Deposito Algebra lineal (43)

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127 Espacio vectorial 
b) Para calcular las coordenadas de la matriz (� en la base canónica se puede utilizar la 
definición de coordenadas de un vector en una base o la matriz del cambio de base. Se calculan 
las coordenadas mediante su definición 
 
Las coordenadas de (� en la base canónica son (� = �4,1,−4,−2�*. 
A continuación se utiliza la matriz de cambio de base $ para calcular las coordenadas de la 
matriz (� en la base canónica. La matriz $ tiene por columnas las coordenadas de cada uno de 
los vectores de la base ) respecto de la base canónica, es decir 
 
Se calculan las coordenadas utilizando la expresión �(��* = 	$ ∙ �(��/ 
 
Por tanto, las coordenadas de la matriz (� en la base canónica son (� = �4,1,−4,−2�*. 
 
c) Para la resolución de este apartado se procede de forma similar a la utilizada en el apartado 
anterior 
 
 
Es decir, las coordenadas de la matriz (� en la base ) son (� = �3,−2,2,2�/. 
A continuación, se comprueban estas coordenadas utilizando la inversa de la matriz del cambio 
de base $ calculada en el apartado anterior 
 
128 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
�(��* = $. �(��/ ⇒ $E�. �(��* = �(��/ 
 
 
 
 
M8. Sean los subespacios vectoriales S = ����, ��, ��, ���|	�� + �� = 0, 	�� − 2�� = 0� y 
G = ����, ��, ��, ���|	�� − 	�� + �� = 0�. 
a) Obtener una base de cada uno de ellos. 
b) Obtener una base del subespacio vectorial -⋂G. 
c) Calcular - + G. ¿Es suma directa? 
 
RESOLUCIÓN 
 
a) Partiendo de las ecuaciones implícitas del subespacio vectorial -, se obtiene un sistema 
generador del mismo 
 
 
 
 
 
129 Espacio vectorial 
)I = ��−	1,1,0,0�, �0,0,2,1�� es un sistema generador del subespacio vectorial -. Para 
comprobar si es una base se debe estudiar si es un sistema libre 
 
El sistema )I es libre, y por tanto una base de -. 
Procediendo de forma similar se obtiene una base del subespacio vectorial G 
 
 
 
 
 
El sistema )J = ��1,1, 0,0�, �0,0,1,0�, �0,1,0,1�� es un sistema generador de G. Véase si es un 
sistema libre 
 
Por tanto, )J = ��1,1,0,0�, �0,0,1,0�, �0,1,0,1�� es una base del subespacio vectorial G. 
 
b) Dado que cualquier vector del subespacio intersección -⋂G		pertenece a ambos subespacios, 
debe satisfacer simultáneamente las ecuaciones implícitas de los mismos