gva-cap04

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En 1837, William Rowan Hamilton (1805-1865) publicó su Teoría de las funciones conjugadas o parejas algebraicas, con un ensayo
preliminar y elemental sobre el álgebra como ciencia del tiempo puro, en la cual expuso una representación geométrica de los números
complejos. Este trabajo desembocó en los cuaterniones, presentados por primera vez en 1853 en Lecciones sobre los cuaterniones. En
su teoría, Hamilton escribe un cuaternión en la forma q = (a, b, c, d) e introduce los operadores i, j, k, de modo que:
iq = (–b, a, –d, c)
jq = (–c, d, a, –b)
kq = (–d, –c, b, a).
Para los operadores, Hamilton definió su célebre relación fundamental:
i2 = j2 = k2 = i jk = –1.
Los cuaterniones de Hamilton fueron los precursores de los vectores.
44444Vectores
geométricos
Capítulo 4
Presentación
Al estudiar el espacio físico, es preciso considerar varios tipos de cantidades. Uno
de estos tipos lo constituyen aquellas cantidades que tienen asociadas como medi-
da una cantidad no dirigida y se denominan cantidades escalares o simplemente
escalares. Toda cantidad escalar puede ser representada por un número real que
indica su magnitud, de acuerdo con alguna escala o unidad de medida previamente
escogida. Los escalares son números reales, por lo cual se pueden combinar según
las leyes del álgebra de los números reales. Masa, densidad, área, volumen, tiempo,
distancia, trabajo, carga eléctrica y temperatura son ejemplos de cantidades escalares.
Un segundo tipo de cantidades físicas lo forman aquellas que tienen asociados dos
elementos básicos: magnitud y dirección. Éstas son llamadas cantidades vectoriales
o simplemente vectores. Fuerza, velocidad, aceleración y momento son ejemplos de
cantidades vectoriales.
Módulo 14
Vectores libres
Módulo 15
Operaciones con vectores libres
Ejercicios
Módulo 15
Módulo 16
El espacio vectorial de los
vectores libres
Ejercicios
Módulo 16
Contenido breve
188
En este capítulo se estudiará en detalle el concepto de vector libre, el cual será de
gran utilidad para resolver problemas que involucren las llamadas cantidades
vectoriales. Se mostrará el espacio de los vectores libres como un caso particular de
un espacio vectorial, y a través de dicho espacio se estudiarán en particular los
conceptos ya definidos en otros contextos como base, dimensión, combinación
lineal, independencia lineal. Adicionalmente se ilustrará la importancia de los
vectores libres en la solución de problemas de la geometría euclidiana.
Capítulo 4: Vectores geométricos
189Geometría vectorial y analítica
Introducción
Se empieza introduciendo el paralelismo entre rectas como una relación de equivalencia. Cada
clase (conjunto de rectas paralelas entre sí) definida por esta relación se denomina dirección.
A la vez, en cada dirección se reconocen dos sentidos, opuestos entre sí. Los conceptos de
dirección y sentido sirven de base para la definición de segmento orientado como una magni-
tud no escalar. Éste, a su vez, permite definir el concepto de vector libre.
En este módulo se presenta un concepto de interés central: el de vector libre. Gran parte del
resto del texto gira en torno a este objeto de la geometría.
Objetivos del módulo
1. Construir el concepto de segmento orientado, mediante la asignación de dirección y senti-
 do a los segmentos geométricos.
2. Definir una relación de equivalencia en el conjunto de los segmentos orientados y con base
 en ella presentar el concepto de vector libre.
Preguntas básicas
1. ¿Qué es la dirección?
2. ¿Qué objetos geométricos tienen dirección?
3. ¿Qué es el sentido?
4. ¿Cuántos sentidos hay en una dirección?
5. ¿Qué elementos constituyen un segmento orientado?
6. ¿Qué es un vector libre?
7. ¿Qué diferencia hay entre vector libre y segmento orientado?
Contenidos del módulo
14.1 Segmentos orientados
14
Vectores libres
Vea el módulo 14 del programa de
televisión Geometría vectorial y analítica
Hermann Günther Grassmann
Con motivo de un trabajo que realizó sobre las mareas,
Grassmann presentó por primera vez su sistema de análisis
espacial, fundado en los vectores. Un año después del
descubrimiento de los cuaterniones de Hamilton publicó La
teoría de la extensión lineal, una nueva rama de la
Matemática, que contiene gran parte del análisis vectorial
moderno.
Grassmann nació en Stettin (Alemania) en 1809 y murió en
esa misma ciudad en 1877.
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193Geometría vectorial y analítica
cación del vector libre ,a
→
 debe escribirse ;AB a
⎯→ →
∈ esto es, AB
⎯→
 pertenece al
vector libre .a
→
 No obstante, para efectos prácticos, con el ánimo de no congestio-
nar la escritura, se confundirá el vector libre a
→
 con cualquiera de sus aplicaciones.
Así, si y AB CD
⎯→ ⎯→
 son aplicaciones del vector libre ,a
→
 se dirá, por comodidad,
 y ,a AB a CD
⎯→ ⎯→→ →
= = y, por tanto, que ,AB CD
⎯→ ⎯→
= aunque estas igualdades no sean
estrictas.
Si bien el vector libre, como se ha definido, carece de puntos concretos (a diferencia
de los segmentos orientados), se le asignará la dirección, el sentido y la longitud de
cualquiera de sus aplicaciones. Así, si a AB
⎯→→
= , entonces a
→
 tiene la dirección de la
recta ,AB
←⎯→
 el sentido ( , )A Bs y la longitud a AB
⎯→→
= . Además, a o
→ →
= si y sólo si
0.a
→
=
Notación
Al conjunto de todos los vectores libres en el espacio se le denota 3.E
Convención
En adelante, cuando se denote un polígono por sus vértices (letras latinas mayús-
culas) se entenderá que las letras consecutivas representan vértices consecutivos
(contiguos). Así, el pentágono ABCDE es cualquiera de los dos de la figura 14.4,
pero ninguno de los dos de la figura 14.5
Figura 14.4
Figura 14.5
Módulo 14: Vectores libres
Vea la animación Vector libre en su
multimedia de Geometría vectorial y
analítica.
194
Antes de enunciar la primera proposición de este capítulo, recordemos un concepto
geométrico de paralelogramo:
«El cuadrilátero ABCD es un paralelogramo si y sólo si tiene dos lados opuestos
paralelos y congruentes».
La siguiente proposición caracteriza los paralelogramos con base en los vectores
libres.
Teorema 1
El cuadrilátero ABCD es un paralelogramo si y sólo si AB DC
⎯→ ⎯→
= o BA CD
⎯→ ⎯→
= o
AD BC
⎯→ ⎯→
= o DA CB
⎯→ ⎯→
= (cada par de vectores no colineales).
Prueba (figura 14.6).
Figura 14.6
( )⇒
Sea ABCD un paralelogramo.
Por definición: AB CD
⎯→ ⎯→
= y AB DC
⎯→ ⎯→
.
En suma, y AB DC
⎯→ ⎯→
 coinciden en longitud y en dirección.
Sea AD
←⎯→
 la recta determinada por los puntos iniciales de los segmentos orientados
 y .AB DC
⎯→ ⎯→
 Los puntos finales de estos segmentos están en el mismo semiplano de
borde .AD
←⎯→
 Por tanto, y AB DC
⎯→ ⎯→
 tienen el mismo sentido. En consecuencia,
 y AB DC
⎯→ ⎯→
 son equivalentes y tienen, así, el mismo vector libre asociado. Con la
convención hecha, puede escribirse: = .AB DC
⎯→ ⎯→
La prueba del recíproco se deja al lector.
Capítulo 4: Vectores geométricos
195Geometría vectorial y analítica
Introducción
Los vectores libres, cuyo estudio se inició en el módulo 14, son objetos diferentes a los
escalares, aunque tienen asociados escalares (todo vector libre tiene longitud, la cual es un
número real).
Con los vectores libres se pueden definir operaciones que, bajo condiciones específicas,
producen nuevos vectores libres. Estas operaciones son la adición y la multiplicación de
escalares por vectores.
El concepto de ángulo, estudiado en la geometría euclidiana, se extiende a los vectores libres
Objetivos del módulo
1. Definir en el conjunto de los vectores libres dos operaciones: una ley de composición
 interna llamada adición, y una ley de composición externa, denominada multiplicación de
 escalares por vectores libres.
2. Extender a los vectores libres el concepto geométrico de ángulo.
Preguntas básicas
1. ¿Cómo se adicionan vectores libres?
2. ¿Cómo se restan vectores libres?
3. ¿Cómo se multiplican escalares por vectores libres?
4. ¿Qué propiedadestienen la adición y la multiplicación de escalares por vectores libres?
5. ¿Qué es una combinación lineal de vectores libres?
6. ¿Qué se requiere para que un conjunto de vectores libres sea linealmente independiente?
7. ¿Cómo se determina el ángulo entre dos vectores libres?
Contenidos del módulo
15.1 Adición de vectores libres
15.2 Multiplicación de escalares por vectores libres
15.3 Ángulo entre vectores libres
15
Operaciones con vectores libres
Vea el módulo 15 del programa de
televisión Geometría vectorial y analítica
William Kingdom Clifford
En su obra Elementos de dinámica, Clifford introdujo para
los vectores las operaciones usuales de adición y
multiplicación de vectores por escalares, y sus propiedades.
Clifford nació en Devon (Inglaterra) en 1845 y murió en las
Islas Madeira (Portugal) en 1879.
196
15.1 Adición de vectores libres
Dos vectores libres y a b
→ →
 no nulos y con direcciones diferentes (no paralelos)
determinan en un punto O cualquiera del espacio un paralelogramo, así:
Se aplica el vector a
→
 en el punto O. Sea A el punto final de esta aplicación
( OA a
⎯→ →
= ).
En A se aplica el vector b
→
. Sea B el punto final de esta aplicación ( ).AB b
⎯→ →
=
A continuación, en O se aplica el vector .b
→
 Sea C el punto final de la aplicación
( OC b
⎯→ →
= ).
El cuadrilátero resultante, OABC, es un paralelogramo, ya que OC AB
⎯→ ⎯→
= (recuérde-
se el teorema 1) (figura 15.1).
Figura 15.1
Al vector libre asociado al segmento dirigido OB
⎯→
se le llama vector diagonal prin-
cipal del paralelogramo OABC. A este paralelogramo se le denomina paralelogramo
asociado a y a b
→ →
 en el punto O.
El concepto de vector diagonal nos servirá de soporte para la definición de la
adición de vectores libres.
Adición de vectores libres
Sea 3 3 3: .+ × →E E E
+ es una adición de vectores libres bajo las siguientes condiciones:
(A1). Si y a b
→ →
 son vectores libres no nulos y no paralelos, entonces a b
→ →
+ es el
vector diagonal principal del paralelogramo asociado a y a b
→ →
 en un punto
arbitrario O.
(A2). Si y a b
→ →
 son vectores no nulos, pero con igual dirección, entonces a b
→ →
+
Capítulo 4: Vectores geométricos
Vea la animación Adición de vectores libres
en su multimedia de Geometría vectorial y
analítica.
197Geometría vectorial y analítica
es el vector libre asociado al segmento dirigido ,OB
⎯→
 que se obtiene así:
En un punto arbitrario O se aplica el vector libre .a
→
 Sea A el punto
final de esta aplicación ( ).OA a
⎯→ →
=
En A se aplica el vector .b
→
 Sea AB
⎯→
el resultado de la aplicación (figura 15.2).
(A3). Si ,a o
→ →
= entonces .a b b
→ → →
+ =
Si ,b o
→ →
= entonces .a b a
→ → →
+ =
Figura 15.2
La adición de vectores libres está bien definida; esto es, no depende del punto O.
Esto puede probarse mediante aplicación reiterada del teorema 1.
Teorema 2
La adición de vectores libres tiene las siguientes propiedades:
(G1). La adición (+) es asociativa en 3.E
(G2). La adición es modulativa en 3.E
(G3). La adición es invertiva en 3.E
(G4). La adición es conmutativa en 3.E
Explicación
(G1) + es asociativa en 3.E
Esta propiedad se enuncia así:
Para cada , ,a b c
→ → →
 en 3 ,E .a b c a b c
→ → → → → →⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(G2) + es modulativa en 3E .
Según la definición de adición, el vector libre nulo o
→⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
 es tal que:
Para todo 3, y a a o a o a a
→ → → → → → →
∈ + = + =E .
Por esta razón, el vector libre nulo, ,o
→
 se llama módulo de 3E para la adición.
Módulo 15: Operaciones con vectores libres
El número total de páginas no se encuentra disponible en esta vista previa.
200
Si a la construcción indicada (figura 15.4) se agrega una aplicación en O del vector
b
→
, de modo que ,OB b
⎯→ →
′′ = entonces el cuadrilátero OB AB′ ′′ es un paralelogramo
(¿por qué?).
Por tanto, B A OB
⎯⎯→ ⎯→
′′ ′= . Es decir, B A
⎯⎯→
′′ también representa al vector diferencia .a b
→ →
−
En consecuencia, una sencilla construcción para la diferencia es la siguiente (figura 15.5):
Figura 15.5
En un punto arbitrario O se aplican los vectores y a b
→ →
:
; .OA a OB b
⎯→ ⎯→→ →
= =
Así se obtienen las dos diferencias: y BA a b AB b a
⎯→ ⎯→→ → → →
= − = − .
La adición de vectores libre puede generalizarse a cualquier número finito de vectores,
así:
Para , 3,n n∈ ≥
11 2 1 2... : ... .nn na a a a a a a
→ → → → → → →
−
⎛ ⎞+ + + = + + + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
De manera simplificada:
1
1 1
.
n n
i i n
i i
a a a
−→ → →
= =
⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∑
Las propiedades asociativa y conmutativa permiten escribir los sumandos en cual-
quier orden y sin el uso de paréntesis. Ejemplo:
1 2 3 4 3 1 4 2 .a a a a a a a a
→ → → → → → → →
+ + + = + + +
Como consecuencia del hecho de que la estructura 3; +E es un grupo abeliano,
se obtienen para la adición de vectores libres algunas propiedades, válidas para
todas las estructuras de este tipo. El siguiente teorema recoge las más usuales.
Capítulo 4: Vectores geométricos
201Geometría vectorial y analítica
Teorema 3
Cualesquiera sean , ,a b c
→ → →
 vectores libres (elementos de 3 ),E se tiene:
1. .a b a b
→ → → →⎛ ⎞− + = − −⎜ ⎟
⎝ ⎠
2. a b a b
→ → → →
= ⇔ − = − .
3. .a b a b o
→ → → → →
= ⇔ − =
4. .a c b c a b
→ → → → → →
+ = + ⇔ =
5. La ecuación x a b
→ → →
+ = tiene solución única en 3.E
6. La ecuación a x b
→ → →
+ = tiene solución única en 3.E
7. .a a
→ →⎛ ⎞− − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
8. o
→
 es único.
9. a
→
− es único.
10. .a b b a a b
→ → → → → →
− = − ⇔ =
Con relación a la longitud (o magnitud) del vector suma, obtenido al operar con dos
vectores libres, es pertinente hacer algunas anotaciones basadas en el texto de
David Hilbert Fundamentos de la geometría.
L1. Si ,a o
→ →
= entonces .a b b a b
→ → → → →
+ = + =
L2. Si y a b
→ →
 son vectores libres no nulos con igual dirección, y con el mismo
sentido (figura 15.6), entonces:
a b a b
→ → → →
+ = + .
Figura 15.6
L3. Si y a b
→ →
 son vectores libres no nulos con la misma dirección, pero con
sentidos contrarios (figura 15.7), se tiene:
Módulo 15: Operaciones con vectores libres
202
Si a b
→ →
> , entonces: a b a b
→ → → →
+ = − .
Si a b
→ →
< , entonces: a b b a
→ → → →
+ = − .
Si a b
→ →
= , entonces: 0a b
→ →
+ = .
En resumen, a b a b
→ → → →
+ = − . (Léase: «la longitud de a b
→ →
+ es el valor
absoluto de la diferencia entre las longitudes de los vectores y a b
→ →
».)
En la figura 15.7:
; ;OA a AB b
⎯→ ⎯→→ →
= = .OB a b
⎯→ → →
= +
Figura 15.7
L4. Si y a b
→ →
 son vectores no nulos y tienen direcciones diferentes (figura
15.8), la desigualdad triangular garantiza que:
a b a b
→ → → →
+ < + .
Figura 15.8
En resumen, si y a b
→ →
 son vectores libres cualesquiera, entonces se satisface la
desigualdad triangular:
a b a b
→ → → →
+ ≤ + .
Capítulo 4: Vectores geométricos
203Geometría vectorial y analítica
La igualdad se da sólo cuando o ,a o b o
→ → → →
= = o cuando y a b
→ →
 son vectores no
nulos y coinciden en dirección y sentido.
15.2 Multiplicación de escalares por vectores libres
Mediante una ley de composición externa los vectores libres pueden ser dilatados,
contraídos o invertidos en su sentido.
Se define a continuación una particular ley a la que se llama multiplicación de un
escalar por un vector libre.
Multiplicación de un escalar por un vector libre
Sea 3 3: × →E EM .
M es una multiplicación de escalares por vectores libres si para cada
3 y , ,a aλ λ
→ →⎛ ⎞∈ ∈ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
E M es un vector libre, denotado ,a
→
λ con las siguientes
condiciones:
M1. Si 0 o ,a oλ
→ →
= = entonces .a oλ
→ →
=
M2. Si 0 y ,a oλ
→ →
≠ ≠ entonces aλ
→
 tiene la dirección de .a
→
M3. Si 0 y ,a oλ
→ →
≠ ≠ entonces aλ
→
 tiene el sentido de a
→
 si y sólo si 0.>λ
M4. a aλ λ
→ →
= .
, en esta definición y a través del texto, denota el conjunto de los números reales,
y a sus elementos se les llamará escalares. Usualmente se recurrirá a las letras
griegas ( , , ,...)α β λ para denotarlos.
Teorema 4
Paratodo λ ∈ y todo 3,a
→
∈E si y sólo si 0 o a o a oλ λ
→ → → →
= = = .
Prueba
( )⇒ .
Supóngase que a oλ
→ →
= .
Por M4, a aλ λ
→ →
= .
Por tanto, 0.aλ
→
=
Módulo 15: Operaciones con vectores libres
Vea la animación Dilatación y contracción de
vectores en su multimedia de Geometría
vectorial y analítica.
El número total de páginas no se encuentra disponible en esta vista previa.
206
M2. Si ,a o
→ →
= entonces ( 1) .a o
→ →
− = Pero .o o
→ →
= − Por tanto, en este caso
( 1) a a
→ →
− = − .
Consideremos el caso en que .a o
→ →
≠
El vector ( 1) a
→
− tiene la dirección de ,a
→
 pero sentido contrario.
Además, ( 1) ( 1) .a a a
→ → →
− = − = Luego ( 1) a
→
− es el inverso aditivo de .a
→
Por tanto, ( 1) .a a
→ →
− = −
M7. Debe tenerse en cuenta que dos vectores libres no nulos y m n
→ →
 son paralelos
si y sólo si cada uno es múltiplo escalar del otro. Esta propiedad la designa-
remos como el «primer criterio vectorial del paralelismo», y que podemos
resumir así: , .a o b o a b
→ → → → → →
≠ ≠ si y sólo si , , .a b oλ λ λ
→ → →
= ∈ ≠
Se hará uso de un método de demostración llamado modus tollendo ponens,
que consiste en lo siguiente:
Si bajo ciertas hipótesis ( )H queremos probar una proposición de forma de
disyunción ( ),P Q∨ puede procederse así:
Se niega P. Si con este supuesto, y utilizando H se deduce Q, entonces
de H se deduce P Q∨ .
En este numeral 7, las hipótesis son: , y a o b o a bλ η
→ → → → → →
≠ ≠ = .
Debe probarse que o ( 0 y 0)a b
→ →
= =λ η . Este es un enunciado
de la forma P Q∨ , con :
: y : ( 0 y 0)P a b Q
→ →
= =λ η .
Neguemos Q, es decir, supongamos que 0 o 0λ η≠ ≠ y analicemos
el caso 0λ ≠ (el otro es similar).
Por M6, puede escribirse:
a bη
λ
→ →
= (ya que a bλ η
→ →
= ).
Así, a
→
 es un múltiplo escalar de .b
→
 En consecuencia, y a b
→ →
 son
paralelos.
Queda así probado M7.
Capítulo 4: Vectores geométricos
207Geometría vectorial y analítica
De la propiedad M7 que acaba de probarse puede deducirse (realmente es una
reescritura de su enunciado) que si y a b
→ →
 son vectores libres no nulos y no
paralelos, entonces:
0 y 0a b oα β α β
→ → →
+ = ⇒ = = .
La última implicación se interpreta así: «la única combinación lineal de y a b
→ →
 que
produce el vector cero, es aquella en que los dos coeficientes son ceros».
Una combinación lineal de los vectores libres 1 2, ,..., ka a a
→ → →
 es el vector suma de
múltiplos escalares de ellos:
1 1 2 2 ... .k ka a aα α α
→ → →
+ + +
Los iα son coeficientes de la combinación lineal.
Ilustración 1
3 1 2 33 2 5 .OA a a a
⎯→ → → →
= − +
3OA
⎯→
 es una combinación lineal de los vectores 1 2 3, , ,a a a
→ → →
 con coeficientes respec-
tivos: 3, − 2, 5 (figura 15.13).
Figura 15.13
Una combinación lineal en la que todos los coeficientes son ceros, se llama combi-
nación lineal trivial. Dicha combinación produce, por supuesto, el vector nulo.
Si y a b
→ →
 son vectores tales que la única combinación lineal de ellos que produce
el vector cero es la trivial, entonces se dice que el conjunto { },a b→ → es linealmente
independiente.
Módulo 15: Operaciones con vectores libres
Vea la animación Combinación lineal de
vectores en su multimedia de Geometría
vectorial y analítica.
208
En 3 ,E dos vectores libres no nulos y no paralelos determinan en cada punto O del
espacio un plano, así:
Apliquemos y a b
→ →
 en O. Sean ,OA a OB b
⎯→ → ⎯→ →
= = (figura 15.14).
Figura 15.14
Las rectas OA
←⎯→
 y OB
←⎯→
 determinan (véase el texto Fundamentos de la geometría) un
plano. Dicho plano es , ,O a bπ
→ →⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, determinado por los vectores libres y a b
→ →
 en
el punto O.
Lo anterior puede enunciarse así:
Teorema 6
Si el conjunto { },a b→ → de vectores libres es linealmente independiente, entonces los
dos vectores determinan, en cada punto O del espacio, un plano , ,O a bπ
→ →⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Vectores coplanarios
Tres vectores libres , , ,a b c
→ → →
 con y a b
→ →
 no nulos, son coplanarios si alguno de
ellos es combinación lineal de los otros dos.
En este caso, se dice que el conjunto { }, ,a b c→ → → es linealmente dependiente.
En el espacio, un conjunto de tres vectores libres no nulos , ,a b c
→ → →
puede ser
linealmente independiente si éstos no son coplanarios; esto es, si ninguno de los
vectores es combinación lineal de los restantes (figura 15.15).
En la figura 15.15 puede observarse además que tres vectores libres no nulos , ,a b c
→ → →
determinan en cada punto O del espacio un paralelepípedo de dimensiones
Capítulo 4: Vectores geométricos
209Geometría vectorial y analítica
, ,a b c
→ → →
.
Figura 15.15
Las propiedades de la adición de vectores libres, enunciados en el teorema 1, y las
propiedades 1 3 4 5, , ,M M M M de la multiplicación por escalares enunciados en el
teorema 4 se resumen diciendo que la estructura 3; ;+E M , formada por el con-
junto de los vectores libres, la adición y la multiplicación de escalares por vectores,
es un espacio vectorial real.
Se dice real porque los escalares son números reales. En adelante, 3E denotará el
espacio vectorial de los vectores libres.
Se tienen así tres espacios vectoriales en los conjuntos estudiados hasta el presen-
te. En el, curso de Álgebra lineal se analizarán otros espacios vectoriales.
15.3 Ángulo entre vectores libres
Si bien los vectores libres pueden «desplazarse» paralelamente a sí mismos en
forma arbitraria, puede definirse ángulo entre ellos.
Ángulo entre vectores libres
Si y a b
→ →
 son vectores libres, se define un ángulo entre ellos con las siguientes
condiciones:
1.A Si y a b
→ →
 son no nulos, el ángulo entre ellos es el ángulo entre sus aplicacio-
nes respectivas y OA OB
⎯→ ⎯→
 en un mismo punto O (figura 15.16).
Módulo 15: Operaciones con vectores libres
El número total de páginas no se encuentra disponible en esta vista previa.
212
Solución (figura 2)
Figura 2
Sean ABC un triángulo y M, N puntos medios de AB y ,AC respectivamente.
MN MA AN
⎯→ ⎯→ ⎯→
= + (definición de adición).
1 1 y 
2 2
MA BA AN AC
⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→
= = (¿por qué?).
Luego 1
2
MN BA AC
⎯→ ⎯→ ⎯→⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Pero BC BA AC
⎯→ ⎯→ ⎯→
= + (definición de adición). Por tanto, 1
2
MN BC
⎯→ ⎯→
= .
En consecuencia, MN BC y 1
2
MN BC= .
3. Teorema de la paralela media (versión vectorial segunda parte)
Demuestre que si en un triángulo cualquiera se traza desde el punto medio de uno cualquiera de sus lados una
paralela a otro de los lados, dicha recta pasa por el punto medio del tercer lado.
Solución (figura 3)
Figura 3
Sea ABC un triángulo y P el punto medio del lado AB .
Sea m la recta paralela a BC y que pasa por el punto P.
Sea Q el punto en que m corta al tercer lado AC .
PQ BC
⎯→ ⎯→
; por tanto, PQ BCλ
⎯→ ⎯→
= (para algún 0λ > ).
213Geometría vectorial y analítica
AQ ACβ
⎯→ ⎯→
= (para algún 0β > ).
PQ AQ AP
⎯→ ⎯→ ⎯→
= − (¿por qué?).
Pero
1
2
AP AB
⎯→ ⎯→
= (P es un punto medio de AB ).
Luego 1
2
PQ AQ AB
⎯→ ⎯→ ⎯→
= − . Por esto, 1 .
2
BC AC ABλ β
⎯→ ⎯→ ⎯→
= −
Pero AB AC BC
⎯→ ⎯→ ⎯→
= − (¿por qué?). Así, 1
2
BC AC AC BCλ β
⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→⎛ ⎞= − −⎜ ⎟
⎝ ⎠
. Es decir, 
1 1
2 2
BC ACλ β
⎯→ ⎯→⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.
Pero el conjunto ,BC AC
⎯→ ⎯→⎧ ⎫
⎨ ⎬
⎩ ⎭
es linealmente independiente (¿por qué?).
En consecuencia, 
1 10 y 0
2 2
λ β⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 (véase M7 del teorema 4).
Luego 1 1 y 
2 2
λ β= = .
Se obtiene así que 
1
2
AQ AC
⎯→ ⎯→
= ; es decir, Q es el punto medio de AC .
4. Criterio de colinealidad para tres puntos distintos
Demuestre que los extremos A, B, C de tres segmentos dirigidos, con el mismo punto inicial O, son colineales si y sólo
si existen escalares , , ,α β λ no todos nulos, tales que:
 y 0.OA OB OC oα β λ α β λ
⎯→ ⎯→ ⎯→ →
+ + = + + =
Prueba (figura 4)
Figura 4
214
( )⇒
Sean A, B y C tres puntos colineales (están sobre una misma recta) y O un punto en el espacio.
AC OC OA
⎯→ ⎯→ ⎯→
= − (?).
AB OB OA
⎯→ ⎯→ ⎯→
= − (?).
,con AB ACδ δ
⎯→ ⎯→
= ∈ (?).
Luego OB OA OC OAδ
⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→⎛ ⎞− = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
. Por tanto, (1 ) ( 1) .OA OB OC oδ δ
⎯→ ⎯→ ⎯→ →
− + − + =
Sean ahora 1 , 1, .α δ β λ δ= − = − =
Así, , ,α β λ son reales tales que 0α β λ+ + = , y .OA OB OC oα β λ
⎯→ ⎯→ ⎯→ →
+ + =
( )⇐
Sean ahora , ,α β λ reales, no todos nulos, tales que 0α β λ+ + = y .OA OB OC oα β λ
⎯→ ⎯→ ⎯→ →
+ + =
Claramente, .λ α β= − − Por tanto, ( ) .OA OB OC oα β α β
⎯→ ⎯→ ⎯→ →
+ + − − = Luego .OA OC OB OC oα β
⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ →⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Pero y .OA OC CA OB OC CB
⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→
− = − = Así, .CA CB oα β
⎯→ ⎯→ →
+ = Es decir, .CA CBα β
⎯→ ⎯→
= −
En consecuencia, ,CA CB
⎯→ ⎯→
 por lo cual A, B, C son colineales.
5. División de un segmento en una razón dada (teorema de la proporción). Sea AB un segmento no nulo; X, un punto
interior suyo; O, un punto del espacio; ,α β reales positivos. Demuestre que X divide al segmento AB en la razón
α β si y sólo si
1
( )
OX OB OAα β
α β
⎯→ ⎯→ ⎯→⎛ ⎞= +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
.
Solución (figura 5)
Figura 5
215Geometría vectorial y analítica
( )⇒
Supongamos que X divide al segmento AB en la razón ;α β esto es, que:
, con y reales positivos.AX XBα α β
β
⎯→ ⎯→
=
Así, .AX XBβ α
⎯→ ⎯→
= Pero y .AX OX OA XB OB OX
⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→
= − = −
Luego OX OA OB OXβ α
⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
. Esto es, ( ) .OX OB OAα β α β
⎯→ ⎯→ ⎯→
+ = +
En consecuencia, 1
( )
OX OB OAα β
α β
⎯→ ⎯→ ⎯→⎛ ⎞= +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
.
( )⇐
Supongamos ahora que 
1 , con y reales positvos.
( )
OX OB OAα β α β
α β
⎯→ ⎯→ ⎯→⎛ ⎞= +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
De aquí, ( ) .OX OB OAα β α β
⎯→ ⎯→ ⎯→
+ = + O sea, OX OA OB OXβ α
⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.
Luego .AX XBβ α
⎯→ ⎯→
= Esto es, .AX XB
α
β
⎯→ ⎯→
=
Así, 
AX
XB
α
β
⎯→
⎯→
= .
Casos particulares de este problema:
.α β=
En este caso, ;AX XB
⎯→ ⎯→
= es decir, X es un punto medio de ,AB por lo cual 1
2
OX OA OB
⎯→ ⎯→ ⎯→⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (véase el
ejercicio resuelto 1).
2 .α β=
Ahora 2 ,AX XB
⎯→ ⎯→
= y el punto X divide el segmento AB en dos, cuyas longitudes respectivas son
2 1 y 
3 3
AB AB
⎯→ ⎯→
. Se tendrá además que: 1 2
3
OX OB OA
⎯→ ⎯→ ⎯→⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
6. Teorema del baricentro
Demuestre que en todo triángulo las tres medianas concurren en un punto y que cada vértice dista de dicho punto 2 3
de la longitud de la respectiva mediana. Al punto de encuentro de las tres medianas se le denomina baricentro del
triángulo.
El número total de páginas no se encuentra disponible en esta vista previa.
218
Apliquemos el vector x
→
 en el punto O, y analicemos los casos posibles de acuerdo
a la posición de x
→
.
Si I nt ,x a b
→ → →⎛ ⎞⊂ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
 (figura 7c) se tiene que { }AB x P
→
∩ = por el teorema
de la barra transversal (geometría auclidiana). Pero , x OPα α
→ →
= ∈ por el criterio
del paralelismo.
Figura 7c
A su vez OP a bθ
→ → →
= Ω + por el teorema de la proporción, y sustituyendo en la
ecuación anterior se concluye que a bx θα
→ →→
Ω +⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
, esto es
y en consecuencia , ,x a bλ β λ β
→ → →
= + ∈ .
En forma análoga se llega a esta conclusión si x
→
está contenido en
el interior de cualquiera de los otros tres ángulos.
Si x
→
 está contenido en la recta subyacente del vector a
→
 enton
ces x aλ
→ →
= , y en consecuencia x a bλ β
→ → →
= + con 0β = .
En forma análoga se llega a esta conclusión si x
→
 está contenida
en la recta subyacente del vector b
→
.
( ) ( )a bx α α θ
→ →→
Ω +=
219Geometría vectorial y analítica
Ejercicios propuestos
Para facilitar la solución de una buena parte de los ejercicios se sugiere elaborar un gráfico que ilustre la situación descrita
en el enunciado sin establecer generalizaciones inválidas.
1. Determine, para cada una de las afirmaciones siguientes, si es verdadera o falsa, y justifique su afirmación. En el caso
de enunciados falsos muestre un contraejemplo apropiado.
a. Si 3, ,a b
→ →
∈E con y , entonces .a b a b a b
→ → → → → →
= =
b. Si , entonces y .a b a b a b
→ → → → → →
= =
c. Si , entonces a b a b
→ → → →
= .
d. Si ,a b
→ →
 entonces y a b
→ →
 están sobre la misma recta.
e. Si a b
→ →
= y ,a b
→ →
≠ entonces y a b
→ →
 son opuestos.
f. Si y y , entonces a b a b a b a b
→ → → → → → → →
= ≠ = − .
g. Si , entonces c a c a o
→ → → → →⎛ ⎞= − + − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
h. Si 3, , entonces .a b a b a b
→ → → → → →
∈ + = +E
i. Si para , , entonces a b a b a b o a b
→ → → → → → → → →
+ = + ≠ .
j. Si , entonces .a b a b a b
→ → → → → →
+ = +
k. Si , entonces y a b a b a b
→ → → → → →
+ = − tienen sentidos opuestos.
l. Si c d
→ →
> , entonces .c d c d
→ → → →
+ = −
220
m. Si , y , entonces e f o e f f e e f
→ → → → → → → → →
≠ + = − + tiene el mismo sentido de .f
→
n. Si , y , entonces y b d o b d b d b d
→ → → → → → → → →
≠ − = + son de sentidos opuestos.
o. Si , , y , entonces:a b c o a b c c b a
→ → → → → → → → → →
≠ + + = − −
(1). .a b c
→ → →
(2). , ,c a b
→ → →
 tienen distintas direcciones.
(3). y a b
→ →
 tienen el mismo sentido.
(4). y a b
→ →
 tienen sentidos opuestos al de .c
→
(5). a b c
→ → →
+ + tiene el mismo sentido de .a
→
(6). c a b
→ → →
> + .
(7). b a
→ →
> .
(8). .a b c c a b
→ → → → → →
− − − = − −
(9). .a b c a b c
→ → → → → →
+ − = + +
2. En la figura 1, ABCD representa un paralelogramo.
a. Explique por qué .AB DC
⎯→ ⎯→
=
b. Explique por qué .AD CB
⎯→ ⎯→
= −
Si designamos: , ,u AD v DC
→ ⎯→ → ⎯→
= = , ,w CB x BA
→ ⎯→ → ⎯→
= = resuelva los literales c, d, e.
c. Exprese AC
⎯→
 en términos de y .u v
→ →
d. Exprese AC
⎯→
 en términos de y .x w
→ →
e. Calcule los siguientes vectores, expresando los resultados en términos de los vértices del paralelogramo:
, ,x u x u v x u v u
→ → → → → → → → →⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
.
221Geometría vectorial y analítica
Figura 1
3. En la figura 2 se tiene un paralelogramo A y B son puntos medios de los lados, y puede suponerse que los vectores
que se observan como paralelos evidentemente lo son. Los vectores señalados tienen su origen en P, o terminan en
P. Si , ,u PA t PB
→ ⎯→ → ⎯→
= = designe todos los vectores que aparecen con interrogación en términos de , .u t
→ →
Figura 2
4. En las mismas condiciones de la figura anterior para y ,t u
→ →
 exprese los vectores que aparecen con incógnita en
función de y .u t
→ →
 Use la figura 3.
Figura 3
5. Para 3,a b
→ →
∈E :
a. Si , y a b a b
→ → → →
 tienen sentidos opuestos y a b
→ →
+ tiene el sentido de ,a
→
 ¿qué puede afirmarse de y a b
→ →
en su relación de orden?
El número total de páginas no se encuentra disponible en esta vista previa.
225Geometría vectorial y analítica
20. Demuestre vectorialmente que en un triángulo isósceles las medidas de los segmentos trazados desde los puntos
medios de los lados iguales al punto medio del tercer lado son iguales.
21. En un exágono regular ABCDEF, demuestre vectorialmente que 3 .AB AC AD AE AF AD
⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→
+ + + + =
22. Demuestre vectorialmente que el baricentro G de un triángulo de vértices A, B, C se puede expresar como
1
3
OG OA OB OC
⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→⎛ ⎞= + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
, siendo O un punto de referencia cualquiera.
23. Sean ABCD un cuadrilátero cualquiera, O un punto de referencia y P el punto medio del segmento determinado
por los puntos medios de las diagonales. Demuestre vectorialmente que 1
4
OP OA OB OC OD
⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
24. En la figura 7, 2
1
CD
BD
⎯→
⎯→
= , y P es el punto medio de AD . Demuestre vectorialmente que 1 1 1 ,
2 3 6
OP OA OB OC
⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→
= + +
siendo O punto de referencia.
Figura 7
25. En un ABCΔ se tiene:
1 2
1 2
1 1;
3 3
AP AP
PB PC
⎯→ ⎯→
⎯→ ⎯→
= = . P3 es el punto de intersección de 2 1y .BP CP
Determine vectorialmente las razones en las que 3P divide al segmento 1CP y al segmento 2BP .
26. En la pirámide triangular de base en el ABCΔ y vértice Q, los segmentos , y AB BC AC tienen por puntos medios M,
N y L, respectivamente. Demuestre vectorialmente que .QMQN QL QA QB QC
⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→⎯⎯→
+ + = + +
27. En el paralelogramo ABCD, M es el punto medio de .CD Demuestre vectorialmete que y BD AM se cortan en un
punto que divide a ambos segmentos en la razón 1:2.
28. Sea 3, ,a b a
→ → →
∈E
2 y tales que 2 2 .
5
b a b a b aλ β β
→ → → → → →
− + = + − Determine vectorialmente los valores de y λ β .
226
227Geometría vectorial y analítica
16
El espacio vectorial de los vectores libres
Introducción
Los vectores libres, con las operaciones adición y multiplicación por un escalar, conducen a
dos estructuras matemáticas de suma importancia: grupo y espacio vectorial. Esta última
tiene asociados los conceptos de combinación lineal, independencia lineal, base y dimensión.
En el estudio de los espacios vectoriales es preciso indagar acerca de la existencia de
subconjuntos que, con el menor número posible de elementos, generen el conjunto de todos
los vectores del espacio. Estos subconjuntos se denominan bases.
Objetivos del módulo
1. Definir el concepto general de espacio vectorial y mostrar el conjunto de los vectores libres
 3E como un espacio vectorial real.
2. Introducir el concepto de subespacio vectorial, con la exhibición de dos subespacios de 3 ,E
 2E y 1.E
3. Definir los conceptos de base y dimensión para espacios vectoriales, particularizando
 para los espacios 3 ,E 2E y 1.E
Preguntas básicas
1. ¿Qué debe suceder para que dos vectores sean colineales?
2. ¿Qué relación existe entre paralelismo y colinealidad?
3. ¿Qué es una estructura de espacio vectorial?
4. ¿Qué es un subespacio vectorial?
5. ¿Qué es una base?
6. ¿Qué representa la dimensión de un espacio vectorial?
Contenidos del módulo
16.1 El espacio vectorial de los vectores libres
16.2 El espacio vectorial 1E
 16.3 El espacio vectorial 2E
16.4 El espacio vectorial 3E
16.5 Bases ortonormales derechas
Vea el módulo 16 del programa de
televisión Geometría vectorial y analítica
Euclides
Euclides es, sin lugar a dudas, el matemático más famoso de
la antigüedad y quizás el más nombrado y conocido de la
historia de las matemáticas.
Se conoce poco de su vida, pero su obra es ampliamente
conocida. Todo lo que sabemos de su vida nos ha llegado a
través de los comentarios de un historiador griego llamado
Proclo. Sabemos que vivió en Alejandría (Egipto), al parecer
alrededor del año 300 a. C. Allí fundó una escuela de estudios
matemáticos. Por otra parte, también se dice que estudió
en la escuela fundada por Platón.
Su obra más importante es un tratado de geometría que
recibe el título de Elementos, cuyo contenido aún sigue
vigente.
Las fechas en que nació y murió Euclides son inciertas, pero
se cree que vivió entre los años 330 y 275 a. C.
228
16.1 El espacio vectorial de los vectores libres
En el módulo 15 se definieron las operaciones adición (+) y multiplicación por un
escalar ( )M en el conjunto 3E de los vectores libres en el espacio. Se dijo que las
propiedades de la adición enunciadas en el teorema 2 y las propiedades 1, 3, 4 y 5 de
M recogidas en el teorema 5 hacen que la estructura 3 ; ;< + >E M sea un espa-
cio vectorial real.
En esta unidad se estudiarán algunas características especiales de este espacio
vectorial, entre ellas las relativas a los subespacios 1 2 y E E y los conceptos de
base y dimensión.
Colinealidad
Si se escoge en el espacio una recta l, ésta determina –como se verá– un subespacio
de 3.E
1. Un vector libre a
→
está en la recta l si tiene su misma dirección.
2. El vector libre nulo está en toda recta l.
Dos vectores libres pueden ser colineales bajo las siguientes condiciones:
1. o
→
es colineal con cualquier vector libre .a
→
2. y a b
→ →
son colineales si existe un escalar α tal que b aα
→ →
= o existe un escalar
β tal que .a bβ
→ →
= En este caso diremos también que y a b
→ →
son paralelos.
Notas
1. Como puede observarse, la colinealidad es sinónimo de paralelismo.
2. Si el vector a
→
 es no nulo y ,b o
→ →
= entonces y a b
→ →
son colineales y existe un
escalarα tal que ( 0 ),b a b aα
→ → → →
= = pero no existe un escalar β tal que .a bβ
→ →
=
3. El vector nulo es paralelo a cualquier vector (tiene todas las direcciones).
4. Si y a b
→ →
son no nulos y colineales, entonces existe un escalarα no nulo de
modo que .b aα
→ →
= Hay dos posibilidades:
a. y a b
→ →
tienen el mismo sentido. En este caso 0.α >
b. y a b
→ →
tienen sentidos contrarios. Ahora 0.α <
Capítulo 4: Vectores geométricos
231Geometría vectorial y analítica
El conjunto{ }a
→
es linealmente independiente. En efecto: si ,a oα
→ →
= entonces
0.α = Es decir, la única combinación lineal de a
→
que produce el vector cero es la
trivial. Además, para cualquier vector 1 en b
→
E existe un escalarα tal que b aα
→ →
=
(ya que y a b
→ →
son colineales). Es decir, cualquier vector de 1E es una combinación
lineal de .a
→
 Dicho de otro modo:{ }a
→
genera a 1;E o 1 gen{ }.a
→
=E
Esta última expresión se lee: 1E es el espacio generado por el conjunto formado por
el vector a
→
.
En suma,{ }a
→
es una base para 1 :E { }a
→
es linealmete independiente y genera a 1.E
Puede, pues, escribirse:
{ }1 3 : , para algún real .b b aα α→ → →= ∈ =E E
La dimensión de 1E es uno (1): 1dim 1.=E Esto es por el hecho de que para generar
1E sólo se requiere un vector.
Las operaciones adición y multiplicación por un escalar pueden hacerse utilizando
las representaciones de los vectores de 1E en la base{ }a
→
.
Si y ,b a c aα β
→ → → →
= = entonces:
( ) ,b c a
→ → →
+ = +α β
( ) .b aλ λα
→ →
=
16.3 El espacio vectorial 2E
Recordemos que, estrictamente hablando, el vector libre carece de puntos. No
obstante, cabe la siguiente definición.
Un vector libre puede estar en un planoπ bajo las siguientes condiciones:
1. Un vector libre a
→
está en un plano ,π si dicho vector es paralelo al plano.
2. Los vectores 1 2, ,..., ka a a
→ → →
son coplanarios si existe un planoπ paralelo a cada
uno de ellos.
3. El vector nulo ( )o
→
es coplanario con cualquier vector.
Módulo 16: El espacio vectorial de los vectores libres
El número total de páginas no se encuentra disponible en esta vista previa.
232
La expresión «el vector libre a
→
 está en el planoπ » se entiende en el sentido de que
si se escoge enπ un punto O (figura 16.2) y en éste se aplica el vector libre a
→
 de
modo que ,OA a
⎯→ →
= entonces el segmento orientado OA
⎯→
tiene todos sus puntos en
el plano .π
Figura 16.2
Dado un plano ,π se denota 2E al conjunto de los vectores libres que están en
dicho plano.
Cualquier plano paralelo aπ determina el mismo conjunto 2.E En adelante se hablará
de 2 ,E entendiéndose que hay un plano que lo determina. El vector nulo (0)
→
 hace
parte de 2.E
Las operaciones adición y multiplicación por un escalar definidas en 3E conservan
en 2 ,E así como en 1,E sus propiedades.
Por similitud con el análisis hecho para 1,E puede concluirse el siguiente teorema:
Teorema 8
La estructura 2 ; ;< + >E M es un espacio vectorial real. Lo notamos también como
2 ,E .
Como 2E y 1E son subconjuntos de 3 ,E puede enunciarse que 1E y 2E son
subespacios de 3.E
Consideremos en 2E un subconjunto{ },a b→ → formado por dos vectores libres no
nulos y no colineales.
Se sabe que{ },a b→ → es un conjunto LI (linealmente independiente); esto es, si
,a b oα β
→ → →
+ = entonces y α β deben ser iguales a cero. Dicho de otro modo: la
Capítulo 4: Vectores geométricos
233Geometría vectorial y analítica
única combinación lineal de y a b
→ →
que produce el vector cero es la trivial.
Teorema 9
Si{ },a b→ → es un subconjunto LI en 2 ,E entonces todo vector de 2E puede expresar-
se, de manera única, como combinación lineal de y .a b
→ →
Prueba
Debe probarse que para cualquier vector libre c
→
de 2E existen escalares y ,α β úni-
cos, tales que .c a bα β
→ → →
= +
Existencia
Hay tres casos posibles:
1. es colineal con .c a
→ →
En este caso existeα real tal que .c aα
→ →
=
Luego 0 ( 0).c a b
→ → →
=+ =α β
2. es colineal con .c b
→ →
Este caso es similar al anterior.
3. no es colineal con ni con .c a b
→ → →
Es claro que .c o
→ →
≠
Escojamos en el plano un punto O y apliquemos en él los tres vectores (figura 16.3).
Figura 16.3
Como resultado de la aplicación tenemos que , y ,OA a OB b OC c
⎯→ → ⎯→ → ⎯→ →
= = = en
cualquiera de las dos situaciones presentadas en la figura 16.3.
Módulo 16: El espacio vectorial de los vectores libres
Vea la animación Expresión de un vector libre
como combinación lineal de otros dos en su
multimedia de Geometría vectorial y
analítica.
234
Por C tracemos una recta paralela a OB y que corta a OA en ,́A y la recta
paralela a OB y que corta a OA en .́B
Por definición de adición, en el paralelogramo ´ ,́OA CB
´ ´.OC OA OB
⎯→ ⎯→ ⎯→
= +
Pero es claro que ´ y OA OA
⎯→ ⎯→
son colineales, así como ´ y .OB OB
⎯→ ⎯→
 Luego
existen esalares y α β tales que:
´ y ´ .OA a OB b
⎯→ → ⎯→ →
= =α β
Por tanto, .c a b
→ → →
= +α β
Unicidad
Supongamos que existen parejas de escalares 1 1 2 2, y ,α β α β de modo que:
1 1c a bα β
→ → →
= +
2 2 .a bα β
→ →
= +
Por diferencia se obtiene:
1 2 1 2( ) ( ) .a b oα α β β
→ → →
− + − =
Como el conjuntoes { },a b→ → LI, deben ser:
1 2 1 20 y 0.α α β β− = − =
Es decir, 1 2 1 2 y .α α β β= =
Luego , con y únicos.c a b
→ → →
= +α β α β
El conjunto{ },a b→ → del teorema cumple dos condiciones:
1. { },a b→ → es LI.
2. { },a b→ → genera a 2.E Esta es una forma más simple de decir que todo vector
de 2E es combinación lineal de y .a b
→ →
 En símbolos: { }2 gen , .a b→ →=E
Capítulo 4: Vectores geométricos
235Geometría vectorial y analítica
Por 1 por 2 se dice que{ },a b→ → es una base para 2.E
De hecho, en 2E hay infinitas bases: cualquier par de vectores de 2E constituyen
una base con la única condición de ser no nulos y no colineales.
Ilustración 3
En el triángulo ABC (figura 16.4), P y M son puntos medios de y ,AC BC respecti-
vamente. Sean = y .a BP b MC
→ ⎯→ → ⎯→
= Es evidente que el conjunto{ },a b→ → es una base
para 2.E Exprese, en términos de esta base, los vectores y .AB AC
⎯→ ⎯→
Figura 16.4
Solución
2AB PM
⎯→ ⎯→
= (ejercicio resuelto).
PM BM BP
⎯→ ⎯→ ⎯→
= − (?)
MC BP
⎯→ ⎯→
= − (?)
.b a
→ →
= −
Luego 2( )AB b a
⎯→ → →
= − 2 2 .b a
→ →
= −
Por otra parte, 2 .AC AP
⎯→ ⎯→
=
Pero AP BP AB
⎯→ ⎯→ ⎯→
= + (2 2 ).a b a
→ → →
= + −
Por tanto, 2 .AP b a
⎯→ → →
= − Luego 4 2 .AC b a
⎯→ → →
= −
Ilustración 4
En el rectángulo OABC (figura 16.5 ), llamemos respectivamente 1 2 y e e
→ →
a los vectores
Módulo 16: El espacio vectorial de los vectores libres
El número total de páginas no se encuentra disponible en esta vista previa.
238
16.4 El espacio vectorial 3E
Abordaremos a continuación el problema de la formación de bases para el
espacio 3.E
Teorema 10
Si{ },a b→ → es un conjunto LI, entonces existe al menos un vector c→ de 3E tal que es
{ }, ,a b c→ → → también LI.
Prueba
Apliquemos en un punto O del espacio los vectores y ,a b
→ →
de manera que OA a
⎯→ →
=
y OB b
⎯→ →
= (figura 16.6).
Figura 16.6
Se determina así un plano ( , , ).O A Bπ
Por los axiomas de la geometría elemental, existe en el espacio al menos un punto C
que no está en dicho plano.
Llamemos c
→
al vector .OC
⎯→
 El vector c
→
no está en el plano ( , , )O A Bπ y por tanto
no es coplanar con y .a b
→ →
 Esto significa que c
→
no es combinación lineal de y a b
→ →
y, por ello, no pertenece al espacio 2 ,E una de cuyas bases es{ },a b→ → .
En síntesis, se ha hallado un vector ,c
→
 no nulo obviamente, para el cual no existen
escalares ,α β tales que .c a bα β
→ → →
= +
En consecuencia, si , entonces 0, 0, 0.a b c oα β λ α β λ
→ → → →
+ + = = = = Así, el
Capítulo 4: Vectores geométricos
Vea la animación Expresión de un vector libre
como combinación lineal de otros tres en su
multimedia de Geometría vectorial y
analítica.
239Geometría vectorial y analítica
conjunto{ }, ,a b c→ → → es linealmente independiente.
Colorario
, ,a b c
→ → →
 son vectores coplanarios si y sólo si{ }, ,a b c→ → → es LD.
Teorema 11
Si{ }, ,a b c→ → → es LI, entonces todo vector de 3E puede expresarse, de manera única,
como combinación lineal de , y .a b c
→ → →
Prueba
Debe probarse que si d
→
es un vector de 3 ,E entonces existen escalares
, y ,α β λ únicos, tales que .d a b cα β λ
→ → → →
= + +
Existencia
Cosideremos los cuatro casos posibles:
a. d
→
es coplanario con y a b
→ →
.
b. d
→
es coplanario con y .a c
→ →
c. d
→
es coplanario con y .b c
→ →
d. d
→
 no es coplanario con y ,a b
→ →
 ni con y , ni con y .a c b c
→ → → →
Analizaremos únicamente el caso d (figura 16.7).
Figura 16.7
Apliquemos en un punto O del espacio los vectores , , y ,a b c d
→ → → →
de tal manera
que , , y .OA a OB b OC c OD d
⎯→ → ⎯→ → ⎯→ → ⎯→ →
= = = =
Módulo 16: El espacio vectorial de los vectores libres
240
Hay tres planos para destacar: ( , , ), ( , , ), ( , , ).O A B O A C O B Cπ π π En ninguno
de los tres planos está el punto D.
Tracemos por el punto D:
Una paralela al vector ,a
→
que corta al plano ( , , ) en .O B C Hπ
Una paralela al vector ,b
→
que corta al plano ( , , ) en .O A C Fπ
Una paralela al vector ,c
→
que corta al plano ( , , ) en .O A B Eπ
Se determina así el paralelepípedo .OA EB C FDH′ ′ ′
El segmento OD es una diagonal de dicho poliedro.
Es claro que .OD OE ED
⎯→ ⎯→ ⎯→
= + Pero .OE OA OB
⎯→ ⎯→ ⎯→
′ ′= +
Luego OD OA OB OC
⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→
′ ′ ′= + + (?)
Ahora bien, , y OA OB OC
⎯→ ⎯→ ⎯→
′ ′ ′ son respectivamente colineales con ( ), ( )OA a OB b
⎯→ → ⎯→ →
y ( ).OC c
⎯→ →
 Por tanto, existen escalares , ,α β λ tales que:
.d a b cα β λ
→ → → →
= + +
Unicidad
Se deja como ejercicio al lector.
Según este último teorema, todo conjunto LI de tres vectores{ }, ,a b c→ → → en 3E gene-
ra a 3.E Esto significa que si al conjunto LI{ }, ,a b c→ → → se le agrega un vector ,d→ el
nuevo conjunto{ }, , ,a b c d→ → → → es, necesariamente, LD.
Puede afirmarse, en consecuencia, que en 3E el máximo número de vectores en un
conjunto LI es tres. Por tal razón, la dimensión de 3E es tres: 3dim 3=E .
Además, todo conjunto{ }, ,a b c→ → → de 3E que sea LI es una base de 3.E
Capítulo 4: Vectores geométricos
241Geometría vectorial y analítica
Ilustración 7
En la figura 16.8, el poliedro OABC es un tetraedro (tiene cuatro caras) llamado
pirámide triangular.
Sean , y .a OA b OB c OC
→ ⎯→ → ⎯→ → ⎯→
= = = Sea además G el baricentro del triángulo OAB (la
cara OAB).
Exprese el vector CG
⎯→
en la base { }, ,a b c→ → → .
Figura 16.8
Solución
Es evidente que , y a b c
→ → →
son no coplanarios y, por tanto,{ }, ,a b c→ → → es una base de
3.E
.CG CO OG
⎯→ ⎯→ ⎯→
= +
Llamemos M al punto medio de la arista .AB
Como OM es una mediana, 1 ( )
2
OM OA OB
⎯→ ⎯→ ⎯→
= + (?).
Es decir, 1 ( ).
2
OM a b
⎯→ → →
= +
Pero (problema resuelto) 2 .
3
OG OM
⎯→ ⎯→
= Luego
1 ( ).
3
CG c a b
⎯→ → → →
= − + +
Finalmente, 1 1 .
3 3
CG a b c
⎯→ → → →
= + −
Módulo 16: El espacio vectorial de los vectores libres
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244
Ejercicios propuestos
1. A, B, C y D son puntos coplanarios situados como indica la figura 1. Sean 1 ; .
2
a BC DB AD CD b AC AD
→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ ⎯→ → ⎯→ ⎯→
= + + + = +
Pruebe o refute que y a b
→ →
son colineales.
Figura 1
2. En el paralelogramo OABC de la figura 2, M y N son puntos medios deCB y BA , respectivamente. Sean ; .a OM b ON
→ ⎯→ → ⎯→
= =
De este modo{ },a b→ → es una base para 2.E
a. Encuentre las expresiones de los vectores y AB CB
⎯→ ⎯→
 en la base dada.
b. Sean P y Q los puntos de corte de la diagonal CA
⎯→
con los segmentos y .OM ON Encuentre las componentes
de los vectores y OP OQ
⎯→ ⎯→
en la base dada.
Figura 2
3. En la figura 3, el cuadrilátero ABCD es un rombo con ángulos interiores de 60 y 120º. Sean ; .a AB b AD
→ ⎯→ → ⎯→
= = El
segmento BP es perpendicular al lado .AD
Ejercicios del capítulo 4(módulo 16)
245Geometría vectorial y analítica
a. Encuentre las componentes del vector AP
⎯→
en la base{ },a b→ → .
b. Si la longitud del lado del rombo es 2, calcule la longitud del vector AP
⎯→
.
c. ¿Puede utilizarse el resultado en b para calcular la longitud del vector AC
⎯→
? En caso afirmativo, calcule dicha
longitud.
Figura 3
4. El poliedro de la figura 4 es un cubo. En él, , , .a AD b AB c AE
→ ⎯→ → ⎯→ → ⎯→
= = = El punto P es el centro de la cara DBHF.
Exprese el vector AP
⎯→
 en la base{ }, ,a b c→ → → .
Figura 4
5. En el tetraedro de la figura 5, , , .a OA b OB c OC
→ ⎯→ → ⎯→ → ⎯→
= = = El punto P es el baricentro del triángulo OAB y Q el del
triángulo ABC. Use la base { }, ,a b c→ → → para probar que el vector PQ⎯→ es paralelo con el vector OC⎯→ .
246
Figura 5
6. El cubo de la figura 6 tiene arista de longitud 1. Además, , , .i OA j OB k OC
→ ⎯→ → ⎯→ → ⎯→
= = = De este modo, { }, ,i j k→ → →
es una base ortonormal para E3. Los puntos P y Q son centros respectivos de las caras EFHC y FHBD.
a. Use la base ortonormal para probar o refutar que el vector PQ
⎯→
 es coplanario con la cara OBHC.
b. Use la base ortonormal para calcular la longitud de .PQ
⎯→
Figura 6
7. El sólido de la figura 7 es un ortoedro o paralepípedo recto (todos sus ángulos diedros son rectos). Sus aristas miden:
1, 3, 2.OA OB OC
⎯⎯ ⎯⎯ ⎯⎯
= = = Sean , , ,i j k
→ → →
 respectivamente, los vectores , ,OA OB OC
⎯→ ⎯→ ⎯→
 normalizados.
Así se obtiene una base ortonormal { }, , .i j k→ → →
a. Exprese el vector PQ
⎯→
 en la base dada (P y Q son puntos medios de las aristas AE y ,FH respectivamente).
b. Calcule .PQ
⎯→
247Geometría vectorial y analítica
Figura 7
8. El poliedro de la figura 8 es una pirámide regular de base cuadrada. El vértice O «cae» perpendicularmente al centro
P de la base (el cuadrado ABCD). Sean , y .a OA b OB c OC
→ ⎯→ → ⎯→ → ⎯→
= = = Exprese los vectores OD
⎯→
 y OP
⎯→
 en la base { }, , .a b c→ → →
Figura 8