Variables aleatórias contínuas e distribuições de probabilidade

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Lectura 10: Variables aleatorias continuas y
distribuciones de probabilidad
Estadística
Noviembre 28, 2014
En esta unidad seguiremos analizando las distribuciones de probabilidad más conocidas
pero en el caso de variables continuas. Estas variables pueden tomar valores en los numeros
reales en general. Obviamente, habrán situaciones específicas en las cuales se restringen a
los reales positivos o negativos solamente. Algunos ejemplos de variables aleatorias conti-
nuas pueden ser: temperatura, tiempo de vuelo entre dos ciudades, tasa representativa del
mercado, valor de una acción, entre muchas otras.
Los ingenieros eléctricos tenemos que realizar muchas tareas de planeación y de gestión
de recursos energéticos. Por un lado, se debe garantizar que la demanda en cada instante sea
atendida, y dicha demanda es aleatoria porque responde a las necesidades energeticas de los
usuarios. Y por otro lado, la disponibilidad de los recursos renovables es también aleatoria.
En el caso colombiano, casi el 70% de la energía que se consume en el país proviene de
recursos hidráulicos, lo que significa que somos muy dependientes del agua. El lado positivo
es que en gran no se están emitiendo gases de efecto invernadero, pero la desventaja radica
en que la hidrología es muy fluctuante dada su dependencia con el clima. Esto hace que
programar por adelantado la generación de todas las centrales del país sea una tarea difícil.
El reto puede ser aún mayor si a nuestro complejo sistema de generacion se le añaden
nuevas formas de producción como energia eólica y solar. Entonces, la velocidad del viento
1
en los parques eólicos y la radiación solar serían variables aleatorias adicionales a considerar
para planear y programar efectivamente el sistema de potencia.
1. Función de densidad de probabilidad (pdf)
Una variable aleatoria tiene infinitos valores en un rango determinado. Por ejemplo, si
hablamos del consumo de potencia activa de una carga, éste puede ser de 10.10 W o 10.15
W; sin embargo, en este pequeño intervalo pueden estar muchos otros valores como 10.123
W o 10.485 W. Debido a que observar un valor específico de los consumos de potencia resulta
poco probable, se dice que la probabilidad de que una variable aleatoria continua asuma un
valor en particular es 0.
La probabilidad, sin embargo, de que una variable aleatoria continua asuma valores en un
intervalo es diferente de cero. Por eso, diferente al caso de las variables aleatorias discretas,
aquí no interesa calcular P (X = k) (porque es 0) pero si nos enfocaremos en determinar
P (a ≤ X ≤ b). En el caso discreto, la función que usamos para determinar las probabilidades
se denomina función de probabilidad de masa, acá se denomina función de densidad de
probabilidad o simplemente función de densidad.
Definición. (Tomado de [2]). La función fX(x) es una función de densidad de probabilidad
(pdf) para la variable aleatoria continua X, definida sobre el conjunto de los numeros reales,
si
1. fX(x) ≥ 0, para todo x ∈ <.
2.
∫∞
−∞ fX(x) dx = 1.
3. P (a ≤ X ≤ b) =
∫ b
a
fX(x) dx.
Ejemplo 1. (Ejemplo 3.11 de [2]). Suponga que el error en la temperatura de reacción para
un experimento de laboratorio controlado es una variable aleatoria X que tiene la función
de densidad de probabilidad pdf:
2
fX(x) =

x2
3
, −1 < x < 2,
0, en caso contrario.
(a) Verifique que fX(x) es una función de densidad.
(b) Encuentre P (0 < X < 1).
2. Función de distribución acumulativa (cdf)
Para variables discretas, la cdf se calculaba como una suma de probabilidades puntuales;
en el caso de variables continuas, todo lo que era una suma se convierte en una integral
—que no es más que una suma sobre elementos infinitesimales. Sin embargo, el concepto de
cdf permanece casi intacto. En el caso de la cdf de una variable aleatoria discreta, se debe
tener cuidado al calcular P (X < a) y P (X ≤ a)1; mientras que en el mundo continuo ambas
probabilidades P (X < a) y P (X ≤ a) son idénticas porque la probabilidad de que ocurra
un valor específico es P (X = a) = 0.
Definición. (Tomado de [2]). La función FX(x) de una función acumulativa de probabilidad
(cdf) para la variable aleatoria continua X, definida sobre el conjunto de los numeros reales,
es
FX(x) = P (X ≤ x) =
∫ x
−∞
fX(t) dt, para −∞ < x <∞.
La cdf FX(x) también es empleada para determinar las probabilidades de que X esté
contenida en un intervalo:
P (a < X < b) = FX(b)− FX(a).
Además, si se conoce la cdf FX(x) entonces podemos determinar la función de densidad
usando
1Para una variable aleatoria discreta se tiene que P (X ≤ a) = P (X < a) + P (X = a).
3
fX(x) =
d
dx
{∫ x
−∞
fX(t) dt
}
=
dFX(x)
dx
.
si la derivada de FX(x) existe.
Ejemplo 2. Para la función de densidad del ejemplo anterior encuentre FX(x) y úsela para
determinar P (0 < X < 1).
Ejemplo 3. (Ejercicio 3.31 de [2]). Basado en la operación histórica de un generador, se ha
determinado que el tiempo T (en años) antes de que se requiera una reparación mayor está
caracterizado por la función de densidad
fT (t) =

1
4
e−t/4, t ≥ 0,
0, en caso contrario.
(a) Los críticos considerarían el producto como una buena compra si es improbable que se
requiera una reparación mayor antes del sexto año. Comente al respecto determinando
P (T > 6).
(b) Cuál es la probabilidad de que una reparación mayor ocurra en el primer año?
Ejemplo 4. (Problema 3.31 de [2]). Ciertas firmas de procesamiento de datos tienen dificul-
tad de hacer ganancias en su primer año de operación. La función de densidad de probabilidad
que caracteriza la proporción Y de las firmas que tienen ganancias está dada por
fY (y) =

ky4 (1− y)3 , 0 ≤ y ≤ 1,
0, en caso contrario.
(a) Cuál es el valor de k que hace que fY (y) sea una función de densidad válida?
(b) Encuentre la probabilidad de que máximo 50% de las firmas tengan ganancias en el
primer año?
4
(c) Encuentre la probabilidad de que al menos 80% de las firmas tengan ganancias en el
primer año?
3. Media de una variable aleatoria continua
En el caso de variables discretas, la media o el valor esperado era definido como una
suma de los valores posibles de la variable aleatoria multiplicados por las probabilidades de
ocurrencia. Para variables continuas, las sumas se convierten en integrales como vimos en el
caso de la función de probabilidad acumulada.
Definición. Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad
fX(x). La media, o el valor esperado, de X es
µ = E [X] =
∫ ∞
−∞
xfX(x) dx.
Cuando se requieren calcular los valores esperados de funciones h(X), que también re-
sultan ser variables aleatorias por su dependencia con X. En ese caso, el valor esperado se
calcula usando el siguiente teorema:
Teorema. Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad
fX(x). El valor esperado de la variable aleatoria h(X) es
µh(X) = E [h(X)] =
∫ ∞
−∞
h(x)fX(x) dx.
En el caso de una función lineal h(X) = aX + b, E [h(X)] = aE [X] + b.
Ejemplo 5. (Ejemplo 4.5 de [2]). Sea X una variable aleatoria con función de densidad
fX (x) =

x2
3
, −1 < x < 2,
0, en caso contrario.
5
Ecuentre el valor esperado de h(X) = 4X + 3.
4. Varianza y desviación estándar de variables aleatorias
continuas
Recordemos que la varianza y desviación estándar entregan medidas de la dispersión de
la población. La versión para el caso continuo se muestra a continuación:
Definición. Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad
fX(x) y media µ. La varianza de X es
σ2 = E
[
(X − µ)2
]
=
∫ ∞
−∞
(x− µ)2 fX (x) dx.
La raíz cuadrada positiva de la varianza, σ, es la desviación estándar de X.
También, podemos usar la expresión abreviada de la varianza tal como se definió en
algunas lecturas anteriores.
Teorema. La varianza de la variable aleatoria X es
σ2 = E
(
X2
)
− µ2.
Demostración. Empezar con la definición de varianza y tener en cuenta que
∫∞
−∞ fX(x) dx =
1. Se dejacomo ejercicio para que ustedes prueben el teorema.
Teorema. Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad
fX(x). La varianza de la variable aleatoria h(X), cuya media es µh(X) es
σ2h(X) = Var [h(X)] = E
[(
h(X)− µh(X)
)2]
=
∫ ∞
−∞
[
h(x)− µh(X)
]2
fX(x) dx.
En el caso de una función lineal h(X) = aX + b, σ2h(X) = a
2σ2.
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Ejemplo 6. Dos especies compiten en una región por el control de una cantidad limitada
de cierto recurso. Sea X la proporción del recurso controlado por la especie 1 y suponga que
la función de densidad de X es
fX(x) =

1, 0 ≤ x ≤ 1
0, en caso contrario,
la cual es una distribución uniforme (la densidad es constante) en [0, 1]. Entonces la especie
que controla la mayor parte de este recurso controla la cantidad h(X) = máx(X, 1−X).
(a) Encuentre la cantidad esperada controlada por la especie que controla la mayor parte.
(b) Determine σh(X).
5. Percentiles de una distribución continua
(Adaptado de [1].) El concepto de percentiles ha sido cubierto al inicio del curso para
datos empíricos donde los percentiles podían ser calculados a partir de histogramas. Los
percentiles son útiles para determinar la posición relativa de una medición o un dato entre
un conjunto de datos o población. Por eso, cuando se plantea que un puntaje de cierto
examen está en el percentil 90, es porque este resultado está por encima del 90% de los otros
resultados, o que está por debajo del 10% que obtuvo mejor calificación.
En el caso de distribuciones continuas, el concepto no cambia, la diferencia es que hare-
mos uso de la función de probabilidad acumulada (cdf) para determinarlos. Es decir, ahora
podremos relacionar al percentil con probabilidad. Entonces la interpretación en el mismo
contexto sería: hay una probabilidad igual a 0.9 de que una persona haya obtenido una cali-
ficación por debajo del percentil 90; o hay una probabilidad igual a 0.1 de que una persona
haya obtenido una calificación por encima del percentil 90.
Definición. Sea n ∈ [0, 100]. El p-ésimo percentil—denotado por pn—de una variable alea-
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toria continua X, satisface la siguiente expresión:
FX (pn) ≡
∫ pn
−∞
fX (y) dy =
n
100
.
De la definición se observa entonces que los quartiles Q1, Q2, y Q3 son respectivamente
los percentiles p25, p50, y p75.
Referencias
[1] Jay L. Devore. Probabilidad y estadistica para ingenieria y ciencias, Octava edicion.
Cengage Learning, Julio 2011.
[2] Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon L. Myers, and Keying Ye. Probability &
statistics for engineers & scientists, 9th ed. Pearson, 2011.
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