Clase_19

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Matemáticas II
Clase 19: Formas cuadráticas (1)
Jorge Rivera
10 de octubre de 2022
Apunte de Curso: Págs. 201 - 214
1
Agenda
Objetivos de la clase
Concepto de forma cuadrática
Signo de una matriz
2
Objetivos de la clase
• Conocer qué es una forma cuadrática (y el hecho de que la matriz
asociada sea simétrica).
• Conocer qué es el signo de una matriz y los conceptos de matriz
definida positiva (negativa) y semidefinida positiva (negativa).
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Concepto de forma cuadrática
Motivación
• Función lineal de R en R (recta que pasa por el origen)
f (x) = ax
• Función cuadrática de R en R (parábola con vértice en el origen)
f (x) = ax2.
• La idea es extender el concepto de “función cuadrática” anterior al
caso vectorial (x ∈ R → X ∈ Rn)
• NOTA: recordemos que si a > 0 entonces la función cuadrática
f (x) = ax2 es una parábola convexa (estrictamente), mientras que si
a < 0 es una parábola cóncava (estrictamente).
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Figura 1: Parábola convexa (A) - parábola cóncava (B)
5
Idea de forma cuadrática
• Considere la siguiente matriz: A =
[
2 3
7 4
]
∈ R2×2.
• Dado X =
[
x1
x2
]
∈ R2 se tiene que
AX =
[
2 3
7 4
][
x1
x2
]
=
[
2x1 + 3x2
7x1 + 4x2
]
∈ R2 (R2×1)
• Ya que X t =
[
x1 x2
]
∈ R1×2 entonces, por las dimensiones de los
elementos, podemos multiplicar X t con AX , y el resultado es un
elemento de R1×1 ≡ R:
X tAX =
[
x1 x2
] [2x1 + 3x2
7x1 + 4x2
]
= (2x21+3x1x2)+(7x1x2+4x
2
2 ) = 2x
2
1 + 4x
2
2 + 10x1x2.
6
• Por ejemplo, tomando A =
[
2 6
4 8
]
∈ R2×2 y X =
[
3
2
]
tenemos que:
[
3 2
]
︸ ︷︷ ︸
X t
[
2 6
4 8
]
︸ ︷︷ ︸
A
[
3
2
]
︸︷︷︸
X
=
[
3 2
]
︸ ︷︷ ︸
X
[
18
28
]
︸ ︷︷ ︸
AX
= 110 ∈ R.
• En general, tomando A =
[
a b
c d
]
∈ R2×2 y X =
[
x1
x2
]
∈ R2 tenemos:
X tAX = ax21 + dx
2
2 + (b + c)x1x2.
• La expresión anterior se llama forma cuadrática asociada a la matriz
A ∈ R2×2, y se representa como QA(X ). Es decir:
QA(X ) = X
tAX = ax21 + dx
2
2 + (b + c)x1x2 ∈ R.
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Concepto de forma cuadrática
• El concepto anterior se puede extender a matrices de Rn×n.
• Dada A ∈ Rn×n y dado X ∈ Rn, la forma cuadrática asociada a la
matriz A se define como
QA(X ) = X
tAX ∈ R.
• Se insiste: para una matriz de A ∈ Rn×n y un vector X ∈ Rn, la forma
cuadrática X tAX es una cantidad real.
8
Formas cuadráticas y matrices simétricas
• Dada
A =
[
3 6
8 5
]
∈ R2×2,
notamos que
QA(X ) =
[
x1 x2
] [3 6
8 5
][
x1
x2
]
= 3x21 + 5x
2
2 + 14x1x2.
• Definamos ahora
As =
1
2
(A+ At) =
1
2
([
3 6
8 5
]
+
[
3 8
6 5
])
=
[
3 7
7 5
]
.
• Notamos entonces que
X tAX = X tAsX = 3x
2
1 + 5x
2
2 + 14x1x2.
• Es decir, la forma cuadrática asociada a la matriz A coincide con la
forma cuadrática asociada a una matriz simétrica (la matriz As).
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• De ahora en adelante, cuando se analicen y/o estudien formas
cuadráticas, uno siempre puede suponer que la matriz correspondiente es
simétrica:
• No hay ganancia alguna en considerar otro tipo de matrices.
• Como se verá, este hecho tiene consecuencias muy importantes para
lo que viene.
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Ejemplo importante
Forma cuadrática de una matriz diagonal
Para la matriz diagonal
A =

λ1 0 0 · · · 0
0 λ2 0 · · · 0
...
...
... · · ·
...
0 0 0 · · · λn
 ∈ Rn×n
se tiene que
QA(X ) = λ1x
2
1 + λ2x
2
2 + · · ·+ λnx2n =
n∑
i=1
λix
2
i .
• Por ejemplo, si A =
4 0 00 α 0
0 0 8
 y X =
x1x2
x3
, tenemos que
QA(X ) = 4x
2
1 + α x
2
2 + 8x
2
3 .
11
Comentarios
(a) Para A ∈ Rn×n, note que
QA(0n) = 0
t
nA0n = 0,
es decir, cualquier forma cuadrática evaluada en el origen
(vector de ceros) es igual a cero (real).
(b) Para A,B ∈ Rn×n y β ∈ R, se tiene que (usar propiedades del
producto matricial)
QA+βB(X ) = X
t(A+βB)A = X tAX+X t(βB)X = X tAX+βX tBX ,
es decir,
QA+βB(X ) = QA(X ) + βQB(X ).
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Signo de una matriz
Motivación: geometŕıa de las formas cuadráticas
• Desde un punto geométrico (y algebraico...), las formas cuadráticas son
una extensión de las parábolas en R:
ax2 =⇒ X tAX .
• En efecto: si A = [a] ∈ R1×1, entonces para X ∈ R uno tiene que
X tA(X ) = aX 2: parábola es una forma cuadrática.
• Desde un punto de vista geométrico, para una forma cuadrática
asociada a una matriz de 2× 2 se puede dar uno de los siguientes casos:
(A) la “parábola tridimensional” es convexa.
(B) la “parábola tridimensional” es cóncava.
(C) la “parábola tridimensional” es una combinación de convexa y
cóncava.
NOTA. Las figuras a continuación son solo ilustrativas; en Mate III verá
los detalles sobre como se construyen.
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Figura 2: Caso (a): “parábola tridimensional” convexa
(a) “Parábola tridimensional” estrictamente
convexa
(b) “Parábola tridimensional” convexa
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Figura 3: Caso (b): “parábola tridimensional” cóncava
(a) “Parábola tridimensional” estrictamente
cóncava
(b) “Parábola tridimensional” cóncava
15
Figura 4: Caso (c): “parábola tridimensional” mixta
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• Notamos entonces que:
(1) Las “parábolas tridimensionales” convexas toman valores mayores o
iguales a cero (son “no negativas”). Por otro lado, en la Figura 2,
caso (a) ocurre que la parábola tridimensional es 0 solo cuando
X = 02, de modo que para X ̸= 02 es estrictamente positiva.
(2) Las “parábolas tridimensionales” cóncavas toman valores menores o
iguales a cero (son “no positivas”). En la Figura 3, caso (a), notar
que la parábola es igual a 0 solo cuando X = 02; para X ̸= 02 es
estrictamente negativa.
(3) Las “parábolas tridimensionales” mixtas (Figura 4) toman valores
negativos y positivos.
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Signo de una matriz: idea
Para el caso 2× 2:
• Cuando la forma cuadrática asociada a una matriz A ∈ R2×2 es una
parábola tridimensional convexa entonces uno dice que la matriz es
semidefinida positiva. Sin embargo, cuando forma cuadrática asociada
a una matriz A ∈ R2×2 es una parábola estrictamente convexa
entonces uno dice que la matriz es definida positiva.
(a) la Figura 2, caso (a), muestra el caso de una forma cuadrática
donde la matriz es definida positiva.
(b) la Figura 2, caso (b), muestra el caso de una forma cuadrática
donde la matriz es semidefinida positiva.
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• Cuando la forma cuadrática de una matriz A ∈ R2×2 está asociada con
una parábola tridimensional cóncava entonces uno dice que la matriz
es semidefinida negativa. Sin embargo, cuando forma cuadrática de una
matriz A ∈ R2×2 está asociada con una parábola estrictamente
cóncava entonces uno dice que la matriz es semidefinida negativa.
(a) la Figura 3, caso (a), muestra el caso de una forma cuadrática
donde la matriz es definida negativa.
(b) la Figura 3, caso (b), muestra el caso de una forma cuadrática
donde la matriz es semidefinida negativa.
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Signo de una matriz: concepto
• Una matriz A ∈ Rn×n es semidefinida positiva si para todo X ∈ Rn se
tiene que
X tAX ≥ 0.
• Una matriz A ∈ Rn×n es definida positiva si para todo
X ∈ Rn, X ̸= 0n, se tiene que
X tAX > 0.
• Una matriz A ∈ Rn×n es semidefinida negativa si para todo X ∈ Rn
se tiene que
X tAX ≤ 0.
• Una matriz A ∈ Rn×n es definida negativa si para todo
X ∈ Rn, X ̸= 0n, se tiene que
X tAX < 0.
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Comentarios
• Si una matriz es definida positiva (negativa) entonces es semidefinida
positiva (negativa).
• Hay matrices que no son ni semidefinida positiva ni semidefinida
negativa (el caso de una matriz asociada con la Figura 4 anterior).
• La diferencia crucial entre “semidefinida positiva” y “definida
positiva” es que en con la primera puede ocurrir que para vectores
X ̸= 0n la forma cuadrática podŕıa ser igual a 0, mientras que con la
definida positiva ocurre que si X ̸= 0n entonces estamos seguros de que
la forma cuadrática es estrictamente positiva.
• Análogo a lo anterior con semidefinida negativa y definida negativa.
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Ejemplo importante
Dada la matriz diagonal A =
[
λ1 0
0 λ2
]
, para X =
[
x1
x2
]
tenemos que
QA(X ) = X
tAX = λ1x
2
1 + λ2x
2
2 .
Luego, teniendo presente que parai = 1, 2 uno tiene que x2i > 0 cuando
xi ̸= 0, se concluye que
• A es definida positiva cuando λ1 > 0 y λ2 > 0;
• A es semidefinida positiva cuando λ1 ≥ 0 y λ2 ≥ 0;
• A es definida negativa cuando λ1 < 0 y λ2 < 0;
• A es semidefinida negativa cuando λ1 ≤ 0 y λ2 ≤ 0;
• Si, por ejemplo, λ1 > 0 y λ2 < 0 entonces la matriz no tiene signo.
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• Es muy importante conocer el signo de una matriz, entre otros, por sus
aplicaciones en optimización (cosa que se estudiará en otros cursos).
• En general, es un problema es complejo determinar el signo de una
matriz (simétrica) cualquiera. Por ejemplo: ¿cuál es el signo de la matriz
A =
[
2 5
5 1
]
?
Par responder, debeŕıamos conocer si (o no) la siguiente cantidad es
positiva, negativa o, más general aún, conocer su signo en función de los
valores de x1 y x2:
X tAX = 2x21 + x
2
2 + 10x1x2.
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	Objetivos de la clase
	Concepto de forma cuadrática
	Signo de una matriz