Tema 24 FUNCIONES EXPONENCIALES

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MATEMÁTICAS BÁSICAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN
FUNCIONES EXPONENCIALES
(Tomado de: Stewart, James. “Precálculo”. Quinta edición, secciones 4.1, 4.2 y 4.3)
Funciones Exponenciales
Definición
Si x ∈ R,la función definida por
f (x) = ax, con a constante, a > 0 y a 6= 1,
se llama función exponencial con base a.
Gráfica de una Función Exponencial
Tracemos las gráficas de las funciones f (x) = 2x y
g (x) =
(
1
2
)x
.
x y = 2x
−3 1/8
−2 1/4
−1 1/2
0 1
1 2
2 4
3 8
x y = 2−x
−3 8
−2 4
−1 2
0 1
1 1/2
2 1/4
3 1/8
Como g (x) =
(
1
2
)x
=
1
2x
= 2−x = f (−x) , entonces la
gráfica de g es la reflexión respecto al eje y de la gráfica de f .
En general, si f (x) = ax, a > 0, a 6= 1 se tiene:
• Df = R
• f(x) > 0 para todo x ∈ R, es decir, Rf = (0,∞).
• La gráfica de f (x) = ax pasa por el punto (0, 1) , pues
f(0) = a0 = 1.
• Si a > 1, la gráfica de f (x) = ax tiene la siguiente
forma:
Además, a medida que la base a aumenta, la gráfica
de f es “más empinada” (“está más cerca al eje y”, ó
“crece más rápido”) para x > 0 y está más cerca del eje
x (“crece más lentamente”) para x < 0.
• Si 0 < a < 1, la gráfica de f (x) = ax tiene la siguiente
forma:
Además, a medida que la base a disminuye, la gráfica
de f es más “empinada” (“está más cerca al eje y”, ó
1
“decrece más rápido”) para x < 0 y está más cerca del
eje x (“decrece más lentamente”) para x > 0.
• Las gráficas de y = ax y y =
(
1
a
)x
para a > 1, son
simétricas con respecto al eje y.
Ejercicios
1. Trace la gráfica de f(x) = 3x y a partir de ella y en el
mismo plano cartesiano, trace la gráfica de la función
g(x) =
(
1
3
)x
.
2. Considere las funciones f(x) = 2x y g(x) = x2.
(a) Trace las gráficas de f y g y compare su creci-
miento a medida que x aumenta.
(b) Evalúe ambas funciones en x = 2, x = 3, x = 5,
x = 10, x = 20 y x = 30 y compare las tasas de
crecimiento de f y g.
Observación
• Algunas aplicaciones en las que aparecen las funciones
exponenciales son: crecimiento de poblaciones, desin-
tegración de sustancias radiacticas, cálculo de interés
compuesto, entre otras.
• Se puede demostrar que las leyes de los exponentes ya
estudiadas, son también válidas cuando los exponentes
son números reales.
Ejemplo
Trazar la gráfica de h (x) = −2−x + 1 a partir de la gráfica
de y = 2x, utilizando transformaciones de funciones.
Solución
Partiendo de la gráfica de y = 2x, una secuencia para trazar
la gráfica de h es:
1. y = 2x.
2. y = 2−x (Reflexión de la gráfica anterior con respecto
al eje y).
3. y = −2−x (Reflexión de la gráfica anterior con respecto
al eje x).
4. y = −2−x+1 (Traslación de la gráfica anterior, 1 unidad
hacia arriba).
Cualquier número positivo a se puede usar como base de la
función exponencial.
Si a = 1, f(x) = 1x = 1 es la función constante f(x) = 1
para todo x ∈ R.
Una base muy importante, que se usa en muchas aplicaciones,
es el número irracional e, cuyo valor aproximado es 2.718.
Función Exponencial Natural
La función exponencial natural es la función exponencial
con base e
f (x) = ex.
2
Como 2 < e < 3, la gráfica de f (x) = ex está entre las
gráficas de y = 2x y y = 3x.
Ejercicios
Utilizando transformaciones de funciones, trace la gráfica de
las siguientes funciones y para cada una de ellas halle su do-
minio y rango:
1. f(x) = 2x−3.
2. f(x) = 6− 3x.
3. f(x) = ex−3 + 4
4. f(x) = −2− e−x.
3