Clase_13_2022

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Matemáticas II
Clase 13: Multiplicación de matrices
Jorge Rivera
30 de agosto de 2022
Apunte de Curso: Págs. 137 - 151
1
Agenda
Objetivos de la clase
Producto matricial
Propiedades del producto matricial
2
Objetivos de la clase
Objetivos de la clase
• Conocer el producto de matrices a través de combinaciones lineales
de columnas.
• Conocer el producto de matrices a través de productos internos.
• Conocer propiedades relevantes del producto matricial.
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Producto matricial
Aspectos generales
• El producto de matrices una una nueva operación con la cual se
construye itras matriz a partir de dos matrices originales (las que se
multiplican).
• Hay dos maneras (equivalentes) de entender el producto de matrices:
(i) a través de combinaciones lineales y (ii) a través de producto interno
de vectores.
• El concepto tiene gran cantidad de aplicaciones.
4
Producto internos a través de combinaciones lineales
• Se ilustra a través de un ejemplo.
Ejemplo
Suponga que
A =
[
3 1 0
5 2 1
]
∧ B =
 2 53 −1
1 4

• Combinaciones lineales de las columnas de A usando ponderadores de
que están en las columnas de la matriz B:
[
3 1 0
5 2 1
]
∧
23
1
 ⇒ 2[3
5
]
+ 3
[
1
2
]
+ 1
[
0
1
]
=
[
9
17
]
[
3 1 0
5 2 1
]
∧
 5−1
4
 ⇒ 5[3
5
]
+ (−1)
[
1
2
]
+ 4
[
0
1
]
=
[
14
27
]
5
• Resumen:
[
3 1 0
5 2 1
] 2 53 −1
1 4
 = [ 9 14
17 27
]
• Caso general:
A =
[
A•1 A•2 · · · A•n
]
∈ Rm×n y B =
[
B•1 B•2 · · · B•k
]
∈ Rn×k ,
la columna j de la matriz producto es:
(AB)•j = b1jA•1 + b2jA•2 + · · ·+ bnjA•n ∈ Rm×1.
• Note que:
A ∈ Rm×n ∧ B ∈ Rn×k ⇒ AB ∈ Rm×k .
(m × n) (n × k) = (m × k).
6
Ejemplo
A =
2 4 3 15 3 7 6
1 2 0 2
 ∈ R3×4 ∧ B =

x1 a
x2 b
x3 c
x4 d
 ∈ R4×2,
• La primera columna de AB es
x1
25
1
+ x2
43
2
+ x3
37
0
+ x4
16
2
 =
 2x1 + 4x2 + 3x3 + x45x1 + 3x2 + 7x3 + 6x4
x1 + 2x2 + 2x4
 ∈ R3
• La segunda columna de AB es
a
25
1
+ b
43
2
+ c
37
0
+ d
16
2
 =
 2a+ 4b + 3c + d5a+ 3b + 7c + 6d
a+ 2b + 2d
 ∈ R3
• AB tiene dos columnas de R3, es decir, es una matriz de 3× 2.
7
Producto matricial usando producto interno
• Sabemos que
[
3 1 0
5 2 1
] 2 53 −1
1 4
 = [ 9 14
17 27
]
• Note ahora que: la traspuesta de las filas de A son
At1• =
31
0
 ∧ At2• =
52
1

mientras que las columnas de B son
B•1 =
23
1
 ∧ B•2 =
 5−1
4

8
• El producto interno de la traspuesta de la primera fila de A con la
primera columna de B es
At1• · B•1 =
31
0
 ·
23
1
 = 3 ∗ 2 + 1 ∗ 3 + 0 ∗ 1 = 9
• El producto interno de la traspuesta de la primera fila de A con la
segunda columna de B es
At1• · B•2 =
31
0
 ·
 5−1
4
 = 3 ∗ 5 + 1 ∗ (−1) + 0 ∗ 4 = 14
9
• El producto interno de la traspuesta de la segunda fila de A con la
primera columna de B es
At2• · B•1 =
52
1
 ·
23
1
 = 5 ∗ 2 + 2 ∗ 3 + 1 ∗ 1 = 17
• El producto interno de la traspuesta de la segunda fila de A con la
segunda columna de B es
At2• · B•2 =
52
1
 ·
 5−1
4
 = 5 ∗ 5 + 2 ∗ (−1) + 1 ∗ 4 = 27
10
• En general: si A ∈ Rm×n y B ∈ Rn×k entonces el elemento ij de la
matriz producto, AB, es igual al producto interno de la traspuesta de la
fija i de la matriz A por la columna j de la matriz B.
Ejemplo
A =
[
2 6 1 α
3 7 1 0
]
∈ R2×4 ∧ B =

3 1 2 β 6
1 2 a b h
0 1 γ 3 3
g 2 f 0 8
 ∈ R4×5
• El producto AB es una matriz de 2× 5: número de filas de AB es
igual a número de filas de A (que es 2) y número de columnas de
AB es igual a número de columnas de B (que es 5).
• AB se puede realizar, pero BA no se puede realizar (no “calzan” las
dimensiones).
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• El elemento 2, 3 (segunda fila, tercera columna) de la matriz
producto AB es igual al producto interno de la segunda fila de A
(traspuesta) con la tercera columna de B:
(AB)2,3 = A
t
2• · B•3 =

3
7
1
0
 ·

2
a
γ
f
 = 6 + 7 a+ γ.
• La cuarta columna de AB es la combinación lineal de las
columnas de A usando los elementos de la cuarta columna de B
como ponderadores:
(AB)•4 = β
[
2
3
]
+ b
[
6
7
]
+3
[
1
1
]
+0
[
α
0
]
=
[
2β + 6 b + 3
3β + 7 b + 3
]
∈ R2.
12
Ejemplo (importante)
A =
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 ∈ R3×3 ∧ I3 =
1 0 00 1 0
0 0 1
 ∈ R3×3.
• Primera columna de A I3:
1
a11a21
a31
+ 0
a12a22
a32
+ 0
a13a23
a33
 =
a11a21
a31
 : primera columna deA
• Siguiendo el razonamiento anterior, la segunda y la tercera columna de
A I3 son la segunda y tercera columna de A.
• Es directo entonces que
A I3 = A.
• La matriz I3 es la matriz identidad para el producto matricial. Esto se
puede extender directamente para matrices A ∈ Rn×n, donde In es la
identidad para el producto matricial.
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Propiedades del producto
matricial
• Lo que sigue se presenta para producto matricial de matrices
cuadradas. El resultado se puede extender para matrices rectangulares
para las cuales el producto está bien definido (las dimensiones cuadran).
Proposición
Dadas matrices cuadradas A,B,C ∈ Rm×m, y dado α ∈ R, se tiene que:
(a) A(BC ) = (AB)C .
(b) A(B + C ) = AB + AC .
(c) A(αB) = αAB.
(d) (AB)t = BtAt.
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Ejemplo
A modo de ejemplo, usando las propiedades anteriores, se directo que
para A,B,C ∈ Rn×n se cumple que
(i) A(B + C )t = ABt + AC t.
(ii) A(B − C ) = AB − AC .
(iii) AtB = (BtA)t.
Ejercicio
Verificar las partes (a) – (d) de la Proposición anterior, y verificar que se
cumplen las partes (i) – (iii) del Ejemplo anterior, cuando
A =
[
2 7
4 3
]
, B =
[
1 2
2 5
]
, C =
[
1 1
3 4
]
, α = 5.
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Notas complementarias
• Las columnas de AB son las combinaciones lineales de las columnas de
A usando como coeficientes las columnas de B. Por ese hecho, la
cantidad de columnas A debe coincidir con la cantidad de filas de B.
• Vistas como vectores, las columnas del producto AB tienen la misma
dimensión que las columnas de A.
• El producto AB y el producto B A se puede realizar solo si esas
matrices son cuadradas de la misma dimensión (por ejemplo, A ∈ Rm×m
y B ∈ Rm×m).
• Si A ∈ Rm×n y B ∈ Rs×k , el producto AB se puede realizar cuando
s = n. En ese caso, el resultado es una matriz de Rm×k .
• Realizar la multiplicación de matrices a través de producto interno
permite obtener término a término cada elemento del producto matricial.
En cambio, cuando se realiza a través de combinaciones lineales de
columnas se obtienen directamente las columnas de la matriz producto.
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	Objetivos de la clase
	Producto matricial
	Propiedades del producto matricial