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Cálculo de áreas planas 464
Intuitivamente: integrando longitudes obtenemos áreas. Como el área es invariante por rotacio-
nes, este resultado es también válido si consideramos secciones por rectas paralelas a una recta
cualquiera dada. Deducimos así el siguiente resultado.
8.64 Teorema(Principio de Cavalieri). El área de una región plana es igual a la integral de
las longitudes de sus secciones por rectas paralelas a una recta dada.
Veamos cómo se aplica este principio en algunos casos concretos.
8.7.1.1. Regiones de tipo I
Supongamos quef , g son funciones continuas y llamemos� a la región del plano com-
prendida entre las curvasyDf .x/ eyDg.x/ paraa6x6b. Se dice que� es una región de tipo
I. Es evidente que las longitudes de las secciones verticales de� son iguales ajf .x/ � g.x/j
por lo que su área viene dada por
�.�/D
bw
a
jf .x/� g.x/j dx (8.38)
Observa que esta integral expresa el área de� como límite de las sumas de Riemann
nX
kD1
jf .tk/ � g.tk/j .xk � xk�1/
lo que tiene una sencilla interpretación que puedes ver en lasiguiente figura.
Figura 8.7. Aproximación al área de una región de tipo I
Cuando la funciónf � g no tiene signo constante en el intervaloŒa; b�, para calcular la
integral (8.38) se descompone dicho intervalo en intervalos en los que la función f � g es
siempre positiva o siempre negativa, lo que permite quitar el valor absoluto en el integrando.
A veces interesa expresar una región de tipo I como unión de dos o más regiones de tipo
I disjuntas y más sencillas, entonces su área es la suma de lasáreas de cada una de dichas
regiones.
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8.65 Ejemplo. Vamos a calcular el área de la región� comprendida entre la parábolay2 D x
y la rectay D x � 2.
Calculamos los puntos de corte de la recta y la parábola resolviendo la ecuaciónxD.x�2/2,
cuyas soluciones sona D 1, b D 4. Puedes ver representada la región� en amarillo en la
siguiente figura.
b b
1 40
y D
p
x
y D�
p
x
y D x � 2
Figura 8.8. Ejemplo de región de tipo I
Podemos considerar� como una región de tipo I. La función cuya gráfica limita a� por
arriba esg.x/Dpx. La función cuya gráfica limita a� por abajo viene dada por
f .x/D
(
�px 0 6 x 6 1
x � 2 1 6 x 6 4
En consecuencia
�.�/D
4w
0
jg.x/ � f .x/jdx D
1w
0
.
p
x � .
p
x//dx C
4w
1
.
p
x � .x � 2//dx D 9
2
Observa que podemos ver� como unión de dos regiones de tipo I como se indica en la siguiente
figura.
b b
1 40
y D
p
x
y D�
p
x
y D x � 2
Y lo que hemos hecho antes ha sido calcular el área de cada una de estas dos regiones.�
8.7.1.2. Regiones de tipo II
Supongamos quef , g son funciones continuas y llamemos� a la región del plano com-
prendida entre las curvasx D f .y/ y x D g.y/ paraa 6 y 6 b. Se dice que� es una región
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de tipo II. Es evidente que las longitudes de las secciones horizontales de� son iguales a
jf .y/ � g.y/j por lo que su área viene dada por
bw
a
jf .y/ � g.y/jdy (8.39)
lo que tiene una sencilla interpretación que puedes ver en lafigura8.9.
Figura 8.9. Aproximación al área de una región de tipo II
Es importante advertir que la distinción entre regiones de tipo I y de tipo II es tan sólo
una cuestión de conveniencia. No son conjuntos de distinta naturaleza sino formas distintas
de describir un conjunto. En la práctica te vas a encontrar con regiones que puedes considerar
tanto de tipo I como de tipo II y deberás elegir la descripciónque más facilite el cálculo de la
correspondiente integral.
De todas formas, no debes olvidar que basta cambiar la variable x por la variabley para
convertir una región de tipo II en otra de tipo I. Geométricamente, lo que hacemos es una
simetría respecto a la rectay D x, lo que deja invariante el área. Por tanto, si en un ejercicio
resulta conveniente considerar la región cuya área quierescalcular como una región de tipo
II y te encuentras más cómodo trabajando con regiones de tipoI, basta con que cambies los
nombres de las variables.
Salvo por factores de escala, las figuras (8.7) y (8.9) son simétricas respecto de la recta
y D x.
8.66 Ejemplo. La región del ejemplo (8.8) puedes considerarla como una región de tipo II.
La curva que limita esta región por la derecha es la gráfica de la rectaxD y C 2 y la curva
que limita esta región por la izquierda es la gráfica de la parábola x D y2. La variabley está
comprendida entre�1 y 2.
�D
n
.x;y/ W y2 6 x 6 y C 2; �1 6 y 6 2
o
También puedes transformar directamente� en una región de tipo I más sencilla que la
anteriormente considerada en la figura8.8mediante una simetría respecto de la rectayDx, tal
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