Clase_8

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Matemáticas II
Clase 8: Combinaciones
lineales-dependendencia lineal
Jorge Rivera
6 de agosto de 2022
Apunte de Curso: Págs. 81 a 93
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Agenda
Objetivos de la clase
Combinaciones lineales
Dependencia lineal
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Objetivos de la clase
Objetivos de la clase
• Conocer el concepto de combinaciones lineales de vectores.
• Conocer el concepto de lineal independencia y de lineal dependencia
de vectores.
• Conocer una caracterización de la li - ld para vectores de R2.
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Combinaciones lineales
Concepto
• Una combinación lineal de los vectores X1,X2, · · · ,Xk ∈ Rn es un
vector que se obtiene ponderando y sumando los indicados.
• El conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores
X1,X2, · · · ,Xk ∈ Rn se representa como
L({X1,X2, · · · ,Xk}).
• Es decir:
X ∈ L({X1,X2, · · · ,Xk}) ⇐⇒ X = α1X1 + α2X2 + · · ·+ αkXk
para ciertos escalares α1, α2, . . . , αk .
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Propiedad importante
Proposición
Dados X1,X2, · · · ,Xk ∈ Rn, el conjunto L({X1,X2, · · · ,Xk}) es un
subespacio vectorial de Rn.
(a) 0n ∈ L({X1,X2, · · · ,Xk}) ya que
0n = 0X1 + 0X2 + · · ·+ 0Xk .
(b) Dados X1,X2 ∈ L({X1,X2, · · · ,Xk}), existen escalares α1, . . . , αk y
β1, . . . , βk tal que
X1 =
k∑
i=1
αiXi ∧ X2 =
k∑
i=1
βiXi ⇒
X1 + X2 =
k∑
i=1
(αi + βi )Xi ∈ L({X1,X2, · · · ,Xk}).
(c)
βX1 =
k∑
i=1
(β αi )Xi ∈ L({X1,X2, · · · ,Xk}).
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Ejemplo
Dado
X̄ =
(
x̄1
x̄2
)
∈ R2
se tiene que L({X̄}) es un a recta en R2 que pasa por el origen.
Figura 1: Combinaciones lineales de X̄
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Ejemplo
Dados
X̄ =
(
x̄1
x̄2
)
, X ∗ =
(
x∗1
x∗2
)
∈ R2
tenemos que L({X̄ ,X ∗}) son todos los vectores de la forma
α1X̄ + α2X
∗, donde α1 y α2 son valores arbitrarios de R.
• Desde un punto de vista geométrico, ¿cómo es L({X̄ ,X ∗})?
Resp.: depende...
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Figura 2: Caso 1: X̄ y X ∗ “colineales”
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Figura 3: Caso 1: X̄ y X ∗ “no son colineales”
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Dependencia lineal
Idea
• Caso 1: si X̄ ,X ∗ ∈ R2 son colineales, entonces sus combinaciones
lineales son una recta por el origen.
• Caso 2: si X̄ y X ∗ no son colineales, entonces sus combinaciones
lineales son R2.
• En el primer caso, X̄ no aporta a las combinaciones lineales que se
obteńıan con X ∗ (y viceversa). Los vectores X̄ y X ∗ son
linealmente dependientes (l.d).
• En el segundo caso, los vectores X̄ y X ∗ son linealmente
independientes (l.i).
• NOTA: decir que X̄ y X ∗ son l.i (l.d) es equivalente a decir que el
conjunto {X̄ ,X ∗} es l.i (l.d).
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• Caso 1:
Figura 4: Caso 1: X̄ y X ∗ son “colineales”
• ⇒ existen α1 y α2 diferentes de cero tal que
α1X̄ + α2X
∗ = 02.
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• Caso 2:
Figura 5: Caso 2: X̄ y X ∗ no son “colineales”
• ⇒ si
α1X̄ + α2X
∗ = 02
es porque α1 = α2 = 0.
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Concepto
• Un conjunto de vectores {X1,X2, . . . ,Xk} ⊆ Rn se dice linealmente
independiente (l.i) si
α1X1 + α2X2 + · · ·+ αkXk = 0n ⇒ α1 = α2 = · · · = αk = 0.
• Un conjunto de vectores {X1,X2, . . . ,Xk} ⊆ Rn se dice linealmente
dependiente (l.d) si existen escalares α1, α2, . . . , αk no todos cero tal
que
α1X1 + α2X2 + · · ·+ αkXk = 0n.
• Por convención, decir que el conjunto {X1,X2, . . . ,Xk} es l.i (l.d) es lo
mismo que decir que los vectores X1,X2, . . . ,Xk son l.i (l.d).
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Ejemplos
Ejemplo
Dado X ∈ Rn, el conjunto {X , 0n} es l.d. Es decir, cualquier conjunto
que contenga al vector nulo es l.d.
En efecto:
0X + 40n = 0n
por lo que hay una combinación lineal de X y 0n que es 0n, pero donde
los coeficientes no son todos cero.
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Ejemplo
Veamos si
X1 =
(
2
1
)
y X2 =
(
1
1
)
∈ R2
son l.i o l.d. Para ello, sean α1, α2 tal que α1X1 + α2X2 = 02, es decir:
α1
(
2
1
)
+ α2
(
1
1
)
=
(
0
0
)
⇒
(
2α1 + α2
α1 + α2
)
=
(
0
0
)
.
Luego:
(i) : 2α1 + α2 = 0 ∧ (ii) : α1 + α2 = 0.
De (ii): α2 = −α1. Eso en (i):
2α1 + (−α1) = 0 ⇒ α1 = 0 ⇒ α2 = 0.
Los vectores X1 y X2 son l.i ya que la única combinación lineal de ellos
que es 02 es cuando los coeficientes son 0.
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Ejemplo importante
Ejemplo
Dados
X =
(
x1
x2
)
e Y =
(
y1
y2
)
∈ R2
se puede probar que (ver Apunte del Curso) X es l.i con Y si y solo si
x1 y2 − x2 y1 ̸= 0.
Si x1 y2 − x2 y1 = 0 ocurre que los vectores X e Y son l.d.
• Por ejemplo: β para que (2, 3)t y (β + 1, 5)t sean l.i:
2 ∗ 5− 3 ∗ (β + 1) ̸= 0 ⇒ 10− 3β − 3 ̸= 0 ⇒ β ̸= 7
3
.
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Ejemplo
Dados X1,X2, . . . ,Xk ∈ Rn y dado X ∈ L({X1,X2, . . . ,Xk}), veamos
que el conjunto
{X ,X1,X2, . . . ,Xk}
es l.d.
En efecto: ya que X ∈ L({X1,X2, . . . ,Xk}) entonces existen escalares
α1, α2, . . . , αk tal que
X = α1X1+α2X2+· · ·+αkXk ⇐⇒ X−α1X1−α2X2−· · ·−αkXk = 0n.
Luego, hay una combinación lineal de los vectores X , X1,X2, . . . ,Xk que
es 0n donde no todos los coeficientes son cero: al menos el coeficiente de
de X es 1. Luego, esos vectores son l.d.
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Comentario final
• El conjunto {X1,X2, . . . ,Xk} ⊂ Rn es l.i cuando ninguno de los
vectores del conjunto es una combinación lineal de los demás. Por otro
lado, el conjunto de vectores {X1,X2, . . . ,Xk} ⊂ Rn es l.d cuando
alguno de ellos es una combinación lineal de los demás.
• Visto de otra manera, el conjunto de vectores {X1,X2, . . . ,Xk} ⊂ Rn es
l.i cuando sacando cualquier elemento del conjunto ocurre que las
combinaciones lineales con los resultantes ya no son las mismas que
hab́ıa con los originales. Por otro lado, los vectores son l.d cuando es
posible extraer alguno de ellos del conjunto y las combinaciones lineales
de los que quedan siguen siendo igual a las originales. Es decir, existen
vectores que no aportan a las combinaciones lineales.
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	Objetivos de la clase
	Combinaciones lineales
	Dependencia lineal