILA TORRES VALDEZ 
 
ASESOR: 
DR. HÉCTOR ALONSO OLIVARES AGUAYO 
 
 
usuario
Texto escrito a máquina
Santa Cruz Acatlán, Naucalpan, Estado de México
usuario
Texto escrito a máquina
2017
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
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respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
I 
 
AGRADECIMIENTOS 
 
A MI FAMILIA 
 
A mi mamá Yolanda Valdez por darme la vida, por el apoyo incondicional, amor, 
confianza y consejos para vivir un buen presente luchando siempre para cimentar 
éxito y una visión positiva hacia el futuro; por no permitirme darme nunca por 
vencida exhortándome y motivándome día con día para enfrentar mis miedos y 
contemplar mis objetivos concluidos acompañándome en cada logro. También 
por haberme educado de una manera en la que puedo demostrar ser una 
persona valioso y ejemplar. 
 
A mi papá Rafael Torres por demostrarme su amor siempre, por compartir y 
aconsejarme en cada situación compleja en mi vida, por cuidarme y educarme 
recordándome que no somos perfectos sino que cada persona va dirigiendo el 
rumbo de su vida con base en la experiencia de los errores que vamos 
cometiendo, que lo importante es tomar lo bueno para aprender y continuar y lo 
malo para aprender y saber redirigir nuestro camino con mejores decisiones o 
actitudes. 
 
A mi hermano Cristian Torres Valdez por ser mi motor y fuerza para ser una mejor 
persona; por acompañarme en las buenas y malas situaciones, por ser mi ejemplo 
y mi mayor motivación. 
 
 
A MI ASESOR 
 
Al Dr. Héctor Alonso Olivares Aguayo por asesorarme y guiarme en todo el 
proceso de tesis. También por siempre darme todo el ánimo para avanzar y lograr 
el objetivo de titulación. 
 
A MI JURADO 
 
Agradezco sus valiosas observaciones en el desarrollo de este trabajo. 
 
A MI INSTITUCIÓN 
 
Agradezco a la UNAM, FES Acatlán por ser mi segunda casa y darme las 
herramientas necesarias para mi formación como profesionista. 
 
II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 “Si quieres tener lo que pocos tienen, debes estar dispuesto a hacer lo que 
pocos hacen”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
III 
 
 
Índice General 
 
 
AGRADECIMIENTOS ....................................................................................................... I 
ÍNDICE DE GRÁFICAS ...................................................................................................V 
ÍNDICE DE CUADROS ................................................................................................... VI 
INTRODUCCIÓN ........................................................................................................... VII 
1. Modelo de Selección de Portafolios de Inversión de Markowitz ............... 1 
1.1 Teoría de la utilidad esperada .................................................................... 4 
1.1.1 Función de utilidad ................................................................................. 7 
1.1.2 Curvas de indiferencia ......................................................................... 17 
1.2 Planteamiento del modelo media-varianza .......................................... 23 
1.3 Problema de optimización ......................................................................... 27 
1.3.1 Portafolio de mínima varianza............................................................ 30 
1.3.2 Frontera eficiente del portafolio de inversión ................................. 32 
1.3.3 Planteamiento del problema de optimización .............................. 34 
2. Modelo de Black y Scholes para opciones financieras ............................. 36 
2.1 Historia y desarrollo de los mercados de opciones .................................. 37 
2.2 Opciones financieras ....................................................................................... 39 
2.2.1 Opciones de compra (Call) .................................................................... 44 
2.2.2 Opciones de venta (Put) ..................................................................... 46 
2.3 Tipos de opciones financieras ................................................................... 48 
2.3.1 Americanas ............................................................................................. 49 
2.3.2 Europeas .................................................................................................. 50 
2.4 Opciones dentro, fuera y en el dinero .................................................... 51 
2.5 Factores para la determinación de los precios de las opciones de 
compra (Call) y Venta (Put) ................................................................................. 54 
IV 
 
2.6 Modelo cerrado para la valuación de opciones financieras 
(Modelo de Black y Scholes) ................................................................................ 56 
3. Análisis de resultados. ......................................................................................... 59 
3.1 Estructura de la base de datos para el estudio .................................... 60 
3.2 Comparación de resultados ...................................................................... 75 
3.3 Análisis del comportamiento de la opción sobre el portafolio de 
inversión ..................................................................................................................... 76 
CONCLUSIONES ........................................................................................................... 77 
BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................... 78 
APÉNDICE ..................................................................................................................... 81 
A1. Tabla de la Distribución Normal Estándar .................................................. 81 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V 
 
 
ÍNDICE DE GRÁFICAS 
 
Gráfica 1.1 Función de utilidad del inversionista averso al riesgo ....................... 7 
Gráfica 1.2 Función de utilidad del inversionista neutral al riesgo ...................... 8 
Gráfica 1.3 Función de utilidad del inversionista amante al riesgo .................... 9 
Gráfica 1.4 Representación gráfica del consumidor estático .......................... 12 
Gráfica 1.5 Representación gráfica del consumidor intertemporal ................. 14 
Gráfica 1.6 Las curvas de indiferencia no se intersectan .................................. 19 
Gráfica 1.7 Las curvas de indiferencia son convexas ........................................ 20 
Gráfica 1.8 Curvas de indiferencia del inversionista averso al riesgo .............. 20 
Gráfica 1.9 Curvas de indiferencia del inversionista neutral al riesgo .............. 21 
Gráfica 1.10 Curvas de indiferencia del inversionista amante al riesgo .......... 21 
Gráfica 1.11 El problema de optimización de la utilidad del consumidor ....... 29 
Gráfica 1.12 Portafolio de mínima varianza ........................................................31 
Gráfica 1.13 Frontera eficiente y el portafolio de mínima varianza ................. 33 
Gráfica 1.14 Portafolio de mínima varianza y curvas de indiferencia ............. 33 
Gráfica 2.1 Posición larga del call ....................................................................... 44 
Gráfica 2.2 Posición corta del call ....................................................................... 45 
Gráfica 2.3 Posición larga del put ........................................................................ 46 
Gráfica 2.4 Posición corta del put ....................................................................... 47 
Gráfica 2.5 Análisis de la opción call .................................................................. 52 
Gráfica 2.6 Análisis de la opción put ................................................................... 53 
Gráfica 3.1 Frontera eficiente y portafolio de mínima varianza ....................... 64 
Gráfica 3.2 Gráfica de la opción short call ........................................................ 72 
Gráfica 3.3 Gráfica de la opción put .................................................................. 72 
 
 
 
 
 
 
 
 
VI 
 
ÍNDICE DE CUADROS 
 
Cuadro 2.1 Tipos de opciones financieras ......................................................... 42 
Cuadro 2.2 Clasificación de opciones por su estilo ........................................... 50 
Cuadro 2.3 Clasificación de opciones en función del precio de ejercicio ..... 52 
Cuadro 3.1 Datos estadísticos de los activos ...................................................... 60 
Cuadro 3.2 Matriz de correlación de los activos ................................................ 61 
Cuadro 3.3 Matriz de varianza-covarianza de los activos ................................ 61 
Cuadro 3.4 Dividiendo en cantidades iguales la inversión total para cada 
activo ..................................................................................................................... 61 
Cuadro 3.5 Rendimientos que ofrece la inversión de cantidades iguales ...... 62 
Cuadro 3.6 Rendimientos que ofrece la inversión óptima ................................ 63 
Cuadro 3.7 Porcentajes de riesgo-rendimiento que ofrece cada portafolio 
de inversión ............................................................................................................ 63 
Cuadro 3.8 Precios correspondientes a cada activo ........................................ 65 
Cuadro 3.9 Rendimiento de cada activo ........................................................... 65 
Cuadro 3.10 Rendimiento del portafolio de inversión ....................................... 66 
Cuadro 3.11 Factores para la determinación de los precios de la opciones 
call y put ................................................................................................................. 66 
Cuadro 3.12 Probabilidad normal acumulativa para la opción call ............... 67 
Cuadro 3.13 Valor de la prima para la opción call ........................................... 67 
Cuadro 3.14 Precios del rendimiento del portafolio a tiempo T para la 
opción call ............................................................................................................. 68 
Cuadro 3.15 Precios del rendimiento del portafolio a tiempo T para la 
opción short call .................................................................................................... 69 
Cuadro 3.16 Probabilidad normal acumulativa para la opción put ................ 69 
Cuadro 3.17 Valor de la prima para la opción put ............................................ 70 
Cuadro 3.18 Precios del rendimiento del portafolio a tiempo T para la 
opción put ............................................................................................................. 70 
Cuadro 3.19 Precios del rendimiento del portafolio a tiempo T para la 
opción short put .................................................................................................... 71 
Cuadro 3.20 Comparación de rendimientos ...................................................... 75 
 
 
 
VII 
 
INTRODUCCIÓN 
 
El problema de investigación que se presenta radica en que un 
inversionista desea siempre obtener las mayores ganancias, la cuestión es 
que sabemos que la inversión puede tener éxito, pero no simpre será así. Es 
por esta razón que el agente económico racional además de querer 
obtener el mayor rendimiento, también buscará tener protección en caso 
de pérdidas o tener conocimiento de cuál sería la menor pérdida posible 
en sus inversiones. 
 
La relevancia de este trabajo está en la propuesta de la unión de dos 
importantes teorías acreedoras del Premio Nobel de Economía: Black-
Scholes (1973) y Harry Markowitz (1952). 
 
El objetivo es analizar la opción financiera de compra (Call) y de venta 
(Put) sobre el portafolio de mínima varianza de Markowitz bajo un perfil de 
riesgo conservador al seleccionar acciones del Índice de Precios y 
Cotizaciones (IPC) de la Bolsa Mexicana de Valores (BMV). 
 
El problema de investigación se inicia planteando la hipótesis con el 
enunciado siguiente: 
Si el agente económico racional invierte en una opción financiera sobre el 
portafolio de mínima varianza de Markowitz entonces obtiene un mayor 
rendimiento. 
 
En el trabajo se explican los principales elementos y características que 
constituyen la formación del portafolio de inversión así como la descripción 
del modelo de Black-Scholes en opciones financieras y su clasificación, 
posteriormente se toma un conjunto de activos accionarios que forman 
parte del IPC de la BMV para construir la frontera eficiente y encontrar el 
portafolio de mínima varianza que nos permite formar carteras de inversión 
diversificadas que se ajusten a los criterios del enfoque de Markowitz; una 
vez localizado el portafolio que nos ofrece una rentabilidad atractiva, se 
procederá a analizar la opción de compra (Call) sobre el portafolio para 
comparar el rendimiento que se obtiene con esta propuesta. 
 
El criterio de selección para el portafolio de inversión fue elegir activos con 
un perfil de riesgo conservador; los activos que forman parte del portafolio 
VIII 
 
tienen ponderaciones positivas como resultado de haber tomado en 
cuenta la restricción de no negatividad de esas ponderaciones. Se 
incorpora luego un activo “libre de riesgo” y se encuentra el llamado 
portafolio de tangencia para definir una nueva frontera de portafolios 
eficiente como combinación de este último y el activo libre de riesgo. 
 
Se compara el desempeño del portafolio de inversión con el de una 
opción financiera que tiene como subyacente el mismo portafolio de 
inversión y se concluye que el agente económico racional optará por 
invertir en una opción financera sobre el portafolio de mínima varianza, ya 
que se tiene un mejor nivel de rendimiento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
1. Modelo de Selección de Portafolios de Inversión de Markowitz 
 
La Teoría Moderna del portafolio inicia con el trabajo de Harry Markowitz 
(1952; 1959), surge como una solución al problema que enfrentan los 
inversionistas en la búsqueda de la combinación de activos que optimizan 
sus portafolios de inversión. Su artículo sobre la selección de inversiones 
está considerado como el trabajo pionero de la economía financiera y 
uno de los aportes teóricos de la ciencia económica que más ha influido 
en la transformación de los sistemas financieros en el mundo en el último 
tercio del siglo XX. 
 
Un portafolio eficiente, según Harry Markowitz, es aquel que tiene un 
mínimo riesgo, para un retorno dado o, equivalentemente un portafolio 
con un máximo retorno para un nivel de riesgo dado. 
 
En su trabajo plantea la manera en que un agente económico racional 
puede elegir un portafolio eficiente tomando en cuenta que los activos 
que lo componen tienen riesgosasociados y esto hace que el rendimiento 
esperado del portafolio se comporte como una variable aleatoria a través 
del tiempo. Markowitz muestra que en un portafolio de activos es posible 
obtener el retorno deseado con un nivel de riesgo mínimo. Este es el 
llamado “modelo media-varianza”, en el que se demuestra que los 
inversores obtendrán mejores resultados si optan por la diversificación1, ya 
que se estará reduciendo el nivel de riesgo al cual se está exponiendo 
mientras se mantiene el nivel esperado de rentabilidad. 
 
El concepto de incertidumbre (o riesgo2) significa que cualquier inversión 
financiera tiene más de un resultado posible y que no podemos conocer 
de antemano cuál de ellos se concretará en el futuro. Es evidente que si no 
 
1 Portafolio que conforma varios activos. 
 
2 En economía se suelen diferenciar los conceptos de riesgo e incertidumbre. Se utiliza el concepto 
de riesgo para aquellos procesos que son susceptibles de tratamiento probabilístico, mientras que 
incertidumbre se reserva para fenómenos inciertos pero por su naturaleza no pueden ser 
investigados con probabilidades derivadas de registros históricos o subjetivos. De acuerdo con 
esta conceptualización, este trabajo se ocupa del riesgo, pero aquí no haremos ninguna distinción. 
 
2 
 
hubiera incertidumbre todos los inversionistas invertirían en el activo que en 
el plazo dado ofrece la más alta tasa de rentabilidad, de manera que 
todos invertirían en un solo activo, o bien todos los activos ofrecerían el 
mismo rendimiento. En este caso, el acto de seleccionar inversiones no 
existiría como tal ni se plantearía el problema de la diversificación. 
 
Markowitz sabe que el comportamiento de un inversor se caracteriza por el 
grado de aversión al riesgo que tenga y el grado de maximización de 
utilidades que espera. 
 
El análisis reconoce que no todos los inversionistas tienen el mismo grado 
de aversión al riesgo y, por lo tanto, la tasa a la que cada inversionista 
prefiere canjear más riesgo por más rendimiento es variable y subjetiva3. 
La actitud de los inversionistas se puede encontrar dentro de estos grupos 
de aversión al riesgo: 
 
 Aversos al riesgo. Es aquel inversor que elegiría una inversión con el 
menor grado de riesgo frente a dos alternativas con el mismo nivel 
de rendimiento esperado. 
 
 Neutrales al riesgo. Es aquel inversor que se mantendría indiferente si 
tuviera que elegir entre dos alternativas con el mismo nivel de 
rendimiento esperado. 
 
 Amantes al Riesgo. Es aquel inversor que elegiría una inversión con el 
mayor grado de riesgo frente a dos alternativas con el mismo nivel 
de rendimiento esperado. 
 
Para el planteamiento del modelo, Markowitz utiliza los supuestos de 
racionalidad del inversionista, donde los inversionistas son aversos al riesgo 
y prefieren el portafolio que ofrezca la mayor rentabilidad; si los mercados 
financieros son eficientes, la rentabilidad se considera una variable 
aleatoria cuya distribución es normal y el riesgo asociado a la volatilidad 
del activo es medido mediante la varianza de los rendimientos. 
 
3 La actitud frente al riesgo de diferentes inversores depende de diferentes factores como por 
ejemplo su edad o su situación financiera; un inversor con un nivel de ganancias altos sin 
obligaciones financieras estaría más dispuesto a soportar potenciales pérdidas de capital y tendría 
menor aversión al riesgo que un inversor con nivel de ganancias menores. 
 
3 
 
 
El resultado más importante del enfoque de Markowitz es que permite 
deducir combinaciones de activos (portafolios) que simultáneamente 
cumplen con dos condiciones: 
 
 Tienen la varianza mínima dentro de todas las combinaciones 
posibles que tienen un rendimiento esperado dado. 
 
 Tienen el rendimiento esperado máximo dentro de todas las 
combinaciones posibles que tienen una varianza dada. 
 
Aquellas combinaciones que reúnen estos dos atributos se llaman 
“portafolios eficientes4”, y el conjunto de portafolios eficientes es conocido 
como la “frontera de portafolios eficientes”. Los portafolios eficientes 
“dominan5” a todos los que no lo son y por ello este resultado reduce 
drásticamente el número de posibilidades de inversión a escoger por un 
inversionista averso al riesgo y que toma una decisión de manera racional, 
es decir, considerando los parámetros de riesgo y rendimiento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 Un portafolio eficiente es aquel que ofrece un rendimiento máximo dado cualquier nivel de 
riesgo o un nivel mínimo de riesgo dado cualquier rendimiento esperado. 
 
 
5 Una oportunidad de inversión domina a otra si ofrece una rentabilidad esperada más alta o con 
el mismo o inferior riesgo, o bien si ofrece un riesgo menor con igual o mayor rentabilidad 
esperada. 
 
 
4 
 
1.1 Teoría de la utilidad esperada 
 
Conocer qué y cuánto consumen los humanos depende de poder 
describir y explicar el comportamiento humano en cuanto al consumo, lo 
cual resulta ser algo muy complejo; pero puede ser posible mediante una 
simplificación de la realidad del consumo mediante un modelo 
matemático arbitrario en donde se supondrá un consumidor “racional” 
que se caracteriza por realizar una meditación o consideración de las 
razones, consecuencias y beneficios a los que puede acceder. 
La Teoría de la Utilidad es un intento de estudiar racionalmente las 
decisiones humanas ya que constituye uno de los fundamentos de la 
Teoría de la decisión financiera en condiciones de riesgo. 
Esta teoría tiene su origen en la corriente utilitarista del siglo XVIII donde se 
desarrolla el concepto de utilidad. La utilidad es una medida creada para 
definir un nivel de satisfacción por el consumo de cualquier bien. Se asume 
que los individuos tienen una función de utilidad generada por un conjunto 
de opciones completamente conocido por estos y que se conduce 
maximizando esta utilidad. 
Según la teoría de la utilidad esperada un agente económico racional 
evalúa sus alternativas de consumo e inversión de acuerdo a sus 
preferencias subjetivas y selecciona aquellas que maximizan su satisfacción 
o utilidad subjetiva6. El agente económico al ser racional es capaz de 
identificar características que le aportan información sobre el riesgo y 
rendimiento en su inversión, con esto su utilidad subjetiva se optimiza 
mediante la combinación de activos que le generará mejores rendimientos 
con menor riesgo. 
 
6 Daniel Bernoulli (1734) inició esta teoría para la medición del riesgo en términos estadísticos 
cuyas formulaciones fueron posteriormente consolidadas por otros autores cuyos postulados se 
resumen en el siguiente capítulo. En relación al comportamiento de los individuos la teoría de la 
utilidad tiene sus antecedentes en la filosofía del utilitarismo originalmente elaborada por Jeremy 
Bentham (1748-1832) y John Stuart Mill (1806-1873). Su filosofía se basa en resultados; el dolor y 
el placer explican nuestras acciones y ayudan a definir lo que es bueno y moral. De ahí se deriva el 
principio de la utilidad, la selección de acciones que resulten en el mayor bien para el mayor 
número y que a su vez promueven el desarrollo y bienestar. 
 
 
5 
 
Todas las decisiones de consumo del agente económico están 
encaminadas a maximizar la utilidad del consumo o ingresos, y se observa 
que el consumidor nunca está satisfecho, es decir, que la utilidad se 
incrementa mientras se cuenta con mayor riqueza. 
Por otra parte, ya que las decisiones se refieren a resultados inciertos, éstas 
se toman con base a la utilidad esperada y su riesgo correspondiente 
(desviación estándar7). 
 
La teoría de la utilidadindica el conjunto de alternativas entre las que se 
define una relación de indiferencia y una relación de preferencia, para un 
individuo que debe tomar una decisión. Se define asimismo una función 
denominada “función de utilidad”, tal que a cada alternativa le hace 
corresponder un número llamado “utilidad de esa alternativa” y tal que si 
una alternativa es preferida a otra, entonces la utilidad de la primera es 
mayor que la de la segunda. 
)()( BUAU  (1.1) 
 
Sobre la base de esta teoría el criterio óptimo de decisión es el de máxima 
utilidad esperada, se entiende que la utilidad esperada de una opción A 
que puede tener las 𝑛𝑖 alternativas y cada una de ellas con probabilidad 
𝑝𝑖, es: 
 
  iiA pAUUE )()( (1.2) 
 
Una posibilidad por la cual un inversor puede no tomar sus decisiones de 
acuerdo al criterio del máximo valor esperado, es su aversión a correr 
riesgos, para explicar esto la teoría de la utilidad sitúa el criterio del máximo 
valor esperado en un marco más general que lo comprende como un 
caso particular originado por la actitud de neutralidad hacia el riesgo. 
 
7 Puesto que la desviación estándar es simplemente la raíz cuadrada de la varianza los resultados 
obtenidos por la primera son válidos para la segunda. 
 
 
6 
 
Al tratarse de decisiones con riesgo, la utilidad de un portafolio de 
inversiones depende de los flujos esperados de cada inversión realizada. 
Esto es, la utilidad esperada de una situación riesgosa depende de las 
probabilidades del éxito o fracaso de cada inversión. 
La utilidad esperada se expresa de la siguiente manera: 
          
21
1 pepep RUERUERUE   (1.3) 
 
Notación: 
  pRUE = Rendimiento esperado del portafolio. 
e = Probabilidad de éxito. 
  
1p
RUE = Rendimiento esperado si la inversión tiene éxito. 
  
2p
RUE = Rendimiento esperado si la inversión no tiene éxito. 
Como se trata de maximizar la riqueza, ante una situación de grandes 
ganancias o grandes pérdidas el valor esperado de la inversión puede ser 
mayor a la riqueza inicial, pero la utilidad esperada puede ser menor al 
valor esperado, es por ello que al inversionista se le debe pagar una 
cantidad por el riesgo, igual a la cantidad necesaria para que no pierda al 
menos su nivel inicial de utilidad (riqueza). Es así como las preferencias 
individuales sobre el riesgo y rendimiento depende de la aversión al riesgo 
del individuo. La función de utilidad ordinal se maximiza cuando cierta 
combinación de riesgo y rendimiento es preferida a otras combinaciones 
existentes, esto se nota gráficamente con las curvas de utilidad, las curvas 
de indiferencia y la frontera eficiente de inversiones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
 
1.1.1 Función de utilidad 
 
La función de utilidad expresa las preferencias o alternativas de los 
inversores en función del rendimiento y el riesgo de los distintos productos 
de inversión. La utilidad total indica la satisfacción acumulada hasta cierto 
periodo y cuyo nivel se trata de incrementar. Esta utilidad adicional se 
denomina utilidad marginal. 
La función de utilidad siempre es creciente (primera derivada), ya que los 
agentes económicos son racionales, es decir, una mayor riqueza le 
produce una mayor utilidad. 
A continuación se muestra la forma gráfica de la función de utilidad 
dependiendo del comportamiento de un inversor. 
 
Un inversionista es averso al riesgo cuando su función de utilidad marginal 
(segunda derivada) es decreciente, donde a igual incremento de riqueza 
le produce cada vez menor nivel de utilidad. El inversionista averso al riesgo 
elegirá la inversión menos riesgosa, es por ello que para que este agente 
económico invierta se requiere de un premio por el riesgo que va a asumir. 
 
Gráfica 1.1 Función de utilidad 
del inversionista averso al riesgo. 
 
8 
 
Fuente: Elaboración propia. 
 
Un inversionista es neutral al riesgo, cuando su función de utilidad marginal 
(segunda derivada) es constante, donde a igual incremento de riqueza le 
produce un igual nivel de utilidad. El inversionista neutral al riesgo tendrá 
una actitud de indiferencia puesto que no tiene problema elegir entre las 
dos inversiones. 
 
Gráfica 1.2 Función de utilidad 
del inversionista neutral al riesgo. 
 
Fuente: Elaboración propia. 
 
Un inversionista es amante al riesgo cuando su función de utilidad marginal 
(segunda derivada) es creciente, donde a igual incremento de riqueza le 
produce un mayor nivel de utilidad. La esperanza de ganancias del 
inversionista amante al riesgo está subordinada a una gran capacidad 
para soportar pérdidas continuas, es por esto que este tipo de inversionista 
elegirá siempre la inversión con mayor riesgo. 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 
Gráfica 1.3 Función de utilidad 
del inversionista amante al riesgo. 
 
Fuente: Elaboración propia. 
 
Por otra parte nos interesa la solución al problema que enfrenta un 
consumidor respecto a la elección de la canasta de consumo más 
preferida puede ser encontrada al plantearse como un problema de 
maximización de la utilidad en forma determinista, en el que, dada una 
función de utilidad y una restricción presupuestaria se formula 
matemáticamente el problema para encontrar la cantidad óptima de 
bienes a consumir que maximicen dicha utilidad. 
 
Dados dos bienes 𝑋1 y 𝑋2, una función de utilidad 𝑈(𝑋1, 𝑋2) que refleje 
preferencias convexas8 y una restricción presupuestaria 𝑃𝑋1𝑋1 + 𝑃𝑋2𝑋2 = 𝑊, 
donde 𝑃𝑋𝑖 representa el precio de cada uno de los bienes y 𝑊 la riqueza 
total del consumidor, entonces, el problema de optimización se plantea 
como: 
 
   2121, XXXXUMaximizar  
 
:aSujeto (1.4) 
 
8 Una función f es convexa en el intervalo I si, para todo Iba , y todo  :1,0
     ).()(11 bfafbaf   
 
10 
 
 WXPXP XX  21 21 
 
 
A continuación se observa la evolución de los modelos que definen al 
consumidor-inversionista: Estático, Intertemporal y con Incertidumbre: 
En cuestión a los tipos de consumidor que se plantean en el punto anterior 
se muestra enseguida su función de utilidad respectiva. 
 
Consumidor determinista (estático) 
Toma decisiones de consumo en un periodo “corto” de tiempo, no 
demasiado corto para que tome en cuenta al menos dos bienes y no 
demasiado largo para que no cambien los gustos o preferencias del 
consumidor. Para el consumidor estático cada canasta de consumo 
ocupa un lugar de preferencias (Utilidad ordinal). 
  )(, 2121  fXXXXUMaximizar

 Función objetivo 
:aSujeto 
)(2211  gmXPXP Restricción presupuestaria 
 
Solución: 
)()(  gf  




















2121
)(
,
)()(
,
)(
X
g
X
g
X
f
X
f

 
     2121121112 ,,, PPPPXXXX    
 11
1
12 PXX 



 
 22
1
21 PXX 



 
   :21 ydeDespejando  
2
1
21
1
1
12
P
XX
P
XX




 
11 
 
2
1
1
12
1
21
1
2
X
X
XX
XX
P
P









 
 3
1
22
1
P
XP
X



 
  :)(3 gensustituirAl 
mXP
P
XP
P 





22
1
22
1


 
mXP 





122


 
mXP 




 


22
 
 




2
2
P
m
X
 
 :32 enXsustituirAl

 
 











21
2
1
P
m
P
P
X
 
 




1
1
P
m
X
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
 
Gráfica 1.4 Representación gráfica del 
consumidor estático. 
 
 
Fuente: Elaboración propia. 
 
Consumidor intertemporal 
Es el consumidor que o bien querrá sacrificar su consumo presente a 
cambio de su consumo futuro, o viceversa; podrá tomar la decisión de 
consumir en el presente sacrificando oportunidades de su consumofuturo. 
Además según el nivel de ahorro que tenga en el presente este 
consumidor puede ser prestamista o prestatario. 
  )(, 2121  fCCCCUMaximizar 
:aSujeto 
)(
1
2
12211 

 g
r
M
MCPCP 
Solución: 
)()(  gf  




















2121
)(
,
)()(
,
)(
C
g
C
g
C
f
C
f

 
13 
 
  







r
P
PCC
1
,, 2112 
 
 112 PC  
 2
1
2
1
r
P
C



 
 
2
1
1
2 1
P
rC
P
C 

 
 
2
1
1
2 1
C
rC
P
P 

 
 
 3
1
22
1
rP
CP
C

 
  :)(3 gensustituirAl 
    r
M
M
r
CP
rP
CP
P









 111
2
1
22
1
22
1
 
r
M
M
r
CP


 11
2 2
1
22
 
 
2
2
2
1
2
22
1
P
M
P
rM
C 



 
 :32 enCsustituirAl

 
 
 rP
P
M
P
rM
P
C











1
22
1
1
2
2
2
1
2
1
 
 rP
M
P
M
C



122 1
2
1
1
1
 
 
 
 
 
14 
 
Gráfica 1.5 Representación gráfica del 
consumidor Intertemporal. 
 
 
Fuente: Elaboración propia. 
 
 
En la Gráfica 1.5 el eje horizontal representa el consumo máximo en el 
presente y por lo tanto el consumo nulo en el futuro. Así el ahorro óptimo 
para el consumidor intertemporal será: 
 
 
 






rP
M
P
M
PMrS
122 1
2
2
1
11
*
 
 
 r
MM
rS


122
21* 
 
Consumidor bajo incertidumbre 
El consumidor bajo incertidumbre se define por cada tipo de inversionista. 
El inversionista amante al riesgo elegirá acciones con altas volatilidades lo 
cual representa un perfil de riesgo agresivo. El inversionista neutral al riesgo 
es indiferente ante el riesgo-rendimiento, por otra parte el inversionista 
Averso al riesgo elegirá acciones con bajas volatilidades por lo tanto su 
perfil de riesgo será conservador. 
Para poder comprender el concepto del consumidor bajo incertidumbre 
se coloca enseguida un ejemplo claro en donde tenemos tres empresas 
15 
 
con opción a invertir en ellas; el consumidor bajo incertidumbre quiere 
saber cuál es la empresa que le ofrece mayor utilidad esperada dado que 
se conoce la función de densidad de cada una de estas empresas. 
Función de utilidad del consumidor bajo incertidumbre: 
24200)( wwwu  
Se plantean tres casos que representan la función de densidad de cada 
empresa: 
0,
500
4
)( 1
500
4
1 

wewf 34060,
400
1
)( 22  wwf 
     !,4200,,
!
500
4
)( 3
2
3333
3
500
4
3
3









wuEwwwuNw
w
e
wf
w
 
Solución: 
Primeramente teniendo en cuenta el concepto general del valor 
esperado, la media y la varianza tenemos: 
    24200 wwEwuE  
   24200 wEwE  
     wEwEw 222  
     wEwwE 222  
Caso 1) 
Para el caso número uno tenemos una función con una distribución de tipo 
Exponencial. 






500
4
exp~1w 
Media exponencial 
 
4
500
500
4
1
1 wE 
16 
 
Varianza exponencial 
 
2
21
2
4
500
500
4
1













w 
Segundo momento 
  250,31
4
500
2
4
500
4
500
222
2
1 

















wE 
Ahora calculamos el valor esperado: 
      2111 4200 wEwEwuE  
    250,314
4
500
2001 





wuE 
   000,1001 wuE 
Caso 2) 
Para el caso número dos tenemos una función con una distribución de tipo 
Uniforme. 
 340,60~2 Uw 
Media uniforme 
  140
2
34060
2 

wE 
Varianza Uniforme 
 
 
12
400
12
60340 2
2
2
2 

w 
  33.933,32140
12
40022
2 wE 
Ahora calculamos el valor esperado 
      2222 4200 wEwEwuE  
      33.933,3241402001 wuE 
17 
 
   33.733,1031 wuE 
Caso 3) 
Para el caso número tres tenemos una función con una distribución de tipo 
Poisson. 






500
4
~3 Poiw 
Media Poisson = Varianza Poisson 
    






500
4
3
2
3 wwE  
  3
2
2
3 10064.8
500
4
500
4 





wE 
Ahora calculamos el valor esperado: 
      2333 4200 wEwEwuE  
    33 10064.84
500
4
200 





wuE 
   567744.13 wuE 
El procedimiento del ejemplo anterior nos ayuda a comprender el 
comportamiento del consumidor Bajo Incertidumbre y aquí se muestra 
entonces que este consumidor prefiere en este caso invertir en la empresa 
número tres ya que encuentra un resultado conveniente en el valor 
esperado que le ofrece esta opción sobre las demás, es decir: 
        312 wuEwuEwuE  
 
 
1.1.2 Curvas de indiferencia 
 
Una curva de indiferencia representa todas aquellas decisiones de 
consumo que proporcionan al consumidor el mismo nivel de satisfacción. 
18 
 
En relación a las inversiones una curva de indiferencia sirve de apoyo para 
identificar el conjunto de todas las combinaciones de riesgo y rendimiento 
que dan el mismo nivel de utilidad. 
 
Las curvas de indiferencia se caracterizan por las siguientes propiedades: 
1.- Cobertura de las curvas de indiferencia. Al tener dos conjuntos de bienes, el 
consumidor puede elegir entre las dos alternativas y al final decidir si 
prefiere uno de ellos o ambos conjuntos le son indiferentes. Significa que 
hay un punto en la superficie de la utilidad asociado a cada conjunto en 
el espacio de bienes, o que una curva de indiferencia pasa por cada 
punto del espacio de bienes. 
2.- Pendientes de las curvas de indiferencia. Cuando los conjuntos de bienes 
mayores se prefieren a los menores, implica que las curvas de indiferencia 
no pueden tener pendiente positiva. Generalmente las curvas de 
indiferencia se trazan de manera negativa; en algunos casos pueden tener 
segmentos horizontales o verticales. 
3.- No intersección de las curvas de indiferencia. La curva I y II en la Gráfica 
1.6 son curvas de indiferencia, y los puntos P , Q y R representan tres 
conjuntos diferentes, en la gráfica claramente se observa que R debe 
preferirse a Q porque contiene más de ambos bienes; R y P son 
equivalentes por estar localizados sobre la misma curva de indiferencia. De 
la misma forma P y Q son indiferentes. La diferencia es una relación 
transitiva, es decir, si A es independiente a B y B es indiferente a C , A 
debe ser indiferente a C . En este caso, R es indiferente a P y P es 
indiferente a Q ; por lo tanto, R debe ser indiferente a Q . 
 
 
 
 
19 
 
Gráfica 1.6 Las curvas de indiferencia no se intersectan. 
 
Fuente: Elaboración propia. 
 
4.- Curvas de indiferencia Convexas al Origen. Las curvas de indiferencia son 
convexas. 
En la Gráfica 1.7; inciso B se observa la convexidad que es cuando la 
curva de indiferencia se encuentra por encima de su tangente en cada 
punto. Para el caso de la Gráfica 1.7; inciso A, la curva de indiferencia es 
cóncava. 
Las curvas de indiferencia pueden tener cualquier forma entre dos 
extremos, la línea recta y el ángulo recto cuando éstas sean convexas al 
origen. 
Los mapas de indiferencia suelen se trazarse de modo que las curvas 
aparezcan paralelas una de la otra. Sin embargo este paralelismo es casi 
carente de significado económico. Una curva de indiferencia puede 
cambiar su forma general en diferentes áreas del mapa. Un movimiento 
hacia el noroeste es un movimiento que conduce a las combinaciones 
preferidas. 
 
 
 
http://www.iedge.eu/wp-content/uploads/2013/02/IEDGE-curva-de-indiferencia-4.jpg
20 
 
Gráfica 1.7 Las curvas de indiferencia son convexas. 
 
Fuente: Elaboración propia. 
Retomando a los diferentes tipos de inversionistas se muestra a 
continuación la representación de las curvas de indiferencia de cada uno. 
Gráfica 1.8 Curvas de indiferencia del inversionista averso al riesgo. 
 
 
Fuente: Elaboración propia. 
Este consumidor prefiere tener una riqueza segura que arriesgar ésta en 
condiciones de incertidumbre. En cuestión de inversión, se definecon un 
perfil de riesgo conservador al inversionista averso al riesgo puesto que 
elige acciones con volatilidades bajas. 
http://www.iedge.eu/wp-content/uploads/2013/02/IEDGE-curva-de-indiferencia-5.jpg
21 
 
Gráfica 1.9 Curvas de indiferencia del inversionista neutral al riesgo. 
 
 
Fuente: Elaboración propia. 
Este consumidor es indiferente en su riqueza. 
Gráfica 1.10 Curvas de indiferencia del inversionista amante al riesgo. 
 
 
Fuente: Elaboración propia. 
 
22 
 
Este consumidor prefiere arriesgar su riqueza en condiciones de 
incertidumbre que tener su riqueza segura. En cuestión de inversión, el 
individuo amante al riesgo elige acciones con altas volatilidades y por 
tanto su perfil de riesgo es agresivo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
1.2 Planteamiento del modelo media-varianza 
 
El modelo de media–varianza supone que los inversores toman sus 
decisiones solamente considerando dos variables: rendimiento esperado y 
la varianza. 
Si el inversor es racional presuponemos que prefiere más rendimiento 
esperado a menos, es decir que a igual riesgo prefiere la inversión de 
mayor rendimiento esperado, y a igual rendimiento esperado prefiere la de 
menor riesgo. “Debido a que Markowitz utiliza el binomio rentabilidad-
riesgo, y riesgo medido por la varianza, se suele conocer a su modelo 
como el enfoque media-varianza” (Brun & Moreno, 2008, pág. 33). 
 
El modelo media-varianza permite encontrar las combinaciones de activos 
que tienen varianza (o desviación estándar) mínima para diversas tasas de 
rendimiento esperadas, a esto se le conoce como curva de mínima 
varianza; con el modelo se encuentran también las combinaciones que 
producen expectativas de rendimiento máximas para diferentes niveles de 
varianza dados. El conjunto de combinaciones de activos de inversión que 
reúnen estas dos propiedades en forma simultánea se conoce como la 
“frontera eficiente de oportunidades de inversión”. En otras palabras, el 
enfoque de Markowitz hace posible que el inversionista irracional descarte 
una gran cantidad de opciones de inversión debido a que éstas se 
encuentran “dominadas” por las opciones ubicadas en la frontera 
eficiente. 
 
La suma ponderada de los rendimientos esperados )( iRE de cada activo 
iw con ni ,.....,2,1 , representa el rendimiento esperado del portafolio de 
inversión )( pRE , la fórmula se expresa de la siguiente manera: 
 
0)()(
1


i
n
i
iip wREwRE (1.5) 
 
Los precios de los activos elegidos deben ser diarios, pero como los 
modelos de la teoría financiera no trabajan con precios, sino con 
rendimientos, entonces se realiza el cálculo de los rendimientos como el 
logaritmo natural de la razón entre el precio de cierre del día en cuestión y 
el precio de cierre que corresponda al día anterior (ecuación 1.6). 
 
24 
 






1
ln
t
t
P
P
 (1.6) 
 
tP es el precio del activo en el periodo t y 1tP el precio del activo en el 
periodo 1t . 
Al realizar la operación con la fórmula se obtiene una nueva base de datos 
con los rendimientos diarios con la que se trabaja posteriormente. 
 
 
El riesgo del portafolio de inversión se representa con 
2
p o )( pRVar que es 
la varianza de los rendimientos del portafolio. La fórmula en términos del 
valor esperado es: 
 
)(
2
pp RVar 
  
 

n
i
n
j
jiji RRCovww
1 1
, 
 
 

n
i
n
j
ijjiww
1 1
 
(1.7) 
 
Donde ij es la covarianza entre los rendimientos de los activos i y j , 
definida como     )( jiiiij RERRERE  , o expresada en términos del 
coeficiente de correlación lineal, ij , equivale a: 
 

 

n
i
n
j
jiijjip wwRVar
1 1
)(  (1.8) 
 
El coeficiente de correlación es una medida de cómo se comportan los 
rendimientos de los activos en diversas circunstancias que los afectan. 
 
Si el riesgo de una cartera de inversiones se mide por la varianza de 
sus rendimientos, entonces dicho riesgo queda determinado por el de 
cada una de las inversiones, el grado de correlación que existe entre 
todos los posibles pares de ellas y la cuantía del capital colocado en 
cada una de las mismas. (Messuti, Alvarez, & Graffi, 1993, pág. 194) 
 
25 
 
El coeficiente de correlación que existe entre las dos variables aleatorias o 
los activos i y j de la ecuación 1.8 se expresa de la siguiente manera: 
 
 
1
,
1 
ji
ij
jiCov

 (1.9) 
 
 Si 1ij , con ji  , la correlación es directa. Significa que si el precio 
de una acción incrementa, la otra acción también tendrá un 
incremento en su precio y viceversa. 
También se dice que la correlación es lineal perfecta y positiva. Este 
caso se llega a observar entre acciones que pertenecen al mismo 
sector, cuyos precios siguen un comportamiento similar en 
comparación con los precios a otros sectores. 
 
 Si 0ij con ji  , no existe correlación lineal entre los rendimientos 
de los activos por lo que sería incierto el comportamiento de un 
activo respecto al otro. Significa también que las variables son 
independientes. Este caso es difícil de encontrar ya que, las 
acciones se encuentran cotizando dentro de un mismo mercado en 
el que el intercambio realizado mediante su compra-venta tiene 
efectos respecto al comportamiento del conjunto de los activos en 
el mercado accionario. 
 
 Si 1ij , con ji  , la correlación es inversa, es decir que los 
rendimientos se mueven en sentidos opuestos, así que cuando el 
precio de un activo incrementa, se compensa exactamente con el 
movimiento descendente del otro. Se dice también que la 
correlación es lineal perfecta y negativa. El valor unitario y negativo 
del coeficiente de correlación indica que los movimientos del precio 
entre acciones no se explican mutuamente, esto hace que el 
coeficiente de correlación sea utilizado como criterio para la 
diversificación en el portafolio. 
 
 
 
 
26 
 
Así el inversionista puede elegir entre distintas combinaciones de 
rendimiento y riesgo, dadas sus expectativas sobre )( pRE y )( pRVar . 
 
Para el caso de tres activos, el modelo es el siguiente: 
 



3
1
)()(
i
iip REwRE (1.10) 
 

 

3
1
3
1
)(
i j
jiijp wwRVar  (1.11) 
 



3
1
1
i
iw (1.12) 
 
.3,2,1,0  iparawi (1.13) 
 
En el modelo media-varianza, la condición 1.13 se incluye si se desean 
limitar las ventas en corto9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 Es la venta de un activo que un inversionista pide prestado a un corredor para posteriormente 
comprarlo de nuevo y así obtener una ganancia. 
 
27 
 
1.3 Problema de optimización 
 
Como ya se ha mencionado anteriormente, el consumidor busca 
maximizar su bienestar personal, ya que cuenta con recursos escasos o 
limitaciones (tiempo y dinero), es por esta razón que tiene que decidir cuál 
es la mejor forma de usarlos para conseguir maximizar el bienestar que 
busca. Ante las posibilidades de consumo derivadas de su restricción 
presupuestaria y dadas sus preferencias, el consumidor optará por la 
combinación de bienes que le proporcione la máxima utilidad. 
El modelo de optimización de Harry Markowitz se puede resolver 
minimizando el riesgo, dado un nivel de rendimiento esperado. 
 





























 
nnnn
n
n
n
i
n
j
ijjip
w
w
w
wwwww





 2
1
1
21
11211
21
1 1
2 ,,,min



 
:asujeto 
   i
n
i
ip REwRE 


1
 
 1
1


n
i
iw 
(1.14) 
 
Se minimiza el riesgo (varianza), con la primera restricción que indica la 
tasa de rendimiento objetivo y la segunda restricción que indica que la 
suma delas cantidades ponderadas invertidas en el portafolio sea uno. 
Cuando el problema se resuelve, se encuentra la proporción de cada 
activo dentro del portafolio que satisface también las restricciones 
planteadas en el modelo. 
 
Otra alternativa para solucionar el problema de optimización es el 
planteamiento de una función lagrangiana de la siguiente forma: 
 
 
  













n
i
n
j
n
i
iip
n
i
iijji REwREwww
1 1 1
*
2
1
1 )()(1L  (1.15) 
 
 
28 
 
 
 
Los puntos críticos se obtienen derivando parcialmente respecto a los n 
ponderadores iw y respecto al multiplicador de Lagrange  y se igualan a 
cero: 
 
01122111
1



nnwww
w
L
  
02222211
2



nnwww
w
L
  
02211 


nnnnn
n
www
w
L
  
 0121 


nwww
L


 
(1.16) 
 
Al resolver el sistema de ecuaciones se encuentran las cantidades de iw 
que maximizan la utilidad del consumidor. 
 
En la Gráfica 1.11, se observa gráficamente el problema de la 
maximización de la utilidad o el problema del consumidor en economía, 
donde el punto ),( wpx representa el vector de consumo óptimo para 
cada par precio-riqueza que resuelve el problema de la maximización de 
la utilidad del consumidor. Sobre la función de utilidad U se encuentran 
todas las combinaciones entre los bienes 
1X y 2X que generan la misma 
utilidad al consumidor. 
 
 21,max XXU 
:asujeto 
wXPXP xx  21 (1.17) 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
Gráfica 1.11 El problema de optimización de la utilidad del consumidor. 
 
 
Fuente: Elaboración propia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
1.3.1 Portafolio de mínima varianza 
 
El portafolio de mínima varianza es aquel que muestra al inversionista 
aquella combinación en donde se encuentra el mínimo riesgo dado cierto 
rendimiento. 
Para obtener las ponderaciones de los activos que conforman el portafolio 
de mínima varianza es necesario obtener las derivadas parciales de la 
ecuación 1.11 respecto a cada activo 𝑥𝑖 e igualarlas a cero. A 
continuación se desarrolla el modelo para el caso de tres activos: 

 

3
1
3
1
)(
i j
jiijp wwRVar  
 33
2
322
2
211
2
1  www  
 233213311221 222  wwwwww  (1.18) 
 
Sustituyendo 213 1 www  se obtiene la siguiente ecuación: 
  33
2
2122
2
211
2
1 1)(  wwwwRVar p  
 132111221 )1(22  wwwww  
 )1(2 21223 www   (1.19) 
 
Expandiendo los términos cuadráticos en la ecuación anterior obtenemos 
la varianza de los rendimientos del portafolio como función de las 
ponderaciones 
1w y 2w de los activos correspondientes: 
)2()2()( 332322
2
2331311
2
1   wwRVar p 
 )(2 3323131221   ww 
 333323233131 )(2)(2   ww (1.20) 
 
 
 
 
31 
 
Ahora se igualan a cero las derivadas parciales respecto a 
1w y 2w : 
 )2(20
)(
1333111
1
 


w
w
RVar p
 
 )(2)(2 3313231333332   w 
 )(20
)(
231312331
21
 


w
w
RVar p
 
 )(2)2(2 33231333222   w (1.21) 
 
Se resuelve el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y se obtienen 
las ponderaciones iw ; de la ecuación 1.8 , la ponderación que 
corresponde el activo 3w se obtiene de la siguiente forma: 213 1 www  . 
 
Gráfica 1.12 Portafolio de mínima varianza. 
 
Fuente: Elaboración propia. 
 
 
 
 
 
 
32 
 
1.3.2 Frontera eficiente del portafolio de inversión 
 
La frontera eficiente del portafolio de inversión es la combinación de 
activos que, para un nivel dado de rendimiento, proporcionan el mínimo 
riesgo y para un nivel dado de riesgo, proporcionan la máxima 
rendimiento. 
Para encontrar los portafolios compuestos por las combinaciones de riesgo 
y rendimiento se resuelve un problema de optimización donde el objetivo 
es minimizar el riesgo, representado por la ecuación 1.11 y tomando como 
restricciones a 1.10 y 1.12. 
 
La desviación estándar p también es utilizada como medida de riesgo del 
portafolio, siendo esta la raíz cuadrada de la varianza: 
 
)(
2
ppp RVar  (1.22) 
 
En la Gráfica 1.13 se ilustra el concepto de frontera eficiente, donde la 
curva ADBC representa la frontera de portafolios factibles, pero solamente 
el segmento DB representa todas las posibles combinaciones que 
conforman a la frontera eficiente donde el punto D es el portafolio de 
mínima varianza, esto se observa al comparar los portafolios A y Á donde 
ambas ofrecen el mismo nivel de riesgo pero Á da un mayor rendimiento, 
el punto B representa al portafolio con el mayor rendimiento esperado 
pero implica mayor riesgo que el portafolio D . 
 
El conjunto de portafolios óptimos será aquel que se localice en los límites 
entre el rendimiento esperado mínimo y el máximo de cada activo que 
componga la cartera, es decir, si  niREmáxM i ...,,1:)(  y 
 niREmínm i ...,,1:)(  , por lo tanto  MmRE p ,)(  . Para hallar el portafolio 
óptimo sobre la frontera eficiente de este modelo se debe encontrar el 
punto sobre el que la función de utilidad del inversionista hace tangencia 
con la frontera eficiente. 
 
La Gráfica 1.14 muestra las curvas de indiferencia de dos inversionistas 
donde U es la curva para un inversionista que tiene una gran aversión al 
riesgo dado el tamaño de la pendiente de su curva de utilidad, la curva ´U
corresponde a un inversionista con menor grado de aversión al riesgo que 
estará dispuesto a aceptar más riesgo para obtener una mayor utilidad 
esperada. 
33 
 
 
El portafolio óptimo será aquél que ofrezca el mayor grado de utilidad 
dado un rendimiento esperado al menor nivel riesgo posible. En el caso del 
inversionista con la curva de indiferencia U su portafolio óptimo es el que se 
encuentra sobre el punto Á y para el inversionista con la curva ´U el 
portafolio óptimo será aquél sobre el punto B . 
 
 
Gráfica 1.13 Frontera eficiente y el portafolio de mínima varianza. 
 
 
Fuente: Elaboración propia. 
 
 
Gráfica 1.14 Portafolio de mínima varianza y curvas de indiferencia. 
 
 
Fuente: Elaboración propia. 
 
34 
 
1.3.3 Planteamiento del problema de optimización 
 
En el tema 1.3 se menciona que el problema de optimización se resuelve 
de dos formas, ya sea maximizando el rendimiento esperado dado un nivel 
de riesgo o minimizando el riesgo dado un nivel de rendimiento esperado. 
En este trabajo donde se han seleccionado tres activos, el modelo es de la 
siguiente manera: 
 

























 
3
2
1
333231
232221
131211
321
3
1
3
1
2 ,,min
w
w
w
wwwww
i j
ijjip



 
:asujeto 
    i
i
ip REwRE 


3
1
 
 1
3
1

i
iw 
(1.23) 
 
Y con la función lagrangiana, el problema se plantea de la siguiente 
forma: 
 
 
  













3
1
3
1
3
1
*
2
3
1
1 )()(1L
i j i
iip
i
iijji REwREwww  (1.24) 
 
Se obtienen las condiciones de primer orden derivando la función 
parcialmente con respecto a cada una de las variables, para el caso de 
tres activos las variables serán 21321 ,,,  ywww y se igualan las derivadas a 
cero: 
 
 
 
 
35 
 
,0)(222 121133122111
1



REwww
w
L
 
,0)(222 221233222211
2



REwww
w
L 
 ,0)(222 321333322311
3



REwww
w
L
 
 ,1321
1



www
L

 
 *
332211
2
)()()()( pREREwREwREw
L




 
(1.25) 
 
Donde 
*)( pRE es una tasa de rendimiento establecida por el inversionista. 
Para realizar todos los cálculos que hasta ahora se han mencionado se 
aprovecha la capacidad de resolución del algoritmo llamado Solver 
incluido en una popular hoja de cálculo10. Solver es un algoritmo que forma 
parte de las herramientas de Excel y permite encontrar valores para un 
conjunto de variables, se puede encontrar un valor óptimo (mínimo o 
máximo) para una fórmula en una celda, denominada la celda objetivo, 
sujeta a restricciones o limitaciones en los valores de otras celdas de 
fórmula en una hoja de cálculo. Solver ajusta los valores en las celdas de 
variables de decisión para cumplir con los límites en las celdas de 
restricción y producir el resultado deseado para la celda objetivo. 
 
 
 
 
 
 
 
10 En este trabajo se utiliza el programa Excel de Microsoft. 
 
36 
 
2. Modelo de Black y Scholes para opciones financieras 
 
Los primeros modelos de valoración de opciones en la década de los 60 
fueron las bases del modelo Black and Scholes11 al principio de los 70. El 
modelo Black and Scholes coincide con el inicio de las operaciones de 
opciones en el CBOE (Chicago Board Options Exchange) en 1973 y, desde 
entonces, ha llegado a ser una parte importante de la teoría y la práctica 
financiera. La fortaleza del modelo Black and Scholes estriba en que 
provee una ecuación teóricamente simple para la evaluación de las 
opciones. 
Un aspecto importante de la formulación del Black and Scholes es que no 
depende ni de las expectativas del precio futuro del activo, ni de las 
actitudes de los inversores frente al riesgo. Para realizar el cálculo, el 
modelo exige cinco variables: el valor del subyacente, el precio de 
ejercicio, el tipo de interés libre de riesgo, la volatilidad del subyacente y el 
tiempo hasta el vencimiento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 Un modelo para valorar opciones europeas sobre acciones, ya sea de compra o venta, 
desarrollado por Fisher Black, Myron Scholes y Robert Merton. 
 
 
 
37 
 
2.1 Historia y desarrollo de los mercados de opciones 
 
En el libro de Introducción a los mercados de futuros y Opciones, John Hull 
explica que las primeras transacciones de opciones de venta se realizaron 
en Europa y Estados Unidos en el siglo XVIII. No tuvieron muy buena 
reputación en los inicios a causa de algunas prácticas fraudulentas en las 
que algunos agentes regalaban opciones sobre acciones de cierta 
empresa para incentivar la compra a sus clientes. 
Se menciona también que el Chicago Board of Trade abrió un nuevo 
mercado en abril de 1973, con el motivo específico de negociar opciones 
sobre acciones de empresas que cotizasen en bolsa. Desde esa fecha los 
mercados de opciones han sido objeto de gran interés entre los inversores. 
En 1975 el American Stock Exchange (AMEX) y el Philadelphia Stock 
Exchange (PHLX) comenzaron a negociar opciones, el Pacific Stock 
Exchange (PSE) hizo lo propio en 1976. A principios de los ochenta, el 
volumen de negociación había crecido tan rápidamente que el número 
de acciones subyacentes en contratos de opciones vendidas a diario 
excedía el volumen de acciones negociadas en el New York Stock 
Exchange. 
En los años ochenta se desarrollaron los mercados sobre opciones en 
divisas, opciones sobre índices bursátiles y opciones sobre contratos de 
futuros. El Philadephia Stock Exchange es el principal mercado de opciones 
sobre divisas. 
El Chicago Board Options Exchange negocia opciones sobre los índices 
bursátiles de S&P 100 Y DE S&P 500, mientras que el American Stock 
Exchange negocian opciones sobre el Major Market Stock Index y el New 
York Stock Exchange hace lo propio sobre el índice NYSE. La mayoría de 
mercados que ofrecen contratos de futuros, hoy día ofrecen también 
opciones sobre estos contratos de futuros. De este modo, el Chicago Board 
of Trade ofrece opciones sobre contratos de futuros para el maíz, el 
Chicago Mercantile Exchange ofrece opciones sobre contratos de futuros 
sobre ganado y el International Monetary Market ofrece opciones sobre 
futuros en divisas, etc. 
Tanto en los mercados de opciones como los de futuros han tenido un 
éxito notorio. Uno de los motivos para ello, es que han atraído operadores 
38 
 
muy diversos entre los cuales se pueden identificar tres categorías: aquellos 
que hacen operaciones de cobertura, especuladores y quienes realizan 
operaciones de arbitraje. (Hull, 1996, pág. 6). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
2.2 Opciones financieras 
 
Uno de los objetivos en finanzas es formar portafolios con un equilibrio 
adecuado entre riesgo y rendimiento. Las opciones financieras son uno de 
los instrumentos que actúan como seguros contra contingencias 
financieras. En un ambiente de extrema volatilidad, estos instrumentos 
proporcionan al inversionista un mecanismo para inmunizar un portafolio 
contra cambios adversos en los mercados financieros con bajos costos de 
transacción. 
Las opciones son muy flexibles, ya que permiten tomar posiciones muy 
arriesgadas y también sirven para reducir y controlar el riesgo. 
Una opción es un producto derivado que por el pago de una prima da a 
su comprador el derecho, más no la obligación, de comprar o vender el 
activo subyacente12 a un precio determinado, llamado precio de ejercicio. 
La contraparte, el emisor, de estos títulos tiene la obligación de vender o 
comprar el activo subyacente. Según (Elvira & Larraga, 2008) las opciones 
permiten al inversionista la posibilidad de beneficiarse del movimiento del 
precio de un determinado activo, ya sea al alza o a la baja, con el pago 
de la prima o inversión. 
Cabe mencionar que el activo subyacente es cualquier variable aleatoria 
que cambia su valor a lo largo del tiempo. 
En un contrato de opción se especifican los siguientes elementos: 
I. Tipo de opción: Opción de compra o de venta. 
 
II. Activo subyacente: Puede ser una acción, divisa, tasa de interés, 
petróleo, oro, etc.). 
 
III. Cantidad del activo negociado: Es la cantidad, en unidades, del activo 
subyacente que está estipulado que se puede comprar o vender 
por cada contrato de opción. 
 
12 Es el activo al cual está referenciado el instrumento financiero. Algunos activos subyacentes son: 
bienes, acciones, índices bursátiles, divisas, futuros, tasas de interés, metales, etc. 
 
 
40 
 
 
IV. Fecha de vencimiento: Es la fecha en que se vence el contrato. 
 
V. Precio de ejercicio: Según la opción de compra o venta, es el precio 
al que se podrá ejercer el contrato, es decir, el precio al que se 
podrá comprar o vender el activo subyacente. 
 
VI. Tasa de interés: Se refiere a la tasa de interés nacional libre de riesgo 
(CETES). 
 
VII. Volatilidad: Se refiere a la volatilidad del activo subyacente, “la 
volatilidad es la variabilidad del precio del subyacente y suele 
medirse mediante la desviación típica diaria de los rendimientos de 
los precios” (García Estévez & Diez de Castro, 2012, pág. 99) 
 
Hay otro elemento determinado por el mercado que no figura estipulado 
en el contrato, que es el precio a pagar por la opción, precio que se fija en 
el mercado organizado de opciones, siguiendo la ley de la oferta y la 
demanda. Ese precio recibe el nombre de prima. “El humor, la expectativa 
respecto del precio futuro del activo subyacente, ola necesidad de 
cobertura que tenga un inversor, serán claves para determinar la prima 
que estará dispuesto a pagar" (Bacchini, García Fronti, & Márquez, 2006, 
pág. 57). 
Un punto importante en un contrato de opción es que sólo se obliga al 
vendedor, mientras que el comprador tiene el derecho (opción) de ejercer 
el contrato, pero no está obligado a ello. Esto permite al poseedor de una 
opción, no sólo a cubrirse ante posibles pérdidas sino también a la 
posibilidad de obtener un beneficio en caso de que la evolución del 
precio del activo asociado a la opción sea favorable. 
Por otra parte, las opciones al igual que los contratos futuros son contratos 
estandarizados, lo cual permite que las transacciones se efectúen en 
mercados abiertos, organizados y con garantías de su cumplimiento. Esta 
característica genera liquidez para llevar a cabo distintas combinaciones y 
estrategias para ampliar y diversificar las carteras de inversión. A diferencia 
de los mercados de futuros, en las opciones, el comprador del contrato 
sólo está obligado al pago de una prima (precio de la opción) que recibirá 
41 
 
el vendedor, quién aportará el margen inicial y de mantenimiento según la 
evolución del mercado. 
La inversión en opciones también es una alternativa para especular 
(obtener ganancias extraordinarias asumiendo riesgos sobre tendencias 
inesperadas). Es también posible realizar operaciones de arbitraje 
aprovechando desequilibrios temporales en la prima de las opciones. 
Las opciones financieras más comunes son las que tienen como 
subyacente a los títulos de capital (acciones), los índices de mercados 
accionarios, las divisas extranjeras, títulos de deuda gubernamental y 
futuros. Se distinguen entre sí con base en tres criterios: tipo, clase y serie. El 
tipo nos indica si la opción es de compra (call) o de venta (put). Todas las 
opciones que sean del mismo tipo y que tengan una fecha de 
vencimiento común determinan una clase. 
En las opciones se presentan dos posiciones, las cuales nos indican la 
postura que presenta cada una con respecto al contrato: 
Posición larga: Es la postura que presenta el comprador (quien paga la 
prima) de una opción, sin importar si ésta es una opción de compra o de 
venta. 
Posición corta: Es la postura que presenta el emisor o vendedor de la opción 
(recibe la prima) de compra o de venta. 
Una vez firmado un contrato de opciones, existen tres formas de cerrarlo: 
I. El comprador ejerce su derecho. 
II. El comprador permite que pase la fecha de vencimiento sin ejercer 
su derecho, dándose por terminado el contrato. 
III. El comprador puede vender la opción a un tercero, o el emisor 
puede recomprar la opción al comprador, es decir, la opción se 
liquida. 
 
 
 
 
 
 
42 
 
Las opciones son utilizadas de la siguiente manera: 
 Para ajustar el riesgo y rendimiento de una posición determinada a 
un costo muy bajo. 
 Para cubrirse de los riesgos de movimientos en los precios y en las 
cantidades; es decir, las opciones son mejores que los futuros 
cuando la cantidad que uno desea proteger es incierta. 
 
Cuadro 2.1 Tipos de opciones financieras. 
 
 
Fuente: Elaboración Propia. 
 
Las opciones financieras tienen objetivos por cumplir. (Díaz Tinoco & 
Hernández Trillo, 1998) menciona que a nivel microeconómico las opciones 
tienen dos objetivos: 
 Una opción es un producto con el cual un inversionista puede 
protegerse del riesgo. 
 El inversionista lo puede utilizar sólo para invertir o especular. 
 A nivel macroeconómico las opciones tienen cuatro objetivos 
 Formación eficiente de precios de valores subyacentes. 
 Mejora los niveles de liquidez en el mercado. 
 Amplia oportunidades de arbitraje. 
 Permite perfiles de riesgo y rendimiento controlables. 
43 
 
De modo general, se puede decir que las Opciones son contratos 
bilaterales mediante los cuales una parte paga una suma de dinero a la 
otra para adquirir el derecho (la “opción”) de realizar una transacción 
(compra-venta) determinada o reclamar una suma de dinero en el futuro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
2.2.1 Opciones de compra (Call) 
 
Una opción de compra otorga al comprador el derecho, más no la 
obligación, de comprar al emisor el activo subyacente a un precio de 
ejercicio predeterminado en una fecha futura predeterminada. El 
comprador tiene que pagar una prima al emisor en el momento de la 
realización del contrato. El contrato debe especificar entre otros 
elementos: 
I. Concepto a negociar (activo subyacente). 
II. La cantidad a negociar. 
III. El precio de compra. 
IV. La fecha de vencimiento. 
Este tipo de opciones presentan para el comprador ganancias ilimitadas al 
mismo tiempo que sus pérdidas se ven reducidas al valor de la prima que 
paga al firmar el contrato. En cambio el emisor presenta como ganancia 
máxima el valor de la prima y sus pérdidas son ilimitadas. 
Comprar un Call/ Posición larga del Call. Posición adecuada ante 
perspectivas de evolución claramente alcista de la cotización. El riesgo 
para el comprador se limita al precio pagado por la opción (prima). 
 
Gráfica 2.1 Posición larga del call. 
 
Fuente: Elaboración propia. 
 
45 
 
Vender un Call/ Posición corta del Call. Posición adecuada ante perspectivas 
de evolución bajista de la cotización. Sirve como cobertura limitada ante 
una caída leve de los precios. El beneficio máximo es la prima cobrada. 
La opción de compra corta (short Call), es la contraparte de la opción de 
compra larga (Call); esta contraparte tiene la obligación de vender el 
activo subyacente a un cierto precio en una fecha futura determinada al 
poseedor del Call debido a que recibe de éste una prima. 
 
Gráfica 2.2 Posición corta del call. 
 
Fuente: Elaboración propia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
2.2.2 Opciones de venta (Put) 
 
Una opción de venta otorga al comprador el derecho, más no la 
obligación, de vender el activo subyacente a un precio predeterminado 
en una fecha preestablecida o antes. El contrato especifica los mismos 
puntos que el de opciones de compra. En estos contratos al igual que en 
los de compra el emisor tiene una ganancia reducida a la prima y 
pérdidas ilimitadas, la situación del comprador es la contrarias, es decir, 
presenta pérdidas reducidas a la prima y ganancias ilimitadas. 
En una opción de venta el inversionista tiene la expectativa de que el 
precio del activo subyacente bajará, es decir, si ocurre la expectativa de 
dicho inversionista entonces obtendrá ganancias, de echo las ganancias y 
las pérdidas son limitadas, teniendo como pérdida máxima el pago de la 
prima. 
 
Comprar un Put/ Posición larga del Put. Posición adecuada ante perspectivas 
de evolución claramente bajista de la cotización. El riesgo pérdida para el 
comprador se limita a la prima pagada por la opción. 
 
Gráfica 2.3 Posición larga del put. 
 
Fuente: Elaboración propia. 
 
47 
 
Vender un Put/ Posición corta del Put. Posición que da el siguiente resultado: si 
la cotización sube se obtiene exclusivamente el beneficio de la prima; en 
cambio, si desciende, se puede obtener una fuerte pérdida. 
La opción de venta corta (short Put), es la contraparte de la opción Put 
(posición larga de una opción de venta), esta contraparte tiene la 
obligación de comprar el activo subyacente a un cierto precio en una 
fecha futura determinada al poseedor de la opción Put, debido a que 
recibe de éste una prima. 
 
Gráfica 2.4 Posición corta del put. 
 
Fuente: Elaboración propia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
2.3 Tipos de opciones financieras 
 
Las opciones también se pueden clasificar de acuerdo al tiempo en que se 
puede ejercer el derecho que ellas otorgan, siendo éstas: opciones 
americanas y opciones europeas. 
La mayoría de los contratos negociadosen todo el mundo se realizan 
mediante opciones americanas. Pero estas presentan una mayor dificultad 
para su valuación que las europeas, y por lo mismo las propiedades de las 
americanas se derivan y explican a través de las propiedades de las 
europeas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
2.3.1 Americanas 
 
Las opciones americanas son aquellas en las que se puede ejercer el 
derecho a comprar o vender en cualquier fecha hasta el día de 
vencimiento, es decir, durante la vida de la opción. 
 Opción Call americana: Este contrato obliga al vendedor de la 
opción a vender el activo subyacente en caso de que el comprador 
de la opción ejerza el derecho de comprar el subyacente en o antes 
de la fecha de vencimiento. 
 Opción Put americana: Este contrato obliga al vendedor de la 
opción a comprar el activo subyacente en caso de que el 
comprador de la opción ejerza el derecho de vender el subyacente 
en o antes de la fecha del vencimiento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
2.3.2 Europeas 
 
Son aquellas que sólo pueden ser ejercidas en la fecha de vencimiento. 
 Opción Call europea: Este contrato obliga al vendedor de la opción 
a vender el activo subyacente en caso de que el comprador de la 
opción ejerza el derecho de comprar el subyacente en la fecha de 
vencimiento. 
 Opción Put europea: Este contrato obliga al vendedor de la opción 
a comprar el activo subyacente en caso de que el comprador de la 
opción ejerza el derecho de vender el subyacente en la fecha de 
vencimiento. 
 
 
Cuadro 2.2 Clasificación de opciones por su estilo. 
 
 
Fuente: Elaboración propia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
2.4 Opciones dentro, fuera y en el dinero 
 
El valor intrínseco de una opción se expresa de la siguiente forma: 
 0,XSMaxI Tc  (2.1) 
 
 0,Tp SXMaxI  (2.2) 
 
Notación: 
cI : Valor intrínseco de una opción de compra. 
pI : Valor intrínseco de una opción de venta. 
X : Precio de ejercicio. 
TS : Precio del activo subyacente al tiempo T. 
Cuando el valor intrínseco es mayor a cero tanto para la opción de 
compra o de venta, se garantiza no perder el total de la prima. 
Las opciones pueden clasificarse, dependiendo de la relación que exista 
entre el precio pactado de ejercicio y el precio de mercado de la 
siguiente manera: 
I. Dentro del dinero (in-the-money): Cuando el precio de mercado 
excede el precio de ejercicio en una opción de compra; y cuando 
el precio de mercado es menor al precio de ejercicio para una de 
venta. 
II. Fuera del dinero (out-of-the-money): Cuando sucede lo contrario, es 
decir, cuando el precio de mercado es menor al precio de ejercicio 
en una opción de compra; y cuando el precio de mercado es 
mayor al precio de ejercicio en una de venta. 
III. En el dinero (at-the-money): Esto se da cuando el precio de 
mercado y el precio de ejercicio son el mismo, se cumple tanto para 
opciones de compra como para las ve venta. 
 
52 
 
Cuadro 2.3 Clasificación de opciones en función del precio de ejercicio. 
 
Fuente: Elaboración propia. 
 
La clasificación del Cuadro 2.3 determina el precio a pagar por comprar la 
opción, ya que las opciones que se encuentran dentro del dinero van a 
implicar necesariamente primas altas, puesto que con estos contratos es 
muy probable que se logren ganancias si se ejercen al vencimiento, en 
cambio las opciones que se encuentran fuera del dinero implican primas 
muy bajas, ya que seguramente terminan sin ser ejercidas. 
 
Gráfica 2.5 Análisis de la opción call. 
 
Fuente: Elaboración propia. 
 
53 
 
Gráfica 2.6 Análisis de la opción put. 
 
 
Fuente: Elaboración propia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
 
2.5 Factores para la determinación de los precios de las opciones de 
compra (Call) y Venta (Put) 
 
A continuación se mencionan los factores de los cuales depende el valor 
de una opción: 
I. Precio actual del bien subyacente  0S : Es el precio del activo 
subyacente al inicio del contrato. Es el determinante más 
importante. Cuanto mayor es el precio del activo subyacente, mayor 
es el precio de la opción de compra (mayor probabilidad de 
encontrarse dentro del dinero) y menor el de la opción de venta 
(menor posibilidad de encontrarse dentro del dinero). 
 
II. Precio de ejercicio de la opción  X : Cuánto más alto sea el precio de 
ejercicio, más barata debe ser la opción de compra y más cara 
debe ser la opción de venta. Sin embargo, cabe recordar que el 
precio de una opción de compra no puede ser negativo aún si el 
precio de ejercicio es muy alto. Mientras la opción tenga aún cierta 
vigencia, existe la posibilidad de que el precio del subyacente 
exceda al precio de ejercicio antes de su vencimiento y la posición 
tiene algún valor en el tiempo. Análogamente, en el caso de una 
opción de venta, su valor intrínseco no puede ser negativo, aún si el 
precio de ejercicio es muy bajo. Y mientras la opción de venta tenga 
vigencia, existe la posibilidad de que el precio del subyacente 
descienda más allá del precio de ejercicio y por tanto la opción 
tiene al menos cierto valor en el tiempo. 
 
 
III. Tasa de interés libre de riesgo  i : Es el costo de oportunidad de la 
inversión en una opción, a medida que la tasa de interés libre de 
riesgo se incrementa, el precio de las opciones de compra aumenta 
y el precio de las opciones de venta disminuye. Este impacto no es 
tan evidente. Mientras más altas sean las tasas de interés, más bajo 
es el precio de ejercicio de una opción de compra. Así, las tasas de 
interés producen el mismo efecto que bajar el precio de ejercicio de 
la opción de compra. 
 
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IV. Plazo al vencimiento  T : Mientras mayor es el plazo que aún tiene de 
vigencia la opción, mayor es la posibilidad de ejercer, por lo tanto 
mayor será el precio de las opciones, tanto de compra como de 
venta. 
 
 
V. Volatilidad del activo subyacente   : La volatilidad se refiere al posible 
rango de variaciones de los precios del subyacente. Los incrementos 
en la volatilidad del precio del bien subyacente siempre tienen el 
efecto de que aumenta el precio de las opciones, sean estas de 
compra o venta, americanas o europeas, porque aumentan la 
posibilidad de que el precio del bien subyacente rebase el precio de 
ejercicio provocando que la opción sea ejercida. 
 
VI. 252 días: Es el número de días que conforma un año financiero; 
debido a que no se realizan operaciones en la Bolsa Mexicana de 
Valores (BMV) los días sábado, domingo y días festivos. 
 
En resumen se puede decir que el valor de una opción de compra 
generalmente aumenta cuando el precio actual de las acciones, el 
vencimiento, la volatilidad y el tipo de interés libre de riesgo aumentan. El 
valor de una opción de compra disminuye cuando aumentan el precio de 
ejercicio y los dividendos esperados. El valor de una opción de venta 
generalmente aumenta cuando el precio de ejercicio, el tiempo de 
expiración, la volatilidad, y los dividendos esperados aumentan. El valor de 
una opción de venta disminuye cuando el precio actual de las acciones y 
la tasa de interés libre de riesgo aumentan. 
 
 
 
 
 
 
 
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2.6 Modelo cerrado para la valuación de opciones financieras (Modelo 
de Black y Scholes) 
 
El modelo desarrollado por Fisher Black y Myron Scholes en 1973 implicó sin 
duda una revolución en la operatoria de opciones. Desde ese momento, 
los mercados de opciones están en constante expansión. La fórmula 
presentada por estos autores es la más utilizada en los mercados 
financieros para valuar opciones. 
La gran ventaja de este modelo es que la valuación se realiza mediante 
una fórmula sumamente sencilla. 
En primer lugar hay que mencionar que el modelo de Black and Scholes 
fue desarrollado para valuar opciones europeas