Deposito Algebra lineal (54)

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160 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
 
 
 
Una vez calculada la forma genérica de los vectores del núcleo, se calcula una base del mismo 
dando cualquier valor no nulo a la variable �2 
 
Otra forma de resolver este ejercicio es mediante el comando NullSpace, comando que devuelve 
una base del núcleo 
 
La forma genérica del núcleo es 
 
 
c) Para calcular la dimensión de la imagen basta calcular el rango de la matriz de la aplicación 
 
Se toma un menor no nulo de orden dos de la matriz anterior. Los vectores que forman ese 
menor son los vectores de la base de la imagen 
 
 
 
161 Aplicación lineal 
 
! = "�1,1�, �−2,0�$ es una base de ����� y %&�'�����( = 2. Como %&� ℝ�	 = 2 y ����� ⊆
ℝ�, se concluye que ����� = ℝ�. 
 
d) Se analizan los siguientes aspectos 
- + = ℝ� ≠ F = ℝ�		 
- %&�'������( = 1 ≠ 0 ⇒ � no es inyectiva 
- %&�������	� = 2 = %&� ℝ�	 ⇒ � es suprayectiva 
Por todo ello se deduce que � es un epimorfismo. 
 
 
M3. Dada la aplicación lineal �: /��ℝ� → /��ℝ� definida por � 01 23 %4 = 01 + 2 01 3 + %4, 
a) Calcular la matriz de la aplicación respecto a la base canónica de /��ℝ� 
b) Calcular ������ una base y su dimensión. 
c) Calcular la dimensión de �����. 
d) Clasificar �. 
 
RESOLUCIÓN 
 
a) Se define la aplicación � y se calcula la matriz de la aplicación hallando las imágenes de los 
vectores de la base canónica 
 
 
 
162 Fundamentos del Álgebra Lineal. Ejercicios y Cuestiones 
 
 
b) Se define un vector de /��ℝ� y se calculan las condiciones para que pertenezca a ������ 
 
 
 
Una vez calculada la forma genérica de los vectores del núcleo, se obtiene una base del mismo 
dando cualquier valor no nulo a la variable �4 
 
La base del núcleo está formada por un único vector no nulo, por lo que %&�'������( = 1. 
 
c) Para calcular la dimensión de la imagen basta calcular el rango de la matriz de la aplicación 
 
 
d) � es simplemente un homomorfismo ya que 
- + = F = /��ℝ� 
- %&�'������( = 1 ≠ 0 ⇒ �	no es inyectiva 
- %&�������	� = 3 ≠ 4 = %&��/��ℝ�� ⇒	 	� no es suprayectiva