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1 Derivabilidad y continuidad 1. Analizar si la función f de�nida por f(x) = 3 p jxj+ x es derivable en x0 = 0: Solución: En primer lugar rede�nimos la función f; tal como se muestra f(x) = � 3 p 2x ; x � 0 0 ; x < 0 Para que f sea derivable en x0 = 0 es necesario y su�ciente que f 0�(0) = f 0+(0): f 0�(0) = lim h!0� f(0 + h)� f(0) h = lim h!0� 0� 0 h = 0 f 0+(0) = lim h!0+ f(0 + h)� f(0) h = lim h!0+ 3 p 2h h = +1 Observe que f 0+(0) no existe. En consecuencia, la función f no es derivable en x0 = 0: 2. Halle los valores de a y b para que f sea diferenciable en x = 1: f(x) = 8<: � p x+ 3 + a ; �3 < x < 1 (x� 1)2 + bx ; x � 1 Solución: Si f diferenciable en x = 1; entonces f continuidad en dicho número. Es decir lim x!1+ f(x) = lim x!1� f(x) = f(1)) b = a� 2 Además f 0(1) existe , f 0�(1) = f 0+(1): Entonces f 0�(1) = lim h!0 p (h+ 1) + 3 + a� b h = lim h!0 p (h+ 1) + 3 + a� a+ 2 h = lim h!0 p h+ 4 + 2 h = �1 4 f 0+(1) = lim h!0 (1 + h� 1)2 + b(h+ 1)� b h = lim h!0 h2 + bh h = b Luego, igualando las derivadas laterales, obtenemos b = �1 4 ^ a = 7 4 1 3. Dada la función f(x) = 8><>: 2m x2 + 1 ; x < 1 3 ; x = 1 n p x� px2 ; x > 1 Hallar los valores de "p" , "n" y "m" para que f 0(1) exista. Solución: Siendo f diferenciable en x = 1; implica continuidad en dicho número. Es decir lim x!1+ f(x) = lim x!1� f(x) = f(1)) n� p = 3 = m (1) Es decir m = 3: Sabemos que f 0(1) existe , f 0�(1) = f 0+(1): Entonces f 0�(1) = lim h!0 2m (1+h)2+1 �m h = lim h!0 �2m�mh (h2 + 2h+ 2) = �m f 0+(1) = lim h!0 n p x+ h� p (x+ h)2 h = n 2 � 2p Luego, igualando las derivadas laterales, obtenemos 4p� 2m = n) 4p� 6 = n (2) Resolvemos el sisitema que nos proporcionan las relaciones (1) y (2): n� p = 3 4p� 6 = n Cuya solución es n = 6 y p = 3. 4. Dada la función f de�nida por f(x) = 8><>: x� 3 x2 + 5 ; �2 � x < 1 x2 � 19 p x ; x � 1 Determine si la función es derivable en x = 1. Solución: Procedemos de acuerdo a lo que exige la de�nición de derivabilidad, f 0�(1) = lim h!0 1+h�3 (1+h)2+5 � 1�312+5 h = lim h!0 h�2 (1+h)2+5 + 13 h = lim h!0 (h+5)h 3(h2+2h+6) h = lim h!0 (h+ 5)h 3h (h2 + 2h+ 6) = 5 18 2 f 0+(1) = lim h!0 (h+ 1) 2 � 19 p h+ 1� � 12 � 19 p 1 � h = lim h!0 h (h+ 1) 2 � 1 i � � 1 9 p h+ 1� 19 p 1 � h = lim h!0 (h+ 1) 2 � 1 h � lim h!0 1 9 p h+ 1� 19 p 1 h = lim h!0 h (h+ 2) h � lim h!0 �p h+ 1� 1 � �p h+ 1 + 1 � 9 p h+ 1 + 1 = lim h!0 h (h+ 2) h � lim h!0 h 9h �p h+ 1 + 1 � = �2� 1 18 = 35 18 : Es claro que la función no es derivable en x = 1. 5. Sea g una función de�nida por g(x) = 8<: ax+ 5 ; x < �2bx2 + cx ; �2 � x � 3 ax2 + bx ; x > 3 Hallar el valor de "a" , "b" y "c" de modo que g sea continua en x = �2 y derivable en x = 3: Solución: De acuerdo con la de�nición de continuidad en x = �2; tenemos lim x!�2� g(x) = lim x!�2+ g(x), �2a+5 = 4b�2c) �2a+5�4b+2c = 0 (3) Para que la función g sea derivabilidad en x = 3; es necesario y su�ciente que g0�(3) = g 0 +(3); luego g0(x) = 8<: a ; x < �22bx+ c ; �2 � x � 3 2ax+ b ; x > 3 2b (3) + c = 2a (3) + b, 6b+ c = 6a+ b de donde 6a� 5b� c = 0: (4) Por otro lado, siendo f derivable en x = 3; también es continua en x = 3. Esto implica que limx!3� g(x) = limx!3+ g(x); de donde 9b+ 3c = 9a+ 3b, 9a� 6b� 3c = 0: (5) Plantemaos y resolvemos el sistema de ecuaciones formado por (3), (4) y (5) : �2a+ 5� 4b+ 2c = 0 6a� 5b� c = 0 9a� 6b� 3c = 0 obtenemos los valores buscados: a = 5 4 , b = 5 4 y c = 5 4 : 3