CALCULO (63)

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Escuela Preparatoria Uno 
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN 
 
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Un hombre desea cercar un terreno rectangular, uno de sus lados coincide con la 
ribera de un río. Si cuenta con 400 m de cerca, ¿cuáles dimensiones le permitirán 
abarcar la mayor área posible? 
 
 
 
 
 
VARIABLES 
𝑥 = 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑒𝑛𝑜 (𝑚) 
𝑦 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑒𝑛𝑜 (𝑚) 
𝐴 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑟𝑒𝑛𝑜 (𝑚2) 
 
FUNCIÓN 
𝐴 = 𝑥𝑦2𝑥 + 𝑦 = 400 
𝑦 = 400 − 2𝑥 
𝐴 = 𝑥(400 − 2𝑥) 
𝑨 = −𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝟎𝟎𝒙 
 
DOMINIO 
𝑫𝑨 = (𝟎, 𝟐𝟎𝟎) 
NÚMEROS CRÍTICOS 
𝐴′ = −4𝑥 + 400𝑥 
𝐴′ = −4(𝑥 − 100) 
−4(𝑥 − 100) = 0 
𝒙 = 𝟏𝟎𝟎 
 
VALORES EXTREMOS 
𝒙 𝑨 𝑨’ Conclusión 
𝟎 < 𝒙 < 𝟏𝟎𝟎 + A crece 
𝒙 = 𝟏𝟎𝟎 20,000 0 Máximo 
𝟏𝟎𝟎 < 𝒙 < 𝟐𝟎𝟎 - A decrece 
Como en 𝑥 = 100 se tiene un valor 
máximo, y es único en el intervalo de su 
dominio (0, 200), en 𝒙 = 𝟏𝟎𝟎 se tiene un 
valor máximo absoluto 𝑷 = 𝟐𝟎, 𝟎𝟎𝟎. 
RESPUESTA 
𝑨𝒏𝒄𝒉𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒕𝒆𝒓𝒓𝒆𝒏𝒐 = 𝟏𝟎𝟎 𝒎 
𝑳𝒂𝒓𝒈𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒕𝒆𝒓𝒓𝒆𝒏𝒐 = 𝟐𝟎𝟎 𝒎 
Á𝒓𝒆𝒂 𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒂 = 𝟐𝟎, 𝟎𝟎𝟎 𝒎𝟐 
 
 
𝑥 
𝑦