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GEOMETŔIA DIFERENCIAL Caṕıtulo 5 Los ejercicios propuestos en este tema estarán dedicados al estudio de cur- vas y superficies, que serán esenciales en el tema siguiente. Al igual que en el tema anterior, la dificultad fundamental reside en la correcta comprensión y visualización de estos objetos, con especial atención al cálculo de parametri- zaciones. 5 1 CURVAS EN EL PLANO Y EL ESPACIO � Esbozar las curvas siguientes indicando el sentido en el que se recorren: 654 σ(t) = (0, cos(πt)), t ∈ [−1, 13 ]. 655 σ(t) = (2t− 1, t− 1), t ∈ R. 656 σ(t) = (t2,−t), t ≥ 0. 657 σ(t) = (2 cos t,− sen t), t ∈ [0, π2 ]. 658 σ(t) = (et, 4e2t), t ∈ R. 659 σ(t) = (sec t, tan t), t ∈ [−π2 , π2 ]. Solución: 657 Atendiendo a las coordenadas polares dilatadas, podemos fácilmen- te deducir que la curva (2 cos t,− sen t) corresponde a un cuarto de la elipse de centro el origen y semiejes 2 y 1. El origen está en el punto (2, 0) y el extremo final en el punto (0,−1), recorrida en sentido negativo (ver Figura 47a). 658 Está claro que la curva satisface y = 4x2, por lo que corresponde a un trozo de dicha parábola. Teniendo en cuenta que si t→ −∞, entonces et → 0, se trata de la rama derecha de la parábola y = x2 sin incluir al origen (ver Figura 47b) recorrida hacia arriba. 150 Capı́tulo 5 Geometrı́a diferencial150 Capı́tulo 5 Geometrı́a diferencial150 Capı́tulo 5 Geometrı́a diferencial 0 1 2 −1 −0.5 0 0.5 (a) Ejercicio 657 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.5 1 1.5 2 (b) Ejercicio 658 Figura 47: Curvas parametrizadas � Encontrar una parametrización para las curvas planas descritas a continua- ción: 660 El segmento que une los puntos (−3, 2) y (4, 0). 661 El ćırculo con centro el origen y radio 6. 662 El cuarto de ćırculo con centro en (0, 0) cuyos puntos extremos son ( √ 2 2 , √ 2 2 ) y ( √ 2 2 ,− √ 2 2 ). 663 El grafo de y = tanx para 0 ≤ x ≤ π4 . 664 El cuadrado de vértices (3, 0), (3, 3), (0, 3) y (0, 0). 665 La rama izquierda de la hipérbola 2x2 − 3y2 = 1. Solución: 662 Se trata de un cuarto del ćırculo unitario centrado en el origen. La única precaución se refiere a delimitar bien el rango en el que se debe mover el parámetro que representa el ángulo. Una parametrización puede ser σ(θ) = (cos θ,− sen θ) , θ ∈ ( −π 4 , π 4 ) . 664 Como el cuadrado que nos solicitan consta de cuatro segmentos rectos, una posibilidad consiste en parametrizar esos cuatro lados de manera independiente. Aśı tendŕıamos σ(t) = (3t, 0), t ∈ [0, 1] para el primer segmento, σ(t) = (3, 3t− 3), t ∈ [1, 2] para el segundo segmento, Geometría diferencial Curvas en el plano y el espacio