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Taller 04 – Qúımica 3 (116056M)
José G. López
Departamento de Qúımica
Universidad del Valle
Cali, Colombia
16 de noviembre de 2019
1. Vea el video mostrado en clase sobre la vibración de una cuerda para generar ondas estacio-
narias https://www.youtube.com/watch?v=cnH2ltfW48U y deduzca una fórmula para las
frecuencias de las ondas estacionarias clásicas como función de la frecuencia de menor valor.
Nota: La frecuencia de menor valor se denomina de diferentes maneras: frecuencia funda-
mental, primer armónico o sobretono fundamental. Las ondas estacionarias con frecuencias
mayores que la fundamental se denominan armónicos superiores (segundo armónico, tercer
armónico, etc.) o sobretonos (primer sobretono, segundo sobretono, etc. ).
2. La velocidad de propagación de una onda mecánica solo depende del medio en la que
se propaga. Por tanto, todas las ondas estacionarias producidas por la vibración de una
cuerda de guitarra tienen la misma velocidad de propagación. En este problema considere
una cuerda de guitarra de 80 cm de longitud y con una frecuencia fundamental de 400 Hz.
a) Calcule la velocidad de propagación de las ondas estacionarias producidas por la
cuerda de guitarra.
b) Calcule las frecuencias del segundo, tercero y cuarto armónicos a partir de la velocidad
de propagación que usted calculó en el literal (a). Compare su resultado con los
obtenidos con la fórmula que usted dedujo en el numeral (1).
3. Con base en las condiciones que debe satisfacer una función de onda para describir el estado
f́ısico de un sistema, determine si cada una de las siguientes funciones es o no aceptable.
a) e−x, −∞ < x <∞
b) e−|x|, −∞ < x <∞
c) e−r, 0 < r <∞
4. Compruebe que las fórmulas de la hipótesis de De Broglie (p = h/λ y E = hν) pueden
escribirse como:
p = ~k, E = ~ω
1
https://www.youtube.com/watch?v=cnH2ltfW48U
5. Una onda plana puede expresarse como:
Ψ(x, t) = Aei(kx−ωt)
donde k = 2π/λ y w = 2πν.
a) Utilice la fórmula de Euler para expresar esta función de la forma a+ ib. ¿Cuál es la
dirección de desplazamiento de esta onda? Nota: Para responder esta pregunta analice
la parte real, a = Re[Ψ(x, t)], y la parte imaginaria, b = Im[Ψ(x, t)], por separado.
b) Compruebe que la onda plana es solución de la ecuación de Schrödinger dependiente
del tiempo (ESDT) para la part́ıcula libre. Sugerencia: Utilice las fórmulas de la
hipótesis de De Broglie para resolver este problema. Nota: Tenga presente que una
part́ıcula libre está descrita por el potencial V (x) = 0 en todo el eje x y que la enerǵıa
de una part́ıcula libre es E = p22m
c) La onda plana es un estado estacionario. Confirme esta afirmación verificando las dos
caracteŕısticas que debe tener un estado estacionario: (i) el módulo al cuadrado de
la onda plana |Ψ(x, t)|2 no debe depender del tiempo, (ii) La onda plana debe tener
enerǵıa fija.
d) Calcule la constante de normalización A para una onda plana. ¿Es la onda plana una
función de onda aceptable para describir un sistema f́ısico?
6. Considere una part́ıcula de masa m en una caja de potencial unidimensional de ancho L
y de paredes de altura infinita:
V (x) =

+∞, x ≤ 0
0 0 < x < L
+∞, x ≥ L
descrita por el estado fundamental del modelo de part́ıcula en una caja unidimensional.
a) Escriba el estado estacionario Ψ1(x, t). ¿Cómo confimaŕıa usted que este es un estado
estacionario?
b) Calcule la densidad de probabilidad cuántica, ρQ(x), para este estado. Realice cuali-
tativamente el gráfico de x vs ρQ(x) de dicha densidad de probabilidad.
Nota: Puede utilizar una calculadora graficadora, o el programa geogebra https:
//www.geogebra.org, para realizar el gráfico solicitado asignando el valor de 1.0 a
cualquier constante que aparezca en la expresión matemática a graficar.
c) Sin realizar cálculo alguno, escriba el valor promedio de x, 〈x〉. Compruebe su resul-
tado realizando el cálculo expĺıcito de 〈x〉.
d) Calcule la probabilidad de encontrar a la part́ıcula (i) entre 0 y L/2, (ii) entre 0 y
0.23L y (ii) en L/2.
e) Si 10 000 part́ıculas fueran descritas por esta función de onda, ¿cuántas esperaŕıa
usted encontrar en la región entre 0 y L/2? Si al realizar la medición usted encontró
que son 5138 ¿qué pensaŕıa de su predicción?
2
https://www.geogebra.org
https://www.geogebra.org
Fórmulas de algunas integrales
En las integrales siguientes a > 0 y n = 0, 1, 2, . . .
1.
∫ ∞
−∞
x2ne−ax
2
dx = 2
∫ ∞
0
x2ne−ax
2
dx
2.
∫ ∞
−∞
x2n+1e−ax
2
dx = 0
3.
∫ ∞
−∞
e−ax
2
dx =
√
π
a
4.
∫ ∞
−∞
e−(ax
2
+bx+c)dx =
√
π
a
e(b
2−4ac)/4a
5.
∫ ∞
0
xe−ax
2
dx =
1
2a
6.
∫ ∞
0
x2ne−ax
2
dx =
(2n)!π1/2
22n+1n!an+1/2
7.
∫ ∞
0
x2n+1e−ax
2
dx =
n!
2an+1
8.
∫
sen2 axdx =
x
2
− sen 2ax
4a
9.
∫
x sen2 axdx =
x2
4
−x sen 2ax
4a
− cos 2ax
8a2
3