TEMA 22

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© Antonio Abrisqueta García, 1999 Temario Específico – Tema 22
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TEMAS DE FÍSICA Y QUÍMICA
(Oposiciones de Enseñanza Secundaria)
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TEMA 22
CAMPOS ELÉCTRICOS Y MAGNÉTICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
LEYES DE MAXWELL. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA. INDUCCIÓN
MUTUA. AUTOINDUCCIÓN.
Esquema
1. Introducción.
2. Primera Ley de Maxwell del Campo Electromagnético.
2.1. Teorema de Gauss del Campo Eléctrico.
2.1.1. Flujo a través de una superficie.
2.1.2. Demostración del Teorema de Gauss.
2.2. El Teorema de Gauss en dieléctricos.
3. Segunda Ley de Maxwell del Campo Electromagnético.
3.1. El Campo Magnético es solenoidal.
4. Tercera Ley de Maxwell del Campo Electromagnético.
4.1. Fenómenos de Inducción Electromagnética.
4.1.1. Demostración experimental
4.2. Ley de Faraday. Ley de Lenz
4.3. Tercera Ley de Maxwell del Campo Electromagnético.
4.4. F.E.M. inducida en circuitos en movimiento.
5. Inducción mutua y Autoinducción.
5.1. Fenómenos de Inducción mutua. Demostración experimental.
5.2. Fenómenos de Autoinducción. Demostración experimental.
5.3. Determinación de coeficientes de autoinducción.
5.4. Autoinducciones en Serie y en Paralelo.
5.5. Corrientes de Foucault. Consecuencias.
6. Cuarta Ley de Maxwell del Campo Electromagnético.
6.1. Ley de Ampère de la circulación. Teorema Circuital.
6.2. Ley de Ampère aplicada a un condensador.
6.2.1. Corrientes de desplazamiento. Interpretación.
6.3. Cuarta ecuación de Maxwell del Campo Electromagnético.
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TEMA 22
CAMPOS ELÉCTRICOS Y MAGNÉTICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
LEYES DE MAXWELL. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA. INDUCCIÓN
MUTUA. AUTOINDUCCIÓN.
1. INTRODUCCION
Al analizar las interacciones electromagnéticas, se introduce el concepto de campo
electromagnético, caracterizado por dos magnitudes vectoriales, el campo eléctrico, E, y
el campo magnético, B, tales que la fuerza que se ejerce sobre una carga eléctrica en
movimiento es: ( )BvEqF rrrr ∧+= (1)
ecuación que expresa la llamada Fuerza de Lorentz que actúa sobre una carga el‚ eléc-
trica móvil.
Toda la teoría de los campos electromagnéticos está condensada en cuatro ecua-
ciones fundamentales, denominadas Ecuaciones de Maxwell, establecidas por el físico y
matemático escocés James Clerk Maxwell (1831-1979), el cual unificó las teorías de
electricidad y magnetismo existentes en su tiempo, al demostrar que se engloban en una
única formulación electromagnética. La carga eléctrica q y la intensidad de corriente
eléctrica I, se denominan fuentes del campo electromagnético ya que, a partir de ellas,
las ecuaciones de Maxwell nos van a permitir determinar los campos eléctrico E
r
 y
magnético B
r
.
Las dos primeras ecuaciones de Maxwell corresponden a las leyes de Gauss para
los campos eléctricos y magnéticos, y aunque fueron obtenidas para campos estáticos,
es decir, independientes del tiempo, siguen siendo válidas cuando se aplican a campos
eléctricos y magnéticos dependientes del tiempo. Un campo magnético dependiente del
tiempo genera la presencia de un campo eléctrico, e inversamente, un campo eléctrico
dependiente del tiempo genera un campo magnético. Las leyes que describen estas dos
situaciones, son la Ley de Faraday y la Ley de Ampère-Maxwell, que constituyen la
tercera y la cuarta ecuación de Maxwell respectivamente.
Las ecuaciones de Maxwell se aplican a todos los fenómenos electromagnéticos
en el vacío o en medios materiales en reposo y son válidas para medios no homogéneos,
no lineales e incluso no isótropos. Las ecuaciones de Maxwell predijeron la existencia
de los ondas electromagnéticas corroboradas experimentalmente por Hertz.
2. PRIMERA LEY DE MAXWELL DEL CAMPO ELECTROMAGNETICO
La fuerza entre dos cargas eléctricas puntuales Qa y Qb viene expresada por la ley
de Coulomb, que en su forma vectorial es:
 u
r
QQ
kF ba
rr
2= (2)
La fuerza de Coulomb se puede pensar que se debe a la interacción entre una car-
ga Qa y el campo eléctrico producido por la carga Qb, o viceversa. La intensidad del
campo eléctrico, E
r
, se define entonces, como la fuerza por unidad de carga ejercida
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sobre una carga de prueba colocada en el campo. Según esto, la intensidad del campo
eléctrico producido por una carga puntual Qa viene expresada por:
 r
a
b
ab
a ur
Q
k
Q
F
E
r
r
r
2== (3)
En el Sistema Internacional, la constante de proporcionalidad de la Ley de Cou-
lomb se expresa así:
 
04
1
πε
=k (4)
siendo ε0 la constante dieléctrica del vacío cuyo valor es:
ε0=8’85.10-12 C2/N.m2
En general, si el campo está creado por varias cargas puntuales, se expresará por:
 ∑∑
=
==
n
i
ri
i
i
ia ur
Q
EE
1
2
04
1 rrr
πε
(5)
2.1. Teorema de Gauss del campo eléctrico.
2.1.1. Flujo a través de una superficie.
Como el campo eléctrico depende de 1/r2, el flujo electrostático, o flujo de líneas
del campo electrostático a través de cualquier superficie cerrada S que envuelve a las
cargas-fuente creadoras del campo, debe ser siempre el mismo, es decir, si varias super-
ficies cerradas envuelven a las cargas, todas serán atravesadas por el mismo flujo elec-
trostático. Esto lo expresa matemáticamente el Teorema de Gauss:
 ∑∫ =•=Φ iS QSdE
0
1
ε
rr
(6)
Este teorema nos relaciona el flujo del campo E
r
 a través de una superficie cerra-
da (que es el flujo total), con la carga total contenida en su interior.
2.1.2. Demostración del Teorema de Gauss.
Para la demostración del Teorema de Gauss, consideraremos una carga puntual Q
y calcularemos el flujo de su campo eléctrico, E
r
, a través de una superficie esférica con
centro en la carga puntual. Si el radio de la esfera es r, el campo eléctrico producido por
la carga en un punto de la superficie esférica vendrá dado por la expresión (3) y el flujo
se calculará por la siguiente integral de superficie:
∫∫ =•=Φ SS dSESdE .cos. θ
rr
donde θ es el ángulo formado por el vector campo E
r
 y el vector
Sd
r
 del elemento de superficie. En este caso, como ambos vecto-
res tienen la misma dirección y sentido, el ángulo es cero y su
coseno es la unidad cosθ=1. Por otro lado, el campo eléctrico
tiene la misma magnitud (módulo) en todos los puntos de la su-
perficie esférica, siendo su área total S=4πr2.
Se ha elegido la superficie esférica centrada en la carga
puntual como superficie para aplicar el teorema de Gauss (super-
 FIG. 1
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ficie gausiana), porque cumple las siguientes condiciones:
1. El vector E
r
 y el vector Sd
r
 son paralelos y cosθ=1 en todos los puntos de la esfera.
2. El vector E
r
 tiene el mismo módulo en todos los puntos de la esfera, o sea: cteE =
r
.
Por tanto, aplicando la ecuación (7) para determinar el flujo total a través de la su-
perficie gausiana, resultará:
 ( )
0
2
2
0
4
4
..
ε
π
πε
Q
r
r
Q
SEdSEdSESdE
SSS
=====•=Φ ∫∫∫
rr
(8)
Luego, el flujo eléctrico a través de la esfera es pro-
porcional a la carga encerrada e independiente del radio de
la superficie considerada. Por tanto, si trazamos varias
superficies concéntricas con la carga Q, el flujo eléctrico a
través de todas ellas es el mismo e igual a Q/ε0. Generali-
zando, este flujo es el mismo cualquiera que fuese la su-
perficie cerrada que encierra la carga, sea simétrica, no
simétrica, irregular o no centrada en la carga.
Si consideramos una carga Q en el interior de una superficie arbitraria cerrada S,
el flujo total del campo eléctrico producido por la carga Q a través de la superficie S, es:
∫∫ ==Φ SS r
dSQ
dS
r
Q
2
0
20
cos.
4
.cos.
4
θ
πε
θ
πε
pero dS.cosθ/r2 es el ángulo sólido sub-
tendido por el elemento dS visto desde la
carga Q, Como el ángulo sólido com-
pleto alrededor de un punto es 4π, re-
sultará:
000
2
0
4
44
cos.
4 ε
π
πεπε
θ
πε
QQ
d
Q
r
dSQ
SST
==Ω==Φ ∫∫
Este resultado es el mismo que el encontrado previamente para una superficie es-
férica centrada en la carga, por lo que es válido para cualquier superficie cerrada, inde-
pendientemente de la posición de la carga dentro de la superficie. Si una carga tal como
la q', fig.3, está fuera de la superficie gausiana considerada, el flujo eléctrico en ella es
nulo, porque el flujo entrante es igual al saliente.
Si hay varias cargas Q1, Q2, Q3,... en el interior de la superficie arbitraria S, el
flujo total será la suma de los flujos producidos por cada carga, y si la carga neta es ce-
ro, el flujo eléctrico es cero.
0ε
iQ∑=Φ (9)
Este resultado puede generalizarse a una distribución continua de carga de dens i-
dad volúmica de carga ρ:
dVdq .ρ= luego ∫∫∫ ==•=Φ τ ρεε dVdqSdE vS .
11
00
rr
(10)
donde τ representa el volumen del recinto encerrado por la superficie gausiana S.
La ley de Gauss puede expresarse en forma diferencial empleando el teorema de
la divergencia, que es:
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 ∫∫ •∇=•
τ
dVESdE
S
.
rrr
 (11)
y aplicándolo a la expresión (9) resultará: ∫∫ =•∇ τ ρετ dVdVE 0
1
.
r
luego se verificará: 
0ε
ρ=•∇ E
r
(12)
2.2. El Teorema de Gauss en dieléctricos.
Los dieléctricos se diferencian de los conductores en que no tienen electrones li-
bres que puedan moverse a través del material cuando se someten a un campo eléctrico.
Todos los electrones están ligados a sus átomos, por lo que el único movimiento posible
es un ligero desplazamiento de las cargas positivas y negativas en direcciones opuestas.
Este desplazamiento es, en general, muy pequeño com-
parado con las distancias atómicas. Un dieléctrico en el
que se ha producido este desplazamiento de cargas, se
dice que está polarizado y que sus moléculas tienen un
Momento Dipolar Inducido, m
r
, definido por:
lqm
rr
.=
donde q es la carga inducida de cada dipolo y l
r
 la distancia entre las dos cargas y con
sentido de la carga negativa a la positiva.
El dieléctrico polarizado en presencia del campo eléctrico adquiere una carga in-
ducida q0 y el estado de polarización se medirá definiendo el Vector Polarización o el
momento dipolar por unidad de volumen. Consideremos un trozo de materia polarizada
en la que existirán dipolos microscópicos moleculares. Un pequeño volumen diferencial
dV, pequeño para ser considerado una diferencial y suficientemente grande para que
contenga un número elevado de dipolos moleculares. Dicho elemento tendrá un Mo-
mento Dipolar que será la suma de sus momentos dipolares moleculares que designare-
mos por md
r
, luego el vector polarización es:
dV
md
p
r
r = (14)
Supongamos el dieléctrico de la fig.5 en un campo
eléctrico uniforme E
r
. Si el dieléctrico está totalmente
polarizado, sobre las superficies del bloque aparecerán
cargas inducidas iguales y opuestas, de valor: q0=σ0A
siendo A el área de la superficie y σ0 la densidad superfi-
cial de carga inducida. El bloque entero se comporta co-
mo un dipolo único de momento dipolar:
dAdq .00 σ=
y el vector Polarización será:
0
0
.
... σ
σ
===
dA
dA
Volumen
totaldipolMomen
p
r FIG.5
la polarización es la densidad superficial de carga inducida o carga de polarización.
Al considerar el Teorema de Gauss en presencia de un dieléctrico, se han de tener
en cuenta las cargas libres q y las cargas inducidas q0. Si consideramos una superficie
gausiana cerrada imaginaria, que encierre cargas libres dispuestas en el interior de un
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dieléctrico, la carga neta total que encierra la superficie debe incluir tanto las cargas
libres como las cargas inducidas. El Teorema de Gauss se formulará así:
00
0
0 εεε
tqqqSdE
∑=∑+∑=•=Φ ∫
rr
(15)
y si tenemos en cuenta las densidades volúmicas de carga libre e inducida, la carga total
en el caso de una distribución continua, se puede expresar así:
 ( )∫ +=∑ τ ρρ dVqt 0 (16)
Las cargas inducidas (o ligadas) son las que se acumulan en los desplazamientos
que ocurren a escala molecular en el proceso de polarización. Considerando el teorema
de la divergencia y aplicándolo para este caso:
( )∫ ∫∫ +=•∇=•=Φ S dVdVESdE ττ ρρε 00
1
.
rrr
e igualando los integrando, tendremos para cualquier punto:
 ( )0
0
1 ρρ
ε
+=•∇ E
r
 o bien 
0ε
ρtE =•∇
r
(17)
siendo ρt=ρ+ρ0 la densidad volúmica de carga neta definida en el punto. Esta ecuación
(17) expresa la "forma diferencial" de la Ley de Gauss para el campo electrostático, en
su forma más general y constituye la Primera Ecuación de Maxwell del electromagne-
tismo.
3. SEGUNDA LEY DE MAXWELL DEL CAMPO ELECTROMAGNETICO.
3.1. El Campo Magnético es Solenoidal.
El campo magnético, dado por el vector B
r
, es un campo solenoidal, es decir, que
viene dado por líneas de campo cerradas sobre sí mismas, no existiendo ni fuentes ni
sumideros de líneas. Esta condición se expresa por la ecuación:
 0=•∇ B
r
(18)
es decir, la divergencia del vector Inducción Magnética es nula y por tanto la densidad
de flujo magnético por unidad de volumen es nula, lo que se interpreta diciendo que
para cualquier volumen cerrado del Campo Magnético, el flujo entrante es igual al flujo
saliente, y por lo tanto, el flujo neto es nulo.
El campo magnético elemental generado por un elemento de conductor ld
r
 por el
que circula una corriente I, en un punto que dista la distancia r del elemento, viene dado
por la expresión:
 2
0
3
0
44 r
uld
I
r
rld
IBd
rrrrr ∧=∧=
π
µ
π
µ
 ó ∫ ∧= b ur
ldI
B
r
r
r
2
0 .
4π
µ
(19)
que se conoce como Ley de Biot-Savart.
Si la corriente I se distribuye en el espacio conductor con una densidad de co-
rriente J (Amperios/m2), la intensidad de corriente, I, se expresará así:
 ∫ •= S SdJI
rr
(20)
Para sustituir esta expresión en la ecuación de Biot-Savart, hemos de multiplicar
ambos miembros de (20) por: ∫ ld
r
 resultando:
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( ) ( ) ∫∫∫ ∫ ∫∫ ∫ =•=•=•= ττ τdJldAdJldAdJldAdJldI SS ....
rrrrrrrrrrr
pues AdJ
rr
, y ld
r
 son vectores que tienen la misma dirección y sentido y sustituyendo
en la ecuación de Biot-Savart tendremos:
τ
π
µτ
π
µ
ττ
d
r
uJ
d
r
rJ
B ∫∫
∧=∧= 2
0
3
0
44
rrrrr
(21)
y a partir de esta ecuación que se conoce como ley de Biot-Savart en función de la den-
sidad de corriente J, cuando ésta es estacionaria, podemos demostrar que el campo
magnético es un campo solenoidal, así:
 '
4
'
4 ' 2
0
' 2
0 τ
π
µτ
π
µ
ττ
d
r
u
Jd
r
uJ
B ∫∫ 



 ∧•∇=∧•∇=•∇
rrr
r
r
(22)
para resolver la integración hay que desarrollar el integrando, lo que se hace mediante la
siguiente expresión:
( ) ( ) ( )BAABBA rrrrrr ∧∇•−∧∇•=∧•∇
Aplicando esta expresión a (22) resulta:
 ( ) 



 ∧∇•−∧∇•=



 ∧•∇
222 r
uJJ
r
u
r
uJ
rrrrrr
(23)
se demuestra que este desarrollo es nulo considerando ambos términos del segundo
miembro:
El primer término contiene el rotacional de J
r
 ( )Jr∧∇ , y es nulo pues Jr es una
función exclusiva de los puntos-fuente (coordenadas del elemento de conductor) y el
operador rotacional implica derivadas parciales con respecto al punto campo, y en dicho
punto no existe densidad de corriente alguna. Como J
r
 en el punto-campo (x,y,z) es
cero, resulta 0=∧∇ J
r
 (primer término nulo).
El segundo término requiere el desarrollo de 2ru
r∧∇ o sea:
( ) () ( )
=
−−−
∂
∂
∂
∂
∂
∂=−+−+−∧∇=∧∇=∧∇
333
332
'''
'''
r
zz
r
yy
r
xx
zyx
kji
r
kzzjyyixx
r
r
r
u
rrr
rrrrr
…
El desarrollo de este determinante tendrá tres términos, en ji
rr
, y k
r
 y vamos a
calcular cualquiera de ellos, por ejemplo, el correspondiente a i
r
, ya que los otros tie-
nen idéntico desarrollo:
 ...
''
332 =









 −
∂
∂−



 −
∂
∂=



 ∧∇
r
yy
zr
zz
y
i
r
u
X
rr
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] =













−+−+−
−
∂
∂−








−+−+−
−
∂
∂=
2/32222/3222 '''
'
'''
'
zzyyxx
yy
zzzyyxx
zz
y
i
r
 
( ) ( ) ( )[ ] ( )( )
...
''2.'''
2
3
6
2/1222
−




 −−−+−+−−
=
r
zzyyzzyyxx
i
r
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( ) ( ) ( )[ ] ( )( )
0
''2.'''
2
3
... 6
2/1222
=




−−−+−+−−
−
r
yyzzzzyyxx
el desarrollo es nulo, como es evidente, pues ambos términos son idénticos (segundo
término nulo), resultando finalmente demostrado que:
 0=•∇ B
r
 [Segunda Ecuación de Maxwell] (24)
Por esta expresión, en el Campo Magnético no pueden existir ni fuentes ni sumi-
deros de líneas de inducción magnética, porque estas líneas de campo son líneas cerra-
das que no empieza ni acaban. El flujo de Inducción Magnética a través de cualquier
superficie cerrada es nulo, pues todo flujo que entra también sale, por ello:
 ∫ =•S AdB 0
rr
(25)
ecuación que denominaremos Ley de Gauss para los Campos Magnéticos.
El origen del campo magnético está en las corrientes eléctricas. Esta afirmación es
experimental, pues no se ha encontrado ningún campo magnético que no pueda descri-
birse en función de una distribución de corriente, y por ello no existen polos magnéticos
aislados.
Esta ley de Gauss para los campos magnéticos no proporciona métodos sencillos
para el cálculo de B
r
 por consiguiente se ha de buscar una alternativa que proporcione
un procedimiento más fácil, y lo tenemos en el Teorema circuital de Ampère (4ª ecua-
ción de Maxwell).
Las ecuaciones (24) y (25) son respectivamente las formas diferencial e integral
de la Segunda Ecuación de Maxwell del Electromagnetismo.
4. TERCERA LEY DE MAXWELL DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO
4.1. Fenómenos de Inducción Electromagnética.
Ya hemos estudiado que una carga eléctrica que se mueve en un Campo Magnéti-
co estacionario, se verá sometida a una fuerza dada por la ecuación BvqF
rrr ∧= , que
desplazará a la carga en dirección perpendicular a su propia velocidad y al campo mag-
nético. Análogamente, si sobre una carga eléctrica estacionaria, se mueve un campo
magnético, tal que el vector Inducción Magnética B
r
 varíe en el punto ocupado por la
carga, ésta se verá igualmente sometida a la fuerza anterior, que la desplazará y por
tanto generará una corriente eléctrica inducida.
4.1.1. Demostración experimental.
Experimentalmente pueden producirse este tipo de corrientes inducidas mediante
el dispositivo esquematizado en la figura 6. La bobina 1 se encuentra conectada a un
galvanómetro, simplemente para detectar cualquier posible corriente eléctrica. En esta
bobina se originarán corrientes eléctricas inducidas cuando se realicen cualquiera de los
siguientes experimentos que vamos a describir:
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A) Aproximamos o separamos un imán (natural o
artificial) a la bobina 1, por cualquiera de los polos
magnéticos del imán.
B) Aproximamos o separamos otra bobina ali-
mentada por un generador que le produzca una co-
rriente continua estacionaria (bobina 2).
C) Estando las bobinas 1 y 2 en posiciones fijas,
alimentando la bobina 2 con una corriente que varíe
mediante un reóstato o resistencia variable que accio-
namos con un cursor, o mediante una corriente alterna. 
D) Mediante este último procedimiento, el proceso se acentúa considerablemente
si ambas bobinas están devanadas una sobre otra, o bien están atravesadas ambas por un
núcleo de hierro u otro material ferromagnético.
En todos estos casos se produce en los puntos de la bobina 1 una variación del
campo magnético. Las cargas eléctricas libres (electrones) situadas en el conductor,
están sometidas a la fuerza magnética BvqF
rrr ∧= que las desplazarán a todas ellas en la
misma dirección a través del conductor originando la corriente eléctrica inducida.
Esta corriente sólo se produce en el circuito (bobina 1) cuando tiene lugar una va-
riación del campo magnético y no cuando el campo magnético permanece estacionario.
4.2. Ley de Faraday. Ley de Lenz.
Vamos a considerar un conductor ab rectilíneo, colocado en el interior de un cam-
po magnético, perpendicular a sus líneas de fuerza y que se desplaza con una velocidad
v
r
 constante y perpendicular al campo magnético y al
conductor. Las cargas libres (electrones), situadas en el
conductor, al verse sometidas a la fuerza magnética, se
desplazarán y se acumularán en el extremo a, creándo-
se en el conductor un campo eléctrico que se opondrá a
este desplazamiento de cargas y por tanto aparecerá
una cierta resistencia al desplazamiento del conductor.
Si consideramos que el conductor ab, se desplaza
apoyado en sus extremos sobre un conductor fijo aoo’b
 FIG.7
en forma rectangular, figura 8, el campo eléctrico generado en sus extremos por la sepa-
ración magnética de las cargas, da lugar a una fuerza electromotriz inducida E que ori-
ginará en el circuito cerrado una corriente inducida
El conductor móvil ab se comporta como un generador de Fuerza Electromotriz
inducida y dará lugar a una corriente I=q/t. Las cargas móviles que circulan por el con-
ductor ab se verán sometidas a la fuerza magnética BvqF
rrr ∧= que origina una resul-
tante 'F
r
 en sentido opuesto al movimiento del conductor y tiende a anular dicho movi-
miento. Para mantener el movimiento del conductor será, pues, necesario aplicarle una
fuerza externa F
r
 idéntica y opuesta a la anterior, que la neutralice.
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La fuerza sobre la carga será: BvqFF ..'=−=
Cada carga se desplaza dentro del conductor ab con
una velocidad de arrastre dada por la expresión v=l/t luego:
BlIBl
t
q
B
t
l
qBvqF
vrrrr
r
rrr ∧=∧=∧=∧= .'
que es la expresión de la fuerza magnética 'F
r
 del campo B
r
sobre una corriente I en el conductor de longitud l
r
 y por ello
la fuerza que debemos oponer para mantener el movimiento
uniforme del conductor será:
lBIFF
rrrr
∧=−= .'
El trabajo realizado por esta fuerza externa al desplazar
el conductor, un desplazamiento rd
r
 será:
dtvlBIrdlBIrdFdW '..
rrrrrrrr •∧=•∧=•=
donde 'v
r
 es la velocidad con que se desplaza el conductor ab 
FIG. 8
móvil, sobre el conductor fijo. Considerando que dq=I.dt resulta:
dqvlBdW '
rrr •∧=
y la Fuerza Electromotriz E que se genera en el desplazamiento del conductor, será:
 'vlB
dq
dW rrr •∧==E (26)
En el caso ilustrado en la fig.8, donde el conductor móvil l
r
 es perpendicular al
campo magnético B
r
 y se desplaza en dirección perpendicular al propio conductor y al
campo magnético, el desarrollo de la ecuación anterior resulta:
'.. vlB=E (27)
En el desplazamiento, el conductor ab corta un flujo magnético dado por:
AdBd
rr
•−=Φ
donde dA es el área barrida ( )dtvlsdlAd 'rrrrr ∧=∧= por el conductor en el tiempo dt y el
signo negativo nos indica que el flujo total por el circuito aoo'b disminuye a medida que
aumenta el área barrida por el conductor ab, luego:
( )dtvlBAdBd 'rrrrr ∧•−=•−=Φ
y aplicando la propiedad cíclica del producto mixto de tres vectores, resultará:
( ) dtvlBdtlBvd '.' rrrrrr •∧−=∧•−=Φ y por tanto: E−=•∧−=Φ 'vlB
dt
d rrr
resultando finalmente:dt
dΦ−=E Ley de Faraday (28)
que se interpreta diciendo que "se genera una FEM inducida en el circuito cerrado
siempre que se produzca una variación del flujo magnético y esta FEM es igual a la
rapidez con que varía el flujo, con signo opuesto".
La ecuación de Faraday es una ley empírica deducida de hechos experimentales y
no se puede demostrar a partir de otras leyes experimentales. La variación del flujo
magnético puede realizarse, bien moviendo o deformando el circuito en un campo mag-
nético constante o bien variando el campo magnético sobre un circuito estacionario. En
ambos casos los resultados obtenidos son idénticos.
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4.3. Tercera Ley de Maxwell del campo electromagnético.
Ya que por definición, la FEM es: ∫ •= rdE
rr
E la circulación en trayectoria ce-
rrada del campo eléctrico inducido E
r
 en el conductor móvil, siendo rd
r
 un elemento de
dicho circuito y como este circuito es atravesado por un flujo dado por: ∫ •=Φ S AdB
rr
, la
ecuación de Faraday se escribe: ∫∫ •−=•= SC AdBdt
d
rdE
rrrr
E (29)
siendo C cualquier curva cerrada (circuito o no-circuito) y S la superficie limitada por
ella. Si no existen fuentes en el circuito que consideramos, la corriente que se genera es
igual a la F.E.M. inducida dividida por la resistencia óhmica del circuito., igual que si
existiera una batería del mismo voltaje y polaridad que la F.E.M. inducida.
Si la curva C de integración no varía su forma, la expresión anterior se escribirá:
∫∫ •∂
∂−=•
SC
Ad
t
B
rdE
r
r
rr
 (30)
es decir, la circulación del campo eléctrico inducido a lo
largo de una trayectoria cerrada C es igual a la componente
normal de la derivada respecto del tiempo (con signo
opuesto), del vector inducción magnética B
r
 integrada sobre
cualquier superficie limitada por el contorno C.
 FIG. 9
Para poner la Ley de Faraday en forma diferencial, aplicaremos el Teorema de
Stokes, para trasformar una integral curvilínea en una integral de superficie, así el pri-
mer miembro se transformará en:
( )∫∫ •∧∇=• SC AdErdE
rrrr
resultando para la ley de Faraday:
 ( )∫ ∫ •∂
∂−=•∧∇
S S
Ad
t
B
AdE
r
r
rr
(31)
suponiendo que la trayectoria cerrada de integración C es estacionaria los integrandos
de ambos miembros serán idénticos y resultará:
t
B
E
∂
∂−=∧∇
r
r
 Tercera Ecuación de Maxwell (32)
En los experimentos descritos al inicio del tema, se produce en la bobina 1 en to-
dos los casos, una variación del flujo magnético por diversas circunstancias, lo que da
lugar a una Fuerza Electromotriz inducida que en el caso de un circuito cerrado de re-
sistencia óhmica R, dará lugar a una corriente eléctrica inducida I=E/R.
El signo negativo viene interpretado por la Ley de Lenz, que se enuncia así: "El
sentido de la FEM inducida, y por tanto de la corriente que genera, es tal que se opone,
por sus efectos magnéticos, a la variación del flujo magnético que lo engendra". Esto
quiere decir:
A) Que si el flujo magnético disminuye, se crea una FEM que produce una co-
rriente en tal sentido que crea un campo magnético propio cuyo flujo tiene el mismo
sentido que el flujo menguante externo, en un intento de mantener constante dicho flujo
magnético.
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B) Que si el flujo magnético aumenta, se crea una FEM que produce una corriente
en sentido tal que crea un campo magnético propio cuyo flujo se opone al flujo cre-
ciente externo, en un intento de mantener constante dicho flujo.
4.4. F.E.M. Inducida en circuitos en movimiento.
Vamos a considerar un circuito conductor que se mueve paralelamente a sí mismo
en un campo magnético estacionario B
r
. Cualquier elemento diferencial sd
r
 de dicho
circuito realiza un desplazamiento rd
r
 en el tiempo dt tal que barre un área dada por:
 rdsdAd
rrr ∧=2 (33)
y la variación del flujo magnético experimentada por
dicho elemento de circuito vendrá dada por:
 AdBd
rr
22 •=Φ (34)
La rapidez de variación del flujo magnético en el
tiempo dt será:
BvsdvsdB
dt
rdsd
B
dt
Ad
B
dt
d rrrrr
rrr
r
r
∧•=∧•=∧•=•=Φ−
22
 FIG.10
el signo negativo significa que en este caso se produce una disminución del flujo mag-
nético. La expresión anterior se podrá escribir:
 vBsdBvsd
dt
d rrrrrr ∧•=∧•−=Φ
2
(35)
En el caso de que el movimiento del circuito sea de a2 a a1 lo que dará lugar a un
aumento del flujo magnético, el área barrida por el elemento de circuito será:
sdrdAd
rrr ∧=2
y la variación del flujo respecto del tiempo, positiva en este caso, vendrá dada por:
 vBsdsdvB
dt
sdrd
B
dt
Ad
B
dt
d rrrrrr
rrr
r
r
∧•=∧•=∧•=•=Φ
22
(36)
ecuación idéntica a la (35). La FEM viene dada por la misma expresión tanto si el des-
plazamiento del circuito produce una disminución o un aumento del flujo magnético a
través del circuito. Aplicando a cualquiera de estas ecuaciones, la definición de FEM,
resulta: vBsd
dt
d
d
rrr ∧•−=Φ−=
2
E (38)
Esta es la llamada Ley elemental de la inducción magnética, que indica que:
"siempre que el circuito corte líneas de fuerza del campo magnético en su desplaza-
miento se originará una Fuerza Electromotriz Inducida".
La FEM inducida total debida al desplazamiento de todo el circuito completo se
obtiene integrando la ecuación anterior para sumar las FF.EE.MM. de los distintos ele-
mentos ds del circuito:
( )∫ ∫ •∧−=•= a a sdvBsdE
rrrrr
E (39)
ecuación de la FEM inducida en un circuito cerrado en movimiento dentro de un campo
magnético estacionario.
Para generalizar la ecuación al caso de que también el campo B
r
 no sea estaciona-
rio y varíe con el tiempo, la FEM inducida en el circuito será la suma de la FEM produ-
cida por el movimiento del circuito, ecuación (39) mas la FEM producida por la varia-
ción del campo B, ecuación (31), de modo que:
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( ) ∫∫ •∂
∂−•∧−=
sa
Ad
t
B
sdvB
r
r
rrr
E (40)
donde la primera integral puede ponerse:
∫ •∧ sdBv
rrr
al cambiar de signo el producto vectorial, y aplicando el Teorema de Stokes para trans-
formar la integral curvilínea en una integral de superficie se transformará en:
( )[ ]∫ •∧∧∇s AdBv
rrr
y el primer miembro E se transformará así:
∫ ∫ •∧∇=•= a s AdEsdE
rrrr
E
y sustituyendo ambas en (40) resulta:
 ( ) ( ) Ad
t
B
BvAd
t
B
AdBvAdE
s s s s
r
r
rrr
r
rrrrr
•





∂
∂−∧∧∇=•
∂
∂−•∧∧∇=•∧∇∫ ∫ ∫ ∫ (41)
los integrados en ambos miembros resultan iguales, por tanto:
 ( )
t
B
BvE
∂
∂−∧∧∇=∧∇
r
rrr
(42)
Donde E
r
 es el Campo Eléctrico inducido en el circuito (que origina la F.E.M. in-
ducida) como consecuencia del movimiento del propio circuito en el Campo Magnético
y por la propia variación del Campo Magnético.
5. INDUCCION MUTUA Y AUTOINDUCCION
La ley de Faraday nos dice que en un circuito conductor se origina una FEM in-
ducida siempre que a través de él se produzca una variación del flujo magnético, inde-
pendientemente de la fuente magnética que dé origen al mencionado flujo magnético. El
fenómeno inductor (flujo magnético) y el fenómeno inducido (fuerza electromotriz que
origina una corriente) pueden producirse en dos lugares diferentes e independientes
dando lugar a un fenómeno de Inducción Mutua, o bien pueden producirse ambos en el
mismo circuito dando lugar a un fenómeno de Autoinducción.
5.1. Fenómenos de Inducción Mutua. Demostración experimental.
Consideremos dos circuitos o bobinas
próximas entre sí y arrolladas sobre un núcleo
de hierro como se indica en la figura 11. La
corriente que circula por la bobina 1 debido a
la batería de FEM E y regulada por la resis-
tencia variable R, genera un campomagnético
cuyo flujo atraviesa parcial o totalmente la
bobina 2, que está conectada únicamente a un
galvanómetro para detectar la corriente.. FIG.11
En el caso de que la corriente I1 por la bobina 1 varíe, variará el flujo magnético
que engendra y variará el flujo parcial o total que atraviesa la bobina 2. Ello dar lugar a
una FEM inducida en la bobina 2, mientras dura la variación del flujo. El flujo en 2 de-
penderá de la corriente en 1, o sea:
12 I∝Φ o bien 12 .Ic=Φ
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siendo c una constante que dependerá de la geometría del sistema.
Aplicando la ley de Faraday al circuito 2 resultará:
 
dt
dI
M
dt
dI
cN
dt
d
N 112
2
2 −=−=
Φ−=E (43)
siendo M el coeficiente de Inducción mutua, una constante que depende exclusivamente
de la geometría del sistema y del número de espiras de la bobina. La expresión anterior
representa la FEM inducida en la bobina 2 por la variación del flujo magnético que la
atraviesa originada por la variación de corriente en la bobina 1. El coeficiente de Induc-
ción Mutua expresa la FEM engendrada por una variación de corriente de 1 A/s, o sea:
dtdI
M
1
2E−= 



 ==== H
A
Wb
AA
J
sAC
J
sA
V
././
(44)
5.2. Fenómenos de Autoinducción. Demostración experimental.
Este fenómeno de inducción de corriente se produce también en la propia bobina
1 donde se origina la variación del flujo magnético. Así, cuando en una bobina de N
espiras circula una corriente I, se origina un campo magnético cuyo flujo total Φ, en la
propia bobina es proporcional a la corriente circulante I y se puede escribir:
I∝Φ o bien Ik.=Φ
siendo k una constante que depende de las características geométricas de la bobina.
Cuando varía la corriente I, como ocurre en el cierre o apertura del circuito, o ac-
cionando una resistencia variable, se originará una variación de flujo Φ y se induce en la
propia bobina, una F.E.M.:
dt
dI
L
dt
dI
kN
dt
d
N −=−=Φ−= .E (45)
donde L es el coeficiente de autoinducción (también se
mide en Henrios) y representa la Fuerza Electromotriz
autoinducida por una variación de corriente en el pro-
pio circuito correspondiente a 1 Amperio por segundo. FIG. 12
El signo negativo de las expresiones (44) y (45) indica que la FEM inducida ha de
generar una corriente inducida de tal sentido que origine un flujo magnético propio que
se oponga a la variación del campo magnético inductor, es decir:
A) si la corriente originaria disminuye, la corriente inducida tendrá su mismo sent i-
do, sumándose los flujos magnéticos y
B) si la corriente aumenta, la corriente inducida tendrá sentido contrario y los flujos
magnéticos se restarán.
Las corrientes inducidas, originadas por los fenómenos de inducción mutua o au-
toinducción, son débiles en conductores lineales, sin embargo en los solenoides o bobi-
nas, cada espira influye por autoinducción sobre ella misma y por inducción mutua
sobre las demás espiras próximas y los efectos de la inducción se acrecientan.
Corrientes autoinducidas se producen en el cierre y en la apertura de circuitos, lo
que puede dar lugar a chispas en los interruptores o enchufes. Los interruptores que co-
necten circuitos que posean bobinas (motores) han de construirse de manera que pro-
porcione una ruptura instantánea, y así, la fuerte corriente de autoinducción generada
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en la ruptura no se sumará a la corriente principal, ya inexistente, evitando que se alma-
cenen valores elevados de intensidad de corriente.
5.3. Determinación de coeficientes de autoinducción.
El coeficiente de autoinducción de una bobina puede determinarse a partir de sus
características geométricas y eléctricas. La ley de Faraday E=−N.dΦ/dt la sustituimos
en la expresión (45) y resulta:
dt
dI
L
dt
d
N =Φ ⇒ dILdN .. =Φ integrando ∫∫ =Φ
Φ I
dILdN
00
resulta finalmente: ILN .. =Φ ⇒ 
I
NL
Φ= (46)
expresión que nos da el Coeficiente de Autoinducción de una bobina de N espiras, ali-
mentada por una corriente I y atravesada por un flujo Φ. Considerando que el flujo de
una bobina viene definido por:
SBSdB .=•=Φ ∫
rr
para el caso del campo magnético perpendicular a las espiras, la expresión de L será:
 
I
NBS
L = (47)
y como el campo magnético B de una bobina es: 
l
NI
B
µ=
resulta: 
l
SN
L
2µ= (48)
como vemos el coeficiente de autoinducción de la bobina depende de sus características
geométricas y físicas. Depende de cómo ha sido construida.
5.4. Autoinducciones en Serie y en Paralelo.
Supongamos N bobinas acopladas en serie, por las que circula una única corriente
I. Si su separación es lo suficientemente grande como para poder despreciar las influen-
cias de los flujos mutuos (el efecto de la inducción mutua), por la aplicación de (45) a
una cualquiera de ellas:
dt
dI
L
dt
d
1
1 −=Φ−=E
por lo que la F.E.M. total inducida entre los extremos de las bobinas será:
 ∑∑ −== ii Ldt
dI
EE (49)
y por tanto, las bobinas en serie (inductores) equivalen a una única bobina que tuviera
un coeficiente de autoinducción:
 ∑= iLL (50)
Consideremos ahora los efectos mutuos entre las bobinas, para lo cual considere-
mos dos bobinas 1 y 2, conectadas en serie y los suficientemente próximas para cons i-
derar en 1 una FEM inducida por 2, E1, y en 2 una FEM inducida por 1, E2. Por razones
de simetría M12=M21=M, por tanto la fem total entre los extremos de ambas bobinas es:
( ) ( )
dt
dI
MLL
dt
dI
MMLL 221211221211221 ++−=+++−=+++= EEEEE
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luego el sistema se puede sustituir por una única bobina, cuyo coeficiente de autoinduc-
ción sea: MLLL 221 ++= (51)
Si las dos bobinas estuvieran enrolladas en sentidos opuestos y conectadas en se-
rie, los flujos magnéticos de autoinducción (autoflujos) serían opuestos a los flujos de
inducción mutua, y el conjunto equivaldría a una bobina cuyo coeficiente de autoinduc-
ción será: MLLL 221 −+= (52)
Supongamos n bobinas acopladas en paralelo, sin que exista influencia mutua en-
tre ellas. Por cada una de ellas circulará una corriente I1, I2, I3,... que verificarán I=ΣIi,
siendo I la corriente que circula entre los nudos de la red en paralelo. Como la d.d.p.
entre estos nudos es la misma cualquiera que sea la trayectoria elegida, resultará:
...33
2
2
1
1 =−=−=−= dt
dI
L
dt
dI
L
dt
dI
LE
o bien: 
dt
dI
L
1
1
=− E 
dt
dI
L
2
2
=− E 
dt
dI
L
3
3
=− E ….
sumando y sacando factor común:
∑ ==



+++
dt
dI
dt
dI
LLL
i...
111
321
E y finalmente ∑=
iLL
11
(53)
expresión que sólo es aplicable a los casos donde se desprecien la inducciones mutuas
entre las bobinas.
Consideremos ahora dos bobinas 1 y 2 en paralelo, para tener en cuenta no sólo la
autoinducción en cada una de ellas sino también la inducción mutua de una en la otra y
viceversa. La F.E.M. en cada bobina será:
 
dt
dI
M
dt
dI
L 211 −−=E y dt
dI
M
dt
dI
L 122 −−=E (54)
y operando algebraicamente (como se especifica en el anexo):
 
( )
E2
21
212121 2
MLL
MLL
dt
IId
dt
dI
dt
dI
−
−+−=+=+ (55)
y como I=I1+I2 resultará entonces:
EE
LMLL
MLL
dt
dI 12
2
21
21 −=
−
−+−= luego 
MLL
MLL
L
221
2
21
−+
−= (56)
donde L es el valor del coeficiente de inducción equivalente. Hay que observar que los
cálculos serían diferentes si se invierte el sentido de arrollamiento de unas de las bobi-
nas tal y como se ha indicado en el acoplamiento en serie.
5.5. Corriente de Foucault.Consecuencias.
Cuando una pieza maciza de material férrico se mueve en el interior de un campo
magnético estacionario, o bien, un campo magnético variable atraviesa una pieza férri-
ca en reposo, se producen unas corrientes inducidas, por la ley de Faraday, que actúan
como corrientes parásitas que pueden provocar un fuerte calentamiento por efecto Joule
y por consiguiente una disipación de energía considerable. Son las llamadas corrientes
de Foucault.
Consideremos un disco de hierro como el representado en la figura 13, que gira
alrededor de un eje fijo horizontal y paralelo a un campo magnético estacionario que lo
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atraviesa parcialmente. Dentro del disco consideremos un
sector circular muy estrecho, casi lineal, a modo de con-
ductor y, como se mueve normalmente al campo magnético
B
r
, se inducirá en él una corriente radial, como se muestra
en la figura, cerrándose el circuito a través de la masa del
disco, originándose unas corrientes turbillonarias que pro-
ducen elevadas pérdidas de energía por calor.
Los principales efectos que producen estas corrientes
parásitas son:
A) Dada la elevada resistencia óhmica del hierro, se produce un considerable calen-
tamiento por efecto Joule.
B) Dichas corrientes parásitas crean unos campos magnéticos, que en su interacción
con el campo magnético externo, produce una fuerza que se opone al giro del disco,
siendo necesario una mayor energía para vencerla (sólo en el caso de piezas móviles).
C) Los efectos disipativos de las corrientes parásitas de Foucault son tanto mayores
cuanto mayor sea el volumen de las piezas ferromagnéticas consideradas.
Las corrientes de Foucault se pueden minimizar construyendo los núcleos férricos
(motores, dinamos, alternadores, transformadores, etc.) mediante láminas de hierro de-
bidamente cortadas y pegadas entre sí por un material aislante.
6. CUARTA LEY DE MAXWELL DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO
6.1. Ley de Ampère de la circulación (Teorema Circuital).
La Ley de Ampère de la circulación o Teorema Circuital establece que la circula-
ción del vector Inducción Magnética B
r
, creado por un conjunto de corrientes, a lo largo
de una trayectoria cerrada C, es igual al producto de la permeabilidad magnética µ0 por
la suma algebraica de las intensidades de corriente que atraviesan la superficie S arbitra-
ria, limitada por la curva cerrada. Se expresa matemáticamente mediante la ecuación:
 ∫ ∫ ∑ ==•=• S i IISdJldB 000 µµµ
rrrr
(57)
En consecuencia el Campo Magnético no es conservativo y no podemos definir en
cada punto un potencial escalar que nos permita completar el estudio del campo.
Esta ley se aplica solamente al caso de corrientes estacionarias y en medios no
magnéticos y se utiliza para determinar el vector Inducción Magnética B
r
 en aquellos
casos de perfecta simetría en los que el módulo de B
r
 es constante a lo largo del camino
de integración, a semejanza del teorema de Gauss que se aplica al cálculo del vector
Campo Eléctrico en los casos en que éste tiene módulo constante sobre una superficie
cerrada.
En ciertos casos, la misma corriente puede atravesar varias veces la superficie que
limita la curva de integración C. Tal es el caso de un solenoide. En él, el recorrido de
integración pasa por el eje del solenoide y vuelve por el exterior hasta cerrarse. La co-
rriente total que atraviesa la superficie limitada por este recorrido, es la corriente de una
espira multiplicada por el número de espiras del solenoide, o sea, el número de Ampe-
rios-Vuelta.
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En el caso particular de un solo conductor, el teorema circuital considera la co-
rriente única I que pasa por el conductor, independientemente del camino de integración
que se elija, siempre que dicho camino rodee completamente al conductor. Cuando esto
no ocurre, la circulación de B
r
 es nula como ocurre en Electrostática.
6.2. Ley de Ampère aplicada a un condensador.
6.2.1. Corriente de desplazamiento. Interpretación.
Cuando se aplica la ley circuital de Ampère a un circuito de corriente I que ali-
menta un condensador, al considerar la superficie S2 limitada por el contorno C, ésta no
está atravesada por la corriente I ya que dicha superficie pasa por el espacio entre las
placas del condensador, donde I=0, con lo que se llega a una situación contradictoria y
la circulación de B
r
 a lo largo de C resulta diferente según la superficie que considere-
mos limitada por el contorno C.
Maxwell modificó la ley circuital de Ampère para re-
solver el problema planteado. Introdujo la corriente de des-
plazamiento, Id que se suma a la corriente del conductor I,
quedando la ley circuital de la siguiente forma:
 ( )∫ +=• dIIldB 0µ
rr
 (58)
Vamos a interpretar el significado físico de la corriente FIG. 14
de desplazamiento. La corriente del circuito I, que produce la carga del condensador,
aumenta la carga de éste según I=dQ/dt y por ello la Intensidad del Campo Eléctrico
encerrado entre las placas. La Ley de Gauss, aplicada al condensador nos expresa que:
∫ =•=Φ SE
Q
SdE
0ε
rr
y al incrementarse la carga del condensador se incrementa el flujo eléctrico, o sea:
 
dt
dQ
dt
d E ⋅=Φ
0
1
ε
 o sea d
E I
dt
dQ
dt
d ==Φ0ε (59)
es decir, la variación del flujo eléctrico por unidad de tiempo es producida por una “co-
rriente” (variación de carga por unidad de tiempo) a través del condensador que es la
que Maxwell llamó corriente de desplazamiento.
En el condensador se produce una variación del flujo magnético ε0.dΦE/dt, produ-
cida por la corriente de desplazamiento Id=ε0.dΦE/dt que se incluye, por ello en la Ley
Circuital de Ampère, tal como:
 ( ) 



 Φ+=+=•∫ dt
dIIIldB EdC 000 εµµ
rr
(60)
con lo cual la ley se generaliza a todas las posibles situaciones. Esta ecuación representa
una forma de la Cuarta Ecuación de Maxwell del Campo Electromagnético.
Consecuencia de esta generalización: se llega a la conclusión de que un campo
magnético no sólo es creado por una corriente eléctrica I sino que también puede ser
creado por un campo eléctrico que varíe con el tiempo.
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6.3. Cuarta Ecuación de Maxwell del Campo Electromagnético.
Como la corriente real puede ponerse en función de la Densidad de Corriente:
 ∫ •= S SdJI
rr
(61)
y considerando igualmente el flujo eléctrico se puede expresar:
∫ •=Φ SE SdE
rr
su variación con el tiempo se expresará:
 ∫ •∂
∂=Φ
S
E Sd
t
E
dt
d r
r
(62)
por ello la corriente de desplazamiento, ideada por Maxwell, dada por (59) puede escri-
birse: ∫ •∂
∂=Φ=
S
E
d Sdt
E
dt
d
I
r
r
00 εε (63)
y la ecuación (60) finalmente quedará de la forma siguiente:
∫ ∫∫ ∫ •





∂
∂+=





•
∂
∂+•=•
C SS S
Sd
t
E
JSd
t
E
SdJldB
r
r
rr
r
rrrr
0000 εµεµ (64)
que es la forma integral de la Cuarta Ecuación de Maxwell.
Si aplicamos el Teorema de Stokes:
( )∫ ∫ •∧∇=•C S SdBldB
rrrr
se obtiene la expresión integral siguiente:
( ) Sd
t
E
JSdB
SS
r
r
rrr
•





∂
∂+=•∧∇ ∫∫ 00 εµ
e igualando los integrandos:
 





∂
∂
+=∧∇
t
E
JB
r
rr
00 εµ (65)
que es la forma diferencial de la Cuarta Ecuación de Maxwell del Campo Electromag-
nético.
Esta ecuación puede ponerse en función del Vector Campo Magnético o Vector
Excitación Magnética, H
r
. Este vector representa el campo magnético en cualquier me-
dio material magnético y es tal que su circulación a lo largo de una curva cerrada es
igual a la intensidad de corriente convencional que atraviesa el área limitada por la cur-
va y no depende para nada de las corrientes de magnetizaciónque puedan existir en el
medio.
Se define así: 
0µ
B
H
r
r
= y cumple ∫ =•L IldH
rr
(66)
luego: ∫
Φ+=•
dt
d
IldH E0ε
rr
(67)
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ANEXO
Combinación de las ecuaciones (54):
dt
dI
M
dt
dI
L 211 −−=E y dt
dI
M
dt
dI
L 122 −−=E
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Despejando 
dt
dI1 en la 1ª : 
dt
dI
L
M
Ldt
dI 2
11
1 ⋅−−= E y sustituyendo en la 2ª :
...
. 2
1
2
1
2
2
2
11
2
2 =⋅++−=



⋅−−−−=
dt
dI
L
M
L
M
dt
dI
L
dt
dI
L
M
L
M
dt
dI
L
EE
E
 
1
2
1
2
21
1
2
1
2
2
..
...
L
M
dt
dI
L
MLL
L
M
dt
dI
L
M
L
EE +




 +−=+





+−=
y despejando: E2
21
12
MLL
ML
dt
dI
−
+−= (a)
Despejando 
dt
dI2 en la 2ª : 
dt
dI
L
M
Ldt
dI 1
22
2 ⋅−−= E y sustituyendo en la 1ª :
...
. 1
2
2
2
1
1
1
22
1
1 =⋅++−=



⋅−−−−=
dt
dI
L
M
L
M
dt
dI
L
dt
dI
L
M
L
M
dt
dI
L
EE
E
 
2
1
2
2
12
2
1
2
2
1
..
...
L
M
dt
dI
L
MLL
L
M
dt
dI
L
M
L
EE +




 +−=+





+−=
y despejando: E2
12
21
MLL
ML
dt
dI
−
+−= (b)
y sumando miembro a miembro ambas ecuaciones (a) y (b) resulta
EEEE 2
21
21
2
21
21
2
21
1
2
12
221 2
MLL
MLL
MLL
MLL
MLL
ML
MLL
ML
dt
dI
dt
dI
−
−+−=
−
+−−=
−
+−+
−
+−=+
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BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA
Paul LORRAIN y Dale R.CORSON. Campos y Ondas Electromagnéticos. Selec-
ciones Científicas. 1972. MADRID.
Francis W.SEARS. Fundamentos de Física II. Electricidad y Magnetismo. Edito-
rial Aguilar. 1967. MADRID.
Santiago BURBANO DE ERCILLA, Enrique BURBANO GARCIA y Carlos
GRACIA MUÑOZ. Física General. XXXI Edición. Mira Editores. ZARAGOZA.
Jesús RUIZ VAZQUEZ. Física. Editorial Selecciones Científicas. 1972. Madrid.
Robert M.EISBERG y Lawrence S.LERNER. Física: Fundamentos y Aplicacio-
nes. Volumen II. Ediciones McGraw-Hill. MADRID.
Emerson M.PUGH y Emerson W.PUGH. Fundamentos de Electricidad y Magne-
tismo. Editorial Aguilar. 1965. MADRID.
W.J.DUFFIN. Electricidad y Magnetismo. Ediciones URMO. 1972. BILBAO.
Mario GUERRA, Juan CORREA, Ismael NUÑEZ Y Juan Miguel SCARON. Fí-
sica. Elementos Fundamentales. Campo Electromagnético. Campo Gravitatorio. Tomo
2. Editorial Reverté. BARCELONA.
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© Antonio Abrisqueta García, 1999 Temario Específico – Tema 22
22/23
Tratamiento Didáctico
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OBJETIVOS
Estudio matemático completo del campo electromagnético en todas sus facetas tanto
los campos estacionarios como los dependientes del tiempo y en toda clase de medios
materiales de carácter magnético, para establecer las ecuaciones básicas que regulan su
comportamiento.
Introducir y estudiar el fenómeno importantísimo de la inducción magnética y las
implicaciones que representan para el desarrollo de la tecnología.
UBICACION
El presente tema en el nivel en que está desarrollado currículos de Física y Química
de ESO o Bachillerato. Dado su nivel conceptual, es un tema de Física universitaria por
lo que lo ubicaremos en el primer curso de las licenciaturas científicas o técnicas.
En el 2º curso de Bachillerato será necesario la introducción de las ecuaciones de
Maxwell para el estudio del campo electromagnético y la Física Moderna.
En los centros de secundaria sólo se explicará parte correspondiente a la Inducción
magnética y Autoinducción, como base para la generación de la Corriente alterna, sin
hacer alusión alguna a las ecuaciones de Maxwell.
TEMPORALIZACION
Puede desarrollarse el tema en un periodo de 4 horas para explicar todos sus puntos y
debe completarse con 1 hora para la resolución de problemas numéricos relacionados
con los fenómenos de inducción electromagnética.
METODOLOGIA
Debido a la dificultad conceptual y matemática, el tema debe explicarse con sumo
cuidado, exhaustivamente, paso a paso y comprobando la comprensión por parte de los
alumnos. En la explicación deben incluirse problemas numéricos relacionados con el
tema, que ilustren la teoría, ciertamente árida del tema.
Resulta difícil recurrir a ejemplos prácticos de la vida diaria para ayudarnos en la ex-
plicación, por lo que el profesor debe hacer participar al alumno en el planteamiento de
sus dudas para su resolución.
Pueden demostrarse los fenómenos de inducción electromagnética mediante la reali-
zación de prácticas sencillas de laboratorio utilizando electroimanes, bobinas, galvanó-
metros, motores, etc.
CONTENIDOS MINIMOS
Ley de Gauss. Densidad de carga. Dieléctricos. Polarización en dieléctricos.
Campo magnético solenoidal. Condición.
Inducción electromagnética. Corriente inducida.
Inducción Mutua. Autoinducción.
Coeficientes de Inducción Mutua y de Autoinducción. Unidades.
Ley de Faraday. Ley de Lenz. Interpretación.
Ley circuital de Ampère. Corriente de desplazamiento.
MATERIALES Y RECURSOS DIDACTICOS
Libros de Electromagnetismo, complementado con apuntes de clase.
Materiales de laboratorio: Equipos de magnetismo escolar para prácticas de induc-
ción electromagnética: imanes, bobinas, agujas magnéticas, fuentes de alimentación de
c/c, polímetros, electroimanes, etc.
Libros de problemas de electromagnetismo y aplicaciones sencillas de las leyes de
Maxwell.
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EVALUACION
Pruebas escritas de carácter objetivo sobre conceptos teóricos fundamentales relacio-
nados con el tema valorando la comprensión y razonamiento de conceptos.
Pruebas escritas de problemas numéricos que incluya campos creados por corrientes
y fuerzas sobre corrientes y sobre cargas.
Pruebas de opción múltiple con preguntas de varias respuestas que obligue al alumno
al razonamiento.