S17 s1 - Material - Continuidad

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LÍMITES
CONTINUIDAD DE FUNCIONES
LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante determina la 
continuidad o discontinuidad de una función por medio de la definición 
de límite.
Datos/Observaciones
FUNCIONES CONTINUIDAD
LÍMITES
1 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
Debemos considerar que el término continuo 
tiene el mismo sentido en matemática que 
en el lenguaje cotidiano, es decir: 
Que una función 𝑓 sea continua en 𝑥 = 𝑎, 
significa que su gráfica no sufre interrupción 
en “𝑎”, que ni se rompe ni tiene saltos o 
huecos.
Por ejemplo, la figura muestra tres valores 
de 𝑥 en los que 𝑓 no es continua, en los 
demás puntos de la grafica de 𝑓 si es 
continua.
Límites y Continuidad
𝑥
10 3 4 5 6 7
𝑦
8
1 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
Así pues, una función es continua en un punto 𝑥 = 𝑐 si satisface las 
siguientes tres condiciones:
Límites y Continuidad
2 TIPOS DE CONTINUIDAD
Una función es discontinua si alguna de las 3 condiciones mencionadas no 
cumple:
Límites y Continuidad
Datos/Observaciones
Analice la continuidad o discontinuidad de la función:
𝑓 𝑥 = ቐ
5, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2
𝑥2 − 6𝑥 + 10, 𝑠𝑖 2 < 𝑥 < 5
4𝑥 − 15, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 5
Ejemplo. 
SOLUCIÓN:
𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶2−
5 = 5
𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶2+
(𝑥2−6𝑥 + 10) = 2
𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶2−
5 ≠ 𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶2+
(𝑥2−6𝑥 + 10)
∴ ∄ 𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶2
𝑓(𝑥)
𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶5−
𝑥2 − 6𝑥 + 10 = 5
𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶5+
4𝑥 − 15 = 5
𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶5−
𝑥2 − 6𝑥 + 10 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶5+
4𝑥 − 15
∃ 𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶5
𝑓(𝑥)
𝑓 2 = 5 𝑓 5 = 4 5 − 15 = 5 𝑓 5 = 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶5
𝑓(𝑥)
∴ 𝐸𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = 5




∴ 𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = 2 ∴ La función es continua en todo los reales menos en 𝒙 = 𝟐
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Analice la continuidad o discontinuidad de la función:
𝑓 𝑥 =
𝑥2 + 1
𝑥 − 2
SOLUCIÓN:
𝑥 = 2
𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶2−
𝑥2 + 1
𝑥 − 2
= −∞
∴ ∄ 𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶2
𝑓(𝑥)
𝑓 2 = ∄

Busquemos los puntos donde es probable que la función no sea continua:
Aquí ya podemos concluir que NO es continua dado que ∄𝑓 𝑐
 𝑓 2 ≠ 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶2
𝑓(𝑥)
∴ No es Continua en 𝑥 = 2, presenta discontinuidad asintótica
Límites y Continuidad
𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶2+
𝑥2 + 1
𝑥 − 2
= ∞
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
2. Determine los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la siguiente función sea continua:
𝑓 𝑥 = ቐ
3𝑥 − 𝑎, 𝑠𝑖 𝑥 < 1
2𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑎, 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 < 2
3𝑥 + 1, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2
SOLUCIÓN:
𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶1−
3𝑥 − 𝑎 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶1+
2𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑎
3 − 𝑎 = 2 + 𝑏 + 𝑎
1 = 2𝑎 + 𝑏
𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶2−
2𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑎 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥⟶2+
3𝑥 + 1
8 + 2𝑏 + 𝑎 = 7
𝑎 + 2𝑏 = −1
𝑎 + 2𝑏 = −1
−4𝑎 − 2𝑏 = −2
−3𝑎 = −3
𝑎 = 1
𝑏 = −1
1 + 2𝑏 = −1
2𝑏 = −2
Límites y Continuidad
LISTO PARA MIS EJERCICIOS RETOS
EJERCICIOS RETOS
1. Analice la continuidad o discontinuidad de la función: 𝑓 𝑥 =
𝑥2−9
𝑥2−2𝑥−3
2. Determine la continuidad o discontinuidad de la función. ¿si es discontinua que tipo de 
discontinuidad presenta?
𝑓 𝑥 = ቐ
3 + 𝑥2, 𝑥 < −2
7. 𝑥 = −2.
11 − 𝑥2, 𝑥 > 2
3. Analice la continuidad de la función: 𝑓 𝑥 = ቐ
𝑥2−1
𝑥−1
, 𝑥 ≠ 1
2, 𝑥 = 1
4. Determine el valor de a para que la función sea continua.
𝑓 𝑥 = ቐ
𝑎 𝑥2 + 3𝑥 − 1, 𝑥 ≤ 1
𝑥2+3𝑥−1
3𝑥+1−2
, 𝑥 > 1
Experiencia 
Grupal
Desarrollar los ejercicios en equipos 
Equipos de 5 estudiantes
Tiempo : 20 min
Espacio de 
Preguntas
Tiempo : 10 min
Pregunta a través del chat o levantando
la mano en el Zoom. Comparte tus
dudas de la sesión o de los ejercicios y
problemas que acaban de trabajar en
los grupos. Si no tienes preguntas el
profesor realizará algunas
Datos/Observaciones
Conclusión 
1. . Para demostrar que una función es continua se deben cumplir 3 requisitos.
- 𝑓 𝑐 este definida
- ∃ lim
𝑥⟶𝑐
𝑓 𝑥
- lim
𝑥⟶𝑐
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑐
2. Si 𝑓 y 𝑔 son funciones continuas en "𝑎“, 𝑓 + 𝑔 ; 𝑓 − 𝑔 ; 𝑓 ∗ 𝑔 ;
𝑓
𝑔
y 𝑓𝑜𝑔 son 
continuas en "𝑎“.
3. Si “f” es una función continua en una intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] con 𝑓 𝑎 . 𝑓 𝑏 < 0, 
entonces ∃ al menos un punto 𝑐 en [𝑎, 𝑏] tal que 𝑓 𝑐 = 0.
4. Todo función continua en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏], alcanza en dicho intervalo al 
menos un máximo absoluto y un mínimo absoluto.
Datos/Observaciones
Continuidad de 
funciones
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
IMPORTANTE
1. Para demostrar que una 
función es continua se 
deben cumplir 3 
requisitos.
- 𝑓 𝑐 este definida
- ∃ lim
𝑥⟶𝑐
𝑓 𝑥
- lim
𝑥⟶𝑐
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑐
Excelente tu 
participación
La confianza en 
ti mismo es el 
primer paso al 
éxito.
Ésta sesión 
quedará 
grabada para tus 
consultas.

PARA TI
1. Realiza los 
ejercicios 
propuestos de ésta 
sesión y práctica 
con la tarea .
2. Consulta en el 
FORO tus dudas.