2 Sistemas de conductores - Arturo Lara

Vista previa del material en texto

5- 2 Sistemas de conductores
Considérese un sistema que consista de n conductores que se numeran de alguna manera, es decir, 1,2, .	n. Se supone que los conductores están cargados con cargas
totales Oí, Q2, • • • , Q¡, . . ■ , Qn. Se sabe que cada carga se encontrará en la superficie del conductor respectivo, de manera que pueden ser descritas por las correspondientes densidades superficiales de carga ov, o2, . . . , o¿, . . . , c¡ n. Aunque todavía no es posible calcular todas estas cantidades, es de esperarse que en general las densidades de carga no sean constantes, sino que varíen con la posición de alguna manera. De cualquier modo, el potencial en cualquier punto P, que se indica como 0 p, puede en principio, encontrarse a partir de (5-8) y es
_ 1 r a(r')da _ y 1 r
F Js R 4%e0 Js	R}
(6-7)
Sistemas de conductores
119
Aquí se ha expresado el potencial total como la suma de las contribuciones de cada uno de los conductores: Sj es la superficie del conductor j, da¡ es el elemento de área de esa superficie en la posición r;., y R- = |rp - r;-| es la distancia de da¡ al punto de campo P en xp. Estas relaciones se ilustran en la figura 6-7, aunque no se muestran los vectores de posición por simplificar. Ahora, (6-7) es completamente general, y por lo tanto debe ser
Figura 6-7 Cálculo del potencial debido a varios conductores cargados.
cierta en particular cuando se elige a P como cualquier punto sobre la superficie equipotencial del conductor i cuyo potencial es 0/; así, se puede escribir donde R¡¡ es la distancia
n
R„
(6-8)
del punto rz- del conductor j al punto particular en cuestión del conductor i. Dado que i puede ser cualquiera de los conductores, (6-8) realmente representa un sistema de n ecuaciones, cada una de las cuales tiene n términos en su lado derecho. [Nótese que la suma en (6-8) también incluye el término j = i, es decir que incluye la integral sobre la superficie del conductor cuyo potencial total se está calculando].
Resulta conveniente para los propósitos de este estudio escribir (6-8) en función de las cargas totales Q¡. La densidad superficial promedio de carga del conductor /, <b/>, será justamente la carga total dividida entre la superficie total, es decir, <af> = QjlSj. La densidad de carga real, oy, en un punto dado generalmente no es igual al promedio, pero será proporcional a él; esto hace posible escribir
(6-9)
donde fj es un factor que describe cómo difiere la densidad de carga real de la promedio, y será por lo tanto una función de la posición en la superficie del conductor j. De esta manera, o¡~Qj, y cuando se sustituye (6-9) en (6-8) se obtiene
120
Conductores en campos electrostáticos
, y Qj f
JS; RJ¿
(J ~ l,2,...,n)
Estas ecuaciones se pueden escribir en la forma
donde
1 f Ppí
PiJ	Rji
(6-10)
(6-H)
(6-12)
lo que demuestra que el potencial de cualquier conductor depende linealmente de las cargas de todos los conductores, incluyendo la propia. Si (6-11) se escribe en forma explícita, se obtiene el conjunto de ecuaciones
<í>i =P\i2i +PnQi + ••• + PlnQn
$2~ Pl\Q {+ P22Q2 + ••• ^PlnQn
<¡>n=Pn\Q\+Pn2Q2+ ••• + PnnQn
(6-13)
El conjunto de coeficientes P¡¡ definidos por (6-12) recibe el nombre de coeficientes de potencial y, en general, su número total es n2. Nótese que (6-12) ya no contiene referencia alguna a los potenciales o cargas, de manera que los p¡¡ representan relaciones puramente geométricas. Si se conocen las distribuciones de carga, de manera que los factores f¡ sean conocidos, entonces en principio se podrían calcular todos los coeficientes p¡j a partir de (6-12); todavía no se han considerado los métodos de resolución de problemas electrostáticos que podrían proporcionar tal información. Sin embargo, estos coeficientes son siempre medibles en principio, puesto que de (6-11) se observa que
9Q
(6-14)
de manera que P¡j se puede interpretar como la razón del cambio producido en la potencial del conductor i al cambio de la carga del conductor 7 cuando las cargas en todos los otros conductores se mantienen constantes.
Los pij tienen una propiedad de simetría muy útil e interesante. Si se elimina fi de (6-12) por medio de (6-9), se encuentra que
p«Qj=
I r '’jdaj
4m„JS/ Rj.
(6-15)
que también se desprende de la igualación de los términos correspondientes en las sumas de (6-8) y (6-1 1). También se tiene que
2 = / o, da,
(6-16)
Capacitancia
121
de acuerdo con (2-16), y si se multiplican estas dos últimas ecuaciones entre sí, se obtiene
1 r r o, o, da, da,
Si ahora se intercambian los índices i y j en (6-17). se obtienen
OjO¿ daj da¡
~-r;~
(6-17)
(6-18)
Ahora, Ry — Rj¡. además, las integraciones son independientes entre sí de manera que se puede intercambiar el orden de integración en (6-18). Una vez hecho esto, se observa que la integral de (6-18) es exactamente igual a la de (6-17); por lo tanto, los miembros izquierdos son también iguales entre sí, haciendo que PijQiQj = PjiQjQp o sea,
Pj,=P,j
(6-19)
El contenido físico de esta propiedad de simetría de los p puede expresarse de acuerdo con (6-19) y (6-11) como sigue: si una carga Q en un conductor j lleva al conductor i a un potencial 0, entonces la misma carga Q colocada en i llevará a / al mismo potencial 0.
Algunas veces, si el problema es lo suficientemente simple,lospi¡ pueden encontrarse más fácilmente a partir de (6-11) que de (6-12).
Ejemplo
Esfera conductora aislada. Este es un ejemplo que se resolvió en la última sección; el potencial en la superficie está dado por (6-5) y es 0 = Q/4neoa. Para un solo conductor, (6-11) se reduce ac¡) = p^Q y, por comparación, se observa que
1
^11 47rcoa
(6-20)
Así ha sido posible encontrar el único coeficiente de potencial para este caso simple, que resulta ser dependiente de las propiedades geométricas del sistema