Análise de Heteroscedasticidade em Econometria

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TRABAJO DE ECONOMETRIA (Heteroscedasticidad) 
 
11.1 Establézcase si las siguientes afirmaciones son ciertas, falsas o inciertas y brevemente de sus razones. 
 
a) En presencia de heteroscedasticidad, los estimadores MCO son sesgados al igual que ineficientes. (F) 
Porque en presencia de heteroscedasticidad los estimadores de MCO siguen siendo insesgados y consistentes pero 
ya no tienen varianza mínima es decir, ya no son eficientes. 
 
b) Si hay heteroscedasticidad, las pruebas convencionales t y F son inválidas. (V) 
Porque dado que Var ( )
het2β̂ no es mínima los intervalos de confianza tienden a ser innecesariamente grandes y las 
pruebas “t” y “F” tienden a ser imprecisas. 
 
c) En presencia de heteroscedasticidad, el método MCO usual sobreestima siempre los errores estándar de 
los estimadores. (V) 
Porque la característica más sobresaliente de estos resultados es que los MCO, con o sin corrección por 
heteroscedasticidad , sobreestiman consistentemente el verdadero error estándar obtenido mediante el 
procedimiento MCG, especialmente para valores grandes de α, con lo cual se establece la superioridad de MCG. 
 
d) Si los residuales estimados a través de una estimación MCO exhiben un patrón sistemático, significa que 
hay presencia de heteroscedasticidad en los datos. (V) 
Porque si los residuos al cuadrado nos da un valor mayor que cero o nos presenta un patrón sistemático significa 
que existe heteroscedasticidad. 
 
e) No hay una prueba general de heteroscedasticidad que este libre de supuesto alguno sobre cuál de las 
variables esta correlacionada con el término de error. (F) 
Porque no existe una prueba que nos señale específicamente que variable explicativa esta relacionada con el 
término de perturbación, sino que más bien nos dan pruebas generales para detectar heteroscedasticidad. 
 
f) Si el modelo de regresión esta mal especificado (por ejemplo, se ha omitido una variable importante), los 
residuos MCO mostraran un patrón claramente distinguible. (V) 
Es verdadero porque al omitir una variable que tiene relevancia teórica en el modelo se va a distinguir claramente 
un patrón sistemático, ya que los residuos van a presentar un gran peso por la variable omitida. 
 
g) Si una regresora que tiene varianza no constante se omite (incorrectamente) de un modelo, los residuos 
MCO serán heteroscedásticos. (V) 
Es verdadero porque si se omite una variable que tiene varianza no constante, esta va a seguir presente en el modelo 
a través del término de perturbación y seguirá siendo heteroscedástica. 
 
11.2 En una regresión de salarios promedio (W,$) sobre el número de empleados (N) para una muestra 
aleatoria de 30 empresas. Se obtuvieron los siguientes resultados: 
 
 =Ŵ 7.5 + 0.009N 
 t = n.a. (16.10) R 90.02 = 
 
NW /ˆ = 0.008 + 7.8 (1/N) 
 t =(14.43) (76.58) 2R = 0.99 
 
a) ¿Cómo se interpretan las dos regresiones? 
 
i) Dado un incremento unitario en el número de empleados se estima que los salarios promedio también se 
incrementará en 0.009 dólares, es decir existe una relación directa entre los salarios promedio y el número de 
empleados, por tanto si se incrementa el número de empleados también se incrementarán los salarios promedios y 
viceversa. 
 
ii) Como observamos en la segunda regresión podemos darnos cuenta que el autor trata de corregir la 
heteroscedasticidad dividiendo el modelo para la variable estocástica con lo cual el modelo mejora ya que se 
obtiene un coeficiente de determinación mayor y las pruebas “t” de significancia individual se incrementan. 
 
b) ¿Qué esta suponiendo el autor al pasar de la ecuación (1) a la (2)? ¿Estaba preocupado por la 
heteroscedasticidad? ¿Cómo se sabe? 
El autor al pasar de la ecuación (1) a la (2) supone que existe heteroscedasticidad y por la misma razón trata de 
corregir este problema dividiendo la regresión para la variable heteroscedástica a través del método de Mínimos 
Cuadrados Generalizados que es capaz de producir estimadores que son MELI. 
 
c) ¿Se puede relacionar las intersecciones y las pendientes de los modelos? 
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Sí, ya que estamos considerando un mismo modelo en donde las relaciones entre las variables son directas, pero se 
puede observar que las pendientes y las intersecciones cambian debido a que se utiliza una medida para corregir la 
heteroscedasticidad. 
 
d) ¿Se pueden comparar los valores 2R de los modelos? ¿Por que si o por que no? 
Los coeficientes de determinación no son comparables en estos dos modelos de regresión ya que la variable 
dependiente no es la misma debido a la corrección de la heteroscedasticidad. 
 
11.4 Aunque los modelos logarítmicos tales como el modelo de la ecuación (11.6.12) frecuentemente reducen 
la heteroscedasticidad, se debe prestar cuidadosa atención a las propiedades del término de perturbación de 
tales modelos. Por ejemplo, el modelo: 
 
iii uXY
2
1
ββ= 
puede escribirse como 
iii uXY lnlnlnln 21 ++= ββ 
a) Si iuln tiene valor esperado cero, ¿cuál debe ser la distribución de iu ? 
La distribución debe ser normal porque la heteroscedasticidad no afecta a la distribución de ui sino que afecta a que 
la varianza en cada muestreo repetido es diferente. 
 
 
 
b) Si 1)( =iuE , ¿será 0)(ln =iuE ? ¿Porqué sí o porqué no? 
Si es igual porque el logaritmo natural de 1 es igual a cero, y por lo tanto no esta afectando al valor esperado de ui 
sino que afecta únicamente a la varianza de ui. 
 
c) Si )(ln iuE es diferente de cero, ¿qué puede hacerse para volverlo cero? 
Para que este sea cero podríamos multiplicar al resultado de )(ln iuE por cero y de esta manera lograríamos el 
objetivo, y por tanto el 1)( =iuE . 
 
11.6 Con propósitos pedagógicos Hanushek y Jackson estiman el siguiente modelo: 
 
ittt uDPNBC +++= 321 βββ 
 
donde =tC gasto agregado de consumo privado en el año t, .PNBt=producto nacional bruto en el año t y Dt= 
gasto de defensa nacional en el año t, siendo el objetivo del análisis estudiar el efecto de los gastos de defensa 
sobre otros gastos en la economía. 
 
Postulan que 2σ t=
2σ (PNBt)
2, luego transforman (1) y estiman. 
tittttt PNBuPNBDPNBPNBC /)/()/1(/ 321 +++= βββ 
 
Los resultados empíricos basados en la información para 1946-1975 fueron los siguientes (errores estándar 
entre paréntesis): 
 
ttt DPNBC 4398.06248.019.26ˆ −+= 
 (2.73) (0.0060) (0.0736) R2=0.999 
 
)/(4315.06246.0)/1(92.25ˆ/ ttttt PNBDPNBBNPC −+= 
 (2.22) (0.0068) (0.0597) R2=0.875 
 
a) ¿Qué supuesto hacen los autores sobre la naturaleza de la heteroscedasticidad? 
¿Puede justificarse? 
El supuesto que hacen los autores sobre la naturaleza de la heteroscedasticidad es que la varianza del término de 
perturbación no es constante a lo largo de la regresión y esto puede justificarse debido a que han sido omitidas 
algunas variables relevantes en el modelo. 
 
b) Compárense los resultados de las dos regresiones. ¿La transformación del modelo original ha mejorado 
los resultados, es decir, ha reducido los errores estándar estimados? ¿Por qué si o por qué no? 
En general podemos darnos cuenta que en los modelos las relaciones existentes entre las variables explicativas y la 
dependiente no cambian, pero como los autores señalan que existe heteroscedasticidad tratan de mejorar el modelo 
y como resultado se obtiene que en su mayoría los errores estándar disminuyen porque aplicando una medida de 
corrección se espera que la varianza sea mínima y por lo tanto los errores estándar también sean mínimos. 
 
c) ¿Se puede comparar los dos valores de R2? ¿Por qué si o por qué no? (Pista: Examínense las variables 
dependientes) 
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No se pueden comparar los valores del coeficiente de determinación ya que la variabledependiente en estos 
modelos de regresión no es la misma siendo esta una condición necesaria para que los 2R sean comparables. 
 
11.8 Pruébese que si wwi = una constante, para cada 22 ˆ,, ββi son idénticos al igual que sus varianzas. 
 
∑
∑
=
i
ii
x
yx
22
β̂ Estimador de MCO 
 
( )∑ ∑
∑∑ ∑
−
−
=
222
ˆ
ii
iiii
XXn
YXYXn
β 
 
 
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )22
2
*ˆ
∑∑∑
∑∑∑∑
−
−
=
iiiii
iiiiiiii
XwXww
YwXwYXww
β Estimador MCG 
 
Si asumimos que wi = w tenemos que w = constante y utilizando artificios matemáticas tenemos: 
 
( ) ( )( )
( ) ( )2222
22
2
*ˆ
∑∑
∑∑∑
−
−
=
ii
iiii
XwXnw
YXwYXnw
β 
 
( ) ( )( )[ ]
( ) ( )[ ]222
2
2
*ˆ
∑∑
∑∑∑
−
−
=
ii
iiii
XXnw
YXYXnw
β 
 
Tenemos que 22
* ˆˆ ββ = por lo tanto: 
 
( ) ( )( )[ ]
( )[ ] 2222
* ˆˆ ββ =
−
−
=
∑∑
∑∑∑
ii
iiii
YXn
YXYXn
 
 
 
Varianza: 
( )
( )22
22
2
2 ˆvar
∑
∑
=
i
ii
x
x σ
β estimador de MCO 
 
( )
( )( ) ( )22
2
*2 ˆvar
∑∑∑
∑
−
=
iiiii
i
xwxww
w
β estimador MCG 
 
 
 
Si asumimos que wi =w tenemos: w= constante: 
 
( )
( ) ( )2222
*
2
2 ˆvar
∑∑ −
=
ii XwXnw
nw
β 
( )
( ) ( )[ ]222
*
2
2 ˆvar
∑∑ −
=
ii XXnw
nw
β 
 
 
Pero como sabemos que: 
 
σ
1
=w entonces nos quedaría: 
( )
∑
=
2
*
2
2 ˆvar
ix
σ
β 
 
 
11.11 Con la información dada en la tabla 11.1, efectúese la regresión de la compensación salarial promedio 
Y sobre la productividad promedio X, considerando al tamaño de empleo como unidad de observación. 
Interprétense sus resultados y véase si éstos están de acuerdo con los presentados en (11.5.3). 
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Tabla 11.1 
 
COMPENSACION POR EMPLEADO (US$) EN LA INDUSTRIA DE MANUFACTURA DE BIENES NO 
DURABLES, DE ACUERDO CON EL TAMAÑO DEL EMPLEO DEL ESTABLECIMIENTO, 1958 
 
 
 Empleo generado (número promedio de empleados) 
INDUSTRIA 
 01-abr 05-sep 01-oct 20-49 50-99 100-249 250-499 500-999 1000-2499 
Alimentos y productos afines 2994 3295 3565 3907 4189 4486 4676 4968 5342 
Productos derivados del trabajo 1721 2057 3336 3320 2980 2848 3072 2969 3822 
Productos textiles 3600 3657 3674 3437 3340 3334 3225 3163 3168 
Confecciones y productos 
relacionados 3494 3787 3533 3215 3030 2834 2750 2967 3453 
Papel y productos derivados 3498 3847 3913 4135 4445 4885 5132 5342 5326 
Industria de imprenta y editoriales 3611 4206 4695 5083 5301 5269 5182 5395 5552 
Productos químicos y relacionados 3875 4660 4930 5005 5114 5248 5630 5870 5876 
Productos del petróleo y del carbón 4616 5181 5317 5337 5421 5710 6316 6455 6347 
Productos del caucho y del plástico 3538 3984 4014 4287 4221 4539 4721 4905 5841 
Cuero y productos de Cuero 3016 3196 3149 3317 3414 3254 3177 3346 4067 
Compensación salarial promedio 3396 3787 4013 4014 4146 4241 4387 4538 4843 
Desviación Estándar 742,2 851,4 727,8 805,1 929,9 1080,6 1243,2 1307,7 1112,5 
Productividad Promedio 9355 8584 7962 8275 8389 9418 9795 10281 11750 
 
 
 
Con los datos presentados en la tabla anterior y aplicando el programa Eviews nos presenta los siguientes 
resultados: 
 
 
Dependent Variable: Y 
Method: Least Squares 
Date: 05/02/07 Time: 16:21 
Sample: 1 9 
Included observations: 9 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 1992.062 936.6123 2.126880 0.0710 
X 0.232999 0.099853 2.333428 0.0523 
R-squared 0.437520 Mean dependent var 4161.778 
Adjusted R-squared 0.357166 S.D. dependent var 420.6625 
S.E. of regression 337.2744 Akaike info criterion 14.67280 
Sum squared resid 796278.0 Schwarz criterion 14.71663 
Log likelihood -64.02760 F-statistic 5.444885 
Durbin-Watson stat 0.616592 Prob(F-statistic) 0.052349 
 
ii XY ˆ2329.03452.1992ˆ += 
ee (936.4791) (0.0998) (11.5.3) 
 t (2.1275) (2.333) R 4375.02 = 
 
 
ii XY ˆ232999.0062.1992ˆ += 
ee (936.6123) (0.099853) modelo corrido 
 t (2.126880) (2.333428) R 4375.02 = 
 
 
Donde: 
 
=Ŷ Compensación salarial promedio 
=X̂ La productividad promedio 
 
Estos valores obtenidos si están de acuerdo con los datos presentados en el (11.5.3) 
 
INTERPRETACIÓN: 
 
2β̂ 
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Dados incrementos unitarios en la producción promedio se estima que la compensación salarial promedio se 
incrementará en 0.233 dólares, en esta regresión existe una relación directa entre la compensación salarial promedio 
y la productividad promedio es decir, si incrementa el uno también se incrementará el otro y viceversa. 
 
a) De la regresión anterior, obténgase los residuos iû . 
 
Para cada Xi obtenemos como residuos los siguientes valores: 
 
RESIDUOS ( iû ) 
 
 
-775.7709 
 -205.1284 
 165.7972 
 183.8684 
 199.3065 
 54.55018 
 113.7094 
 150.4718 
 113.1957 
-800
-600
-400
-200
0
200
400
7000 8000 9000 10000 11000 12000
X
R
E
S
ID
RESID vs. X
 
 
b) Siguiendo la prueba de Park, efectúese la regresión de 2ˆln iu sobre iXln y verifíquese la regresión (11.5.4) 
 
 
 
Dependent Variable: LNABSRESID 
Method: Least Squares 
Date: 04/30/07 Time: 16:30 
Sample: 1 9 
Included observations: 9 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
LNX -2.802022 4.196134 -0.667763 0.5257 
C 35.82684 38.32272 0.934872 0.3810 
R-squared 0.059886 Mean dependent var 10.23844 
Adjusted R-squared -0.074416 S.D. dependent var 1.414819 
S.E. of regression 1.466517 Akaike info criterion 3.796787 
Sum squared resid 15.05470 Schwarz criterion 3.840615 
Log likelihood -15.08554 F-statistic 0.445907 
Durbin-Watson stat 1.137101 Prob(F-statistic) 0.525681 
 
 
 
Comparando los resultados de la regresión 11.5.4 con el modelo anteriormente corrido obtenemos los siguientes 
resultados. 
 
ii InXuIn 8099.2817.35ˆ
2 −= 
 ee = (38.319) (4.216) (11.5.4) 
 t = (0.934) (-0.667) R 0595.02 = 
 
ii InXuIn 80202.28268.35ˆ
2 −= 
 ee = (38.3227) (4.1961) modelo corrido 
 t = (0.93487) (-0.66776) R 0599.02 = 
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De acuerdo a la prueba de Park obtuvimos los resultados anteriores y fijándonos en el β̂ podemos concluir 
diciendo que no hay una relación estadísticamente significativa entre las dos variables y por lo tanto no hay 
heteroscedasticidad en la varianza del error. 
 
c) Siguiendo el método de Glejser, efectúese la regresión de iû sobre iX y luego efectúes la regresión de iû 
sobre iX y coméntense sus resultados. 
 
i) Modelo 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ii
iii
Xu
vXu
0203.04761.407
21
−=
++=
∧
∧
ββ
 
ee = (633.1895) (0.0675) 
 
 t= (0.6435) (-0.301456) 
 
 =2R 0.013 
 
 
Como podemos darnos cuenta con los resultados obtenidos al aplicar la prueba de Glejser nos damos cuenta que no 
existe relación entre el valor absoluto de los residuos y la variable explicativa productividad promedio, ya que 
Glejser sugiere hacer la regresión sobre los valores absolutos de los residuos sobre la variable X que se cree que 
está muy asociada con la varianza, por lo tanto existe homoscedasticidad. 
 
 
ii) Modelo 2 
 
 
Dependent Variable: ABSRESID 
Method: Least Squares 
Date: 04/30/07 Time: 16:50 
Sample: 1 9 
Included observations: 9 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
RAIZX -3.710851 13.30840 -0.278835 0.7884 
C 575.4432 1284.251 0.448077 0.6676 
R-squared 0.010985 Mean dependent var 217.9776 
Adjusted R-squared -0.130303 S.D. dependent var 214.6654 
S.E. of regression 228.2231 Akaike info criterion 13.89165 
Sum squared resid 364600.3 Schwarz criterion 13.93548 
Log likelihood -60.51244 F-statistic 0.077749 
Durbin-Watson stat 1.011648 Prob(F-statistic) 0.788429 
 
 
 
Dependent Variable: ABSRESID 
Method: LeastSquares 
Date: 04/30/07 Time: 16:45 
Sample: 1 9 
Included observations: 9 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
X -0.020350 0.067505 -0.301456 0.7718 
C 407.4761 633.1895 0.643529 0.5404 
R-squared 0.012816 Mean dependent var 217.9776 
Adjusted R-squared -0.128210 S.D. dependent var 214.6654 
S.E. of regression 228.0117 Akaike info criterion 13.88980 
Sum squared resid 363925.4 Schwarz criterion 13.93363 
Log likelihood -60.50411 F-statistic 0.090876 
Durbin-Watson stat 1.015122 Prob(F-statistic) 0.771825 
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 (-0.2788) (0.4480) t
(13,3084) (1284.251) 
7108,34432.575
21
=
=
−=
++=
∧
∧
ee
Xu
vXu
ii
iii ββ
 
 
=2R 0.011 
 
Utilizando otra de las formas funcionales de Glejser nos damos cuenta que no existe relación entre el valor absoluto 
de los residuos y la variable explicativa productividad promedio, es decir existe homoscedasticidad. 
 
d) Encuéntrese la correlación por rango entre iû y iX y coméntese sobre la naturaleza de la 
heteroscedasticidad presente en los datos, si ésta existe. 
 
XI 
iu Oxi Oui di di 2 
 9355.000 766.0088 5 9 -4 16 
 8584.000 189.0912 4 7 -3 9 
 7962.000 186.8968 1 6 -5 25 
 8275.000 112.4205 2 3 -1 1 
 8389.000 216.9308 3 8 -5 25 
 9418.000 63.79947 6 1 5 25 
 9795.000 118.8903 7 4 3 9 
 10281.00 152.6971 8 5 3 9 
 11750.00 103.4650 9 2 7 49 
 168 
 
( )







−
−=
∑
1
61
2
2
nn
d
rs
i 
 
( )




−
−=
1819
168
61rs 
 




−=
720
168
61rs 
 
4.11−=rs 
 
4.0−=rs 
 
21
2
rs
nrs
tdado
−
−
= 
( )13211111111.01
29566.0
−
−−
=dadot 
 
823947.0
499259.1−
=dadot 
 
81960.1−=dadot 
 
27.0−=calculadot 
 
 
 -1.82 -0.27 1.82 
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INTERPRETACIÓN: 
 
Como el “t” dado excede al “t” calculado en valores absolutos, entonces no hay suficiente evidencia estadística para 
rechazar la hipótesis de que existe homoscedasticidad por lo tanto hay heteroscedasticidad. 
 
11.13. Prueba de homogeneidad de varianza de Bartlett. Suponga que hay k varianzas muestrales 
independientes s1
2,s2
2,…,sk2 cada uno con f1, f2,…, fk g de l, provenientes de poblaciones normalmente 
distribuidas con mediau y varianza 2iσ . Supóngase además que se desea probar la hipótesis nula 
222
2
2
10 ... σσσσ ===== kH , es decir cada varianza muestral es una estimación de la misma varianza 
poblacional 2σ . 
Si la hipótesis nula es verdadera, entonces 
 
=2s
22
iiii sfsf ∑∑ = 
 ∑ if f 
 
Constituye una estimación común (agrupada) de la varianza poblacional 2σ , donde fi=(ni-1), siendo ni el 
número de observaciones en el grupo i-ésimo y donde .1 i
k
i ff ∑ == 
Bartlett ha demostrado que la hipótesis nula puede probarse por la razón A/B, que está distribuida 
aproximadamente como la distribución 2χ con k-1 g de l, donde 
)ln(ln 22 ii sfsfA ∑−= 
y 






−





−
+= ∑
ffk
B
11
)1(3
1
1
1
 
 
Aplíquese la prueba de Bartlett sobre los datos de la tabla 11.1 y verifíquese que no se puede rechazar la 
hipótesis de que las varianzas poblacionales de la compensación salarial son las mismas para cada tamaño de 
empleo del establecimiento, al nivel de significancia del 5%. 
Nota: f1, los g de l para cada varianza muestral, es 9, puesto que ni para cada muestra(es decir clase de 
empleo) es 10. 
 
Hipótesis 
 
222
2
2
10 ...: σσσσ ==== KH �Homoscedasticidad�
:aH �Heteroscedasticidad 
 
 f i 
2
ii sf 
2ln ii sf 1/ f i 
9 4957747,56 118,97 0,11 
9 6523937,64 121,44 0,11 
9 4767235,56 118,62 0,11 
9 5833094,432 120,44 0,11 
9 7782426,09 123,03 0,11 
9 10509267,24 125,73 0,11 
9 13865196,96 128,23 0,11 
9 15390713,61 129,17 0,11 
9 11098892,25 126,123 0,11 
81 80728511,34 1111,86 1 
 
Para aplicar la prueba de Bartlett necesitamos el resultado de los datos obtenidos anteriormente: 
Entonces: 
f
sf
f
sf
s
ii
i
k
i
ii ∑
∑
∑
== =
2
1
2
2 
2881.996648
72
34.807285112 ==s �
�
�
( )∑−= 22 lnln ii sfsfA �
 
86.1111)81215322.13(81 −=A �
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�
86.111178.1118 −=A 
 
92.6=A 
 
 
( ) 



−
−
+=
81
1
1
123
1
1B 
 
 
[ ]987654321.0
3
1
1+=B 
 
329218107.1=B 
 
21.5
329218107.1
92.6
==
B
A
 
 
222
2
2
10 ...: σσσσ ==== KH �Homoscedasticidad�
�
:aH �Heteroscedasticidad 
 
2/1 α− 
975.02/05.01 =− 
gl= 10-2 
gl= 8 
 
χ 17973.22 = con 2/1 α− y con 8 gl. 
 
 
χ
2 = 17.5346 con α/2 y con 8 gl. 
 
º 
 2.18 5.21 17.53 
 
INTERPRETACIÓN: 
 
Según la prueba de Bartlett no existe suficiente evidencia estadística para rechazar la 2222
2
10 ...: σσσσ ==== KH �
con un 95% de confianza, por lo tanto existe homoscedasticidad, es decir que la varianza es constante a lo largo de 
la regresión. 
 
11.15. La tabla 11.7 proporciona datos sobre 81 automóviles respecto a su: MPG (millas promedio por galón), 
CF(caballos de fuerza de su motor), VOL(pies cúbicos de su cabina), VM(velocidad máxima en millas por hora) y 
su PS(peso del vehículo en cientos de lbs). 
 
TABLA 11.7 
 
obs MPG VM CF VOL PS 
1 65.40000 96.00000 49.00000 89.00000 17.50000 
2 56.00000 97.00000 55.00000 92.00000 20.00000 
3 55.90000 97.00000 55.00000 92.00000 20.00000 
4 49.00000 105.0000 70.00000 92.00000 20.00000 
5 46.50000 97.00000 53.00000 92.00000 20.00000 
6 46.20000 98.00000 70.00000 89.00000 20.00000 
7 45.40000 107.0000 55.00000 92.00000 20.00000 
8 59.20000 103.0000 62.00000 50.00000 22.50000 
9 53.30000 113.0000 62.00000 50.00000 22.50000 
10 43.40000 113.0000 80.00000 94.00000 22.50000 
11 41.10000 103.0000 73.00000 89.00000 22.50000 
12 40.90000 113.0000 92.00000 50.00000 22.50000 
13 40.90000 113.0000 92.00000 99.00000 22.50000 
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14 40.40000 103.0000 73.00000 89.00000 22.50000 
15 39.60000 100.0000 66.00000 89.00000 22.50000 
16 39.30000 103.0000 73.00000 89.00000 22.50000 
17 38.90000 106.0000 78.00000 91.00000 22.50000 
18 38.80000 113.0000 92.00000 50.00000 22.50000 
19 0.380000 106.0000 78.00000 91.00000 22.50000 
20 42.20000 109.0000 90.00000 103.0000 25.00000 
21 40.90000 110.0000 92.00000 99.00000 25.00000 
22 40.70000 101.0000 74.00000 107.0000 25.00000 
23 40.00000 111.0000 95.00000 101.0000 25.00000 
24 39.30000 105.0000 81.00000 96.00000 25.00000 
25 38.80000 111.0000 95.00000 89.00000 25.00000 
26 38.40000 110.0000 92.00000 50.00000 25.00000 
27 38.40000 110.0000 92.00000 117.0000 25.00000 
28 38.40000 110.0000 92.00000 99.00000 25.00000 
29 46.90000 90.00000 52.00000 104.0000 27.50000 
30 36.30000 112.0000 103.0000 107.0000 27.50000 
31 36.10000 103.0000 84.00000 114.0000 27.50000 
32 36.10000 103.0000 84.00000 101.0000 27.50000 
33 35.40000 111.0000 102.0000 97.00000 27.50000 
34 35.30000 111.0000 102.0000 113.0000 27.50000 
35 35.10000 102.0000 81.00000 101.0000 27.50000 
36 35.10000 106.0000 90.00000 98.00000 27.50000 
37 35.00000 106.0000 90.00000 88.00000 27.50000 
38 33.20000 109.0000 102.0000 86.00000 30.00000 
39 32.90000 109.0000 102.0000 86.00000 30.00000 
40 32.30000 120.0000 130.0000 92.00000 30.00000 
41 32.20000 106.0000 95.00000 113.0000 30.00000 
42 32.20000 106.0000 95.00000 106.0000 30.00000 
43 32.20000 109.0000 102.0000 92.00000 30.00000 
44 32.20000 106.0000 95.00000 88.00000 30.00000 
45 31.50000 105.0000 93.00000 102.0000 30.00000 
46 31.50000 108.0000 100.0000 99.00000 30.0000047 31.40000 108.0000 100.0000 111.0000 30.00000 
48 31.40000 107.0000 98.00000 103.0000 30.00000 
49 31.20000 120.0000 130.0000 86.00000 30.00000 
50 33.70000 109.0000 115.0000 101.0000 35.00000 
51 32.60000 109.0000 115.0000 101.0000 35.00000 
52 31.30000 109.0000 115.0000 101.0000 35.00000 
53 31.30000 109.0000 115.0000 124.0000 35.00000 
54 30.40000 133.0000 180.0000 113.0000 35.00000 
55 28.90000 125.0000 160.0000 113.0000 35.00000 
56 28.00000 115.0000 130.0000 124.0000 35.00000 
57 28.00000 102.0000 96.00000 92.00000 35.00000 
58 28.00000 109.0000 115.0000 101.0000 35.00000 
59 28.00000 104.0000 100.0000 94.00000 35.00000 
60 28.00000 105.0000 100.0000 115.0000 35.00000 
61 27.70000 120.0000 145.0000 111.0000 35.00000 
62 25.60000 107.0000 120.0000 116.0000 40.00000 
63 25.30000 114.0000 140.0000 131.0000 40.00000 
64 23.90000 114.0000 140.0000 123.0000 40.00000 
65 23.60000 117.0000 150.0000 121.0000 40.00000 
66 23.60000 122.0000 165.0000 50.00000 40.00000 
67 23.60000 122.0000 165.0000 114.0000 40.00000 
68 23.60000 122.0000 165.0000 127.0000 40.00000 
69 23.60000 122.0000 165.0000 123.0000 40.00000 
70 23.50000 148.0000 245.0000 112.0000 40.00000 
71 23.40000 160.0000 280.0000 50.00000 40.00000 
72 23.40000 121.0000 162.0000 135.0000 40.00000 
73 23.10000 121.0000 162.0000 132.0000 40.00000 
74 22.90000 110.0000 140.0000 160.0000 45.00000 
75 22.90000 110.0000 140.0000 129.0000 45.00000 
76 19.50000 121.0000 175.0000 129.0000 45.00000 
77 18.10000 165.0000 322.0000 50.00000 45.00000 
78 17.20000 140.0000 238.0000 115.0000 45.00000 
79 17.00000 147.0000 263.0000 50.00000 45.00000 
80 16.70000 157.0000 295.0000 119.0000 45.00000 
81 13.20000 130.0000 236.0000 107.0000 55.00000 
 
 
Donde: 
VOL = pies cúbicos del espacio de la cabina 
CF = caballos de fuerza del motor. 
MPG = millas promedio por galón. 
VM = velocidad máxima. 
PS = peso del vehiculo, cientos de libra. 
 
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a) Considere el siguiente modelo: 
 
ii uPSCFVMMPG ++++= 4321 ββββ 
 
Estime los parámetros de este modelo e interprete los resultados. ¿Tiene significado económico? 
 
Con los datos presentados en la tabla anterior corremos el modelo en el programa Eviews y obtenemos los 
siguientes resultados: 
 
Dependent Variable: MPG 
Method: Least Squares 
Date: 05/03/07 Time: 17:52 
Sample: 1 81 
Included observations: 81 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 75.72373 28.61802 2.646015 0.0099 
VM -0.111336 0.289859 -0.384103 0.7020 
CF 0.011069 0.095636 0.115738 0.9082 
PS -1.003452 0.265787 -3.775403 0.0003 
R-squared 0.664598 Mean dependent var 33.36765 
Adjusted R-squared 0.651531 S.D. dependent var 10.70712 
S.E. of regression 6.320552 Akaike info criterion 6.573612 
Sum squared resid 3076.102 Schwarz criterion 6.691856 
Log likelihood -262.2313 F-statistic 50.85849 
Durbin-Watson stat 1.394075 Prob(F-statistic) 0.000000 
 
PSCFVMMPGi 00.101.011.072.75 −+−= 
 ee = (28.62) (0.29) (0.0956) (0.266) 
 t = (2.65) (-0.38) (0.12) (-3.78) 
 =2R 0.665 
 
INTERPRETACIÓN: 
 
2β̂ 
Dados incrementos unitarios en la velocidad máxima se estima que las millas promedio por galón disminuirán en 
0.11 millas por galón manteniendo todo lo demás constante, es decir existe una relación inversa entre MPG y la 
velocidad máxima. 
 
3β̂ 
Dados incrementos en los caballos de fuerza de motor se estima que las millas promedio por galón también se 
incrementarán en 0.01 milla por galón manteniendo todo lo demás constante, es decir existe una relación directa 
entre MPG y los caballos de fuerza de motor, por tanto si incrementa el uno también incrementará el otro y 
viceversa. 
 
4β̂ 
Dados incrementos unitarios en el peso del vehículo, cientos de libras se estima que las millas promedio por galón 
disminuirá en 1.00 millas por galón manteniendo todo lo demás constante, es decir existe una relación inversa entre 
las MPG y el peso del vehiculo, cientos de libra. 
 
a) ¿Se esperaría que la varianza del error en el modelo anterior sea heteroscedástica? ¿Por qué? 
Si se esperaría que la varianza del error en este modelo sea heteroscedástica ya que estamos utilizando datos de 
corte transversal y es en este caso donde existe mayor probabilidad que se de heteroscedasticidad es decir que la 
varianza no sea constante a lo largo de la regresión. 
 
b) Utilice la prueba White para averiguar si la varianza de error es heteroscedástica. 
 
White Heteroskedasticity Test: 
F-statistic 0.287759 Probability 0.976044 
Obs*R-squared 2.850614 Probability 0.969924 
 
Test Equation: 
Dependent Variable: RESID^2 
Method: Least Squares 
Date: 05/03/07 Time: 19:01 
Sample: 1 81 
Included observations: 81 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C -20940160 28561411 -0.733163 0.4659 
VM 445660.3 594060.7 0.750193 0.4556 
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VM^2 -2282.160 3124.536 -0.730400 0.4675 
VM*CF 1214.655 1966.184 0.617773 0.5387 
VM*PS -2242.884 5680.112 -0.394866 0.6941 
CF -114865.3 198918.2 -0.577450 0.5655 
CF^2 -151.9130 342.2568 -0.443857 0.6585 
CF*PS 418.6345 2188.015 0.191331 0.8488 
PS 163107.1 603790.5 0.270139 0.7878 
PS^2 509.4899 4019.457 0.126756 0.8995 
R-squared 0.035193 Mean dependent var 37597.08 
Adjusted R-squared -0.087107 S.D. dependent var 309158.7 
S.E. of regression 322342.5 Akaike info criterion 28.31976 
Sum squared resid 7.38E+12 Schwarz criterion 28.61537 
Log likelihood -1136.950 F-statistic 0.287759 
Durbin-Watson stat 2.109911 Prob(F-statistic) 0.976044 
 
( ) ( ) −−+−−−= PSVMCFVMVMVMMPGt *884.2242*655.1214160.22823.44566020940160
2
����������������
( ) 22 4899.5091.1631076345.4189130.1513.114865 PSPSPSCFCFCF +−−−− 
 
 
De acuerdo a la prueba de White podemos observar que los valores “p” son mayores que a un α de 0.05 por lo que 
podemos decir que existe homoscedasticidad. 
 
c) Obténgase los errores estándar de White que son consistentes con la heteroscedasticidad, así como los 
valores t, y compare los resultados con los obtenidos mediante los MCO. 
 
Valores “t” mediante los MCO. 
t = (2.65) (-0.38) (0.12) (-3.78) 
ee= (28.62) (0.29) (0.0956) (0.266) 
 
Valores “t” mediante White 
t= (-0.733) (0.750) (-0.577) (-0.270) 
ee=(28561411) (594060.7) (198918.2) (603790.5) 
 
Comparando los valores “t” de MCO con los obtenidos en la prueba de White podemos darnos cuenta que estos 
valores en su mayoría son poco significativos, por lo tanto se puede concluir diciendo que existe 
homoscedasticidad, ahora las desviaciones estándar de MCO son mínimos a comparación de los obtenidos a partir 
de la prueba de White ya que su varianza se ha inflado enormemente y por lo tanto ya no son eficientes. 
 
d) Si se establece la heteroscedasticidad, ¿Cómo se podría transformar los datos de manera que en los datos 
transformados la varianza de error sea homoscedástica? Muestre los cálculos necesarios. 
 
Si se establece heteroscedasticidad se puede corregir aplicando el método de MCG para que de esta manera la 
varianza de error sea homoscedástica pero en este caso no se puede hacer ningún cálculo debido a que este modelo 
presenta homoscedasticidad, como podemos darnos cuenta en los siguientes gráficos: 
 
* Relacionando los residuos al cuadrado con la velocidad máxima al cuadrado. 
 
-400
0
400
800
1200
1600
2000
5000 10000 15000 20000 25000 30000
CUADRADEVM
C
U
A
D
R
A
D
E
R
E
S
ID
CUADRADERESID vs. CUADRADEVM
 
 
 
Observando el gráfico podemos decir que no existe mucha variabilidad de los datos con respecto a su media y por 
lo tanto no hay presencia de heteroscedasticidad.*Relacionando los residuos al cuadrado con los caballos de fuerza de motor al cuadrado. 
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-400
0
400
800
1200
1600
2000
0 40000 80000 120000
CUADRADECF
C
U
A
D
R
A
D
E
R
E
S
ID
CUADRADERESID vs. CUADRADECF
 
Observando el gráfico podemos decir que no existe mucha variabilidad de los datos con respecto a su media y por 
lo tanto no hay presencia de heteroscedasticidad. 
 
*Relacionando los residuos al cuadrado con el peso de vehículo, cientos de libras al cuadrado. 
 
-400
0
400
800
1200
1600
2000
0 1000 2000 3000 4000
CUADRADEPS
C
U
A
D
R
A
D
E
R
E
S
ID
CUADRADERESID vs. CUADRADEPS
 
Observando el gráfico podemos decir que no existe mucha variabilidad de los datos con respecto a su media y por 
lo tanto no hay presencia de heteroscedasticidad. 
 
SEGUNDA PARTE 
 
Con los siguientes datos se pide aplicar todas las pruebas para la detección de heteroscedasticidad. 
 
GASTOS INGRESOS GASTOS INGRESOS 
275 6.247 359 9.032 
275 6.183 388 6.505 
531 8.914 311 7.478 
316 7.505 397 7.839 
304 6.813 315 6.242 
431 7.873 315 7.697 
316 6.640 356 7.624 
427 8.063 missing 7.597 
259 5.736 339 7.374 
294 7.391 452 8001 
423 8.818 428 10.001 
335 6.607 403 8.380 
320 6.951 345 7.696 
342 7.526 260 6.615 
268 6.489 427 8.306 
353 6.541 477 7.847 
320 6.456 433 7.051 
821 10851 279 7.277 
387 8.850 447 8.267 
424 8.604 322 7.812 
265 6.700 412 7.733 
437 8.745 321 6.841 
355 8.001 417 6.622 
327 6.333 415 8.450 
466 8.442 500 9.096 
274 7.342 
 
�
MODELO CORRIDO 
�
Dependent Variable: GASTOS 
Method: Least Squares 
http://bajalibrosdeeconomia.blogspot.com/
http://bajalibrosdeeconomia.blogspot.com/
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Del modelo corrido se obtuvieron los siguientes resultados: 
 
YG 069.005.152ˆ +−= �
 ee= (64.120) (0.008) 
 t= (-2.37) (8.27) 
�
�
INTERPRETACIÓN: 
 
05.152ˆ1 −=β 
Un 05.152ˆ1 −=β nos dice que es el gasto autónomo cuando el ingreso tiene un valor de cero es decir, que el gasto 
no depende del ingreso. 
 
069.0ˆ2 =β �
Un 069.0ˆ2 =β nos diría que dado un incremento unitario en el ingreso per cápita se estima que el gasto per cápita 
también se incrementará en 0.069 dólares, ya que la relación entre estas variables es directa, es decir si se 
incrementa el ingreso también se incrementará el gasto y viceversa. 
�
PRUEBAS PARA LA DETECCIÓN DE LA HETEROSCEDASTICIDAD 
 
Se pueden examinar algunos de los métodos informales y formales para detectar la heteroscedasticidad, 
comenzaremos primero por los métodos informales. 
�
1) Métodos Informales 
 
Dentro de los métodos informales tenemos únicamente el método gráfico que lo presentamos a continuación: 
 
 
 
MÉTODO GRÁFICO 
�
�
200,00 300,00 400,00 500,00 600,00
yest
0,00
10000,00
20000,00
30000,00
40000,00
50000,00
60000,00
u
i2
�
 
Date: 05/03/07 Time: 17:25 
Sample: 1 51 
Included observations: 50 
Excluded observations: 1 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
INGRESOS 0.069046 0.008350 8.268729 0.0000 
C -152.0547 64.12009 -2.371405 0.0218 
R-squared 0.587529 Mean dependent var 373.2600 
Adjusted R-squared 0.578936 S.D. dependent var 94.55326 
S.E. of regression 61.35508 Akaike info criterion 11.11041 
Sum squared resid 180693.4 Schwarz criterion 11.18689 
Log likelihood -275.7603 F-statistic 68.37187 
Durbin-Watson stat 2.335192 Prob(F-statistic) 0.000000 
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Conclusión: De acuerdo al método gráfico se puede decir que la varianza del término de perturbación esta 
relacionada linealmente con el ingreso per cápita, por lo tanto se ve la existencia de algún grado de 
heteroscedasticidad. 
 
2) Métodos Formales 
 
i) PRUEBA DE PARK 
 
La forma funcional sugerida por Park es la siguiente: 
vi
ii eX
βσσ 22 = �
�
A la regresión anterior se la puede linealizar, 
 
Entonces nos quedaría, 
 
viX ii ++= lnlnln
22 βσσ �
Como no se conoce la varianza del término de perturbación a nivel poblacional, Park utiliza la 2ˆiu como una 
aproximación y corre la siguiente regresión. 
viXu
viXu
ii
ii
++=
++=
lnˆln
lnlnˆln
2
22
βα
βσ
�
�
�
Dependent Variable: LNUI2 
Method: Least Squares 
Date: 05/03/07 Time: 17:40 
Sample: 1 51 
Included observations: 50 
Excluded observations: 1 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
INGRESOS 0.000820 0.000324 2.531760 0.0147 
C 0.476994 2.487254 0.191775 0.8487 
R-squared 0.117806 Mean dependent var 6.716200 
Adjusted R-squared 0.099427 S.D. dependent var 2.507940 
S.E. of regression 2.379998 Akaike info criterion 4.611254 
Sum squared resid 271.8907 Schwarz criterion 4.687735 
Log likelihood -113.2814 F-statistic 6.409807 
Durbin-Watson stat 2.105620 Prob(F-statistic) 0.014677 
�
�
�
�
�
Hipótesis: 
�
Ho: 2β = 0 Homoscedasticidad�
Ha: ≠2β 0 Heteroscedasticidad 
�
n= 50 
gl= 48 
021.2=dadot �
53.2
00324.0
000820.0
=
=






=
∧
∧
calculado
calculado
calculado
t
t
se
t
β
β
� � �
�
�
�
 
 
0.118R (2.532) (0.197) t
(0.000324) (2.487) 
ln0008.04769.0ˆln
2
2
==
=
+=
se
Xu ii
http://bajalibrosdeeconomia.blogspot.com/
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 -2.02 2.02 2.5 
 
 
INTERPRETACIÓN: 
 
Como el “t” calculado es mayor que el “t” dado no existe suficiente evidencia estadística para aceptar la Ho: 2β = 
0, es decir se acepta la Ha: ≠2β 0 por lo tanto podemos decir que existe heteroscedasticidad en este modelo 
 
ii) PRUEBA DE GLEJSER 
Esta prueba es muy similar a la prueba de Park con la única diferencia de que Glejser sugiere hacer la regresión 
sobre los valores absolutos de los residuos estimados sobre la variable X que se cree que esta muy asociada con la 
varianza del término de perturbación estocástica a nivel poblacional y para esto aplico algunas formas funcionales 
que se mencionan en el libro, nosotros escogimos la siguiente forma funcional. 
viXu ii ++=
∧
21 ββ �
 
Modelo corrido 
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Con los datos de la tabla, aplicando el programa Eviews obtuvimos los siguientes resultados: 
190.0R (3.355) (-2.117) t
(0.004) (7.703) 
016.0845.79
2 ==
=
+−=
∧
se
Xu ii
�
�
�
Hipótesis: 
�
Ho: 2β = 0 Homoscedasticidad�
Ha: ≠2β 0 Heteroscedasticidad 
 
 
n= 50 
gl= 48 
021.2=dadot �
35.3
004910.0
016477.0
=
=






=
∧
∧
calculado
calculado
calculado
t
t
se
t
β
β
� � �
�
�
Dependent Variable: Ui 
Method: Least Squares 
Date: 05/3/07 Time: 17:42 
Sample: 1 51 
Included observations: 50 
Excluded observations: 1 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
INGRESOS 0.016477 0.004910 3.355730 0.0016 
C -79.84539 37.70291 -2.117751 0.0394 
R-squared 0.190023 Mean dependent var 45.51160 
Adjusted R-squared 0.173148 S.D. dependent var 39.67505 
S.E. of regression 36.07707 Akaike info criterion 10.04837 
Sum squared resid 62474.65 Schwarz criterion 10.12485 
Log likelihood -249.2093 F-statistic 11.26092 
Durbin-Watson stat 2.031507 Prob(F-statistic) 0.001554 
 
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�
 -2.02 2.02 3.35 
�
INTERPRETACIÓN: 
 
Como el “t” calculado es mayor que el “t” dado no existe suficiente evidencia estadística para aceptar la Ho: 2β = 
0, es decir se acepta la Ha: ≠2β 0 por lo tanto podemos decir que existe heteroscedasticidad en este modelo 
� �
�
iii) PRUEBA DE CORRELACIÓN POR GRADO DE SPEARMAN�
�
Spearman definió el coeficiente de correlación por rango como: 
 
( )







−
−=
∑
1
61
2
2
nn
d
r
i
s 
���������
Ordenando de manera ascendente tenemos: 
 
 
�������� iû ��������rango de iûXi rango de Xi d d
2 �
4,28 4 6247 4 0 0 
0,14 2 6183 2 0 0 
67,58 41 8914 47 -6 36 
50,14 34 7505 24 10 100 
14,36 9 6813 15 -6 36 
39,45 29 7873 34 -5 25 
9,59 8 6640 13 -5 25 
22,33 16 8063 37 -21 441 
15 11 5736 1 10 100 
64,27 38 7391 22 16 256 
33,8 25 8818 45 -20 400 
30,87 24 6607 10 14 196 
7,89 7 6951 17 -10 100 
25,59 19 7526 25 -6 36 
27,99 21 6489 7 14 196 
53,42 37 6541 9 28 784 
26,29 20 6456 6 14 196 
223,83 51 10851 51 0 0 
72,01 43 8850 46 -3 9 
18,02 13 8604 43 -30 900 
45,56 33 6700 14 19 361 
14,76 10 8745 44 -34 1156 
45,39 32 8001 35 -3 9 
41,78 30 6333 5 25 625 
35,16 27 8442 41 -14 196 
80,88 44 7342 20 24 576 
112,57 50 9032 48 2 4 
90,91 46 6505 8 38 1444 
53,27 36 7478 23 13 169 
7,8 6 7839 32 -26 676 
36,07 28 6242 3 25 625 
64,4 39 7697 29 10 100 
18,36 15 7624 27 -12 144 
 1 7597 26 -25 625 
18,09 14 7374 21 -7 49 
51,61 35 8001 36 -1 1 
110,48 48 10001 50 -2 4 
23,55 17 8380 40 -23 529 
34,33 26 7696 28 -2 4 
44,69 31 6615 11 20 400 
5,56 5 8306 39 -34 1156 
��
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87,25 45 7847 33 12 144 
98,21 47 7051 18 29 841 
71,4 42 7277 19 23 529 
28,25 22 8267 38 -16 256 
65,34 40 7812 31 9 81 
30,12 23 7733 30 -7 49 
0,71 3 6841 16 -13 169 
111,83 49 6622 12 37 1369 
16,39 12 8450 42 -30 900 
24,01 18 9096 49 -31 961 
 17988 
 
 
�
Con los resultados de la tabla anterior aplicamos a la fórmula y obtenemos: 
 
1860.0
)2600(51
17988
61
=






−=
s
s
r
r
�
�
Para aplicar la prueba de significancia individual nos planteamos las siguientes hipótesis: 
 
Ho: sρ = 0 Homoscedasticidad 
Ha: ≠sρ 0 Heteroscedasticidad 
 
�
21
2
s
s
dado
r
nr
t
−
−
= �
�
�
33.1
034596.01
2511860.0
=
−
−
=dadot �
�
�
�
n= 50 
gl= 48 
021.2=dadot �
�
�
�
�
�
 - 2.021 1.33 2.021 
�
�
 
INTERPRETACIÓN: 
 
Con 48 grados de libertad el valor “t” no es significativo a un nivel de significancia del 5% por tanto hay suficiente 
evidencia estadística para aceptar la�Ho: sρ = 0 por lo tanto se rechaza la Ha: ≠sρ 0 Heteroscedasticidad. 
�
iiii) PRUEBA DE GOLDFELD – QUANT.�
�
Éste método es aplicable si se supone que la varianza heteroscedástica, 2iσ está relacionada positivamente con una 
de las variables explicativas en el modelo de regresión. 
 
Para aplicar esta prueba nos basamos en los siguientes pasos: 
 
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Paso 1. Ordenar las observaciones de acuerdo con los valores de Xi (ingresos per cápita) empezando por el valor de 
X más bajo. 
Paso 2. Luego omitir “c” observaciones centrales, en este caso se han omitido 16 observaciones. 
Paso 3. Posteriormente se procede a ajustar las regresiones y se obtiene la SRC1 que representa los ingresos bajos y 
SRC2 que representa los ingresos altos. 
Paso 4. Se calcula la razón ( )λ . Y con grados de libertad dado por: 
�
�
( )
l de 
2
2
 o 
2
2
g
kcn
k
c





 −−
−
−
�
�
Entonces: 
�
VALORES DE INGRESOS PER CAPITA BAJOS 
�
��������������������
Estado Gastos 
Ingresos 
bajos 
Miss, 259 5736 
Ark. 275 6183 
S.C. 315 6242 
Ala. 275 6247 
Maine 327 6333 
W. Va. 320 6456 
Tenn. 268 6489 
N.Mex. 388 6505 
Vt. 353 6541 
N.C. 335 6607 
Ky. 260 6615 
Urah. 417 6622 
La 316 6640 
Ga. 265 6700 
Indaho 304 6813 
S.Dak. 321 6841 
Okla. 320 6951 
�
�
�
�
Modelo 1 
 
Dependent Variable: GASTOS 
Method: Least Squares 
Date: 05/3/07 Time: 19:07 
Sample: 1 17 
Included observations: 17 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
INGRESOS 0.047758 0.037536 1.272329 0.2226 
C 2.340721 244.2585 0.009583 0.9925 
R-squared 0.097409 Mean dependent var 312.8235 
Adjusted R-squared 0.037236 S.D. dependent var 44.66435 
S.E. of regression 43.82490 Akaike info criterion 10.50841 
Sum squared resid 28809.33 Schwarz criterion 10.60644 
Log likelihood -87.32150 F-statistic 1.618821 
Durbin-Watson stat 2.405128 Prob(F-statistic) 0.222627 
 
 17 l de g 
28809.33SRC
 0974,0r 
 (2.2723) (0.0095) t
(0.0375) (244.25) 
04771.0340.2
1
2
=
=
=
=
=
+=
∧
se
XG
�
�
�
 
�
 
�
 
 
�
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VALORES DE INGRESOS PER CÁPITA ALTOS 
 
�
Estado Gastos 
Ingresos 
altos 
Iowa 431 7873 
Kans. 355 8001 
Colo. 452 8001 
Mass. 427 8063 
N. Y. 447 8267 
Md. 427 8306 
Hawai 403 8380 
Mich. 466 8442 
Wash. 415 8450 
Del. 424 8604 
Ill. 437 8745 
N.J. 423 8818 
Cal. 387 8850 
Ct. 531 8914 
Nev. 359 9032 
Wyo. 500 9096 
D. C. 428 10001 
Alaska 821 10851 
�
�
Modelo 2 
�
�
Dependent Variable: GASTOS 
Method: Least Squares 
Date: 05/3/07 Time: 19:10 
Sample: 1 18 
Included observations: 18 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
INGRESOS 0.095576 0.024560 3.891483 0.0013 
C -380.1783 214.5324 -1.772125 0.0954 
R-squared 0.486251 Mean dependent var 451.8333 
Adjusted R-squared 0.454142 S.D. dependent var 101.4879 
S.E. of regression 74.98149 Akaike info criterion 11.57680 
Sum squared resid 89955.57 Schwarz criterion 11.67573 
Log likelihood -102.1912 F-statistic 15.14364 
Durbin-Watson stat 2.453728 Prob(F-statistic) 0.001297 
 18 l de g 
89955.57SRC 
 .4860r 
 (3.8914) (-1.7721) t
(0.02456) (214.532) 
0955.0178.380
2
2
=
=
=
=
=
+−=
∧
se
XG
�
�
Con los resultados anteriores calculamos λ . 
�
�
l de /
l de /
1
2
gSRC
gSRC=λ
�
�
�
978.217/33.28809
18/57.89955 ==λ
�
�
�
INTERPRETACIÓN 
 
Como el valor “F” crítico para 18 grados de libertad en el numerador y 17 grados de libertad en el denominador es 
de 2.23, por lo tanto se observa que el F dado es menor al F calculado entonces se puede decir que existe algún 
grado de probabilidad de heteroscedastidcidad. 
 
�
iiiii) PRUEBA GENERAL DE HETEROSCEDASTICIDAD DE WHITE 
 
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La prueba general de White no se apoya en el supuesto de normalidad y es fácil de llevar a cabo, para aplicar esta 
prueba seguimos los pasos planteados en el libro. 
�
Para ello nos planteamos las siguientes hipótesis: 
 
Ho: Homoscedasticidad 
Ha: Heteroscedasticidad 
 
�
White Heteroskedasticity Test: 
F-statistic 41.76532 Probability 0.000000 
Obs*R-squared 31.99656 Probability 0.000000 
 
Test Equation: 
Dependent Variable: RESID^2 
Method: Least Squares 
Date: 05/3/07 Time: 19:25 
Sample: 1 51 
Included observations: 50 
�
 
Como 
2
l de g
2 X sigue * Rn 
 
Entonces: 
�
2
l de 2gX sigue 99656.31 �
�
�
0 .010 5.99 31.996 
�
�
INTERPRETACIÓN: 
 
Como el valor χ 2 calculado esta en la zona de aceptación se puede decir que existe suficiente evidencia estadística 
para aceptar la Ho: Homoscedasticidad, por lo tanto se concluye diciendo que existe homoscedasticidad es decir 
que la varianza es constante a lo largo de la regresión. 
 
iiiiii) PRUEBA DE LA RAZÓN DE LA VEROSIMILUD��
�
Esta es una prueba especialmente par muestras grandes, se basa en las estimaciones de máxima verosimilitud y se 
supone que se ha identificado adecuadamente los grupos con varianzas diferenciadas. 
 
Para aplicar este método nos planteamos las siguientes hipótesis: 
�
Ho: Homoscedasticidad 
Ha: Heteroscedasticidad 
 
 
 
Entonces se calcula el estadístico de prueba con la siguiente igualdad: 
�
n
p
i
ni
i
Donde
u
σ
σ
λ
λ
ˆ
ˆ
:
ln2
1
∏
==
−=
�
�
 
http://bajalibrosdeeconomia.blogspot.com/
http://bajalibrosdeeconomia.blogspot.com/
Grupo diferenciado n1 (ingresos bajos)�
�
Estado Gastos 
Ingresos 
bajos 
Miss, 259 5736 
Ark. 275 6183 
S.C. 315 6242 
Ala. 275 6247 
Maine 327 6333 
W. Va. 320 6456 
Tenn. 268 6489 
N.Mex. 388 6505 
Vt. 3536541 
N.C. 335 6607 
Ky. 260 6615 
Urah. 417 6622 
La 316 6640 
Ga. 265 6700 
Indaho 304 6813 
S.Dak. 321 6841 
Okla. 320 6951 
�
Con los datos anteriores corremos el modelo en el programa Eviews obteniendo los siguientes resultados: 
 
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 .4860R
 (1.272) (0.009) t
(0.0375) (244.25) 
0477.0340.2
2 =
=
=
+=
∧
se
XG bajos
�
�
�
Grupo diferenciado n2 (ingresos medios) 
�
Estado Gastos 
Ingresos 
bajos 
Mont. 433 7051 
N.H. 279 7277 
Mo. 274 7342 
Ariz. 339 7374 
Nebr. 294 7391 
N. Dak. 311 7478 
Fla 316 7505 
R.I. 342 7526 
Wisc. missing 7597 
Va. 356 7624 
Ind. 345 7696 
Texas 315 7697 
Pa. 412 7733 
Ohio 322 7812 
Oreg 397 7839 
Minn. 477 7847 
Lowa 431 7873 
�
�
Con los datos anteriores corremos el modelo en el programa Eviews obteniendo los siguientes resultados: 
 
Modelo corrido 
Dependent Variable: GASTOS 
Method: Least Squares 
Date: 05/3/07 Time: 20:22 
Sample: 1 17 
Included observations: 17 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
INGRESOS 0.047758 0.037536 1.272329 0.2226 
C 2.340721 244.2585 0.009583 0.9925 
R-squared 0.097409 Mean dependent var 312.8235 
Adjusted R-squared 0.037236 S.D. dependent var 44.66435 
S.E. of regression 43.82490 Akaike info criterion 10.50841 
Sum squared resid 28809.33 Schwarz criterion 10.60644 
Log likelihood -87.32150 F-statistic 1.618821 
Durbin-Watson stat 2.405128 Prob(F-statistic) 0.222627 
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� �
�
�������������������
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 0.1537R
 (1.59501) (-0.84387) t
(0.06208) (470.0026) 
0990.0623.396
2 =
=
=
+−=
∧
se
XG medios
�
�
�
Grupo diferenciado n3 (ingresos altos)�
�
Estado Gastos 
Ingresos 
bajos 
Kans. 355 8001 
Colo. 452 8001 
Mass. 427 8063 
N.Y. 447 8267 
Md. 427 8306 
Hawai 403 8380 
Mich. 466 8442 
Wash. 415 8450 
Del. 424 8604 
I ll. 437 8745 
N.J 423 8818 
Cal. 387 8850 
Ct. 531 8914 
Nev. 359 9032 
Wyo. 500 9096 
D.C. 428 10001 
Alaska 821 10851 
�
 
Con los datos anteriores corremos el modelo en el programa Eviews obteniendo los siguientes resultados: 
 
 
 
 
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 0.507R
 (3.932153) (-1.92285) t
(0.025838) (226.9379) 
10160.03693.436
2 =
=
=
+−=
∧
se
XG altos
�
�
Con los datos de las regresiones aplicamos la siguiente fórmula: 
Dependent Variable: GASTOS 
Method: Least Squares 
Date: 05/3/07 Time: 20:26 
Sample: 1 17 
Included observations: 16 
Excluded observations: 1 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
INGRESOS 0.099029 0.062087 1.595010 0.1330 
C -396.6227 470.0026 -0.843873 0.4129 
R-squared 0.153775 Mean dependent var 352.6875 
Adjusted R-squared 0.093330 S.D. dependent var 60.22261 
S.E. of regression 57.34350 Akaike info criterion 11.05246 
Sum squared resid 46035.87 Schwarz criterion 11.14904 
Log likelihood -86.41972 F-statistic 2.544058 
Durbin-Watson stat 1.651810 Prob(F-statistic) 0.133030 
Dependent Variable: GASTOS 
Method: Least Squares 
Date: 05/3/07 Time: 20:40 
Sample: 1 17 
Included observations: 17 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
INGRESOS 0.101600 0.025838 3.932153 0.0013 
C -436.3693 226.9379 -1.922858 0.0737 
R-squared 0.507580 Mean dependent var 453.0588 
Adjusted R-squared 0.474752 S.D. dependent var 104.4740 
S.E. of regression 75.71642 Akaike info criterion 11.60200 
Sum squared resid 85994.65 Schwarz criterion 11.70002 
Log likelihood -96.61698 F-statistic 15.46183 
Durbin-Watson stat 2.461265 Prob(F-statistic) 0.001331 
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n
p
i
ni
i
σ
σ
λ
ˆ
ˆ
1
∏
==
�
�
Donde: 
∏ = El operador de multiplicación. 
p= El número de grupos. 
n i = El tamaño de cada grupo en la muestra. 
n= El tamaño de la muestra 





=∑
=
p
i
inn
1
 
( ) ( ) ( )[ ]
( )
039692449.0
35508.61
71642.7534350.5782490.43
50
171617
=
=
λ
λ �
�
A continuación se obtiene el estadístico de prueba aplicando la siguiente fórmula: 
 
( )
453188622.6
039692449.0ln2
=
−=
u
u
�
�
( )gl 1-pcon sigue 2χu �
�
�
 0.01 5.99 6.45 
�
INTERPRETACIÓN: 
 
Dado que u es mayor que el Ji-cuadarado dado se puede asumir que existe algún grado de heteroscedasticidad por 
lo tanto no existe suficiente evidencia estadística para aceptar Ho: Homoscedasticidad es decir se acepta la Ha: 
Heteroscedasticidad. 
 
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