Clase_10

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Matemáticas II
Clase 10: Geometŕıa
Jorge Rivera
19 de agosto de 2022
Apunte de Curso: Págs. 103 a 111
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Agenda
Objetivos de la clase
Producto interno
Norma Euclidiana y distancia
Desigualdad de Cauchy-Schwarz y ortogonalidad
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Objetivos de la clase
Objetivos de la clase
• Conocer el concepto de producto interno de vectores.
• Conocer el concepto de norma Euclidiana de un vector y de distancia
entre vectores.
• Conocer la desigualdad de Cauchy - Schwarz y de ortogonalidad de
vectores.
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Producto interno
Concepto y propiedades
Definición
El producto interno de X =

x1
x2
...
xn
 ∈ Rn e Y ==

y1
y2
...
yn
 ∈ Rn, se
define como
X · Y =
n∑
j=1
xjyj ∈ R.
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Ejemplo
• Dados los vectores X1 =
35
1
 , X2 =
 11
−6
 ∈ R3, se tiene que
X1 · X2 = 3 ∗ 1 + 5 ∗ 1 + 1 ∗ (−6) = 2 (= X2 · X1).
• Para X3 =
 12
−13
 ∈ R3 se tiene que
X1 · X3 = 3 ∗ 1 + 5 ∗ 2 + 1 ∗ (−13) = 0.
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Propiedades del producto interno
Proposición
Para todo X , Y , Z ∈ Rn, y para todo α ∈ R, se tiene que:
(a) X · (Y + Z ) = X · Y + X · Z
(b) (αX ) · Y = α(X · Y )
(c) X · Y = Y · X
(d) 0n · X = 0.
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Norma Euclidiana y distancia
Norma Euclidiana de un vector
• Idea: tamaño de un vector.
• De manera intuitiva: extensión del valor absoluto de números reales a
vectores.
Definición
La norma Euclidiana (o simplemente norma) de un vector
X = (x1, x2, ..., xn)
t ∈ Rn se define como
‖X‖ =
√
X · X =
√∑n
j=1x
2
j ∈ R.
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Figura 1: Norma Euclidiana
8
Proposición
Para todo X , Y ∈ Rn y α ∈ R, se tiene que
(a) Si X 6= 0n se tiene que ‖X‖ > 0. Además, ‖X‖ = 0 si y sólo si
X = 0n
(b) ‖αX‖ = |α|‖X‖ (|α| es el módulo o valor absoluto de α)
(c) ‖X + Y ‖ ≤ ‖X‖+ ‖Y ‖ (desigualdad triangular).
• Extensión de las propiedades de valor absoluto.
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Vector unitario
• Vector unitario: X ∈ Rn tal que
‖X‖ = 1.
• Para todo X ∈ Rn, X 6= 0n, el vector
X̂ =
1
‖X‖
X
es unitario.
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Distancia entre vectores
Definición
Dados X , Y ∈ Rn, la distancia (Euclidiana) entre ellos se define como
d(Y ,X ) = ‖Y − X‖ ∈ R+.
Figura 2: Distancia entre vectores: d(X ,Y ) = ‖V ‖ = ‖Y − X‖
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Desigualdad de Cauchy-Schwarz
y ortogonalidad
Desigualdad de Cauchy-Schwarz
Proposición
Para todo X ,Y ∈ Rn, se tiene que
|X · Y | ≤ ‖X‖ ‖Y ‖,
es decir, el valor absoluto del producto interno de dos vectores es
menor o igual al producto de las normas de esos vectores.
Ejemplo
Si X1 =
(
3
4
)
y X2 =
(
6
8
)
, entonces
• ‖X1‖ =
√
32 + 42 = 5, ‖X2‖ =
√
62 + 82 = 10,
X1 · X2 = 3 ∗ 6 + 4 ∗ 8 = 50, por lo que |X1 · X2| = ‖X1‖ ‖X2‖.
• Pero si X1 =
(
3
5
)
y X2 =
(
2
3
)
, entonces ‖X1‖ =
√
34, ‖X2‖ =
√
13 y
|X1 · X2| = 6 + 15 = 21. Se tiene que
21 <
√
34
√
13 =
√
442 ≈ 21, 0238 12
Ortogonalidad
• Se puede probar que el coseno del ángulo que forman los vectores
X ∈ Rn con Y ∈ Rn es dado por
cos(∠(X ,Y )) =
X · Y
‖X‖ ‖Y ‖
∈ [−1, 1].
• Cuando el ángulo es 90◦, de modo que el coseno es 0, ocurre que los
vectores son perpendiculares (ortogonales).
• Cuando el ángulo es 90◦ entonces su coseno es 0.
• Conclusión: dos vectores X ,Y ∈ Rn son perpendiculares
(ortogonales) śı y solo śı
X · Y = 0.
• Escribiremos X ⊥ Y para indicar que esos vectores son ortogonales:
X ⊥ Y ⇐⇒ X · Y = 0.
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Proposición
Dados X ,Y ∈ Rn, ambos diferentes de 0n, tenemos que si X ⊥ Y
entonces X e Y son l.i. La reciproca no necesariamente es cierto (dos
vectores pueden ser l.i sin que sean ortogonales).
• Esquema de la prueba: suponiendo que X ⊥ Y , ambos 6= 0n, dados
α, β tal que αX + βY = 0n, tenemos que (producto interno con X ):
(αX ) · X + (βY ) · X = 0n · X ⇒ α‖X‖2 + β0 = 0 ⇒ α = 0.
Ya que α = 0:
0X + βY = 0n ⇒ β = 0,
implicando que los vectores son l.i.
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Ejemplo
¿β para que X1 =
(
1
β
)
y X2 =
(
3
8
)
sean ortogonales?
• Se debe cumplir que
1 ∗ 3 + β ∗ 8 = 0 ⇒ β = −3
8
.
Ejemplo
Si X1 ⊥ X2 y X1 ⊥ X3 entonces para todo α, β ocurre que
X1 ⊥ (αX1 + βX2). En efecto:
X1 · (αX1 + βX2) = αX1 · X2 + βX1 · X3 = α 0 + β 0 = 0.
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	Objetivos de la clase
	Producto interno
	Norma Euclidiana y distancia
	Desigualdad de Cauchy-Schwarz y ortogonalidad