Probabilidad condicional y regla del producto

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Lectura 6: Probabilidad: probabilidad condicional,
independencia, y la regla del producto
Estadística
Octubre 31, 2013
La probabilidad condicional es un aspecto muy importante en teoría de probabilidad.
Por ejemplo, en vez de interesarnos en la probabilidad de falla de una línea de transmisión,
puede resultar más útil evaluar la probabilidad de falla después de que ha ocurrido una falla
en otro sector en el sistema de potencia. A este tipo de estudios en sistemas electricos se le
conoce como análisis de contingencias, donde interesa evaluar la robustez y confiabilidad del
sistema ante una serie de eventos desafortunados inesperados. Probablemente, algunos de
ustedes terminaran haciendo investigación en esta área que vela por la seguridad de manera
continua del sector eléctrico.
1. Probabilidad condicional
Hasta el momento, hemos aprendido a calcular y analizar la probabilidad incondicional
de ocurrencia de un evento A cualquiera. Sin embargo, la ocurrencia del evento A puede
estar afectada de la ocurrencia de otro evento B. Por ejemplo, el tiempo para desplazarse
de un lugar a otro en Medellin es afectado en gran medida por el estado del clima. A mayor
lluvia, mayor trafico y mayor el tiempo de desplazamiento. Por lo tanto, si A es el evento de
emplear más de 20 minutos para llegar al destino final, y B es la probabilidad de lluvia en
la ciudad, entonces intuitivamente asumimos P (A) crece a medida que P (B) crece.
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Para establecer dicha dependencia, en estadística se usa la notación P (A|B), que denota
la probabilidad condicional de A dado que el evento B haya ocurrido. Por ejemplo, en el
proceso de producción de transformadores (10 monofásicos de 50MVA, 15 monofásicos de
70MVA, 12 trifásicos de 50MVA, y 20 trifásicos de 70MVA) la empresa XY selecciona al
azar un transformador para pruebas de calidad. Si M es el evento de seleccionar un trans-
formador monofásico, entonces P (M) = 10+15
10+15+12+20
= 25
57
. Si N es el evento de seleccionar
un transformador de 70MVA, entonces la probabilidad de seleccionar un transformador mo-
nofásico dado que es (o entre los) de 75MVA podemos decir que P (M |N) = 15
15+20
= 15/57
35/57
.
Observe que la probabilidad condicional cambia el espacio muestral original por el del evento
condicionante.
Para dos eventos A y B, la probabilidad condicional de B, dado A, está definida por
P (A|B) = P (A ∩B)
P (B)
, dado que P (B) > 0.
Ejemplo 1. (Ejemplo 2.25 de [1]). Supóngase que de todos los individuos que compran
cierta cámara digital, 60% incluyen una tarjeta de memoria opcional en su compra, 40%
incluyen una bateria extra, y 30% incluyen tanto una tarjeta como una bateria. Considere
seleccionar al azar un comprador y sean A= tarjeta de memoria adquirida, B = bateria
adquirida. Entonces P (A) = 0,6, P (B) = 0,4, y P (A ∩ B) = 0,3. El individuo seleccionado
adquirió una bateria extra, entonces la probabilidad de que una tarjeta opcional también
haya sido adquirida es
P (A|B) = P (A ∩B)
P (B)
=
0,3
0,4
= ,75
Es decir, entre los que escogieron bateria, el 75% de los individuos seleccionó tarjeta
adicional. También podemos calcular P (B|A), que determina entre los que escogieron la
tarjeta, la probabilidad de haya seleccionado la bateria.
2
P (B|A) = P (A ∩B)
P (A)
=
0,3
,6
= ,5
Ejemplo 2. (Ejemplo 2.26 de [1]). Una revista de noticias publica tres columnas tituladas
“Arte” (A), “Libros” (B) y “Cine” (C). Los hábitos de lectura de un lector seleccionado al
azar con respecto a estas columnas son
Lee regularmente: A B C A ∩B A ∩ C B ∩ C A ∩B ∩ C
Probabilidad: ,14 ,23 ,37 ,08 ,09 ,13 ,05
Determine a) P (A|B), b) P (A|B ∪ C), c) P (A|lee por lo menos una), d) P (A ∪B|C).
Ejemplo 3. La probabilidad de que un vuelo programado despegue a tiempo es P (D) = 0,83;
la probabilidad de que aterrice a tiempo es P (A) = 0,82; y la probabilidad de que despegue
y aterrice a tiempo es P (D ∩ A) = 0,78. Encuentre la probabilidad de que el vuelo:
(a) aterrice a tiempo dado que despegó a tiempo,
(b) despegó a tiempo, dado que ha aterrizado a tiempo,
(c) no despegó a tiempo dado que ha aterrizado a tiempo,
(d) aterrice a tiempo dado que no despegó a tiempo.
2. Regla del producto
Básicamente, cuando se conoce la probabilidad condicional P (A|B) (o P (B|A)) y se desea
conocer P (A ∩B), se usa la siguiente expresión:
P (A ∩B) = P (A|B)P (B) = P (B|A)P (A)
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Ejemplo 4. (Ejemplo 2.36 de [2]). Suponga que tenemos una caja que contiene 20 fusibles,
de los cuales 5 están defectuosos. Si 2 fusibles se seleccionan aleatoriamente y son removidos
de la caja sucesivamente sin reemplazar el primero, cuál es la probabilidad de que ambos
fusibles estén defectuosos?
Solución. Sea A el evento de seleccionar el primer fusible defectuoso, y B el evento de
seleccionar el segundo fusible defectuoso. Entonces, debemos calcular P (A∩B). En la primer
selección tenemos que P (A) = 5/20 = 1/4. Dado que no hay reemplazo, P (B|A) = 4/19;
luego P (A ∩B) = 1/4× 4/19 = 1/19.
3. Independencia
En el ejemplo anterior, observamos que P (B|A) 6= P (B) lo cual indica que B depende
de A. Esto no ocurriría si el primer fusible defectuoso se reemplazara porque resultaría que
P (B|A) = P (B).
Definición. Los eventos A y B son independientes si y solo si
P (B|A) = P (B) o P (A|B) = P (A),
y son dependientes en caso contrario.
Teorema. Dos eventos A y B son independientes si y solo si
P (A ∩B) = P (A)P (B).
Por lo tanto, para obtener la probabilidad de que dos eventos independientes ocurrirán,
simplemente multiplicamos sus dos probabilidades individuales.
Ejemplo 5. Se lanza una moneda infinitamente. Determine la probabilidad de que la pri-
mera “C” ocurra en un número par de lanzamientos. [Sugerencia: recuerde que
∑∞
k=0 x
k =
4
1
1−x , |x| < 1]
Después de resolver el ejemplo teóricamente, podemos correr el siguiente código en R
que ilustra el experimento. Básicamente se lanzará la moneda hasta que se encuentre una
“C” (o un 2 para el código). Y este procedimiento se repite n veces. Al final, la probabilidad
solicitada se calcula como el número de veces que se obtuvo cara en un lanzamiento par
dividido entre el número total de veces n.
# Lanzamiento infinito de una moneda.
n = 1000 # numero de veces que se repite el experimento
coin <- NULL
Hit <- NULL # Lanzamiento en el cual se observa cara en el experimento i
for (i in 1:n)
{
Hit[i] <- 0
j <- 0 # Contador de lanzamiento de monedas
success <- 0
while (success == 0)
{
coin <- sample(1:2, size = 1) # Lanzamiento de moneda
j <- j + 1 # cuenta los lanzamientos
if (coin == 2) # Sale cara
{
success = 1 # Señal para que se termine el experimento i
Hit[i] <- j
}
}
}
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Figura 1: Sistema eléctrico del ejemplo
# Falta contar en el vector Hit cuantas veces se tuvo cara en numero par de
lanzamientos
Mod_H = Hit %% 2 # Retorna un cero cuando se tuvo un numero par
# La suma de los ceros de Mod_H indicaría el número de veces entre las n
repeticiones que se obtuvo cara en numero par de lanzamientos.
ProbCaraNumPar <- length(which(Mod_H %in% 0))/n
print(ProbCaraNumPar)
Ejemplo 6. (Ejemplo 2.39 de [2]). Un sistema eléctrico consiste de cuatro componentes como
se ilustra en la Fig. 1. La confiabilidad (probabilidad de que funcione) cada componente
también se muestra en la Fig. 1. Encuentre la probabilidad de que a) el sistema completo
funcione, b) el componente C no funcione dado que el sistema completo funcione. Asuma
que los cuatro componentes operan independientemente.
Teorema. Si en un experimento, los eventos A1, A2, · · · , Ak pueden ocurrir, entonces
P (A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ Ak) = P (A1)P (A2|A1)P (A3|A1 ∩ A2) · · ·P (Ak|A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ Ak−1) .
Si los eventos A1, A2, · · · , Ak son independientes, entonces
P (A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ Ak) = P (A1)P (A2) · · ·P (Ak) .
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Figura 2: Partición del espacio muestral
Ejemplo 7. (Ejemplo 2.40 de [2]). Tres cartas son seleccionadas —sin reemplazar— de una
baraja. Encuentre la probabilidad de que el evento A1∩A2∩A3ocurra, donde A1 es el evento
de que la primera carta es un ace rojo, A2 es el evento de que la segunda carta es un 10 o
un jack, y A3 es el evento de que la tercera carta es mayor que 3 pero menor que 7.
4. Regla de Bayes
4.1. Probabilidad total
Teorema. Si los eventos B1, B2, . . . , Bk constituyen una partición del espacio muestral S tal
que P (Bi) 6= 0 para i = 1, 2, . . . , k, entonces para cualquier evento A de S,
P (A) =
k∑
i=1
P (Bi ∩ A) =
k∑
i=1
P (Bi)P (A|Bi) .
Demostración. Usar el diagrama de Venn de la Fig. 2 y usar axiomas.
Suponga que deseamos probar la efectividad de las pruebas de embarazo. En general,
las pruebas no son 100% exactas, la mayoría tienen problemas de falsos positivos y falsos
negativos. Un falso positivo ocurre cuando la prueba determina que la mujer está embarazada
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(resultado positivo), pero en realidad no lo está. Un falso negativo ocurre cuando la prueba
determina que la mujer no está embarazada (resultado negativo), pero en realidad si lo está.
Suponga que —según la prueba en cuestión— una mujer embarazada tiene un 70% de
probabilidad de ser diagnosticada en embarazo, y una mujer no embarazada un 10%. Asuma
que realizaremos el estudio con datos de adolescentes entre 15 y 19 años de edad en Colombia,
donde se estima que el 19.5%1 de ellas está embarazada. Entonces, si una mujer usa la prueba
de embarazo, cuál es la probabilidad de que el resultado sea positivo?
Sea T el evento de que la prueba resulte positiva, y E el evento de que una mujer
esté embarazada. De la información tenemos que P (T |E) = 0,7 y P (T |E ′) = 0,1. Ademas,
P (E) = 0,195 y P (E ′) = 1− 0,195 = 0,805. Necesitamos calcular P (T ). Para ello usaremos
la probabilidad total, donde expresaremos el evento T como:
T = {T ∩ E} ∪ {T ∩ E ′}
ya que E y E ′ forman una partición de S. Luego,
P (T ) = P (T ∩ E) + P (T ∩ E ′) = P (T |E)P (E) + P (T |E ′)P (E ′)
= 0,7× 0,195 + 0,1× 0,805 = 0,217
4.2. Regla de Bayes
Teorema (Regla de Bayes). Si los eventos B1, B2, . . . , Bk consitituyen una partición del
espacio muestral S tal que P (Bi) 6= 0 para i = 1, 2, . . . , l, entonces para cualquier evento
A ∈ S tal que P (A) 6= 0,
P (Br|A) =
P (Br ∩ A)∑k
i=1 P (Bi ∩ A)
=
P (Br)P (A|Br)∑k
i=1 P (Bi)P (A|Bi)
para r = 1, 2, . . . , k.
1Dato tomado de El Espectador del 24 de Sept. de 2012
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La probabilidad P (Bi), i = 1, . . . , k se conoce como la probabilidad a priori. Es la pro-
babilidad de Bi antes de que A es observado. Esta probabilidad refleja nuestro conocimiento
previo acerca de cada uno de los Bi’s. Y P (Br|A) es la probabilidad a posteriori, que nos
dice la probabilidad de Br una vez A ha ocurrido. Esta probabilidad es útil en el sentido de
que actualizamos la probabilidad de Br basado en la evidencia A.
Volviendo entonces al ejemplo de las pruebas de embarazo, la pregunta más importante
sería: cuál es la probabilidad de que verdaderamente una mujer esté embarazada cuando la
prueba resulta positiva?
Con esta pregunta estamos actualizando nuestra creencia (de la probabilidad de que
las adolescentes estén embarazadas) basados en la evidencia de la prueba de embarazo.
Matemáticamente, necesitamos determinar P (E|T ). Usando la regla de Bayes tenemos:
P (E|T ) = P (T |E)P (E)
P (T )
=
0,7× 0,195
0,217
= 0,629
También podemos determinar la probabilidad de que una adolescente no esté embarazada
cuando la prueba lo diagnostica (falso positivo), que sería 1− P (E|T ) = 0,371. Es evidente
que si la prueba resulta positiva, es mas probable que la mujer este embarazada; sin embargo,
esta prueba no es muy confiable porque la probabilidad de falso positivo es alta (37%). Cuál
es la probabilidad de que una adolescente si este en embarazo a pesar de que la prueba no
lo haya indicado (falso negativo)?
Ejemplo 8. (Ejemplo 2.29 de [1]) Una cadena de tiendas de video vende tres marcas dife-
rentes de reproductores de DVD. De sus ventas de reproductores de DVD , 50% son de la
marca 1, 30% son de la marca 2, y 20% son de la marca 3. Cada fabricante ofrece 1 año de
garantía en las partes y mano de obra. Se sabe que 25% de los reproductores de DVD de
la marca 1 requieren trabajo de reparación dentro del período de garantía, mientras que los
porcentajes correspondientes de las marcas 2 y 3 son 20% y 10%, respectivamente.
(a) Cuál es la probabilidad de que un comprador seleccionado al azar haya adquirido un
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reproductor de DVD marca 1 que necesitará reparación mientras se encuentra dentro de
la garantía?
(b) Cuál es la probabilidad de que un comprador seleccionado al azar haya comprado un
reprodutor de DVD que necesitará reparación mientras se encuentra dentro de la garan-
tía?
(c) Si un cliente regresa a la tienda con un reproductor de DVD que necesita reparación
dentro de la garantía, cuál es la probabilidad de que sea un reproductor de DVD marca
1? Un reproductor de DVD marca 2? Un reproductor de DVD marca 3?
Gráficamente, la regla de Bayes convierte información acerca de la probabilidad de dife-
rentes efectos de cada causa posible:
en información de las probables causas dados los efectos observados:
Referencias
[1] Jay L. Devore. Probabilidad y estadistica para ingenieria y ciencias, Octava edicion.
Cengage Learning, Julio 2011.
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[2] Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon L. Myers, and Keying Ye. Probability &
statistics for engineers & scientists, 9th ed. Pearson, 2011.
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