Regla de la cadena e implícitas - Ejercicios resueltos

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1 Regla de la cadena
1. Empleando la regla de la cadena, halle
dy
dx
si y = (4+3x�3x2+4x3)15.
Solución:
Si hacemos que u = 4+ 3x� 3x2 + 4x3; tenemos que y �! x �! u luego
para calcular
dy
dx
usamos
dy
dx
=
dy
du
� du
dx
; y procedemos tal como sigue:
y = u15 ) dy
du
= 15u14 ,
du
dx
= 3� 6x+ 12x2 :
Luego
dy
dx
= 15u14(3� 6x+ 12x2) = 15(4 + 3x� 3x2 + 4x3)14
�
3� 6x+ 12x2
�
es decir
dy
dx
= 15(4 + 3x� 3x2 + 4x3)14
�
3� 6x+ 12x2
�
:
2. Sea g una función diferenciable tal que g = f(v�3); v = x + 4 y
x = u2 � 3u: Hallar dg
du
:
Solución:
Si hacemos t = v�3; vemos que g �! t �! v �! x �! u; luego
dg
du
=
df
dt
� dt
dv
� dv
dx
� dx
du
; con esto procedemos a derivar,
dg
du
= f 0(t):(�3v�4):(1):(u2 � 3) = f 0(v�3):(�3(x+ 4)�4):(2u� 3)
= f 0((x+ 4)�3):(�3(x+ 4)�4):(2u� 3)
= f 0((u2 � 3u+ 4)�3):(�3(u2 � 3u+ 4)�4):(2u� 3):
3. Sean f y g funciones diferenciables en R tales que
g
�
x2 + x
�
=
�
x2 + 2x+ 3
�
f (x) , f (0) = 5 y lim
h!0
f(x)�5
h = 4
Calcular el valor de g0 (0).
Solución:
Procedemos a derivar
g0
�
x2 + x
�
=
�
x2 + 2x+ 3
�0
f (x) +
�
x2 + 2x+ 3
�
f 0 (x)
g0
�
x2 + x
�
(2x+ 1) = (2x+ 2)
0
f (x) +
�
x2 + 2x+ 3
�
f 0 (x) (1)
1
Para calcular el valor de g0 (0), tenemos x2 + x = 0 , x = �1 ó x = 0;
pero en concordancia con el enunciado, se debe considerar x = 0; pues
f (0) = 5 y además lim
h!0
f (x)� 5
h
= 4; implica f 0 (0) = 4:
Sustituimos en (1)
g0 (0) (2 (0) + 1) = (2 (0) + 2)
0
f (0)+(3) f 0 (0), g0 (0) = 2 (5)+(3) (4) = 22:
4. Sea la función f(x) =
q
1 +
p
2 +
p
3 + x3: Calcular f 0(1):
Solución:
Procedemos a �jar las variables que nos permitan aplicar la regla de la
cadena
z = 3 + x3 , v = 2 +
p
z , u = 1 +
p
v , y = f(x) =
p
u
(2)
De este modeo,se puede expresar y = f(x) = f(u(v(z(x))));es decir y �!
u �! v �! z �! x:
En este caso, la regla de la cadena nos daría el siguiente algoritmo :
dy
dx
=
dy
du
� du
dv
� dv
dz
� dz
dx
Luego
dy
dx
=
1
2
p
u
� 1
2
p
v
� 1
2
p
z
� 3x2: (3)
Reemplazamos el valor x = 1; en (2) y obtenemos, sucesivamente z = 4;
v = 4; u = 3; �nalmente evaluados en (3) se obtiene
f 0(1) =
dy
dx
(1) =
1
2
p
3
� 1
2
p
4
� 1
2
p
4
� 3(1)2 =
p
3
32
:
5. Sean f y g funciones diferenciables en R tales que f(x+5) = g(
p
x2 + 3) y f 0(7) =
2:
Calcular g0(
p
7):
Solución:
Procediendo de acuerdo con la regla dela cadena tenemos :
f 0(x+5):(x+5)0 = g0
�p
x2 + 3
��p
x2 + 3
�0
, f 0(x+5) = g0
�p
x2 + 3
�� xp
x2 + 3
�
Despejando g0(
p
x2 + 3) =
f 0(x+ 5):
p
x2 + 3
x
:
Cuando x = 2; resulta g0(
p
7) =
f 0(7):
p
7
2
=
p
7:
2
6. Dada la función g(x) =
p
5� 8x
3
p
2x� 7
: Si
�
a2 + 4
�
g
�
� 12
�
= 12ag0
�
� 12
�
; de-
terminar los valores de a:
Solución:
g0(x) =
3
p
2x� 7
�p
5� 8x
�0 �p5� 8x � 3p2x� 7�0�
3
p
2x� 7
�2 = 3
p
2x� 7
�
�8
2
p
5�8x
�
�
p
5� 8x
�
1
3 (2x� 7)
�2=3 (2)
�
�
3
p
2x� 7
�2
Por otro lado se tiene g0
�
� 12
�
=
13
24
y g
�
� 12
�
=
p
9
3
p
�8
= �3
2
Reemplazamos en la igualdad dada por el enunciado,�
a2 + 4
�
g
�
�1
2
�
= 12ag0(�1
2
)),
�
a2 + 4
��
�3
2
�
= 12a
�
13
24
�
�3a2 � 12� 13a = 0, a = �4
3
_ a = �3:
7. Calcule la derivada de las siguientes funciones.
(a) y = cos5 (4x) :
Solución:
Según la regla de la cadena
dy
dx
= 5 cos4 (4x)�(cos (4x))0 (4x)0 = 5 cos4 (4x)�(�sen (4x)) (4) = �20 cos
�
44x
�
sen (4x)
(b) y =
�
3x4 +
p
x� 43
�8
+ 15 tan
5 (2x)
Solución:
dy
dx
= 8
�
3x4 +
p
x� 4
3
�7�
3x4 +
p
x� 4
3
�0
+
�
1
5
�
(5) tan4 (2x) (tan (2x))
0
= 8
�
3x4 +
p
x� 4
3
�7�
12x3 +
1
2
p
x
�
+ 2 tan4 (2x) sec2(2x) tan(2x):
(c) y = x+ 3x4 +
�
3
p
x+ x3
�5� 1
x
�
Solución:
dy
dx
=
�
x+ 3x4
�0
+
��
3
p
x+ x3
�5�0� 1
x
�
+
�
3
p
x+ x3
�5� 1
x
�0
= 1 + 12x3 + 5
�
3
p
x+ x3
�4 � 3px+ x3�0� 1
x
�
+
�
3
p
x+ x3
�5� 1
x
�0
= 1 + 12x3 + 5
�
3
p
x+ x3
�4� 1
3x
3
p
x+ 3x2
��
1
x
�
+
�
3
p
x+ x3
�5�� 1
x2
�
3
(d) y = sen3(3x2 +
p
9x4 + 1)
Solución:
dy
dx
= 3sen2(3x2 +
p
9x4 + 1)sen(3x2 +
p
9x4 + 1)
0
= 3sen2(3x2 +
p
9x4 + 1) cos(3x2 +
p
9x4 + 1)(3x2 +
p
9x4 + 1)0
= 3sen2(3x2 +
p
9x4 + 1) cos(3x2 +
p
9x4 + 1)
�
6x+ 18x
3
p
9x4+1
�
(e) y = sen(cos
�
x2
�
) +
1
1 + cos (x2)
Solución:
dy
dx
= cos(cos
�
x2
�
)
�
cos
�
x2
��0 � 1
(1 + cos (x2))
2
�
1 + cos
�
x2
��0
= cos(cos
�
x2
�
)
�
�sen
�
x2
�� �
x2
�0 � 1
(1 + cos (x2))
2
�
�sen
�
x2
�� �
x2
�0
= cos(cos
�
x2
�
)
�
�sen
�
x2
��
(2x) +
2xsen
�
x2
�
(1 + cos (x2))
2 :
8. Sean f(x) =
1
1 + x2
y g(x) = 3senx: Hallar la derivada de (g � f) (x):
Solución:
La regla de la cadena establece que (g � f)0 (x) = g0(f(x)):f 0(x): Hacemos
unos cálculos previos :
f 0(x) = � 2x
(1 + x2)2
, g0(x) = 3 cosx
(g � f)0 (x) = 3 cos(f(x)):
�
� 2x
(1 + x2)2
�
= � 6x
(1 + x2)2
cos
�
1
1+x2
�
9. Sean f y g funciones derivables, tales que g
�
x+ f
�
4� x2
��
=
p
�x3 � 1:
Si f(0) = 3 y f 0(a) = 2a� 4; calcule g0(1):
Solución:
g0
�
x+ f
�
4� x2
�� �
x+ f
�
4� x2
��0
=
1
2
p
�x3 � 1
�
�x3 � 1
�0
g0
�
x+ f
�
4� x2
�� �
1 + f 0
�
4� x2
� �
4� x2
�0�
=
1
2
p
�x3 � 1
�
�3x2
�
g0
�
x+ f
�
4� x2
�� �
1 + f 0
�
4� x2
�
(�2x)
�
=
1
2
p
�x3 � 1
�
�3x2
�
(4)
Veamos las condiciones del problema :
4
Por un lado tenemos,p
�x3 � 1 : �x3 � 1 � 0, x3 � �1, x 2 h�1;�1] (5)
Además, para f(0) = 3 :
f
�
4� x2
�
: 4� x2 = 0, x = �2 ó x = 2
pero según establece (5), solamente consideramos x = �2; así sustituyendo
en (4) obtenemos
g0
�
�2 + f
�
4� (�2)2
���
1 + f 0
�
4� (�2)2
�
(�2 (�2))
�
=
1
2
q
� (�2)3 � 1
�
�3 (�2)2
�
g0 (�2 + f (0)) (1 + (4) f 0 (0)) = �6
7
p
7
g0 (�2 + 3) (1 + (4) (2 (0)� 4)) = �6
7
p
7, g0 (1) (�15) = �6
7
p
7, g0 (1) = 2
35
p
7
10. Haciendo uso de la regla de la cadena, hallar
dy
dx
si y = f
�
cos(x2 � 1)
�
:
Solución:
Sea u = cos(x2 � 1): Entonces dy
dx
=
df
du
� du
dx
dy
dx
= f 0(cos(x2�1)): d
dx
cos
�
x2 � 1
�
= f 0(cos(x2�1)):(�sen
�
x2 � 1
�
):(2x):
2 Derivada de la función implícita
1. Obtenga la derivada de la función y = f(x) dada implícitamente por las
ecuaciones indicadas.
(a) 4x3 � 3xy2 + 6x2 � 5xy � 8y2 + 9x = 6:
Solución:
(4x3�3xy2+6x2�5xy�8y2+9x)0 = 0, 12x2�3y2�6xyy0+12x�5y�5xy0�16yy0+9 = 0
Factorizamos adecuadamente y0 y luego despejamos
(5x+ 6xy + 16y) y0 = 12x2�3y2+12x�5y+9, y0 = dy
dx
=
12x2 � 3y2 + 12x� 5y + 9
5x+ 6xy + 16y
(b)
p
xy + 3x2 = (x2 + y2)2:
5
Solución:
1
2
p
xy
(xy)
0
+ 6x = 2(x2 + y2)(x2 + y2)0 , 1
2
p
xy
(xy0 + y) + 6x = 2(x2 + y2)(2x+ 2yy0)
6x+
y
2
p
xy
+
xy0
2
p
xy
= 4x3 + 4y0x2y + 4xy2 + 4y0y3
Factorizamos adecuadamente y0 y luego despejamos�
x
2
p
xy
� 4x2y � 4y3
�
y0 = 4x3 + 4xy2 � 6x� y
2
p
xy
y0 =
1
2x
�
8x2y2 �pxy � 12x2 + 8x4
�
� 12y
�
8x2y2 �pxy + 8y4
� = ��8x2y2 �pxy � 12x2 + 8x4� y
x
�
8x2y2 �pxy + 8y4
�
(c) y3 + ax2y + bxy2 + x3 = 0:
Solución:�
y3 + ax2y + bxy2 + x3
�0
= 0, 3y2y0+2axy+ax2y0+by2+2bxyy0+3x2 = 0
Factorizamos adecuadamente y0 y luego despejamos
(ax2+2bxy+3y2)y0+3x2+2axy+by2 = 0, y0 = dy
dx
= �3x
2 + 2by2 + 2axy
ax2 + 2bxy + 3y2
(d) sec2 y + cot(x� y) = tan2 x:
Solución:
2 sec y (sec y)
0 � csc2(x� y):(x� y)0 = 2 tanx sec2 x
, 2 sec y (sec y tan y) y0 � csc2(x� y): (1� y0) = 2 tanx sec2 x
, 2 sec y (sec y tan y) y0 � csc2(x� y) + y0 csc2(x� y) = 2 tanx sec2 x
,
�
2 sec2 y tan y + csc2(x� y)
�
y0 = 2 tanx sec2 x+ csc2(x� y)
, y0 = 2 tanx sec
2 x+ csc2(x� y)
2 sec2 y tan y + csc2(x� y) :
2. Sea y = x4 � 3x3 + 3: Hallar la derivada de py con respecto a (x3 + 1)2;
en x = 1:
Solución:
6
Sea u = (x3 + 1)2; luego
d
�p
y
�
d(x3 + 1)2
=
d
�p
y
�
du
=
1
2
p
y
dy
du
: (6)
Por otro lado, sabemos que
dy
du
=
dy
dx
� dx
du
Ahora bien, por derivación implícita
dx
du
=
1
6x2(x3 + 1)
y
dy
dx
= 4x3 � 9x2:
luego
dy
du
=
�
4x3 � 9x2
�� 1
6x2(x3 + 1)
�
=
4x3 � 9x2
6x2(x3 + 1)
=
4x� 9
6x3 + 6
(7)
Reemplazando (7) en (6)
Por último, reemplazando (4) en (1) con y = x4 � 3x3 + 3; obtenemos
d
�p
y
�
d(x3 + 1)2
=
�
1
2
p
x4 � 3x3 + 3
��
4x� 9
6x3 + 6
�
=
4x� 9
2 (6x3 + 6)
p
x4 � 3x3 + 3
ahora evaluando en x = 1; se tiene
d
�p
y
�
d(x3 + 1)2= � 5
12
:
3. Encontrar la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la grá�ca
de la función y = f (x) ; que está de�nida implícitamente por la ecuación
sen(sen(xy))+
y
x
�2x2+8 = 0, en el punto de la curva que tiene ordenada
igual a cero y abscisa mayor que cero.
Solución:
Para obtener el punto de ordenada cero y abcisa mayor que cero reem-
plazamos y = 0 en la ecuación implicita.
esto es:
sen(sen(0)) +
0
x
� 2x2 + 8 = 0 =) x2 = 4 =) x = �2
por lo tanto el punto es P (2; 0); pues la abscisa es mayor a cero.
Geométricamente, ya sabemos que la pendiente de la recta tangente a la
grá�ca de y = f (x) es y0 (2) = f 0 (2) ; cuyo valor encontraremos mediante
la derivación implícita, es decir
cos(sen(xy)) cos(xy)(y + xy0) +
y0x� y
x2
� 4x = 0
7
luego en el punto (2; 0); tenemos
cos(0) cos(0)(0 + 2y0) +
2y0 � 0
22
� 4(2) = 0 =) 5y0 = 16 =) y0 = 16
5
Así, la ecuación de la recta tangente queda
LT : y =
16
5
(x� 2)
Para la ecuación de la recta normal tenemos
mLN =
�5
16
Así, la ecuación de la recta normal queda
LN : y = �
5
16
(x� 2)
4. Halle las ecuaciones de la recta tangente a la curva x2+4y2�4x�8y+3 = 0;
trazadas desde el punto (�1; 3):
Solución:
Derivando implícitamente tenemos
2x+ 8yy0 � 4� 8y0 = 0, y0 = 2� x
4y � 4
Sea P (x0; y0) el punto de tangencia. Por un lado P está sobre la curva,
esto nos lleva a
(x0)
2
+ 4 (y0)
2 � 4 (x0)� 8 (y0) + 3 = 0 (8)
Enseguida calculamos el valor de la pendiente en P (x0; y0)
y0 (x0) =
2� x0
4y0 � 4
(9)
Con el punto P (x0; y0) y con el punto de paso (�1; 3); determinamos la
pendiente de la recta del modo usual
m =
y0 � 3
x0 + 1
(10)
De (9) y (10) tenemos
2� x0
4y0 � 4
=
y0 � 3
x0 + 1
, (2� x0) (x0 + 1) = (y0 � 3) (4y0 � 4), �x20+x0+2 = 4y20�16y0+12
8
de donde x0 + 16y0 � 10 = (4y0)2 + (x0)2 (11)
Sustituimos (11) en (8)
x0+16y0�10�4 (x0)�8 (y0)+3 = 0, 8y0�3x0�7 = 0, y0 =
3
8
x0+
7
8
(12)
Resolvemos el sistema formado por (8) y (12)
(x0)
2
+4
�
3
8
x0 +
7
8
�2
�4 (x0)�(3x0 + 7)+3 = 0,
25
16
x20�
35
8
x0�
15
16
= 0
25x20 � 70x0 � 15 = 0, 5 (5x0 + 1) (x0 � 3) = 0, x0 = 3 ; x0 = �
1
5
Usando (8) y (9) obtenemos
x0 = 3 ; y0 = 2) y0 (x0) = � 14 luego LT : y � 2 = �
1
4 (x� 3) :
x0 = � 15 ; y0 = �
4
5 ) y
0 (x0) = � 114 luego LT : y �
4
5 = �
11
4
�
x� 15
�
:
9