Clase_4

Vista previa del material en texto

Matemáticas II
Clase 4: Integral Definida
Jorge Rivera
Apunte de Curso: Págs. 41 a 49
1
Agenda
Objetivos de la clase
Integral definida
Teorema fundamental del cálculo
2
Objetivos de la clase
Objetivos de la clase
• Entender el concepto de integral definida y su interpretación
geométrica.
• Conocer el teorema fundamental del cálculo.
• Encontrar integrales definidas.
3
Integral definida
Área bajo la curva: suma de Riemann
• Problema: área encerrada por una curva y el eje horizontal
Figura 1: Área bajo una curva de f (x) entre x = a y x = b
AREA =
b∫
a
f (x)dx .
4
Aproximación del área: sumas de Riemann
• El área bajo la curva se aproxima por una sumatoria de áreas de
rectángulos
• Base: dividir el intervalo [a, b] en “pequeños intervalos”
• Altura: evaluar la función en algún punto de cada uno de los
pequeños intervalos.
Figura 2: Base: división de [a, b] en n sub-intervalos
5
• Aproximación del área bajo la curva:
Figura 3: Aproximación del área bajo la curva
• Suma de Riemann (aproximación del área bajo la curva):
AREA ≈
n∑
i=1
f (x̄i ) (xi − xi−1).
⇒ AREA= ĺım
n→∞
n∑
i=1
f (x̄i ) (xi − xi−1).
6
Teorema fundamental del cálculo
• Sabemos que:
AREA =
b∫
a
f (x)dx = ĺım
n→∞
n∑
i=1
f (x̄i ) (xi − xi−1).
• Teorema del valor medio: dada g : R→ R derivable, y dados xi−1 y
xi tal que xi−1 < xi , entonces existe x̄i ∈]xi−1, xi [ tal que
g(xi )− g(xi−1)
xi − xi−1
= g ′(x̄i ) ⇐⇒ g(xi )− g(xi−1) = g ′(x̄i ) · (xi − xi−1).
Figura 4: TVM
7
• Sea F (x) una primitiva de f (x) (es decir, F ′(x) = f (x)):
g(x) −→ F (x) ∧ g ′(x) −→ f (x) ⇒
F (xi )− F (xi−1) = f (x̄i ) · (xi − xi−1).
Luego:
b∫
a
f (x)dx = ĺım
n→∞
n∑
i=1
f (x̄i ) (xi − xi−1) (1)
= ĺım
n→∞
n∑
i=1
F (xi )− F (xi−1) (2)
= ĺım
n→∞
F (xn)− F (x0) (3)
= F (b)− F (a). (4)
• De (1) a (2) por TVM. De (2) a (3) por telescópica. De (3) a (4) ya
que xn = b y x0 = a.
8
Ejemplo
Dado α > 0 y b > 0, encontrar (e interpretar) la siguiente integral
definida: ∫ b
0
eαx dx
• Primitiva (salvo constante):∫
eαx dx =
1
α
eαx︸ ︷︷ ︸
F (x)
.
• Cálculo de integral definida:∫ b
0
eαx dx = F (b)− F (0) = 1
α
eα b − 1
α
eα 0 =
1
α
eα b − 1
α
=
1
α
(eα b − 1).
9
Figura 5: Área bajo la curva: f (x) = eαx
10
• NOTA: la constante no es relevante (no interviene, no afecta el
restado) cuando se calculan integrales definidas.
• Por ejemplo (primitiva considerando la constante):∫
eα xdx =
1
α
eαx + C︸ ︷︷ ︸
F (x)
.
• Luego∫ b
a
eα x dx = F (b)− F (a) =
(
1
α
eα b + C
)
−
(
1
α
eα a + C
)
,
es decir (se cancela la constante):∫ b
a
eα x dx =
1
α
eα b − 1
α
eα a.
11
Ejemplo
Considere un rectángulo de base “2 a” y altura “b”. Considere una
parábola que pasa por el origen y que toca los extremos superiores del
rectángulo (ver figura). El problema es encontrar el “área verde”.
Figura 6: Rectángulo y parábola
• La parábola tiene ecuación de la forma f (x) = βx2 y cumple que
f (a) = b ⇒ β · a2 = b ⇒ β = b
a2
.
12
• La ecuación de la parábola es
f (x) =
b
a2
x2.
• El área “celeste” es
Aceleste =
a∫
−a
f (x)dx =
a∫
−a
b
a2
x2 dx .
• Pero (primitiva) ∫
b
a2
x2 dx =
b
3 a2
x3︸ ︷︷ ︸
F (x)
.
• Luego:
Aceleste = F (a)− F (−a) =
b
3 a2
a3 − b
3 a2
(−a)3 = 2 b
3 a2
a3 =
2 a b
3
.
• En consecuencia:
Area verde = (2a b)︸ ︷︷ ︸
rectangulo
− 2 a b
3︸ ︷︷ ︸
celeste
=
4 ab
3
.
13
Ejemplo
Encontrar el área de la parte destacada en la siguiente figura (β > α).
Figura 7: Rectángulo y parábola
El área solicitada es la diferencia del área bajo la recta g(x) = βx con el
área bajo la recta f (x) = αx (eso entre 0 y a):
Area =
∫ a
0
βx dx︸ ︷︷ ︸∫
βx dx= β2 x
2
−
∫ a
0
αx dx︸ ︷︷ ︸∫
αx dx= α2 x
2
=
β
2
a2 − α
2
a2 =
β − α
2
a2.
14
	Objetivos de la clase
	Integral definida
	Teorema fundamental del cálculo