Superficies 03 Superficies de Revolución - Axel Sánchez Nazario

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SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN 
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Recordemos que una superficie de revolución es aquella que puede generarse con el giro de una curva llamada 
meridiana alrededor de un eje de giro. 
 
 
 
Cilindro circular recto Paraboloide circular Hiperboloide circular de 1 manto 
 
 
La ecuación cartesiana de una superficie de revolución se simplifica de forma notable cuando el eje de giro es 
uno de los ejes coordenados. 
 
 
Empecemos con un caso sencillo: el cilindro circular recto. 
 
 
Vamos a colocar la meridiana, que será una recta vertical, sobre el plano YZ. 
 
 
En tres dimensiones, tendrá dos ecuaciones 
cartesianas, por lo tanto tenemos 
 
𝑀 ∶ { 
𝑥 = 0
𝑦 = 𝑐
 
 
Una variable es igual a cero, mientras que la otra es 
igual a una constante c para nuestro ejemplo. 
 
 
El eje de giro será el eje Z 
 
 
 
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Para escribir la ecuación cartesiana del cilindro, basta con identificar en la ecuación de la meridiana, la variable 
diferente de cero. 
 
 
Después, en dicha ecuación, vamos a re-emplazar la variable diferente del eje de giro con la raíz cuadrada (positiva 
y negativa) de la suma de cuadrados de dicha variable y la variable que detectamos como cero. 
 
 
𝑦 𝑠𝑒 𝑣𝑎 𝑎 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑟 ± √ 𝑦2 + 𝑥2 
 
Entonces la ecuación del cilindro es 
 
 
±√ 𝑦2 + 𝑥2 = 𝑐 
 
 
Elevando toda la ecuación al cuadrado, tenemos la 
forma ordinaria de este cilindro circular recto 
 
 
𝑆 ∶ 𝑦2 + 𝑥2 = 𝑐2 
 
¡¡Muy simple!! 
 
 
 
Si queremos trabajar en forma vectorial, la directriz es la recta vertical y las generatrices son las circunferencias 
concéntricas con el eje Z y radio 𝑐, paralelas al plano XY 
 
Por ser una superficie de revolución, siempre 
tendremos circunferencias concéntricas sobre el eje de 
giro, trabajando paralelas a alguno de los planos 
coordenados. 
 
 
De forma vectorial, la circunferencia se simplifica 
utilizando las funciones trigonométricas seno y coseno 
de un ángulo o parámetro θ que gira desde 0 y hasta 
2𝜋 radianes, multiplicadas por el radio c 
 
 
𝑆 ∶ �̅� = ( 𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝜃 , 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝜃 , 𝑧 ) 
 
 
 
La variable z será el segundo parámetro de la superficie, puesto que mueve a cada circunferencia a una altura 
diferente del cilindro. 
 
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Si se requiere que el cilindro tenga su eje sobre una recta paralela al eje Z pero en la posición 𝑥 = ℎ , 𝑦 = 𝑘 basta 
con aplicar dicha traslación a las ecuaciones anteriores. 
 
Ecuación cartesiana 
 
 
𝑆 ∶ ( 𝑦 − 𝑘 )2 + ( 𝑥 − ℎ )2 = 𝑐2 
 
 
Ecuación vectorial 
 
 
𝑆 ∶ �̅� = ( 𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + ℎ , 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝑘 , 𝑧 ) 
 
 
 
 
 
Revisemos otro ejemplo: el paraboloide circular. 
 
 
Vamos a colocar la meridiana, que será una parábola sobre el plano XZ, con vértice en el origen y cóncava hacia 
Z positiva. 
 
 
En tres dimensiones, tendrá dos ecuaciones 
cartesianas, por lo tanto tenemos 
 
𝑀 ∶ { 
𝑥2 = 2𝑧
𝑦 = 0
 
 
Una variable es igual a cero, mientras que las otras son 
parte de una ecuación entre ellas. 
 
 
El eje de giro será el eje Z 
 
 
Para escribir la ecuación cartesiana del paraboloide circular, basta con re-emplazar la variable diferente del eje de 
giro con la raíz cuadrada (positiva y negativa) de la suma de cuadrados de dicha variable y la variable que 
detectamos como cero. 
 
𝑥 𝑠𝑒 𝑣𝑎 𝑎 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑟 ± √ 𝑥2 + 𝑦2 
 
 
 
 
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Entonces la ecuación del paraboloide es 
 
 
(±√ 𝑥2 + 𝑦2 )
2
= 2𝑧 
 
 
Realizando la operación indicada, tenemos la forma 
ordinaria de este paraboloide circular 
 
 
𝑆 ∶ 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑧 
 
 
 
Si queremos trabajar en forma vectorial, la directriz es la parábola y las generatrices son las circunferencias 
concéntricas con el eje Z y radio 𝑟, paralelas al plano XY. 
 
El truco aquí es observar como el radio de cada 
circunferencia es el valor de 𝑥 para una 𝑧 
determinada, que pertenecen a la parábola: 
 
𝑥 = √2𝑧 
 
Como las circunferencias se forman con el giro del 
parámetro θ desde 0 y hasta 2𝜋 radianes, 
consideramos el radio siempre positivo. Así 
 
 
𝑆 ∶ �̅� = ( √2𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝜃 , √2𝑧 𝑠𝑒𝑛 𝜃 , 𝑧 ) 
 
 
 
La variable z es el segundo parámetro de la superficie, puesto que mueve a cada circunferencia a una altura 
diferente del cilindro y nos determina el valor del radio de esa circunferencia. 
 
 
Como vemos, las superficies de revolución son bastante sencillas de determinar. 
 
Estamos listos para un ejemplo un poco más 
elaborado: un toroide. 
 
 
Parece un salvavidas o una dona. 
 
 
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Los elementos que lo definen son el radio 𝑟 que le da 
el grosor al toroide, y el radio 𝑅 que nos indica que tan 
amplio es el toroide. 
 
 
Este radio 𝑅 indica la distancia desde su eje hasta el 
centro de todas las circunferencias que forman el 
cuerpo del toroide. 
 
 
 
Al definir a nuestros ejes cartesianos, se definen todos 
los elementos del toroide. 
 
 
La circunferencia en color rojo se encuentra sobre el 
plano YZ con centro 𝐶( 𝑅 , 0 ) y radio 𝑟 
 
 
El eje de giro es el eje Z 
 
 
 
Entonces, las ecuaciones cartesianas de la meridiana 
son 
 
 
𝑀 ∶ { 
( 𝑦 − 𝑅 )2 + 𝑧2 = 𝑟2
𝑥 = 0
 
 
 
La variable diferente del eje de giro es 𝑦 la cual 
cambiaremos por 
 
±√ 𝑥2 + 𝑦2 
 
 
Así, la ecuación cartesiana del toroide resulta ser 
 
 
𝑆 ∶ ( ±√ 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑅 )
2
+ 𝑧2 = 𝑟2 
 
 
 
 
 
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Para la ecuación vectorial vamos a establecer como 
directriz a la circunferencia en color rojo. 
 
 
Las generatrices serán circunferencias concéntricas 
con el eje de giro y un radio que cambia siguiendo a la 
directriz, dependiendo de la altura a la que se 
encuentre. 
 
 
 
 
La ecuación vectorial de la directriz en color rojo, se 
puede escribir así 
 
 
𝐷 ∶ �̅� = ( 0 , 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑅 , 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ) 
 
 
De donde se desprende que 𝑦 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑅 es el 
segmento de recta en color azul claro. 
 
 
 
Pero esta línea en color azul claro será el radio de la 
circunferencia generatriz que se localice a la altura 
 
 
𝑧 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
 
 
Si para la circunferencia generatriz en color verde 
utilizamos otro parámetro 𝜙 con las funciones seno y 
coseno, podremos recorrer toda su longitud 
multiplicando el radio por la función trigonométrica. 
 
 
Así, la ecuación vectorial será la combinación de estos dos movimientos, y luce así 
 
 
𝑆 ∶ �̅� = ( ( 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑅 ) 𝑐𝑜𝑠 𝜙 , ( 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑅 ) 𝑠𝑒𝑛 𝜙 , 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ) 
 
 
 
 
 
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Ejercicio: Utiliza la siguiente hipérbola como 
meridiana, para determinar la ecuación cartesiana, así 
como la ecuación vectorial de un hiperboloide circular 
de 1 manto. 
 
𝐶 ∶ { 
 𝑥2 
4
−
 𝑧2 
9
= 1
𝑦 = 0
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio: Utiliza la siguiente hipérbola como 
meridiana, para determinar la ecuación cartesiana, así 
como la ecuación vectorial de un hiperboloide circular 
de 2 mantos. 
 
𝐶 ∶ { 
 𝑥2 
4
−
 𝑧2 
9
= 1
𝑦 = 0