DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL - kmi vinueza (6)

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DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Integrantes:
Dayana Álvaro
Daniela Delgado
Alejandro Suña
Angie Toaquiza
Camila Vinueza 
GRUPO 6
Esta ley de distribución describe procesos en los que interesa saber el tiempo de espera hasta que ocurre determinado evento.
Se puede caracterizar como la distribución del tiempo entre sucesos consecutivos generados por un proceso de Poisson.
Por ejemplo: 
El tiempo que puede transcurrir en una sala de emergencias, para la llegada de un paciente.
PROPIEDAD DE AMNESIA
El tiempo transcurrido desde cualquier instante dado t0 hasta que ocurre el evento, no depende de lo que haya ocurrido antes del instante t0.
FUNCIÓN DE DENSIDAD
Dada una variable aleatoria X que tome valores reales no negativos (x≥0) diremos que tiene una distribución exponencial de parámetro λ con λ ≥0, si y solo si su función de densidad tiene la expresión:
f (x)= λ
0 si x≤ 0
La media de la distribución es 
La desviación típica también es 
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULATIVA
F(x)= 
F(x)= P (X≤ x)
= du
=[-
= -
ESPERANZA
La esperanza es igual a =1\λ
Para demostrar que esto es cierto retomamos la definición de la esperanza:
Reescribiéndola nos queda:
Sabiendo que λ es constante, entonces la podemos sacar de la integral:
Integramos la expresión por el método de integración por partes:
Donde:
u=x 		du=dx
v=-1\λ*	dv=
Sustituyendo los valores obtenemos
Podemos observar que la primera parte de la integral se convierte en cero, entonces:
Aquí ambas λ se factorizan y nos queda:
Resolviendo la integral obtenemos:
Evaluando:
 
Así queda demostrado que 
E(X)= 1\λ
VARIANZA
La varianza es igual a 
Para demostrar esto sabemos que: 
Por lo que es necesario partir de la definición de la esperanza que dice: 
Reescribiendo: 
Integrando la función por partes: 
 
 
 
 
Como la primera parte de la integral se convierte en 0 se obtiene el siguiente resultado:
 
 
 
La integral ya se conoce y se expresa como E(X): 
Por lo que sustituyendo E(X)= :
) 
 
Ahora sustituyendo E(X)= en la otra parte de la ecuación:
 
 
Reemplazando ambos valores en la ecuación de la varianza:
Ejercicio:
El tiempo de vida medio de un modelo de marcapasos es de 12 años. Cuál es la probabilidad de que a una persona que se le haya implantado uno tenga que cambiarlo antes de 15 años?
Función de Distribución Exponencial:
Donde:
= 1/12 valor esperado
x= 15 tiempo a considerar
Aplicando la función :
Suponga que la duración en minutos, de una conversación telefónica sigue una ley exponencial 5. Encuentre la probabilidad de que la duracion de una conversación telefónica.
a) Exceda los 5 minutos
b) Dure menos de 3 minutos
Ejercicio:
a) Exceda los 5 minutos
Datos:
= 1/5
x= 5 minutos
b) Dure menos de 3 minutos
Datos:
= 1/5
x= 3 minutos
EJERCICIO CON R STUDIO
La vida media de una plancha es de 18 meses y es una variable aleatoria distribuida exponencialmente
¿Cuál es la probabilidad de que la plancha falle antes de los 12 meses?
P(X<12)
pexp(12,1/18,lower.tail = T)
= 0.4865829
 
 
¿Cuál es la probabilidad de que la plancha falle después de los 12 meses?
P(X>20)
pexp(20,1/18,lower.tail = F)
= 0.06311325
 
¿Cuál es la probabilidad de que la plancha falle entre los 16 y los 19 meses?
P(16<X<19)
diff(pexp(q=c(16,19),1/18,lower.tail = T))
=0.06311325
 
GRACIAS