CUADERNO DE EJERCICIOS DE CALCULO DIFERENCIAL-90 - EDUARDO GONZALEZ GARCIA

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V.42 
SOLUCIÓN: 
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
SUCESIONES Y SERIES 
00 1 00 1 L -
3 
-- = L -- , ésta es una serie 11 p 11 con 
n=l v;; n=l .l 
n3 
1 
p-- < 1 luego -3 ' 
divergente. 
1 
~ ( 16 ) ¡ V.43 L..J 
n=l n 
SOLUCIÓN: 
00 
I 
n=l 1 
1 
es una serie 11 p 11 en donde 
n4 
p = _!_ < 1 , luego la serie dada es divergente. 
4 
V.44 L 4 -
00 f!F1 
n=l n 5 
SOLUCIÓN: 
00 
{~81 
00 [+ 00 1 00 1 L 4 - = ¿ V8I 4 - = ¿ 3 -- = 3 ¿ -
5 5 5 5 n=l n n=l n n=l - n=I -
n4 n4 
00 1 L-, es una 
n=l i 
n4 
serie tipo 11 p 11 en donde 5 p = - > 1 . La serie dada es convergente. 
4 
258 
V.45 
V.46 
CUADERNO DE E.IERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL 
SUCESIONES Y SERIES 
4 1 4 
Escribir la suma infinita 4 + 1 + - + - + - + . . . como una serie y determinar 
9 4 25 
el carácter de ésta. 
SOLUCIÓN: 
El término enésimo de la suma es de la forma 
f_i_=4f-1. 
2 2 
n=l n n=l n 
4 
a n = - , la serie es 
2 n 
Esta serie es del tipo "p" siendo p = 2 > 1 por lo cual es convergente. 
Elegir una serie apropiada de carácter conocido y determinar el carácter de la 
serie dada empleando el criterio de comparación. 
00 3 
~~-2F_x_ 
SOLUCIÓN: 
Consideremos la serie armónica, f _!_ . Que se sabe que es divergente. 
n=! n 
Se puede escribir 
00 3 3 00 1 ¿ =-¿-
n=l 2 {n 2 n=l ¡n·· 
1 1 
Como-- ~ 'V n e IN, se concluye que la serie dada es divergente. fo n 
259 
V.47 
V.48 
V.49 
00 
¿ 
n=l n2 n 
1 
SOLUCIÓN: 
CUADERNO DE EJERCICIOS DE CALCULO DIFERENCIAL 
SUCESIONES Y SERIES 
La serie geométrica, 
ao 1 oo ( 1 )n I-=2: - es 
n=l 2 n n=l 2 
convergente dado que . 
1 
r = - < 1 , ahora bien, 
2 
Se puede escribir 
1 1 
V n E IN, n > 1 < 
ao 1 
L n 
n=l n 
SOLUCIÓN: 
00 1 
Empleando serie geométrica, ¿ -- que es convergente se tiene 
n n=l 2 
1 1 
--<- Vn>2,nEIN. 
nn 2n 
Esto hace ver que la serie dada es convergente. 
ao 
¿ 
n=l 
2 
cos n 
3n 
( Desde Juego n en radianes ) 
SOLUCIÓN: 
Consideremos la serie geométrica, I -1- = I ( ! ) n que es convergente 
n=l 3 n n=l 3 
2 
V n E IN ya que e os n < 1 V n E IN , 
3n 
entonces la serie dada es convergente. 
260